2023年辽宁省大连市中考数学试卷

这是一份2023年辽宁省大连市中考数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年辽宁省大连市中考数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项正确）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
2．（3分）如图所示的几何体中，主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．（3分）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠D＝20°，则∠E的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
4．（3分）某种离心机的最大离心力为17000g．数据17000g用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×104 B．1.7×105 C．1.7×104 D．17×103
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．2+3＝5
C．＝4 D．（2﹣2）＝6﹣2
6．（3分）将方程+3＝去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
7．（3分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（　　）
A．6Ω B．8Ω C．10Ω D．12Ω
8．（3分）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（　　）
A．2π B．3π C．π D．π
9．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
10．（3分）某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（　　）

A．本次调查的样本容量为100
B．最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%
C．最喜欢足球的学生为40人
D．“排球”对应扇形的圆心角为10°
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）9＞﹣3x的解集为 　 　．
12．（3分）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 　 　．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　 　．

14．（3分）如图，在数轴上，OB＝1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 　 　．

15．（3分）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8元钱，会多3钱；每人出7元钱，又差4钱，问人数有多少．设有x人，则可列方程为：　 　．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为 　 　．

三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．（9分）计算：（+）÷．
18．（10分）某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A、B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A
72
73
74
75
76
78
79
频数
1
1
5
3
3
1
1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72ㅤ75ㅤ72ㅤ75ㅤ78ㅤ77ㅤ73ㅤ75ㅤ76ㅤ77ㅤ71ㅤ78ㅤ79ㅤ72ㅤ75
Ⅲ．A、B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：

平均数
中位数
众数
方差
A
75
75
74
3.07
B
a
75
b
c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
19．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．

20．（10分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？
（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）


22．（10分）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：
（1）男女跑步的总路程为 　 　；
（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．

23．（10分）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．

五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线BC相交于点A．P（t，0）为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
（1）OB的长为 　 　；△OAB的面积为 　 　；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

25．（11分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC＝2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC＝2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，2∠D＝∠ABD．若CD＝1，则求BC的长．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．


2023年辽宁省大连市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有1个选项正确）
1．（3分）﹣6的绝对值是（　　）
A．﹣6 B．6 C． D．﹣
【分析】根据绝对值的定义求解．
【解答】解：|﹣6|＝6．
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值的定义，掌握一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0是解题的关键．
2．（3分）如图所示的几何体中，主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】找到从正面看所得到的图形，得出主视图即可．
【解答】解：如图所示的几何体中，主视图是B选项，
故选：B．
【点评】此题主要考查了几何体的三视图，关键是掌握主视图和左视图所看的位置．
3．（3分）如图，直线AB∥CD，∠ABE＝45°，∠D＝20°，则∠E的度数为（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°
【分析】由平行线的性质可得∠ABE＝∠BCD，从而求出∠DCE，再根据三角形的内角和即可求解．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABE＝∠BCD＝45°，
∴∠DCE＝135°，
由三角形的内角和可得∠E＝180°﹣135°﹣20°＝25°．
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质和三角形的内角和定理，熟练掌握性质是解题关键．
4．（3分）某种离心机的最大离心力为17000g．数据17000g用科学记数法表示为（　　）
A．0.17×104 B．1.7×105 C．1.7×104 D．17×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：17000＝1.7×104．
故选：C．
【点评】此题主要考查了科学记数法﹣表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．
5．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．＝ B．2+3＝5
C．＝4 D．（2﹣2）＝6﹣2
【分析】先根据零指数幂，二次根式的加法法则，二次根式的性质，二次根式的乘法法则进行计算，再得出选项即可．
【解答】解：A．（）0＝1，故本选项不符合题意；
B．2+3＝5，故本选项不符合题意；
C．＝2，故本选项不符合题意；
D．（2﹣2）＝﹣2＝6﹣2，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和零指数幂，能灵活运用二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
6．（3分）将方程+3＝去分母，两边同乘（x﹣1）后的式子为（　　）
A．1+3＝3x（1﹣x） B．1+3（x﹣1）＝﹣3x
C．x﹣1+3＝﹣3x D．1+3（x﹣1）＝3x
【分析】分式方程变形后，去分母得到结果，即可做出判断．
【解答】解：分式方程去分母得：1+3（x﹣1）＝﹣3x．
故选：B．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
7．（3分）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I与R成反比例函数关系．当I＝4A时，R＝10Ω，则当I＝5A时R的值为（　　）
A．6Ω B．8Ω C．10Ω D．12Ω
【分析】设I＝，则U＝IR＝40，得出R＝，计算即可．
【解答】解：设I＝，则U＝IR＝40，
∴R＝＝＝8，
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握欧姆定律．
8．（3分）圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为（　　）
A．2π B．3π C．π D．π
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：l＝＝π，
∴该扇形的弧长为π．
故选：C．
【点评】本题考查弧长的计算，关键是掌握弧长的计算公式．
9．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．2
【分析】根据抛物线的解析式求得对称轴为直线x＝1，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴对称轴为直线x＝1，
∵a＝1＞0，
∴抛物线的开口向上，
∴当0≤x＜1时，y随x的增大而减小，
∴当x＝0时，y＝﹣1，
当1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
∴当x＝3时，y＝9﹣6﹣1＝2，
∴当0≤x≤3时，函数的最大值为2，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．（3分）某小学开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取100名学生进行问卷调查（每位学生仅选一种），并将调查结果绘制成如下的扇形统计图．下列说法错误的是（　　）

A．本次调查的样本容量为100
B．最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%
C．最喜欢足球的学生为40人
D．“排球”对应扇形的圆心角为10°
【分析】利用扇形图可得喜欢排球的占10%，喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，最喜欢足球的学生为100×40%＝40人；用360°×喜欢排球的所占百分比可得圆心角．
【解答】解：A、本次调查的样本容量为100，故此选项不合题意；
B、最喜欢篮球的人数占被调查人数的30%，故此选项不合题意；
C、最喜欢足球的学生为100×40%＝40（人），故此选项不合题意；
D、根据扇形图可得喜欢排球的占10%，“排球”对应扇形的圆心角为360°×10%＝36°，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查的是扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）9＞﹣3x的解集为 　x＞﹣3　．
【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：9＞﹣3x，
3x＞﹣9，
x＞﹣3，
故答案为：x＞﹣3．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
12．（3分）一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为 　　．
【分析】根据题意，画出相应的树状图，然后即可求得两次标号之和为3的概率．
【解答】解：树状图如图所示，

由上可得，一共存在4种等可能性，其中两次标号之和为3的可能性有2种，
∴两次标号之和为3的概率为＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，AC、BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC中点，则EF的长为 　5　．

【分析】由四边形ABCD是菱形，可得BC＝DC，AC⊥BD，∠BEC＝90°，又∠DBC＝60°，知△BDC是等边三角形，BC＝BD＝10，而点F为BC中点，故EF＝BC＝5．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC＝DC，AC⊥BD，
∴∠BEC＝90°，
∵∠DBC＝60°，
∴△BDC是等边三角形，
∴BC＝BD＝10，
∵点F为BC中点，
∴EF＝BC＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查菱形的性质及应用，涉及等边三角形的判定与性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
14．（3分）如图，在数轴上，OB＝1，过O作直线l⊥OB于点O，在直线l上截取OA＝2，且A在OC上方．连接AB，以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，则C点的横坐标为 　1+　．

【分析】在Rt△AOB中，利用勾股定理求出AB＝，则AB＝BC＝，进而求得OC＝1+，据此即可求解．
【解答】解：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°，
在Rt△AOB中，AB＝＝＝，
∵以点B为圆心，AB为半径作弧交直线OB于点C，
∴AB＝BC＝，
∴OC＝OB+BC＝1+，
∴点C的横坐标为1+．
故答案为：1+，
【点评】本题主要考查勾股定理，实数与数轴，利用勾股定理正确求出AB的长是解题关键．
15．（3分）我国的《九章算术》中记载道：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问有几人．”大意是：今有人合伙购物，每人出8元钱，会多3钱；每人出7元钱，又差4钱，问人数有多少．设有x人，则可列方程为：　8x﹣3＝7x+4　．
【分析】根据货物的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
【解答】解：依题意，得：8x﹣3＝7x+4．
故答案为：8x﹣3＝7x+4．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，延长BC至E，使CE＝2，连接AE．CF平分∠DCE交AE于F，连接DF，则DF的长为 　　．

【分析】过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，首先证四边形CMFN为正方形，再设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，BE＝5，EM＝2﹣a，然后证△EFM和△EAB相似，由相似三角形的性质求出a，进而在Rt△AFN中由勾股定理即可求出DF．
【解答】解：过点F作FM⊥CE于M，作FN⊥CD于点N，

∵四边形ABCD为正方形，AB＝3，
∴∠ACB＝90°，BC＝AB＝CD＝3，
∵FM⊥CE，FN⊥CD，∠ACB＝∠B＝90°，
∴四边形CMFN为矩形，
又∵CF平分∠DCE，FM⊥CE，FN⊥CD，
∴FM＝FN，
∴四边形CMFN为正方形，
∴FM＝FN＝CM＝CN，
设CM＝a，则FM＝FN＝CM＝CN＝a，
∵CE＝2，
∴BE＝BC+CE＝5，EM＝CE﹣CM＝2﹣a，
∵∠B＝90°，FM⊥CE，
∴FM∥AB，
∴△EFM∽△EAB，
∴FM：AB＝EM：BE，
即：a：3＝（2﹣a）：5，
解得：，
∴，
∴，
在Rt△AFN中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了正方形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，理解相似三角形的对应边成比例．
三、解答题（本题共4小题，其中17题9分，18、19、20题各10分，共39分）
17．（9分）计算：（+）÷．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后进行计算即可解答．
【解答】解：原式＝[+]•
＝•
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18．（10分）某服装店的某件衣服最近销售火爆．现有A、B两家供应商到服装店推销服装，两家服装价格相同，品质相近．服装店决定通过检查材料的纯度来确定选购哪家的服装．检查人员从两家提供的材料样品中分别随机抽取15块相同的材料，通过特殊操作检验出其纯度（单位：%），并对数据进行整理、描述和分析．部分信息如下：
Ⅰ．A供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
A
72
73
74
75
76
78
79
频数
1
1
5
3
3
1
1
Ⅱ．B供应商供应材料的纯度（单位：%）如下：
72ㅤ75ㅤ72ㅤ75ㅤ78ㅤ77ㅤ73ㅤ75ㅤ76ㅤ77ㅤ71ㅤ78ㅤ79ㅤ72ㅤ75
Ⅲ．A、B两供应商供应材料纯度的平均数、中位数、众数和方差如下：

平均数
中位数
众数
方差
A
75
75
74
3.07
B
a
75
b
c
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a＝　75　，b＝　75　，c＝　6　；
（2）你认为服装店应选择哪个供应商供应服装？为什么？
【分析】（1）根据平均数，众数和方差的计算公式分别进行解答即可；
（2）根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可得出答案．
【解答】解：（1）B供应商供应材料纯度的平均数为a＝×（72+75+72+75+78+77+73+75+76+77+71+78+79+72+75）＝75，
75出现的次数最多，故众数b＝75，
方差c＝×[3×（72﹣75）2+4×（75﹣75）2+2×（78﹣75）2+2×（77﹣75）2+（73﹣75）2+（76﹣75）2+（71﹣75）2+（79﹣75）2]＝6；
故答案为：75；75；6；
（2）选A供应商供应服装，理由如下：
∵A、B平均值一样，B的方差比A的大，A更稳定，
∴选A供应商供应服装．
【点评】本题考查了方差、平均数、中位数、众数，熟悉相关统计量的计算公式和意义是解题的关键．
19．（10分）如图，在△ABC和△ADE中，延长BC交DE于F．BC＝DE，AC＝AE，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．

【分析】由“SAS”可证△ABC≌△ADE，可得结论．
【解答】证明：∵∠ACB+∠ACF＝∠ACF+∠AED＝180°，
∴∠ACB＝∠AED，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴AB＝AD．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
20．（10分）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．
【分析】设2020﹣2022年买书资金的平均增长率为x，利用2022年用于购买图书的费用＝2020年用于购买图书的费用×（1+2020﹣2022年买书资金的平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：设2020﹣2022年买书资金的平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）．
答：2020﹣2022年买书资金的平均增长率为20%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
四、解答题（本题共3小题，其中21题9分，22、23题各10分，共29分）
21．（9分）如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？
（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）


【分析】延长CD交AE于H，于是得到CH＝BE，EH＝BC＝1.26m，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CD交AE于H，
则CH＝BE，EH＝BC＝1.26m，
在Rt△ACH中，AC＝10.4m，∠ACH＝70°，
∴AH＝AC•sin70°＝10.4×0.94≈9.78（m），
∴AE＝AH+CH＝9.78+1.26≈11（m），
答：楼AE的高度约为11m．

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线是解题的关键．
22．（10分）为了增强学生身体素质，学校要求男女同学练习跑步．开始时男生跑了50m，女生跑了80m，然后男生女生都开始匀速跑步．已知男生的跑步速度为4.5m/s，当到达终点时男、女均停止跑步，女生从开始匀速跑步到停止跑步共用时120s．已知x轴表示从开始匀速跑步到停止跑步的时间，y轴代表跑过的路程，则：
（1）男女跑步的总路程为 　1000m　；
（2）当男、女相遇时，求此时男、女同学距离终点的距离．

【分析】（1）根据男女同学跑步的路程相等，即可求解；
（2）求出女生跑步的速度，列方程求解即可．
【解答】解：（1）男生匀速跑步的路程为4.5×100＝450（m），450+50＝500（m），
则男女跑步的总路程为500×2＝1000（m），
故答案为：1000m；
（2）设从开始匀速跑步到男、女相遇时的时间为xs，
女生跑步的速度为（500﹣80）÷120＝3.5（m/s），
根据题意得：80+3.5x＝50+4.5x，
解得x＝30，
∴此时男、女同学距离终点的距离为4.5×（100﹣30）＝315（m），
答：此时男、女同学距离终点的距离为315m．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，然后设出未知数列出方程．
23．（10分）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，AD为∠CAB的平分线交⊙O于点D，连接OD交BC于点E．
（1）求∠BED的度数；
（2）如图2，过点A作⊙O的切线交BC延长线于点F，过点D作DG∥AF交AB于点G．若AD＝2，DE＝4，求DG的长．

【分析】（1）根据圆周角定理证得两直线平行，再根据平行线的性质即可得到结论；
（2）由勾股定理得到边的关系，求出线段的长，再利用等面积法求解即可．
【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AD为∠CAB的平分线，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠BOD＝∠BAD+∠ODA＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
∴OD∥AC，
∴∠OEB＝∠ACB＝90°，
∴∠BED＝90°；
（2）连接BD，
设OA＝OB＝OD＝r，
则OE＝r﹣4，AC＝2OE＝2r﹣8，AB＝2r，

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，
由（1）得，∠BED＝90°，
∴∠BED＝∠BEO＝90°，
∴BE2＝OB2﹣OE2，BE2＝BD2﹣DE2，
∴BD2＝AB2﹣AD2＝BE2+DE2＝OB2﹣OE2+DE2，
∴＝r2﹣（r﹣4）2+42，
解得r＝7或r＝﹣5（不合题意舍去），
∴AB＝2r＝14，
∴，
∵AF是⊙O的切线，
∴AF⊥AB，
∵DG⊥AF，
∴DG⊥AB，
∴，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，切线的性质，解一元二次方程，熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解题的关键．
五、解答题（本题共3小题，其中24、25题各11分，26题12分，共34分）
24．（11分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与直线BC相交于点A．P（t，0）为线段OB上一动点（不与点B重合），过点P作PD⊥x轴交直线BC于点D，△OAB与△DPB的重叠面积为S，S关于t的函数图象如图2所示．
（1）OB的长为 　4　；△OAB的面积为 　　；
（2）求S关于t的函数解析式，并直接写出自变量t的取值范围．

【分析】（1）由t＝0时，P与O重合，得S＝，t＝4时，P与B重合，得OB＝4；
（2）设A（a，a），由×4a＝，得a＝，A（，）；分两种情况：当0≤t≤时，设OA交PD于E，可得PE＝PO＝t，S△POE＝t2，故S＝﹣S△POE＝﹣t2；当＜t＜4时，求出直线AB解析式为y＝﹣x+2，可得C（0，2），由tan∠CBO＝＝＝＝，得DP＝PB＝（4﹣t）＝2﹣t，故S＝S△DPB＝DP•PB＝（2﹣t）×（4﹣t）＝t2﹣2t+4．
【解答】解：（1）t＝0时，P与O重合，此时S＝S△ABO＝，
t＝4时，S＝0，P与B重合，
∴OB＝4，B（4，0），
故答案为：4，；
（2）∵A在直线y＝x上，
∴∠AOB＝45°，
设A（a，a），
∴S△ABO＝OB•a，即×4a＝，
∴a＝，
∴A（，）；
当0≤t≤时，设OA交PD于E，如图：

∵∠AOB＝45°，PD⊥OB，
∴△PEO是等腰直角三角形，
∴PE＝PO＝t，
∴S△POE＝t2，
∴S＝﹣S△POE＝﹣t2；
当＜t＜4时，如图：

由A（，），B（4，0）得直线AB解析式为y＝﹣x+2，
当x＝0时，y＝2，
∴C（0，2），
∴OC＝2，
∵tan∠CBO＝＝＝＝，
∴DP＝PB＝（4﹣t）＝2﹣t，
∴S＝S△DPB＝DP•PB＝（2﹣t）×（4﹣t）＝（4﹣t）2＝t2﹣2t+4；
综上所述，S＝．
【点评】本题考查动点问题的函数图象，涉及锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是从函数图象中获取有用的信息．
25．（11分）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师给同学们每人发了一张等腰三角形纸片探究折叠的性质．
已知AB＝AC，∠A＞90°，点E为AC上一动点，将△ABE以BE为对称轴翻折．同学们经过思考后进行如下探究：
独立思考：小明：“当点D落在BC上时，∠EDC＝2∠ACB．”
小红：“若点E为AC中点，给出AC与DC的长，就可求出BE的长．”
实践探究：奋进小组的同学们经过探究后提出问题1，请你回答：

问题1：在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＞90°，△BDE由△ABE翻折得到．
（1）如图1，当点D落在BC上时，求证：∠EDC＝2∠ACB；
（2）如图2，若点E为AC中点，AC＝4，CD＝3，求BE的长．
问题解决：小明经过探究发现：若将问题1中的等腰三角形换成∠A＜90°的等腰三角形，可以将问题进一步拓展．
问题2：如图3，在等腰△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC＝BD＝4，2∠D＝∠ABD．若CD＝1，则求BC的长．
【分析】问题1：（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由折叠的性质和三角形内角和定理可得∠A＝∠BDE＝180°﹣2∠C，由邻补角的性质可得结论；
（2）由三角形中位线定理可得CD＝2EF，由勾股定理可求AF，BF，即可求解；
问题2：先证四边形CGMD是矩形，由勾股定理可求AD，由等腰三角形的性质可求MD，CG，即可求解．
【解答】问题1：（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵△BDE由△ABE翻折得到，
∴∠A＝∠BDE＝180°﹣2∠C，
∵∠EDC+∠BDE＝180°，
∴∠EDC＝2∠ACB；
（2）解：如图，连接AD，交BE于点F，

∵△BDE由△ABE翻折得到，
∴AE＝DE，AF＝DF，
∴CD＝2EF＝3，
∴EF＝，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝EC＝AC＝2，
在Rt△AEF中，AF＝＝＝，
在Rt△ABF中，BF＝＝＝，
∴BE＝BF+EF＝；
问题2：解：连接AD，过点B作BM⊥AD于M，过点C作CG⊥BM于G，

∵AB＝BD，BM⊥AD，
∴AM＝DM，∠ABM＝∠DBM＝∠ABD，
∵2∠BDC＝∠ABD，
∴∠BDC＝∠DBM，
∴BM∥CD，
∴CD⊥AD，
又∵CG⊥BM，
∴四边形CGMD是矩形，
∴CD＝GM，
在Rt△ACD中，CD＝1，AD＝4，AD＝＝＝，
∴AM＝MD＝，CG＝MD＝，
在Rt△BDM中，BM＝＝＝，
∴BG＝BM﹣GM＝BM﹣CD＝＝，
在Rt△BCG中，BC＝＝＝．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
26．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1：y＝x2上有两点A、B，其中点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c过点A、B．过A作AC∥x轴交抛物线C1另一点为点C．以AC、AC长为边向上构造矩形ACDE．
（1）求抛物线C2的解析式；
（2）将矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
①求n关于m的函数关系式，并直接写出自变量m的取值范围；
②直线A′E′交抛物线C1于点P，交抛物线C2于点Q．当点E′为线段PQ的中点时，求m的值；
③抛物线C2与边E′D′、A′C′分别相交于点M、N，点M、N在抛物线C2的对称轴同侧，当MN＝时，求点C′的坐标．

【分析】（1）根据题意得出点A（﹣2，4），B（1，1），利用待定系数法求解析式即可求解．
（2）①根据平移的性质得出C′（2﹣m，4﹣n），根据点C的对应点C′落在抛物线C1上，可得（2﹣m）2＝4﹣n，即可求解．
②根据题意得出P（﹣2﹣m，m2+4m+4），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），求得中点坐标，根据题意即可求解．
③作辅助线，利用勾股定理求得MG＝，设出N点，M点坐标，将M点代入y＝﹣x2﹣2x+4，求得N点坐标，进而根据点C的对应点C′落在抛物线C1上，即可求解．
【解答】（1）根据题意，点A的横坐标为﹣2，点B的横坐标为1，代入抛物线C1：y＝x2，
∴当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2＝4，则A（﹣2，4），
当x＝1时，y＝1，则B（1，1），
将点A（﹣2，4），B（1，1）代入抛物线C2：y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线C2的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4．
（2）①∵AC∥x轴交抛物线另一点为C，
当y＝4时，x＝±2，
∴C（2，4），
∵矩形ACDE向左平移m个单位，向下平移n个单位得到矩形A′C′D′E′，点C的对应点C′落在抛物线C1上．
∴C′（2﹣m，4﹣n），（2﹣m）2＝4﹣n，
整理得n＝﹣m2+4m，
∵m＞0，n＞0，
∴0＜m＜4，
∴n＝﹣m2+4m（0＜m＜4）；
②如图，

∵A（﹣2，4），C（2，4），
∴AC＝4，
∵，
∴E（﹣2，6），
由①可得A′（﹣2﹣m，m2﹣4m+4），E′（﹣2﹣m，m2﹣4m+6），
∴P，Q的横坐标为﹣2﹣m，分别代入C1，C2，
∴P（﹣2﹣m，m2+4m+4），Q（﹣2﹣m，﹣m2﹣2m+4），
∴，
∴PQ的中点坐标为（﹣2﹣m，m+4），
∵点E′为线段PQ的中点，
∴m2﹣4m+6＝m+4，
解得m＝或m＝（大于4，舍去）．
③如图，连接MN，过点N作NG⊥E′D′于点G，

则NG＝2，
∵，
∴，
设N（a，﹣a2﹣2a+4），则M（a﹣，﹣a2﹣2a+6），
将M点代入y＝﹣x2﹣2x+4，
得，
解得a＝，
当a＝，，
∴，
将y＝代入y＝x2，
解得，
∴或．
【点评】本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握二次函数的性质．
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