2022-2023学年山东省烟台市栖霞市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

2022-2023学年山东省烟台市栖霞市八年级（下）期末数学试卷（五四学制）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  已知平行四边形中，对角线、相交于，则下列说法准确的是(    )

A. 当时，平行四边形为矩形
B. 当时，平行四边形为正方形
C. 当时，平行四边形为菱形
D. 当时，平行四边形为菱形

3.  若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为非负整数，则符合条件的的个数为(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

4.  大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，则下列结论中正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  第二十二届世界杯足球赛于年月日在卡塔尔举办开幕赛，为了迎接世界杯，某市举行了足球邀请赛，规定参赛的每两支球队之间比赛一场，共安排了场比赛设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  正方形的对角线长为，则其周长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  小明用地理中所学的等高线的知识在某地进行野外考察，他根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内，若点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为(    )

 

A.  B.  C.  D.

9.  已知，是方程的两个实数根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，下列条件能使和相似的有(    )
；；；；．

A. 个
B. 个
C. 个
D. 个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.  如图，将矩形折叠，使点和点重合，折痕为，与交于点，若，，则的长为______ ．

12.  古希腊几何学家海伦在他的著作度量中，给出了计算三角形面积的海伦公式，若三角形三边长分别为、、，记，三角形的面积为，如图，请你利用海伦公式计算的面积为______ ．

13.  若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______ ．

14.  如图，在平行四边形中，是的中点，，相交于点，，则 ______ ．

15.  某市实施精准扶贫的决策部署以来，贫困户甲年人均纯收入为元，经过帮扶到年人均纯收入为元，则该贫困户每年纯收入的平均增长率为______ ．

16.  如图，菱形的边长为，，连接，垂足为，分别交，，的延长线于点，，，若：：，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
某居民小区有块形状为长方形的绿地，长为米，宽为米，现在要长方形绿地中修建两个形状大小相同的长方形花坛即图中阴影部分，每个长方形花坛的长为米，宽为米除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为元平方米的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？

18.  本小题分
如图，已知四边形是正方形，对角线、相交于，设、分别是、上的点，若，，求四边形的面积．

19.  本小题分
实数使关于的方程有两个实数根，，若，求的值．

20.  本小题分
如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．
以原点为位似中心，在轴的右侧按：放大，画出的一个位似；
画出将向左平移个单位，再向上平移个单位后得到的；
与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心，并写出点的坐标．

 

21.  本小题分
如图，平行四边形的对角线、交于点，为中点，过点作交的延长线于，连接与当四边形是怎样的特殊四边形时，四边形为菱形？并证明．

22.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形若，的长是关于的一元二次方程的两个根，且连接，若点为轴负半轴上的点，若与与相似，则此时点的坐标．

23.  本小题分
在爱心义卖活动中，某班的店铺准备义卖小蛋糕当每个小蛋糕的售价定为元时，平均每小时的销售数量为个细心的小亮发现，售价每提高元，平均每小时的销售数量就会减少个，但售价不能超过元．
若小蛋糕的售价在元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，且每次涨价的百分率均相同，求涨价的百分率是多少；
若平均每小时的销售总额为元，求此时小蛋糕的售价定为多少元．

24.  本小题分
如图，在中，点、、分别在、、上，且，交于点，求证：；
如图，中，，正方形的四个顶点在的边上，连接，分别交于，两点．
如图，若，直接写出的长；
如图，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．无意义；选项错误，不符合题意；
B.；选项错误，不符合题意；
C.与无法合并；选项错误，不符合题意；
D.；选项正确，符合题意；
故选：．
根据二次根式的运算法则逐项判断即可．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
利用矩形的判定、正方形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：当时，不能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
B.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，则平行四边形是菱形，不一定是正方形，故此选项不符合题意；
C.根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形为矩形，故此选项不符合题意；
D.当时，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得平行四边形是菱形，故本选项正确．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
且，
符合条件的的非负整数值是，，一共个．
故选：．
根据题意可得根的判别式，列出不等式，求出的取值范围，在此取值范围内找出符合条件的的非负整数值即可．
本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：为的黄金分割点，
，，
故选项A、、不符合题意，选项D符合题意，
故选：．
由黄金分割的定义得，，即可求解．
此题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
 

5.【答案】 

【解析】解：设比赛组织者邀请了个队参赛，
根据题意得：，
故D正确．
故选：．
根据题意参赛的每两个队之间比赛一场，每个球队需要比赛场，个队参赛需要参赛，但是两个球队不重复比赛，所以乘以，即可解得．
本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
 

6.【答案】 

【解析】解：由题意得：，，
，，，
原式


．
故选：．
利用已知条件确定出，，的符号，再利用二次根式的性质和绝对值的意义化简运算即可．
本题主要考查了二次根式的性质，绝对值的意义，正确利用上述法则与性质解答是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：设正方形的边长为，
正方形的对角线为，
由勾股定理得：，
解得：负值舍去，
正方形的周长为：，
故选：．
根据正方形对角线的长度和正方形的边长相等，利用勾股定理可求出边长，即可求出答案．
本题考查了勾股定理和正方形的性质，灵活运用所学知识点是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解；点，，三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，
，
故选：．
根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，根据定理列出比例式是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个实数根，
，，，
，




．
故选：．
根据根与系数的关系可得出，，和方程根的意义得，即可得出结论．
此题考查一元二次方程根与系数的关系：，，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
 

10.【答案】 

【解析】解：若，且，则∽；
若，无法证明和相似；
若，则，
又，
∽；
若，且，
∽，
，
又，
∽；
若，且，
∽；
故选：．
利用相似三角形的判定依次判断可求解．
本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：矩形，
，，，
，
由折叠得，，
，
，
由折叠得，
，，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
由矩形的性质，折叠轴对称的性质，可求出，由勾股定理求出，，进而求出即可．
本题考查矩形的性质、折叠轴对称的性质，勾股定理等知识，根据图形，求出线段、的长是得出答案的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
的面积为：．
故答案为：．
根据题中的公式，代入计算求值．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：关于的方程有两个实数根，
且，
解得：，
故答案为：．
由根的判别式的意义以及二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，解不等式组即可确定的范围．
此题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．也考查了二次根式有意义的条件．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形为平行四边形，
，，，
点是的中点，，
，
：，
，
∽，
：：，：，
，，
和同高，
：：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
故答案为：．
先由平行四边形的性质及点是的中点得，再证和相似得：：，：，进而得，，再根据和同高可求出，由此得，进而可得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积之比等于相似比是解答此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：设该贫困户每年纯收入的平均增长率为，
根据题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
该贫困户每年纯收入的平均增长率为．
故答案为：．
设该贫困户每年纯收入的平均增长率为，利用该贫困户年人均纯收入该贫困户年人均纯收入该贫困户每年纯收入的平均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
∽，
，
：：，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
∽，
，
，
，
解得：，
故答案为：．
根据菱形的性质得出，，求出是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，求出，∽，∽，再根据相似三角形的性质得出比例式，最后求出答案即可．
本题考查了菱形的性质，相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
 

17.【答案】解：通道面积：


平方米，
购买地砖需要花费：元，
答：购买地砖需要花费元． 

【解析】先求出通道的面积，再算钱数即可．
此题主要考查了二次根式的应用，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

18.【答案】解：四边形是正方形，对角线、相交于，
，，且，，
，，
，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形的面积是． 

【解析】由正方形的性质得，，且，，则，，而，则，再证明，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，则，所以．
此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，证明≌是解题的关键．
 

19.【答案】解：根据根与系数的关系得，，
，
，
，
即，
，
整理得，
解得，，
，
的值为或． 

【解析】根据根与系数的关系得，，再把变形为，所以，接着解关于的方程，然后利用的取值范围确定的值．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
 

20.【答案】解：如图所示，即为所求；

如图所示，即为所求；
如图所示，与是位似图形，点是位似中心． 

【解析】利用位似的性质，以原点为位似中心，在轴的右侧按：放大，即可画出的一个位似；
利用平移的性质，将向左平移个单位，再向上平移个单位后，即可得到的；
依据位似的性质，连接，并延长，其交点即为位似中心．
本题主要考查了利用位似变换以及平移变换作图，确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．画一个图形的位似图形时，有时位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求．
 

21.【答案】解：当四边形是矩形时，四边形为菱形，理由如下：
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形． 

【解析】由证明≌，根据全等三角形的性质得出，先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：解方程得，
或，
，的长是关于的一元二次方程的两个根，且．
，，
设，
则，
当在，之间时，
∽，
，
，
，
，
点为轴负半轴上的点，
；
当点在点的左侧时，
∽，
，
，
． 

【解析】分当在，之间时，当点在点的左侧时两种情况，根据相似三角形的性质得出等式求解即可得出结果．
本题考查了相似三角形的性质，菱形的性质，注意分类讨论是解题的关键．
 

23.【答案】解：设涨价的百分率是，
由题意得：，
解得：，不合题意，舍去，
答：涨价的百分率是；
设小蛋糕的售价提高元，则每小时的销售数量就会减少个，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
小蛋糕的售价为：元或元，
售价不能超过元，
小蛋糕的售价为元，
答：此时小蛋糕的售价定为元． 

【解析】设涨价的百分率是，由题意：小蛋糕的售价在元的基础上连续两次涨价，两次涨价后的售价为元，列出一元二次方程，解方程即可；
设小蛋糕的售价提高元，则每小时的销售数量就会减少个，平均每小时的销售总额为元，列出一元二次方程，解方程即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

24.【答案】证明：在和中，
，
∽，
，
同理可得∽，
，
．

作于点．
边上的高，

：：
又，
：：，
，，
边上的高为，：：，
：：，
．
故答案为：．

证明：，，
，
又，
∽，
，
，
又，
，
由得，
，
，
，
． 

【解析】可证明∽，∽，从而得出；
根据三角形的面积公式求出边上的高，根据∽，求出正方形的边长，根据等于高之比即可求出；
可得出∽，则；又由，得，再根据，从而得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．