四川省绵阳市绵阳中学2022-2023学年高一数学上学期12月月考试题（Word版附解析）

南山中学高2022级高一12月线上测试一

数       学

（时间：120分钟　满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1. 设集合，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据交集定义运算即可

【详解】因为，所以,

故选：B.

【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.

2. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件、必要条件的概念结合集合间的关系可得结果.

【详解】a＝3时，A＝{1，3}，A⊆B，即充分性成立；

当A⊆B时，a＝2或3，即必要性不成立；

故选：A.

3. 已知，且，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】ABC可以通过举出反例，D选项可以通过不等式的基本性质进行求解.

【详解】当时，，而，，而无意义，故ABC错误；

因为，所以，D正确.

故选：D

4. 已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是（    ）

A. 命题非p是真命题

B. 命题p存在量词命题

C. 命题p是全称量词命题

D. 命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题

【答案】C

【解析】

【分析】根据复合命题的真值表判断A，根据全称命题和特称命题的概念判断BCD．

【详解】命题p：实数的平方是非负数，是真命题，

因此非p是假命题，A错；

命题，实际上是说所有实数的平方都是非负数，是全称性命题，B错，C正确，D错．

故选：C．

5. 若，则下列四个数中最小的数是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据可以推出、、都大于1，，故可得答案.

【详解】因为，

所以，，，

，

所以四个数中最小的数是.

故选：D

【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键.

6. 下列“若, 则”形式的命题中，是的必要条件的有（    ）个

① 若是偶数, 则是偶数

②若，则方程有实根

③若四边形的对角线互相垂直, 则这个四边形是菱形

④若，则

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.

【详解】对于①，是偶数，不能保证，均是偶数，也有可能都是奇数，故①不符合题意；

对于②，若方程，则需满足，即，可推出，故②符合题意；

对于③，若四边形是菱形，则四边形对角线互相垂直，故③符合题意；

对于④，若，则，故④符合题意.

故选：D.

7. 若命题“存在”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由题可知方程有实数解，即求.

【详解】由题知方程有实数解，

∴，

解得，

故选：B.

8. 若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ）

A. 或 B.

C.  D. 或

【答案】A

【解析】

【分析】根据一元一次不等式解集的性质，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.

【详解】因为不等式的解集是，所以，，

所以关于的不等式，即，即，解得或，

故不等式的解集是或.

故选：A.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 若非零实数满足，则下列不等式不一定成立是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】通过代特殊值，或是根据做差法，判断选项.

【详解】A.当时，不等式不成立，故A正确；

B.当时，不成立，故B正确；

C.因为是非零实数，且满足，所以一定成立，故C错误；

D.，因为，所以，但可能是正数，负数，或零，所以不一定成立，故D正确.

故选：ABD

10. 下列说法正确的是（    ）

A. 的最小值是

B. 的最小值是

C. 的最小值是

D. 的最小值是

【答案】AB

【解析】

【分析】利用基本不等式直接判断A,利用根式判断B,利用等号不成立判断C,利用特值判断D

【详解】当时，（当且仅当，即时取等号），A正确；

，因为，所以，B正确；

，当且仅当，即时，等号成立，显然不成立，故C错误；

当时，，D错误.

故选:AB.

11. 对于给定实数，关于的一元二次不等式的解集可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】AB

【解析】

【分析】讨论参数，得到一元二次不等式的解集，进而判断选项的正误.

【详解】由，分类讨论如下：

当时，；

当时，；

当时，或；

当时，；

当时，或.

故选：AB.

12. 已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及，即可求解.

【详解】解：对A，不等式的解集为，

故相应的二次函数的图象开口向下，

即，故A错误；

对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，

则有，，

又，故，故B，C正确；

对D，，

，

又，

，故D正确.

故选：BCD

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 设集合，，若，则实数t的取值范围为____________．

【答案】

【解析】

【分析】由可知，讨论与，即可求出答案.

【详解】因为，

所以，

当时：，满足题意；

当时：，无解；

所以实数t的取值范围为.

故答案为：

14. 若关于x的不等式的解集为R，则实数a的取值范围是__________．

【答案】

【解析】

【分析】分两种情况和，可求出实数的取值范围.

【详解】关于的不等式的解集为.

当时，原不等式为，该不等式在上恒成立；

当时，则有，解得.

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：

15. 已知，且，则的最大值为_____．

【答案】

【解析】

【分析】

将化为后，根据基本不等式可求得结果.

【详解】因为，且，

所以，即，

当且仅当时，等号成立.

所以的最大值为.

故答案为：

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.

16. 某种衬衫进货价为每件元，若以元一件出售，则每天能卖出件；若每件提价元，则每天卖出件数将减少一件，为使每天出售衬衫的净收入不低于元，则每件衬衫的售价的取值范围是________．(假设每件衬衫的售价是m)

【答案】

【解析】

【分析】由每件衬衫的售价是元，可知每天的销售量为件，那么可以得到每天出售衬衫的净收入，令其大于等于，构建不等式解不等即可.

【详解】假设每件衬衫的售价是元，则每天的销售量为件，

每天出售衬衫的净收入，

令,

，

，

解得,

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在①；②；③是的真子集.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数的值；若问题中的集合不存在，说明理由.问题：是否存在集合满足集合，集合且 ，使得_______成立？

【答案】时，使得①、③成立； 时使得②成立

【解析】

【分析】若选编号①，则可得则，根据元素与集合的关系可解；若选编号②，则的两根为，根据韦达定理可解；若选编号③，由则或，从而可解.

【详解】，

选编号①，要使得，则，

所以且，解得；

选编号②，由，即的两根为，

由韦达定理可得，解得；

选编号③，，由则或或，

当时，，

当时，无解，

综上可得，时，使得①、③成立； 时使得②成立.

18. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）由交集，补集的概念求解；

（2）转化为集合间关系后分情况列式求解.

【小问1详解】

当时，，，则,，

【小问2详解】

由题意得是的真子集，

当是空集时，

，解得；

当是非空集合时，

则且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是

19. 若实数，且满足．

（1）求的最大值；

（2）求x+y的最小值．

【答案】（1）4    （2）4

【解析】

【分析】(1)把条件变形为，再利用基本不等式求出xy的范围即可求解;

(2)把条件变形为，再利用基本不等式求出x+y的范围即可求解;

【小问1详解】

∵x>0，y>0，∴，

即，解得，当且仅当时，等号成立，

∴xy的最大值为4．

小问2详解】

，

∴，

∴，当且仅当时，等号成立．

即x+y的最小值为4．

20. 已知关于的不等式．

（1）当时，解上述不等式；

（2）当时，解上述关于的不等式.

【答案】（1）；（2）当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或.

【解析】

【分析】（1）直接解一元二次不等式即可；

（2）分情况讨论，当时为一元一次不等式，当和时，均为一元二次不等式，按一元二次不等式的解法求解即可

详解】（1）当时，代入可得，

解不等式可得，

所以不等式的解集为.

（2）关于的不等式．

若，

当时，代入不等式可得，解得；

当时，化简不等式可得，由解不等式可得，

当时，化简不等式可得，解不等式可得或，

综上可知，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为，当时，不等式解集为或.

【点睛】此题考查了一元二次不等式的解法，考查含参数的一元二不等式，考查分类讨论的思想，考查了计算能力，属于中档题.

21. 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．

（1）写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；

（2）把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当时，价值损失的百分率最大．

（注：价值损失的百分率100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，设出关系式，利用克拉时的价值求得的值，由此求得关系式；

（2）求得的关系式写出原有价值和现有价值，通过计算价值损失百分率，利用基本不等式可得答案.

【小问1详解】

由题意可设价值与重量的关系式为：，

∵3克拉的价值是美元，

∴，解得：，

∴；

【小问2详解】

若两颗钻石的重量为克拉，则原有价值是，

现有价值是，

价值损失的百分率为

，

当且仅当时取等号，

∴当时，价值损失的百分率最大.

22. 已知二次函数.

（1）若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式；

（2）若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围．

【答案】（1）或   

（2）

【解析】

【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得；

（2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围．

【小问1详解】

设二次函数的两个零点分别为，，

由已知得，

而，所以，故，

不等式即，解得或，

故不等式的解集为或.

【小问2详解】

因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即，