四川省达州市凤翎中学2022-2023学年七年级下学期期末质量检测数学模拟测试题 （含答案）

这是一份四川省达州市凤翎中学2022-2023学年七年级下学期期末质量检测数学模拟测试题 （含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

四川省达州市凤翎中学2022-2023学年七年级下学期期末质量检测数学模拟测试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．11月9日是全国消防安全日，下面消防图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
3．假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终没有停在黑色方砖上的概率为（　　）

A． B． C． D．
4．下面各组中的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．8cm，6cm，15cm
C．2cm，6cm，8cm D．6cm，6cm，13cm
5．如果∠A和∠B是两平行直线中的一对同旁内角，且∠A比∠B的2倍少30°，那么∠B的度数是（　　）
A．30° B．70° C．110° D．30°或70°
6．如图，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，若BE＝7，AB＝3，则AD的长为（　　）

A．3 B．5 C．4 D．不确定
7．如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝50°，∠2＝65°，则∠3的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°
8．若x2+mx+9是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．9 B．±18 C．6 D．±6
9．如图是某市一天的温度随时间变化的大致图象，则下列说法中错误的是（　　）

A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天21时的温度是30℃
D．这天最高温度与最低温度的差是13℃
10．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．70°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲　 　P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）

12．如果|x+y﹣3|+（x﹣y+5）2＝0，那么x2﹣y2＝　 　．
13．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为　 　．
14．如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA＝58°，则∠GFB的大小为　 　°．

15．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1＝25＝52；
2×3×4×5+1＝121＝112：
3×4×5×6+1＝361＝192；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝　 　．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论：
①△ABC≌△EDC；
②∠DHF＝60°；
③若∠A＝60°，则AB∥CE；
④若BE平分∠ABC中，则EB平分∠DEC．
正确的有 　 　．（只填序号）

三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣20+4﹣1×（﹣1）2023×（）﹣2；
（2）（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
18．（6分）若与2xn﹣1y2可以合并成一个项，求n﹣m+（m﹣n）2的值．
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．
20．（6分）如图，如图，A，D，F，B在同一直线上，∠C＝∠E，AE∥BC，AD＝BF
求证：EF＝CD．

21．（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．

22．（8分）有一个转盘游戏，转盘平均分成10份（如图），分别标有1、2、…、10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字．两人进行游戏，一人转动转盘，另一人猜数，如果猜的数与转出的数情况相符，则猜数的人获胜，否则转盘的人获胜．猜数的方法为下列三种中的一种：
猜奇数或偶数；
猜是3的倍数或不是3的倍数；
猜大于4的数或不大于4的数．
如果你是猜数的游戏者，为了尽可能取胜，你选哪种猜法猜什么？

23．（10分）如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：
（1）计算；；
（2）计算：+…+．

24．（10分）如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图②所示．

根据图象进行以下探究：
（1）请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；
（2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义；
（3）在图②中补全甲车到达C地的函数图象，并求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式；
（4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．
25．（12分）如图，在边长为12cm的等边△ABC中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达B点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）t为何值时，P、Q两点第一次重合？
（2）t为何值时，△APQ为等边三角形？
（3）当点P、Q在BC边上运动时，是否存在以PQ为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间t；若不存在，请说明理由．


参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．11月9日是全国消防安全日，下面消防图标中是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、是轴对称图形，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列计算正确的是（　　）
A．（a﹣b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 B．2a3+3a3＝5a6
C．6x3y2÷3x＝2x2y2 D．（﹣2x2）3＝﹣6x6
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：（a﹣b）（﹣a﹣b）＝b2﹣a2，故选项A错误；
2a3+3a3＝5a3，故选项B错误；
6x3y2÷3x＝2x2y2，故选项C正确；
（﹣2x2）3＝﹣8x6，故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
3．假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终没有停在黑色方砖上的概率为（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据几何概率的求法：最终没有停在黑色方砖上的概率即停在白色方砖上的概率就是白色区域面积与总面积的比值．
【解答】解：观察这个图可知：白色区域与黑色区域面积相等，各占，故其概率等于．
故选：C．
【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．
4．下面各组中的三条线段能组成三角形的是（　　）
A．3cm，4cm，5cm B．8cm，6cm，15cm
C．2cm，6cm，8cm D．6cm，6cm，13cm
【分析】判断三角形能否构成，关键是看三条线段是否满足：任意两边之和是否大于第三边．但通常不需一一验证，其简便方法是将较短两边之和与较长边比较．
【解答】解：A、∵3+4＞5，∴能组成一个三角形；
B、∵8+6＜15，∴不能组成一个三角形；
C、∵2+6＝8，∴不能组成一个三角形；
D、∵6+6＜13，∴不能组成一个三角形．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，属于基础题，难度不大．
5．如果∠A和∠B是两平行直线中的一对同旁内角，且∠A比∠B的2倍少30°，那么∠B的度数是（　　）
A．30° B．70° C．110° D．30°或70°
【分析】若∠A和∠B是两条平行线中的同旁内角，可得∠A和∠B两角的和为180°，本题把∠A、∠B的度数看成两个未知数，就可得到关于这两个未知数的方程组，从而转化为方程问题解决．
【解答】解：∵∠A和∠B是两条平行线中的同旁内角，
∴∠A＝∠B＝180°，
设∠A＝x度，∠B＝y度，根据题意可得
，
解得x＝110，y＝70．
∴∠B的度数是70°．
故选：B．
【点评】考查了平行线的性质，此题把角的关系结合方程问题一起解决，即把相等关系的问题转化为方程问题，利用方程组来解决．有一定的综合性，是道不错的题．
6．如图，已知∠DCE＝90°，∠DAC＝90°，BE⊥AC于B，且DC＝EC，若BE＝7，AB＝3，则AD的长为（　　）

A．3 B．5 C．4 D．不确定
【分析】根据同角的余角相等求出∠ACD＝∠E，再利用“角角边”证明△ACD和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，AC＝BE，然后求解即可．
【解答】解：∵∠DCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE＝90°，∠E+∠BCE＝90°，
∴∠ACD＝∠E，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BEC（AAS），
∴AD＝BC，AC＝BE＝7，
∵AB＝3，
∴BC＝AC﹣AB＝7﹣3＝4．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
7．如图，直线a、b被直线c所截，若a∥b，∠1＝50°，∠2＝65°，则∠3的度数为（　　）

A．110° B．115° C．120° D．130°
【分析】先根据平行线的性质求出∠4的度数，故可得出∠4+∠2的度数．由对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，∠2＝65°，
∴∠4＝∠1＝50°，
∴∠2+∠4＝65°+50°＝115°，
∴∠3＝∠2+∠4＝115°．
故选：B．

【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
8．若x2+mx+9是一个完全平方式，那么m的值是（　　）
A．9 B．±18 C．6 D．±6
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3积的2倍．
【解答】解：∵x2+mx+9是一个完全平方式，
∴x2+mx+9＝（x±3）2，
∴m＝±6，
故选：D．
【点评】此题主要考查了完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
9．如图是某市一天的温度随时间变化的大致图象，则下列说法中错误的是（　　）

A．这天15时的温度最高
B．这天3时的温度最低
C．这天21时的温度是30℃
D．这天最高温度与最低温度的差是13℃
【分析】根据图象的信息，逐一判断．
【解答】解：横轴表示时间，纵轴表示温度．
温度最高应找到函数图象的最高点所对应的x值与y值：为15时，38℃，A对；
温度最低应找到函数图象的最低点所对应的x值与y值：为3时，22℃，B对；
从图象看出，这天21时的温度是30℃，C对；
这天最高温度与最低温度的差应让前面的两个y值相减，即38﹣22＝16℃，D错．
故选：D．
【点评】本题考查数形结合，会根据所给条件找到对应的横纵坐标的值．
10．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，点B，D，E在同一直线上，若∠1＝25°，∠2＝35°，则∠3的度数是（　　）

A．50° B．55° C．60° D．70°
【分析】先证明△BAD≌△CAE（SAS），根据全等三角形的性质可得∠1＝∠ABD，再根据外角的性质，即可求出∠3．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠1＝∠ABD，
∵∠1＝25°，∠2＝35°，
∴∠3＝∠2+∠ABD＝60°，
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，涉及外角的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的可能性的大小关系：P甲　＝　P乙（填“＞”，“＜”或“＝”）

【分析】利用几何概率的计算方法分别计算出甲、乙两个转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率即可．
【解答】解：甲转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝；
乙转盘转动一次，最终指针指向红色区域的概率＝＝．
所以P甲＝P乙．
故答案为：＝．
【点评】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：某事件的概率＝某事件所占有的面积与总面积之比．
12．如果|x+y﹣3|+（x﹣y+5）2＝0，那么x2﹣y2＝　﹣15　．
【分析】先根据非负数的性质列出方程组，可求出x、y的值，从而可求出x2﹣y2的值．
【解答】解：由题意，得：，解得，因此x2﹣y2＝1﹣16＝﹣15．
【点评】本题考查了非负数的性质．
初中阶段有三种类型的非负数：（1）绝对值；（2）偶次方；（3）二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．根据这个结论可以求解这类题目．
13．等腰三角形一边长为8，另一边长为5，则此三角形的周长为　18或21　．
【分析】本题应分为两种情况8为底或5为底，还要注意是否符合三角形三边关系．
【解答】解：当8为腰，5为底时；8﹣5＜8＜8+5，能构成三角形，此时周长＝8+8+5＝21；
当8为底，5为腰时；8﹣5＜5＜8+5，能构成三角形，此时周长＝5+5+8＝18；
故答案为18或21．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
14．如图，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA＝58°，则∠GFB的大小为　61　°．

【分析】求出∠DCF，根据两直线平行同位角相等即可求出∠GFB．
【解答】解：∵∠ECA＝58°，
∴∠ECB＝180°﹣∠ECA＝122°，
∵CD平分∠ECF，
∴∠DCF＝∠ECF＝×122°＝61°，
∵CD∥GF，
∴∠GFB＝∠DCF＝61°．
故答案为61°．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、邻补角的性质等知识．解题的关键是利用两直线平行同位角相等解决问题，属于中考常考题型．
15．观察下列运算并填空：
1×2×3×4+1＝25＝52；
2×3×4×5+1＝121＝112：
3×4×5×6+1＝361＝192；…
根据以上结果，猜想并研究：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝　（n2+5n+5）2　．
【分析】先根据题中的一系列等式，把5的平方，11的平方以及19的平方变形后，归纳猜想得到所求式子的化简结果，然后进行证明，方法是利用多项式的乘法法则把等式的左边化简，合并后，把平方项的系数拆为10+25，然后利用完全平方公式化简后，即可得到与等式的右边相等．
【解答】解：由1×2×3×4+1＝25＝52＝（02+5×0+5）2；
2×3×4×5+1＝121＝112＝（12+5×1+5）2；
3×4×5×6+1＝361＝192＝（22+5×2+5）2，…
观察发现：（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1＝（n2+5n+5）2．
证明：等式左边＝（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）+1
＝（n2+3n+2）（n2+7n+12）+1
＝n4+7n3+12n2+3n3+21n2+36n+2n2+14n+25
＝n4+10n3+35n2+50n+25
＝n4+2n2（5n+5）+（5n+5）2
＝（n2+5n+5）2＝等式右边．
故答案为：（n2+5n+5）2
【点评】此题考查学生根据已有的等式归纳总结，得出一般性规律的能力，是一道中档题．
16．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，D为△ABC边AC上一点，BC＝CD，点M在BC的延长线上，CE平分∠ACM，且AC＝CE．连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG＝CF，连接DG交BE于H．以下结论：
①△ABC≌△EDC；
②∠DHF＝60°；
③若∠A＝60°，则AB∥CE；
④若BE平分∠ABC中，则EB平分∠DEC．
正确的有 　①②③④　．（只填序号）

【分析】利用全等三角形的判定定理和性质定理，三角形的内角和定理以及平行线的判定定理对每个选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵∠ACB＝60°，
∴∠ACM＝180°﹣∠ACB＝120°，
∵CE平分∠ACM，
∴∠ACE＝∠MCE＝∠ACM＝60°，
∴∠ACB＝∠ACE．
在△ABC和△EDC中，
，
∴△ABC≌△EDC（SAS）．
∴①的结论正确；
在△BCF和△DCG中，
，
∴△BCF≌△DCG（SAS）．
∴∠CBF＝∠CDG．
∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，
∴∠CDG+∠CEB＝60°．
∵∠DCE+∠CDE+∠CED＝180°，∠DCE＝60°，
∴∠CDE+∠CED＝120°，
∴∠HDE+∠HED＝60°，
∴∠DHF＝∠HDE+∠HED＝60°．
∴②的结论正确；
∵∠A＝60°，∠ACE＝60°，
∴∠A＝∠ACE，
∴AB∥CE，
∴③的结论正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
∵△BCF≌△DCG，
∴∠CBE＝∠CDG．
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE．
∵△ABC≌△EDC，
∴∠ABC＝∠CDE，
∴∠CDG＝∠ABE＝∠CBE＝∠EDG．
∵∠ECM＝∠CBF+∠BEC＝60°，∠DHF＝∠EDG+∠DEB＝60°，
∴∠CBF+∠BEC＝∠EDG+∠DEB，
∴∠BEC＝∠DEB．
即EB平分∠DEC．
∴④的结论正确．
综上，正确的结论有：①②③④，
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理，角平分线的定义，三角形的内角和定理以及平行线的判定定理，正确找出图中的全等三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）﹣20+4﹣1×（﹣1）2023×（）﹣2；
（2）（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
【分析】（1）先计算零指数幂、负整数指数幂、乘方，再进行乘除运算，最后算加减；
（2）先利用完全平方公式和多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣1+×（﹣1）×4
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）原式＝x2+8x+16﹣x2+5x﹣2x+10
＝11x+26．
【点评】本题考查了实数的运算和整式的运算，熟练掌握运算法则是关键．
18．（6分）若与2xn﹣1y2可以合并成一个项，求n﹣m+（m﹣n）2的值．
【分析】根据与2xn﹣1y2可以合并成一个项，判断出二者为同类项，根据同类项的相同字母的次数相同列方程解答即可．
【解答】解：∵若与2xn﹣1y2可以合并成一个项，
∴n﹣1＝2，n＝3；m＝2．
则n﹣m+（m﹣n）2＝3﹣2+（2﹣3）2＝+（2﹣3）2＝+1＝1．
【点评】本题考查了同类项的定义，根据同类项相同字母的次数相同列出方程是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣2y）2﹣x（x+3y）﹣4y2，其中x＝﹣4，y＝．
【分析】根据完全平方公式、单项式乘多项式的法则把原式进行化简，代入已知数据计算即可．
【解答】解：原式＝x2﹣4xy+4y2﹣x2﹣3xy﹣4y2
＝﹣7xy，
当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣7×（﹣4）×＝14．
【点评】本题考查的是单项式乘多项式，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的法则是解题的关键．
20．（6分）如图，如图，A，D，F，B在同一直线上，∠C＝∠E，AE∥BC，AD＝BF
求证：EF＝CD．

【分析】由平行线的性质可求得∠A＝∠B，由AD＝BF可求得AF＝BD，结合∠C＝∠E，利用AAS可证得△AEF≌△BCD，则可证得EF＝CD．
【解答】证明：
∵AE∥BC，
∴∠A＝∠B，
∵AD＝BF，
∴AD+DF＝DF+BF，即AF＝BD，
在△AEF和△BCD中

∴△AEF≌△BCD（AAS），
∴EF＝CD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．
21．（8分）已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB．

【分析】由已知条件结合图形再灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC＝90°，即可得CD⊥AB．
【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC，
∴DG∥AC，
∴∠2＝∠3，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴EF∥DC，
∴∠AEF＝∠ADC；
∵EF⊥AB，
∴∠AEF＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴DC⊥AB．
【点评】利用垂直的定义除了由垂直得直角外，还能由直角判定垂直，判断两直线的夹角是否为90°是判断两直线是否垂直的基本方法．
22．（8分）有一个转盘游戏，转盘平均分成10份（如图），分别标有1、2、…、10这10个数字，转盘上有固定的指针，转动转盘，当转盘停止转动时，指针指向的数字即为转出的数字．两人进行游戏，一人转动转盘，另一人猜数，如果猜的数与转出的数情况相符，则猜数的人获胜，否则转盘的人获胜．猜数的方法为下列三种中的一种：
猜奇数或偶数；
猜是3的倍数或不是3的倍数；
猜大于4的数或不大于4的数．
如果你是猜数的游戏者，为了尽可能取胜，你选哪种猜法猜什么？

【分析】根据概率公式分别计算出概率即可解答．
【解答】解：（1）因为奇数有1，3，5，7，9，其概率为P（奇数）＝＝；偶数有2，4，6，8，10，其概率为P（偶数）＝＝；

（2）3的倍数有3，6，9，其概率为P（3的倍数）＝；不是3的倍数的有1，2，4，5，7，8，10，其概率为P（不是3的倍数）＝；

（3）大于4的有5，6，7，8，9，10，P（大于4）＝＝；不大于4的有1，2，3，4，其概率为P（不大于4）＝＝所以选第二种猜法．猜不是3的倍数．
【点评】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
23．（10分）如图，把一个面积为1的正方形分成两个面积为的长方形，再把其中一个面积为的长方形分成两个面积为的正方形，再把其中一个面积为的正方形分成两个面积为的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算：
（1）计算；；
（2）计算：+…+．

【分析】（1）可以看成1﹣，可以看成﹣…把所得的数相加即可；
（2）由（1）得到的规律计算即可．
【解答】解：（1）原式＝（1﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）+（﹣）＝1﹣＝；

（2）原式＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝1﹣．
【点评】考查规律性的计算；根据数形结合的方法得到每个分数可以分成的哪2个分数之差是解决本题的关键．
24．（10分）如图①，一条笔直的公路上有A、B、C三地，B、C两地相距150千米，甲、乙两辆汽车分别从B、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行，分别驶往C、B两地．甲、乙两车到A地的距离y1、y2（千米）与行驶时间x（时）的关系如图②所示．

根据图象进行以下探究：
（1）请在图①中标出A地的位置，并作简要的文字说明；
（2）求图②中M点的坐标，并解释该点的实际意义；
（3）在图②中补全甲车到达C地的函数图象，并求甲车到A地的距离y1与行驶时间x的函数关系式；
（4）A地设有指挥中心，指挥中心及两车都配有对讲机，两部对讲机在15千米之内（含15千米）时能够互相通话，求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间．
【分析】（1）由图②得：AB＝60km或者AC＝90km，则AB：AC＝2：3，据此画图；
（2）由图②得：乙车从C地到B地一共需要2小时，则速度＝150÷2＝75km/h，又知C地到A地路程为90km，所以时间为：90÷75＝1.2，得出M的坐标；并表示M点是乙车到达A地；
（3）根据（1，0）、（0，60）求y1与行驶时间x的函数关系式；计算甲的速度为60km/h，最后计算甲走完全程的时间为：150÷60＝2.5，根据（1，0）、（2.5，90）画线段；
（4）分别求DM、MC、BC的解析式，求两车距离A地小于等于15km时对应的时间，并计算时间差即可．
【解答】解：（1）如图①，满足AB：AC＝2：3，
即AB＝60km或者AC＝90km；
（2）150÷2＝75，
∴t＝90÷75＝1.2时，
∴M（1.2，0），表示此时乙车到达A地，
（3）当0＜x＜1.2时，设AB的解析式为：y1＝kx+b，
把（1，0）、（0，60）代入得：，
解得：，
∴y1＝﹣60x+60，
甲的速度为：60÷1＝60，
∴150÷60＝2.5，
如图②所示，补充甲甲车到达C地的函数图象；
（4）同理BC的解析式为：y1＝60x﹣60，
DM的解析式为：y2＝﹣75x+90，
ME的解析式为：y2＝75x﹣90，
由题意得：，
解得：≤x≤，
由题意得：，
解得：1≤x≤，
∴1≤x≤，
﹣1＝，
∴两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间小时＝15分钟．


【点评】本题是一次函数的应用，属于行程问题，利用平面直角坐标系读出已知条件，有难度，关键是读懂题意，结合图象确定点的坐标，根据点的坐标求一次函数解析式；再根据解析式解决问题．
25．（12分）如图，在边长为12cm的等边△ABC中，P、Q两点分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边顺时针方向运动，已知点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s．当点Q第一次到达B点时，P、Q同时停止运动．设运动时间为t秒．求：
（1）t为何值时，P、Q两点第一次重合？
（2）t为何值时，△APQ为等边三角形？
（3）当点P、Q在BC边上运动时，是否存在以PQ为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时运动的时间t；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据P与Q的运动时间相等，利用P的路程+12＝Q的路程列方程，可得结论；
（2）根据AP＝AQ列方程，可得结论；
（3）先证明△APC≌△AQB，得PC＝BQ，列方程可得结论．
【解答】解：（1）由题意得：t+12＝2t，
∴t＝12，
∴t为12时，P、Q两点第一次重合；
（2）如图1，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝60°，
∴当AP＝AQ时，△APQ是等边三角形，
∴12﹣2t＝t，
∴t＝4；
（3）存在以PQ为底边的等腰三角形APQ，
如图2，∵△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB，∠B＝∠C＝60°，
∵AP＝AQ，
∴∠APQ＝∠AQP，
∴∠APC＝∠AQB，
在△APC和△AQB中，
，
∴△APC≌△AQB（AAS），
∴PC＝BQ，
∴t﹣12＝36﹣2t，
∴t＝16．
【点评】此题是三角形的综合题，主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，几何动点问题，全等三角形的判定和性质，正确理解两个动点的路程是本题的关键，并与一元一次方程相结合解决问题．