2023年四川省达州市中考数学试卷

这是一份2023年四川省达州市中考数学试卷，共35页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省达州市中考数学试卷
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2023的倒数为（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
2．（4分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（4分）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（　　）
A．2502.7×108 B．2.5027×1011
C．2.5027×1010 D．2.5027×103
4．（4分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
5．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（　　）

​

A．52° B．50° C．45° D．25°
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．（2a3b）3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2
7．（4分）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝﹣40 B．﹣40＝
C．+40＝ D．+40＝
8．（4分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（　　）

A． B．2023π C． D．2022π
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 　 　．
13．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 　 　cm．（结果保留根号）
​
14．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 　 　．
​

15．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP＝AC，连接AP，则AP的最小值为 　 　
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
17．（8分）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
​
（1）该班共有学生 　 　人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝　 　，n＝　 　，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 　 　度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
​

19．（7分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
​
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．

​

21．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
​

22．（10分）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
23．（9分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
​（1）a＝　 　，b＝　 　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
​
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 　 　．

24．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
​
25．（12分）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．
​

2023年四川省达州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）﹣2023的倒数为（　　）
A．2023 B． C．﹣2023 D．﹣
【分析】运用乘积为1的两个数是互为倒数进行求解．
【解答】解：∵﹣2023×（﹣）＝1，
∴﹣2023的倒数是﹣，
故选：D．
【点评】此题考查了倒数，关键是能准确理解倒数的定义．
2．（4分）下列图形中，是长方体表面展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据长方体的展开图得出结论即可．
【解答】解：由题意知，图形可以折叠成长方形，
故选：C．
【点评】本题主要考查长方体的展开图，熟练掌握长方体的展开图是解题的关键．
3．（4分）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（　　）
A．2502.7×108 B．2.5027×1011
C．2.5027×1010 D．2.5027×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【解答】解：2502.7亿＝250270000000＝2.5027×1011．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
4．（4分）一组数据2，3，5，2，4，则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．3和5 B．2和5 C．2和3 D．3和2
【分析】先把原数据按由小到大排列，然后根据众数、中位数的定义求解．
【解答】解：数据从小到大排列为：2，2，3，4，5，
所以中位数为3；
数据2出现了2次，最多，
所以这组数据的众数为2．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数和众数，熟练掌握找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据是解题的关键．
5．（4分）如图，AE∥CD，AC平分∠BCD，∠2＝35°，∠D＝60°，则∠B＝（　　）

​

A．52° B．50° C．45° D．25°
【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，可以求得∠BCD的度数，再根据三角形内角和即可求得∠B的度数．
【解答】解：∵AE∥CD，∠2＝35°，
∴∠1＝∠2＝35°，
∵AC平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠1＝70°，
∵∠D＝60°，
∴∠B＝180°﹣∠D﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣70°＝50°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质、角平分线的定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（4分）下列计算正确的是（　　）
A．a+a2＝a3 B．a2•a3＝a6
C．（2a3b）3＝6a3b3 D．a6÷a4＝a2
【分析】直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘法运算法则以及积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A、不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式＝a5，故B不符合题意．
C、原式＝8a9b3，故C不符合题意．
D、原式＝a2，故D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法运算以及积的乘方运算、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（4分）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价，设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　）
A．＝﹣40 B．﹣40＝
C．+40＝ D．+40＝
【分析】根据单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．
8．（4分）下列命题中，是真命题的是（　　）
A．平行四边形是轴对称图形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
【分析】根据中轴对称图形的概念、菱形的判定、线段垂直平分线的性质、直角三角形的概念判断即可．
【解答】解：A、平行四边形不一定是轴对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，是真命题，符合题意；
D、在△ABC中，当∠A：∠B：∠C＝3：4：5时，△ABC不是直角三角形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
9．（4分）如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为AD；的圆心为B，半径为BA1；的圆心为C，半径为CB1；的圆心为D，半径为DC1…，、、、的圆心依次为A、B、C、D循环，则的长是（　　）

A． B．2023π C． D．2022π
【分析】由观察规律可得的半径为2×2023﹣1＝4045，再用弧长公式列式计算即可．
【解答】解：由已知可得，的半径为为1，的半径为，的半径为2，的半径为...，
∴后一段90°的圆心角所对的弧比相邻的前一段90°的圆心角所对的弧的半径大，
∴的半径为3，的半径为5，的半径为7...，
∴的半径为2×2023﹣1＝4045，
∴的长为×2π×4045＝，
故选：A．
【点评】本题考查图形的变化类问题，涉及与圆相关的计算，解题的关键是找到90°的圆心角所对的弧的半径变化规律．
10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称．下列五个结论：
①abc＞0；②2a+b＝0；③4a+2b+c＞0；④am2+bm＞a+b；⑤3a+c＞0．其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由抛物线开口方向以及与y轴的交点可知a＞0，c＜0，根据对称轴为直线x＝1得出b＝﹣2a＜0，即可判断①；由对称轴为直线x＝1得出2a+b＝0，即可判断②；由抛物线的对称性即可判断③；根据函数的最值即可判断④，由x＝﹣1时，y＞0，得出a﹣b+c＞0，由b＝﹣2a得出3a+c＞0即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）关于直线x＝1对称，
∴﹣＝1，
∵a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∵c＜0，
∴abc＞0，
故①正确；
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，
故②正确；
∵x＝0时，y＜0，对称轴为直线x＝1，
∴x＝2时，y＜0，
∴4a+2b+c＜0，
故③错误；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴am2+bm+c≥a+b+c，即am2+bm≥a+b，
故④错误；
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴b＝﹣2a，
∴3a+c＞0．
故⑤正确．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
二、填空题（每小题4分，共20分）
11．（4分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x＞1　．
【分析】由二次根式的被开方数大于等于0可得x﹣1≥0，由分式有意义的性质可得x﹣1≠0，即可求出自变量x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0且x﹣1≠0，
即x﹣1＞0，
解得：x＞1．
故答案为：x＞1．
【点评】考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
12．（4分）已知x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）＝10，则k的值 　7　．
【分析】先求出（x1+x2），x1x2的值，然后把（x1﹣2）（x2﹣2）＝10的左边展开，将其代入该关于k的方程，通过解方程来求k的值．
【解答】解：∵x1，x2是方程2x2+kx﹣2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝﹣，x1•x2＝﹣1，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）＝x1•x2﹣2（x1+x2）+4＝﹣1﹣2×（﹣）+4＝10，
解得k＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1x2＝，也考查了代数式的变形能力．
13．（4分）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 　（80﹣160）　cm．（结果保留根号）
​
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
∴AC＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
∴DB＝AB＝×80＝（40﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40﹣40）﹣80＝（80﹣160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（80﹣160）cm，
故答案为：（80﹣160）．
【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．
14．（4分）如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，以AB为边作等边三角形ABC，若反比例函数y＝的图象过点C，则k的值为 　﹣6　．
​

【分析】依据题意，点C在AB的垂直平分线上，可得直线OC为y＝﹣，故可设C（a，﹣），再由AC＝AB求出a的值代入y＝即可求解．
【解答】解：由题意，建立方程组，
∴或．
∴A（1，2），B（﹣1，﹣2）．
∴A、B关于原点对称．
∴AB的垂直平分线OC过原点．
∵直线AB为y＝2x，
∴直线OC为y＝﹣．
∴可设C（a，﹣）．
又△ABC为等边三角形，
∴AC＝AB．
∴根据两点间的距离公式可得：．
∴a＝±2．
∴C（2，﹣）或（﹣2，）．
将点C代入y＝得，
k＝﹣6．
故答案为：﹣6．
【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图象的交点的坐标特征，解题时需要熟悉图象，理解题意．
15．（4分）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，在边BC上有一点P，且BP＝AC，连接AP，则AP的最小值为 　2﹣2　
【分析】作△ABC 的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM＝BM＝CM＝4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得∠AMC＝∠PNB，从而易证△AMC∽△PNB，可得 即 ，勾股定理即可求得，在△APN中由三角形三边关系AP≥AN﹣PN即可求解．
【解答】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN（PN）为半径作圆；

∵∠C＝60°，M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMB＝120°，AM＝BM，
∴∠MAB＝∠MBA＝30°，
∴，
∵MD⊥AB，
∴，
在Rt△ADM中，
∵AM2＝MD2+AD2，
∴，
∴AM＝4，
即AM＝BM＝CM＝4，
由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，
∴∠PBN＝∠BPN＝90°﹣∠ABC，
∴∠PNB＝180°﹣（∠PBN+∠BPN）＝2∠ABC，
又∵M为△ABC的外接圆的圆心，
∴∠AMC＝2∠ABC，
∴∠AMC＝∠PNB，
∵，
∴△AMC∽△PNB，
∴，
∵，
∴，
即，
∴PN＝BN＝2，
在Rt△ABN 中，，
在△APN中，，
即AP最小值为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30° 角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合△ABC的外接圆构造相似三角形．
三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤（共90分）
16．（8分）（1）计算：+|﹣4|﹣（2003﹣π）0﹣2cos30°；
（2）先化简，再求值：（a+2﹣）÷，其中a为满足0＜a＜4的整数．
【分析】（1）利用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值化简运算即可；
（2）利用分式的混合运算的法则化简后，将x＝1代入运算即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4﹣1﹣2×
＝2+4﹣1﹣
＝+3；
（2）原式＝
＝
＝
＝﹣2（a+3）
＝﹣2a﹣6．
∵a为满足0＜a＜4的整数，
∴a＝1，2，3，
∵a﹣2≠0，a﹣3≠0，
∴a＝1．
当a＝1时，
原式＝﹣2﹣6＝﹣8．
【点评】本题主要考查了实数的运算，用二次根式的性质，绝对值的意义，零指数幂的意义和特殊角的三角函数值，分式的化简求值，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．
17．（8分）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达100%，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
​
（1）该班共有学生 　50　人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，m＝　20　，n＝　10　，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为 　144　度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【分析】（1）由C的人数除以所占百分比得出该班共有学生人数，即可解决问题；
（2）由（1）的结果分别列式计算即可；
（3）画树状图，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）该班共有学生人数为：5÷10%＝50（人），
则D的人数为：50﹣20﹣10﹣5﹣10＝5（人），
故答案为：50，
把条形统计图补充完整如下：

（2）∵m%＝10÷50×100%＝20%，n%＝5÷50×100%＝10%，
∴m＝20，n＝10，
参加剪纸社团对应的扇形圆心角为：360°×＝144°，
故答案为：20，10，144；
（3）把小鹏和小兵分别记为a、b，其他3位同学分别记为c、d、e，
画树状图如下：

共有20种等可能的结果，其中恰好是小鹏和小兵参加比赛的结果有2种，
∴恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率为＝．
【点评】此题考查的是树状图法以及条形统计图和扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
18．（9分）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上．
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90度得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出△ABC扫过的面积．
​

【分析】（1）按平移变换的性质分别确定A，B，C平移后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（2）按旋转变换的性质分别确定A，B，C绕点C顺时针旋转90度后的位置，再按原来的连接方式连接即可；
（3）将△ABC扫过的面积用规则图形的面积和差表示，求出即可．
【解答】解：（1）△A1B1C1如图所示；

（2）△A2B2C2如图所示；
（3）＝，
∵AC＝，
∴＝＝，
∴在（2）的运动过程中△ABC扫过的面积＝＝+．
【点评】本题考查网格作图﹣平移、旋转，以及网格中图形面积的计算，解题涉及平移的性质，旋转的性质，勾股定理，扇形面积公式，掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键．
19．（7分）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m，当摆角∠BOC恰为26°时，座板离地面的高度BM为0.9m，当摆动至最高位置时，摆角∠AOC为50°，求座板距地面的最大高度为多少m？（结果精确到0.1m；参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.9，tan26°≈0.49，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50≈1.2）
​
【分析】过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，在Rt△OBT中，求出OT＝OB•cos26°＝2.7（m），可得ON＝OT+TN＝3.6（m），在Rt△AOK中，得OK＝OA•cos50°＝1.92（m），故KN＝ON﹣OK＝1.68（m），从而可知座板距地面的最大高度为1.68m．
【解答】解：过B作BT⊥ON于T，过A作AK⊥ON于K，如图：

在Rt△OBT中，
OT＝OB•cos26°＝3×0.9＝2.7（m），
∵∠M＝∠MNT＝∠BTN＝90°，
∴四边形BMNT是矩形，
∴TN＝BM＝0.9m，
∴ON＝OT+TN＝3.6（m），
在Rt△AOK中，
OK＝OA•cos50°＝3×0.64＝1.92（m），
∴KN＝ON﹣OK＝3.6﹣1.92≈1.7（m），
∴座板距地面的最大高度为1.7m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交BC于点P（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）所作图形中，求△ABP的面积．

​

【分析】（1）根据角平分线的作法，即可画出图形；
（2）由勾股定理求出AC，由角平分线的性质得到PC＝PD，根据三角形的面积公式求出PD，即可求出结论．
【解答】解：（1）如图所示：AP即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝，
∴AC＝＝2，
过点P作PD⊥AB于D，
∵AP是∠BAC的角平分线，
∴PD＝PC，
∵△ABC的面积为＝△ACP的面积+△ABP的面积，
∴AC•PC+AB•PD＝AC•BC，
∴2PD+5PD＝2，
解得PD＝，
∴△ABP的面积＝AB•PD＝＝．

【点评】此题主要考查了基本作图，角平分线定理，勾股定理，作出辅助线根据角平分线的性质得到PC＝PD是解本题的关键．
21．（8分）如图，△ABC、△ABD内接于⊙O，AB＝BC，P是OB延长线上的一点，∠PAB＝∠ACB，AC、BD相交于点E．
（1）求证：AP是⊙O的切线；
（2）若BE＝2，DE＝4，∠P＝30°，求AP的长．
​

【分析】（1）连接OA，利用等腰三角形的性质，垂径定理，圆周角定理，垂直的定义，等量代换和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用直角三角形的性质，同圆的半径相等，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质和直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OA，如图，
∵AB＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA．
∵∠PAB＝∠ACB，
∴∠BAC＝∠PAB．
∵AB＝BC，
∴，
∴OB⊥AC，
∴∠BAC+∠ABO＝90°，
∵OB＝OA，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠BAO+∠∠BAC＝90°，
∴∠BAO+∠PAB＝90°，
∴∠PAO＝90°，
即OA⊥AP，
∵OA为⊙O的半径，
∴AP是⊙O的切线；
（2）解：∵OA⊥AP，∠P＝30°，
∴∠AOP＝60°，
∵OA＝OB，
∴△OAB为等边三角形，
∴AO＝AB．
由（1）知：∠BAC＝∠BCA，
∵∠BCA＝∠D，
∴∠BAC＝∠D．
∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA，
∴，
∴，
∴AB2＝12，
∴AB＝2，
∴OA＝2．
在Rt△OAP中，
∵tanP＝，
∴AP＝＝6．

【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的判定定理，等腰三角形的性质，垂直的定义，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的边角关系定理，特殊角的三角函数值，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
22．（10分）某县著名传统土特产品“豆笋”、“豆干”以“浓郁豆香，绿色健康”享誉全国，深受广大消费者喜爱．已知2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元．
（1）分别求出每件豆笋、豆干的进价；
（2）某特产店计划用不超过10440元购进豆笋、豆干共200件，且豆笋的数量不低于豆干数量的，该特产店有哪几种进货方案？
（3）若该特产店每件豆笋售价为80元，每件豆干售价为55元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店获得利润最大，最大利润为多少元？
【分析】（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，根据“2件豆笋和3件豆干进货价为240元，3件豆笋和4件豆干进货价为340元”可得二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，根据题意可得关于a的一元一次不等式组，求出a的取值范围，以此得出a的所有取值即可得出进货方案；
（3）设总利润为w元，根据利润＝（成本﹣进价）×数量可得w关于a的一次函数，再根据一次函数的增减性结合a的取值范围即可求解．
【解答】解：（1）设每件豆笋的进价为x元，每件豆干的进价为y元，
由题意得：，
解得：，
∴每件豆笋的进价为60元，每件豆干的进价为40元；
（2）设购进豆笋a件，则购进豆干（200﹣a）件，
由题意可得：，
解得：120≤a≤122，且a为整数，
∴该特产店有以下三种进货方案：
当a＝120时，200﹣a＝80，即购进豆笋120件，购进豆干80件，
当a＝121时，200﹣a＝79，即购进豆笋121件，购进豆干79件，
当a＝122时，200﹣a＝78，即购进豆笋122件，购进豆干78件，
（3）设总利润为w元，
则w＝（80﹣60）•a+（55﹣40）•（200﹣a）＝5a+3000，
∵5＞0，
∴w随a的增大而增大，
∴当a＝122时，w取得最大值，最大值为5×122+3000＝3610，
∴购进豆笋122件，购进豆干78件可使该特产店获得利润最大，最大利润为3610元．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用、一次函数的应用，理解题意，找准题中所蕴含的等量关系或不等关系，正确列出方程组、不等式组以及函数关系式是解题关键．
23．（9分）【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω） 亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为 I＝，通过实验得出如下数据：
R/Ω
…
1
a
3
4
6
…
I/A
…
4
3
2.4
2
b
…
​（1）a＝　2　，b＝　1.5　；
（2）【探究】根据以上实验，构建出函数y＝（x≥0），结合表格信息，探究函数y＝（x≥0）的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象；
​
②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　不断减小　．
（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 　x≥2或x＝0　．

【分析】（1）由已知列出方程，即可解得a，b的值；
（2）①描点画出图象即可；②观察图象可得答案；
（3）同一坐标系内画出图象，观察即可得到答案．
【解答】解：（1）根据题意，3＝，b＝，
∴a＝2，b＝1.5；
故答案为：2，1.5；
（2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出对应函数y＝（x≥0）的图象如下：

②由图象可知，随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是不断减小，
故答案为：不断减小；
（3）如图：

由函数图象知，当x≥2或x＝0时，≥﹣x+6，
即当x≥0时，≥﹣x+6的解集为 x≥2或x＝0，
故答案为：x≥2或x＝0．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，画出函数图象，利用数形结合的思想解决问题．
24．（11分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；
（3）若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
​
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB，即可求解；
（3）若BC为菱形的边长，利用菱形的性质求解即可．．
【解答】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；

（2）由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
故点P作y轴的平行线交CB于点H，

设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），
则△PBC的面积＝S△PHC+S△PHB＝PH×OB＝（﹣x2+2x+x﹣3）＝﹣（x﹣）2+≤，
即△PBC的面积的最大值为，此时点P（，）；
（3）存在，理由：
∵B（3，0），C（0，3），
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3，
∴对称轴为：x＝1，
设点M（1，t），N（x，y），
若BC为菱形的边长，菱形BCMN，
则BC2＝CM2，即18＝12+（t﹣3）2，
解得：t1＝+3，t2＝﹣+3，
，
∴x＝4，y＝t﹣3，
∴N1（4，），N2（4，﹣）；
若BC为菱形的边长，菱形BCNM，
则BC2＝BM2，即18＝（3﹣1）2+t2，
解得：t3＝，t4＝﹣，
，
∴x＝﹣2，y＝3+t，
∴N3（﹣2，），N4（﹣2，﹣）；
即点N的坐标为：（4，﹣）或（4，）或（﹣2，+3）或（﹣2，﹣+3）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形和菱形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（12分）（1）如图①，在矩形ABCD的AB边上取一点E，将△ADE沿DE翻折，使点A落在BC上A'处，若AB＝6，BC＝10，求的值；
（2）如图②，在矩形ABCD的BC边上取一点E，将四边形ABED沿DE翻折，使点B落在DC的延长线上B'处，若BC•CE＝24，AB＝6，求BE的值；
（3）如图③，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足为点D，AD＝10，AE＝6，过点E作EF⊥AD交AC于点F，连接DF，且满足∠DFE＝2∠DAC，直接写出BD+EF的值．
​
【分析】（1）由矩形性质和翻折性质、结合勾股定理求得AB＝2，设AE＝AE＝x 则BE＝AB﹣AE＝6﹣x，Rt△ABE中利用勾股定理求得，则，，进而求解即可；
（2）由矩形的性质和翻折性质得到∠EBC＝∠BDA，证明△EBC∽△BDA，利用相似三角形的性质求得BC＝4，则BD＝10，在Rt△ABD中，利用勾股定理求得AD＝8，进而求得BC＝8，CE＝3可求解；
（3）证明△AEF∽△ADC得到，则；设EF＝3k，CD＝5k，过点D作DH⊥AC于H，证明△CHD≌△FHD（ASA）得到DF＝CD＝5k，在Rt△EFD中，由勾股定理解得k＝1，进而可求得AC＝5．过B作BG⊥AC于G，证明∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，则 ，，再证明AG＝BG，在Rt△BCG中利用锐角三角函数和AG+CG＝BG+CG＝AC，求得BC，即可求解．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝10，CD＝AB＝6，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
由翻折性质得AD＝AD＝10，AE＝AE，
在Rt△ACD 中，，
∴A'B＝BC﹣AC＝2，
设AE＝A'E＝x，则BE＝AB﹣AE＝6﹣x，
在Rt△ABE 中，由勾股定理得 BE2+AB2＝AE2，
∴（6﹣x）2+22＝x2，
解得 ，
∴，，
∴＝＝；
（2）∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，AD＝BC，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折性质得，A'B'＝AB＝6，A'D＝AD，∠DA'B'＝∠ABE＝∠BCD＝∠90°，
∴∠EB'C+∠AB'D＝90°＝∠A'B'D+∠B'DA'，
∴∠EB'C＝∠B'DA'，
∴△EB'C∽△B'DA'，
∴＝，即＝，
又BC•CE＝24，
∴B'C＝＝＝4，
∴B'D＝B'C+CD＝10，
在Rt△A'BD'中，
AD＝＝8，
∴BC＝AD＝A'D＝8，则CE＝3，
∴BE＝BC﹣CE＝8﹣3＝5；
（3）∵AD⊥BC，EF⊥AD，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ADC，
∵AD＝10，AE＝6，
∴，
∴CD＝EF，
则，
设EF＝3k，CD＝5k，
过点D作DH⊥AC于H，则∠CHD＝∠ADC＝90°，
∴∠CDH＝∠DAC＝90°﹣∠C，

∵EF∥BC，
∴∠CDF＝∠DFE＝2∠DAC＝2∠CDH，
∴∠CDH＝∠FDH，
又∵DH＝DH，∠CHD＝∠FHD＝90°，
∴△CHD≌△FHD（ASA），
∴DF＝CD＝5k，
在Rt△EFD中，由勾股定理得 EF2+DE2＝DF2，
∴（3k）2+42＝（5k）2，解得k＝1，
∴EF＝3，DF＝CD＝5，
在Rt△ADC中，，
过B作BG⊥AC于G，

则∠BGA＝∠BGC＝∠CHD＝90°，
∴BG∥DH，
∴∠CBG＝∠CDH＝∠DAC，
∴，，
∵∠BAC＝45°，∠AGB＝90°，
∴∠ABG＝90°﹣∠BAC＝45°＝∠BAC，
∴AG＝BG，
在Rt△BCG中，
BG＝BC•cos∠CBG＝BC，CG＝BC•sin∠CBG＝BC，
∵AG+CG＝BG+CG＝AC，
∴，
∴，
∴BD+EF＝BC＝．
【点评】本题考查矩形的性质、翻折性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性 质、锐角三角函数等知识，综合性强，较难，属于中考压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加辅助线求解是解答的关键．
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