2023年湖南省娄底市中考数学试卷

这是一份2023年湖南省娄底市中考数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，综合题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省娄底市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在各个选项和应题号填涂在答题卡上相应题下的方框里）
1．（3分）2023的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．a2+3a＝4a2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
3．（3分）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（　　）
A．443×105 B．4.43×107 C．4.43×108 D．0.443×108
4．（3分）一个小组7名同学的身高（单位：cm）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（　　）
A．151 B．155 C．158 D．160
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
7．（3分）从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为PA、PB、PC（压强的计算公式为P＝），则PA：PB：PC＝（　　）
A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1
9．（3分）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（　　）
​

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；
其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
11．（3分）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，＝（n≥m，n、m为正整数）；例如：＝，＝，则+＝（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC＝，△ABC的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA．下列结论中正确的是（　　）
A．cosC＝ B．cosC＝﹣
C．cosC＝ D．cosC＝
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　 　．
14．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝　 　．
15．（3分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB＝，则DE＝　 　．

16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 　 　．
​

17．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝　 　．

18．（3分）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这（n+2）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这（n+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 　 　米（请用关于a的代数式表示），才能使得这（n+3）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣3x﹣4＝0．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图．
（1）参与本次测试的学生人数为 　 　，m＝　 　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
​
22．（8分）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．

五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格；
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
24．（9分）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO＝DG，连接GB，GC，OB，OC．
（1）求证：四边形BOCG为菱形．
（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O．
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
​
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长；
（3）求的值．

26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．​


2023年湖南省娄底市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在各个选项和应题号填涂在答题卡上相应题下的方框里）
1．（3分）2023的倒数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】乘积是1的两数互为倒数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的倒数是．
故选：D．
【点评】本题考查倒数，关键是掌握倒数的意义．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．a2•a4＝a8 B．a2+3a＝4a2
C．（a+2）（a﹣2）＝a2﹣2 D．（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3
【分析】根据平方差公式，同底数幂的乘法的法则，合并同类项的方法，幂的乘方的法则计算即可．
【解答】解：A、a2•a4＝a6，故不符合题意；
B、a2+3a不对同类项不能合并，故不符合题意；
C、（a+2）（a﹣2）＝a2﹣4，故不符合题意；
D、（﹣2a2b）3＝﹣8a6b3，故符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方差公式，同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方，熟练掌握各法则是解题的关键．
3．（3分）新时代我国教育事业取得了历史性成就，目前我国已建成世界上规模最大的教育体系，教育现代化发展总体水平跨入世界中上国家行列，其中高等教育在学总规模达到4430万人，处于高等教育普及化阶段．4430万用科学记数法表示为（　　）
A．443×105 B．4.43×107 C．4.43×108 D．0.443×108
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时，n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：4430万＝44300000＝4.43×107，
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．（3分）一个小组7名同学的身高（单位：cm）分别为：175，160，158，155，168，151，170．这组数据的中位数是（　　）
A．151 B．155 C．158 D．160
【分析】根据中位数的定义求解可得．
【解答】解：把这些数从小到大排列为：151、155、158、160、168、170、175，
排在中间的数为160，故中位数为160．
故选：D．
【点评】本题主要考查中位数，掌握中位数的计算方法是关键．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
解不等式①得：x＞﹣2，
解不等式②得：x≤1，
∴原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1，
∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：

故选：C．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
6．（3分）将直线y＝2x+1向右平移2个单位后所得图象对应的函数表达式为（　　）
A．y＝2x+5 B．y＝2x+3 C．y＝2x﹣2 D．y＝2x﹣3
【分析】根据函数图象平移的法则进行解答即可．
【解答】解：直线y＝2x向右平移2个单位后所得图象对应的函数解析式为y＝2（x﹣2）+1，
即y＝2x﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．
7．（3分）从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，此数是无理数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：从，3.1415926，3.，，，﹣，中随机抽取一个数，抽到的无理数的有，这2种可能，
∴抽到的无理数的概率是，
故选：A．
【点评】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法．
8．（3分）一个长方体物体的一顶点所在A、B、C三个面的面积比是3：2：1，如果分别按A、B、C面朝上将此物体放在水平地面上，地面所受的压力产生的压强分别为PA、PB、PC（压强的计算公式为P＝），则PA：PB：PC＝（　　）
A．2：3：6 B．6：3：2 C．1：2：3 D．3：2：1
【分析】根据A、B、C三个面的面积比是3：2：1，设出A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，再根据压强的计算公式为P＝表示PA＝，PB＝，PC＝，计算化简PA：PB：PC即可．
【解答】解：设A、B、C三个面的面积分别是3a，2a，a，则PA＝，PB＝，PC＝，
∴PA：PB：PC＝：：＝：：1＝：：＝2：3：6，
故选：A．
【点评】本题以物理上的压强为背景，考查了分数比的化简，通分是关键．
9．（3分）如图，正六边形ABCDEF的外接圆⊙O的半径为2，过圆心O的两条直线l1、l2的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为（　　）
​

A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣
【分析】连接AD，OC，由⊙O是正六边形的外接圆可求得∠COD＝60°，△COD是等边三角形，根据扇形面积公式可求S扇形COD，根据三角形面积公式可求S△COD，利用三角形全等将两块阴影部分拼接，转化为弓形，根据S阴影＝S扇形COD﹣S△COD即可求解．
【解答】解：如图，连接AD，OC，
∵⊙O是正六边形的外接圆，
∴AD必过点O，∠COD＝＝60°，
又∵OC＝OD，
∴△COD是等边三角形，OC＝OD＝CD＝2，
∵直线l1、l2的夹角为60°，
∴∠COD﹣∠KOD＝∠KOH﹣∠KOD，
即∠COK＝∠DOH，
又∵∠DOH＝∠AOG，
∴∠COK＝∠AOG，
∵∠OCK＝∠OAG＝60°，OC＝OA，
∴△OCK≌△OAG（ASA），S扇形COM＝S扇形AON，
∴S扇形COM﹣S△OCK＝S扇形AON﹣S△OAG，
∴S阴影＝S扇形COD﹣S△COD，
∵S扇形COD＝＝π，
S△COD＝＝，
∴S阴影＝π﹣．
故选：C．

【点评】本题主要考查了正多边形和圆，三角形面积和扇形面积计算，明确S阴影＝S扇形COD﹣S△COD是解决问题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列结论：
①abc＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③a﹣b＞m（am+b）（m为任意实数）；
④若点（﹣3，y1）和点（3，y2）在该图象上，则y1＞y2；
其中正确的结论是（　　）

A．①② B．①④ C．②③ D．②④
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵二次函数开口向下，且与y轴的交点在x轴上方，
∴a＜0，c＞0，
∵对称轴为x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，
故①错误；
∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，x＝0时，y＝c＞0，
∴当x＝﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴②正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为：x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最大值a﹣b+c，
∴当x＝m时，函数值不大于a﹣b+c，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c．
∴a﹣b≥m（am+b）（m为任意实数），
∴③错误；
点（﹣3，y1）到对称轴的距离为：﹣1﹣（﹣3）＝2，
（3，y2）到对称轴的距离为：3﹣（﹣1）＝4，
∵抛物线开口向下，
∴y1＞y2，
∴④正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的开口方向、对称轴、增减性是解题的关键，注意数形结合．
11．（3分）从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示，＝（n≥m，n、m为正整数）；例如：＝，＝，则+＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】对于和正用公式＝，通分后再逆用公式．
【解答】解：∵＝，
∴+＝+＝+＝2×＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了新定义组合数公式的正用和逆用以及通分技巧，关键是通分成一个分数．
12．（3分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为a、b、c的△ABC的面积为S△ABC＝，△ABC的边a、b、c所对的角分别是∠A、∠B、∠C，则S△ABC＝absinC＝acsinB＝bcsinA．下列结论中正确的是（　　）
A．cosC＝ B．cosC＝﹣
C．cosC＝ D．cosC＝
【分析】由S△ABC＝，S△ABC＝absinC，可得出＝absinC，即＝absinC，等式两边同时平方后可得出a2b2﹣（）2＝a2b2sin2C，移项、合并同类项后，可得出a2b2（1﹣sin2C）＝（）2，即a2b2（1﹣sin2C）＝（）2，两边再开方同时除以ab，即可得出结论．
【解答】解：∵S△ABC＝，S△ABC＝absinC，
∴＝absinC，即＝absinC，
∴a2b2﹣（）2＝a2b2sin2C，
∴a2b2﹣a2b2sin2C＝（）2，
∴a2b2（1﹣sin2C）＝（）2，
∴a2b2cos2C＝（）2，
∴abcosC＝，
∴cosC＝．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的化简以及三角形的面积，利用三角形的面积公式结合sin2C+cos2C＝1，找出cosC＝是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
13．（3分）函数y＝的自变量x的取值范围是 　x≥﹣1　．
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
故答案为：x≥﹣1．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
14．（3分）若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则m2+＝　6　．
【分析】把m代入x2﹣2x﹣1＝0得到m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，把m2﹣1＝2m代入变形后的式子计算即可．
【解答】解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，即m2﹣1＝2m，
∴m2+
＝（m﹣）2+2
＝（）2+2
＝22+2
＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了代数式求值，本题代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式m2﹣1＝2m的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．
15．（3分）如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的点F处，若BC＝10，sin∠AFB＝，则DE＝　5　．

【分析】由矩形的性质得∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE，则＝sin∠AFB＝，所以AB＝AF＝8，BF＝＝6，则CD＝AB＝8，CF＝BC﹣BF＝4，由勾股定理得42+（8﹣DE）2＝DE2，求得DE＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，BC＝10，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC＝10，
由折叠得AF＝AD＝10，FE＝DE，
∴＝sin∠AFB＝，
∴AB＝AF＝×10＝8，
∴BF＝＝＝6，CD＝AB＝8，
∴CF＝BC﹣BF＝10﹣6＝4，
∵CF2+CE2＝FE2，且FE＝DE，CE＝8﹣DE，
∴42+（8﹣DE）2＝DE2，
解得DE＝5，
故答案为：5．
【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明AF＝AD＝BC＝10并且求出AB的长是解题的关键．
16．（3分）如图，在△ABC中，AC＝3，AB＝4，BC边上的高AD＝2，将△ABC绕着BC所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 　14π　．
​

【分析】所得几何体为圆锥的组合图形，表面积为底面半径为2，母线长为3和4的两个圆锥的侧面积之和．
【解答】解：所得到的几何体的表面积为π×2×3+π×2×4＝14π．
故答案为：14π．
【点评】本题考查圆锥的计算；得到几何体的形状是解决本题的突破点；需掌握圆锥侧面积的计算公式．
17．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），与y轴相交于点C，点D在抛物线上，当CD∥x轴时，CD＝　4　．

【分析】先根据点A和点B的坐标求出该抛物线的对称轴，再根据二次函数具有对称性，即可得到点D的横坐标，从而可以求得CD的长．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（1，0）、点B（3，0），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝＝2，
∵抛物线与y轴相交于点C，点D在抛物线上，CD∥x轴，
∴点D的横坐标为：2×2﹣0＝4，
∴CD＝4﹣0＝4，
故答案为：4
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
18．（3分）若干个同学参加课后社团——舞蹈活动，一次排练中，先到的n个同学均匀排成一个以O点为圆心，r为半径的圆圈（每个同学对应圆周上一个点），又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移a米，再左右调整位置，使这（n+2）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离（即在圆周上两人之间的圆弧的长）相等．这（n+2）个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移 　　米（请用关于a的代数式表示），才能使得这（n+3）个同学之间的距离与原来n个同学之间的距离相等．

【分析】首先根据题意用代数式表示出n个同学时和（n+2）个同学时每个同学之间的距离，根据距离相等，计算出n，r，a之间的关系．再设向后移x米，表示出（n+3）个同学时每两个学生之间的距离，根据这个距离与n个同学时距离相等可以表示出x，最后把其中的n，r代换成a即可．
【解答】解：原来n个同学之间的距离为：，
（n+2）个同学之间的距离为：，
由题意可知：＝，整理得，2r＝na，即，
设又有一个同学要加入队伍时，每人须向后移x米，
这（n+3）个同学之间的距离为：，
由题意得：＝，整理的，x＝，
∵，
∴x＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查列代数式，以及代数式之间的运算问题．根据题意准确列出代数式并进行运算是解题的关键．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（π﹣2023）0+|1﹣|+﹣tan60°．
【分析】利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的运算法则，特殊锐角的三角函数值进行计算即可．
【解答】解：原式＝1+﹣1+2﹣＝2．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
20．（6分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x满足x2﹣3x﹣4＝0．
【分析】先化简题目中的式子，然后根据x2﹣3x﹣4＝0即可求得x2﹣3x＝4，直接代入可以解答本题．
【解答】解：（﹣）÷
＝[]÷
＝•（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣3x﹣2，
∵x2﹣3x﹣4＝0，
∴x2﹣3x＝4，
∴原式＝4﹣2＝2．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．（8分）某区教育局为了了解某年级学生对科学知识的掌握情况，在全区范围内随机抽取若干名个学生进行科学知识测试，按照测试成绩分优秀，良好、合格与不合格四个等级，并绘制了如图所示两幅不完整统计图．
（1）参与本次测试的学生人数为 　150　，m＝　30　；
（2）请补全条形统计图；
（3）若全区该年级共有5000名学生，请估计该年级对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数．
​
【分析】（1）从两个统计图可知，样本中学生测试成绩为“良好”的有60人，占调查人数的40%，由频率＝即可求出调查人数，进而求出成绩为“优秀”的学生所占的百分比，确定m的值；
（2）求出样本中成绩为“合格”的学生人数即可补全条形统计图；
（3）求出样本中学生测试成绩达到良好及以上等级的人数所占的百分比，估计总体中学生测试成绩达到良好及以上等级的人数所占的百分比，进而求出相应的学生人数即可．
【解答】解：（1）60÷40%＝150（人），
45÷150×100%＝30%，即m＝30，
故答案为：150，30；
（2）样本中成绩为“合格”的学生人数为150﹣45﹣60﹣5＝40（人），补全条形统计图如下：

（3）5000×＝3500（人），
答：全区该年级5000名学生中对科学知识掌握情况较好（测试成绩能达到良好及以上等级）的学生人数大约有3500人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提，掌握频率＝是解决问题的关键．
22．（8分）几位同学在老师的指导下到某景区进行户外实践活动，在登山途中发现该景区某两座山之间风景优美，但路陡难行，为了便于建议景区管理处在这两山顶间建观光索道，他们分别在两山顶上取A、B两点，并过点B架设一水平线型轨道CD（如图所示），使得∠ABC＝α，从点B出发按CD方向前进20米到达点E，即BE＝20米，测得∠AEB＝β，已知sinα＝，tanβ＝3，求A、B两点间的距离．

【分析】过点A作AF⊥CD于点F，根据sinα的值设AF＝24x米，AB＝25x米，根据勾股定理求出BF的长，再根据tanβ的值即可求出x的值，从而求出A、B两点间的距离．
【解答】解：过点A作AF⊥CD于点F，
∴∠AFB＝90°，
在Rt△ABF中，，
∴设AF＝24x米，AB＝25x米，
则由勾股定理得米，
在Rt△AFE中，，
∵BE＝20米，
∴，
解得x＝20，
∴AB＝25x＝500米．
答：A、B两点间的距离为500米．

【点评】本题考查了通过作辅助线构建直角三角形，熟练掌握锐角三角函数值的定义是解题的关键．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．（9分）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元．
（1）求每棵甲、乙树苗的价格；
（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？
【分析】（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，根据“购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗1棵，乙种树苗3棵共需11元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵，根据要获得不低于5万元的价值，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为y元/棵，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵；
（2）设种植乙种树苗m棵，则种植甲种树苗（200﹣m）棵，
根据题意得：2×100（200﹣m）+3×100m≥50000，
解得：m≥100，
∴m的最小值为100．
答：乙种树苗种植数量不得少于100棵．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24．（9分）如图1，点G为等边△ABC的重心，点D为BC边的中点，连接GD并延长至点O，使得DO＝DG，连接GB，GC，OB，OC．
（1）求证：四边形BOCG为菱形．
（2）如图2，以O点为圆心，OG为半径作⊙O．
①判断直线AB与⊙O的位置关系，并予以证明．
②点M为劣弧BC上一动点（与点B、点C不重合），连接BM并延长交AC于点E，连接CM并延长交AB于点F，求证：AE+AF为定值．
​
【分析】（1）由等边三角形的性质得出GO⊥BC，且BD＝DC即可得证；
（2）①直线AB与⊙O的位置关系是相切，先由等边三角形的性质得出∠ABG＝∠GBO＝30°，再结合菱形的性质即可得证；
②先求出∠BMC，再说明△BEC≌△FCA（ASA），从而得出AF＝CE，结合AE+CE＝AC可得AE+AF＝AE+CE＝AC，即AE+AF为定值．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，G是重心，点D为BC边的中点，
∴连接点A、G、D，其所在直线是BC的垂直平分线，
∴GO⊥BC，且BD＝DC，
∵DO＝DG，
∴GO与BC互相垂直且平分，
∴四边形BOCG是菱形；
（2）①解：直线AB与⊙O的位置关系是相切，
证明：∵等边△ABC中，∠ABC＝60°，BG为∠ABC的角平分线，
∴∠ABG＝∠GBO＝30°，
∵四边形BOCG是菱形，
∴∠CBO＝∠GBC＝30°，
∵∠ABO＝∠ABG+∠GBC+∠CBO＝90°，
∴AB⊥OB，即AB与⊙O相切；
②证明：∵∠BGC与∠BMG对应的弦为BC，
∴∠BMC＝∠BGC＝180°﹣60°＝120°，
∴∠MBC＝180°﹣120°﹣∠MCB＝60°﹣∠MCB，
∵∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝60°﹣∠MCB，
∴∠ACF＝∠MBC，
∵∠BCE＝∠A＝60°，BC＝AC，
∴△BEC≌△FCA（ASA），
∴AF＝CE，
∵AE+CE＝AC，
∴AE+AF＝AE+CE＝AC，
即AE+AF为定值．
【点评】本题考查切线的判定和性质，与圆有关的性质概念，菱形的判定和性质，等边三角形的性质等，熟练掌握以上性质是解题关键．
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．（10分）鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，延长正五边形的各边直到不相邻的边相交，得到一个标准五角星，如图，正五边形ABCDE的边BA、DE的延长线相交于点F，∠EAF的平分线交EF于点M．
（1）求证：AE2＝EF•EM；
（2）若AF＝1，求AE的长；
（3）求的值．

【分析】（1）根据正五边形的性质可得∠BAE＝∠AED＝108°，从而利用平角定义可得∠FAE＝∠AEF＝72°，进而利用三角形内角和定理可得∠F＝36°，然后利用角平分线的定义可得∠FAM＝∠MAE＝36°，从而可得∠F＝∠MAE，进而可证△AEM∽△FEA，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）设AE＝x，利用（1）的结论可得：∠F＝∠FAM＝36°，从而可得FM＝AM，在利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，从而可得FA＝FE＝1，然后利用三角形的外角性质可得∠AME＝∠AEF＝72°，从而可得AM＝AE，进而可得AM＝AE＝AF＝x，再利用线段的和差关系可得ME＝1﹣x，
最后利用（1）的结论可得：AE2＝EF•EM，从而可得x2＝1•（1﹣x），进行计算即可解答；
（3）连接BE，CE，根据正五边形的性质可得AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，从而可得△ABE≌△DCE，再利用等腰三角形的性质可得∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，从而可得∠EBC＝∠ECB＝72°，然后利用（1）的结论可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，从而可证利用ASA可证△FAE≌△EBC，再利用（2）的结论可得：＝，从而可得＝，进而可得＝，最后设△ABE的面积为（﹣1）k，则△AEF的面积为2k，从而可得△ABE的面积＝△DEC的面积＝（﹣1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，进而可求出五边形ABCDE的面积＝2k，再进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝∠AED＝108°，
∴∠FAE＝180°﹣∠BAE＝72°，∠AEF＝180°﹣∠AED＝72°，
∴∠F＝180°﹣∠FAE﹣∠AEF＝36°，
∵AM平分∠FAE，
∴∠FAM＝∠MAE＝∠FAE＝36°，
∴∠F＝∠MAE，
∵∠AEM＝∠AEF，
∴△AEM∽△FEA，
∴＝，
∴AE2＝EF•EM；
（2）解：设AE＝x，
由（1）可得：∠F＝∠FAM＝36°，
∴FM＝AM，
由（1）可得：∠FAE＝∠AEF＝72°，
∴FA＝FE＝1，
∵∠AME＝∠F+∠FAM＝72°，
∴∠AME＝∠AEF＝72°，
∴AM＝AE，
∴AM＝AE＝AF＝x，
∴ME＝EF﹣FM＝1﹣x，
由（1）可得：AE2＝EF•EM，
∴x2＝1•（1﹣x），
解得：x＝或x＝（舍去），
∴AE＝，
∴AE的长为；
（3）连接BE，CE，

∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝AE＝DE＝CD＝BC，∠BAE＝∠AED＝∠EDC＝∠ABC＝∠BCD＝108°，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∵AB＝AE，ED＝DC，∠BAE＝∠CDE＝108°，
∴∠ABE＝∠AEB＝36°，∠DEC＝∠DCE＝36°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝72°，∠ECB＝∠BCD﹣∠DCE＝72°，
由（1）可得：∠FAE＝∠FEA＝72°，
∴∠FAE＝∠EBC，∠FEA＝∠ECB，
∴△FAE≌△EBC（ASA），
由（2）得：＝，
∴＝，
∴＝，
∴设△ABE的面积为（﹣1）k，则△AEF的面积为2k，
∴△ABE的面积＝△DEC的面积＝（﹣1）k，△AEF的面积＝△BCE的面积＝2k，
∴五边形ABCDE的面积＝△ABE的面积+△DCE的面积+△BCE的面积＝2k，
∴＝＝，
∴的值为．
【点评】本题考查了相似三角形的应用，角平分线的性质，正多边形和圆，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．
（1）求b，c的值．
（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．
①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；
②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．​

【分析】（1）由抛物线过点A，B，可直接得出抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5），展开即可得出结论；
（2）过点P作PD⊥x轴，交线段BC于点D，则S△PBC＝OB•PD，根据二次函数的性质可得结论；
（2）由题意可知PF⊥PE，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，分别表达PE及PF，可求出x0的值，进而求出点P的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），
∴抛物线的表达式为：y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣4x﹣5，
∴b＝﹣4，c＝﹣5；
（2）由（1）得，抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5，
令x＝0，则y＝﹣5；
∴C（0，﹣5）
∴直线BC的表达式为：y＝x﹣5，P（x0，﹣4x0﹣5），
①过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，

则D（x0，x0﹣5），
∴S△PBC＝OB•PD＝×5×（x0﹣5﹣+4x0+5）
＝﹣+x0
＝﹣（x0﹣2.5）2+，
∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为；
②存在，理由如下：
由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，

由①可得，PE＝x0﹣5﹣x02+4x0+5＝﹣+5x0，
∵PF∥x轴，
∴F（4﹣x0，﹣4x0﹣5），
∴PF＝|2x0﹣4|，
∴|2x0﹣4|＝﹣+5x0，
解得x0＝﹣1（舍）或x0＝4或x0＝﹣或x0＝+（舍），
∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为（4，﹣5），（﹣，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形的性质、图形的面积计算等，本题难度不大．
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