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湖南省娄底市2022年中考数学试卷解析版
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这是一份湖南省娄底市2022年中考数学试卷解析版，共9页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省娄底市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．2022的倒数是（ ）
A．2022 B．-2022 C．12022 D．−12022
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2022的倒数是12022.
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可得出答案.
2．下列式子正确的是（ ）
A．a3⋅a2=a5 B．(a2)3=a5 C．(ab)2=ab2 D．a3+a2=a5
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：a3⋅a2=a5，故A选项符合题意；
(a2)3=a6，故B不符合题意；
(ab)2=a2b2，故C不符合题意；
a3，a2不是同类项，不能合并，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方，先将每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此可判断D.
3．一个小组10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月份
2
6
8
6
10
4
7
8
8
7
这组数据（月份）的众数是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为8月份出现了3次，次数最多，所以众数是8.
故答案为：B.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
4．下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
5．截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿.5000亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：5000亿=500000000000，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为5×1011.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
6．一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1=80°，则∠2=（ ）
A．20° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：AB∥CD，∠1=80°，
∴∠BCD=∠1=80°，
∴∠2=180°−80°=100°，
故答案为：C.
【分析】由题意可得AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠BCD=∠1=80°，然后根据邻补角的性质进行计算.
7．不等式组3−x≥12x＞−2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 不等式组3−x≥1①2x＞−2②中，
解①得，x≤2，
解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤2，
数轴表示如下：
故答案为：C.
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，进行判断.
8．将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位，可得函数解析式为：y=2x+3，
直线y=2x+1向左平移2个单位，可得y=2(x+2)+1=2x+5， 故A不符合题意；
直线y=2x+1向左平移1个单位，可得y=2(x+1)+1=2x+3， 故B符合题意；
直线y=2x+1向右平移2个单位，可得y=2(x−2)+1=2x−3， 故C不符合题意；
直线y=2x+1向右平移1个单位，可得y=2(x−1)+1=2x−1， 故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一次函数y=kx+b向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x+m)+b；一次函数y=kx+b向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x-m)+b；一次函数y=kx+b向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b+m；一次函数y=kx+b向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b-m，据此一一判断得出答案.
9．在古代，人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【知识点】进位制及应用（奥数类）
【解析】【解答】解：绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73=5+21+49×3+73=516
故答案为：B.
【分析】由题意可得绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73，计算即可.
10．如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．3π18 B．318 C．3π9 D．39
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=12∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=3a，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=33a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比为π(33a)2×1212×2a×3a=3π18.
故答案为：A.
【分析】令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根据三角函数的概念可得OD，然后结合圆的面积公式进行计算.
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P(m，1)、Q(1，m)（m>0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的是（ ）
①点P、Q在反比例函数y=mx的图象上；②△AOB成等腰直角三角形；③0°<∠POQ<90°；④∠POQ的值随m的增大而增大.
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点P(m，1)、Q(1，m)的横纵坐标的积为m，
∴ 点P、Q在反比例函数y=mx的图象上；故①符合题意；
设过点P(m，1)、Q(1，m)的直线为：y=kx+b，
∴mk+b=1k+b=m， 解得：k=−1b=m+1，
∴ 直线PQ为：y=−x+m+1，
当x=0时，y=m+1， 当y=0时，x=m+1，
所以：OA=OB=m+1，
∵∠AOB=90°，
所以△AOB是等腰直角三角形，故②符合题意；
∵ 点P(m，1)、Q(1，m)（m>0且m≠1），
∴ 点P(m，1)、Q(1，m)在第一象限，且P，Q不重合，
∴0°<∠POQ<90°， 故③符合题意；
∵P(m，1)，Q(1，m)，，而PQ在直线y=−x+m+1上，
如图，
显然∠POQ是随m的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得点P、Q在反比例函数y=mx的图象上，据此判断①；表示出直线PQ的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x，可得OA=OB=m+1，据此判断②；由题意可得点P、Q在第一象限，且P，Q不重合，据此判断③；画出直线PQ的图象，结合图象可判断④.
12．若10x=N，则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1.对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵lgM+lgN=lg(MN)，
∴(lg5)2+lg5×lg2+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5·lg10+lg2
=lg5+lg2
=lg10
=1.
故答案为：C.
【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.
二、填空题
13．函数y=1x−1的自变量x的取值范围是 .
【答案】x＞1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由1x−1有意义可得：
x−1≥0x−1≠0， 即x−1>0，
解得：x＞1
故答案为：x＞1.
【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数可得x-1>0，求解即可.
14．已知实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则x1x2= .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，
∴x1x2=−11=−1，
故答案为：-1.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2=ca，据此解答.
15．黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 .
【答案】715
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知：编号为1~15号台球中偶数球的个数为7个，
∴摸出的球编号为偶数的概率=715.
故答案为：715.
【分析】根据概率的计算公式，利用编号为1~15号台球中偶数球的个数除以球的总个数即可.
16．九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.（精确到0.001）
【答案】0.618
【知识点】矩形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，
则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx−y≈0.382xx−0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE.
故答案为：0.618.
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝x-y，易得四边形EFGM是矩形，EG＝MF＝y，根据DE≈0.618AD可得y≈0.382x，然后根据EGDE=yx-y进行解答.
17．菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
【答案】2
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
18．如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′.给出下列结论：①△ACD≅△ABD′；②△ACB∼△ADD′；③当BD=CD时，△ADD′的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的序号）.
【答案】①②③
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度得到AD'
∴∠DAD′=θ，AD=AD′
∴∠CAB=∠DAD′
即∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAD′
∴∠CAD=∠BAD′
∵∠CAD=∠BAD′AC=ABAD=AD′
得：△ADC≌△AD′B（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴△ACB∼△ADD′
故②对
∴S△AD′DS△ABC=(ADAC)2
即AD最小时S△AD′D最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=θ，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
三、解答题
19．计算：(2022−π)0+(12)−1+|1−3|−2sin60°.
【答案】解：(2022-π)0+(−12)-1+|1−3|−2sin60°
=1−2−(1−3)−2×32
=1−2−1+3−3
=−2.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
20．先化简，再求值：(x+2+4x−2)÷x3x2−4x+4，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数.
【答案】解：原式＝(x+2)(x−2)+4x−2×(x−2)2x3
=x2−4+4x−2⋅(x−2)2x3
=x−2x；
∵x≤2的非负整数，x≠0，2
∴当x=1时，原式＝1−21=−1
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的加法，对括号外分式的分母利用完全平方公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来在x≤2范围内选择一个使分式有意义的非负整数x的值代入计算即可.
21．按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h~10h，C：6h~8h，D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共 名；
（2）a= ，b= ；
（3）补全条形统计图.
【答案】（1）200
（2）30；50
（3）解：∵ C组有200−60−100−10=30（人），
所以补全图形如下：
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）10÷5%=200（人），
所以本次调查的学生共200人.
故答案为：200；
（2）60200×100%=30%，100200×100%=50%，
所以a=30，b=50，
故答案为：30，50；
【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用A的人数除以总人数，然后乘以100%可得a的值，利用B的人数除以总人数，然后乘以100%可得b的值；
（3）根据各组人数之和等于总人数可得C组的人数，据此可补全条形统计图.
22．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC=120°，求BC的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k⋅Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x−x0.
【答案】解：由题意可得：当F=100时，△x=4−3=1，
∴k=100， 即F=100·△x，
当F=300时，则△x=3，
∴PC=3+3=6，
如图，记直角顶点为M，
∵∠PBC=120°，∠PMB=90°，
∴∠BPM=30°， 而PB=4，
∴BM=2，PM=42−22=23，
∴MC=62−(23)2=24=26，
∴BC=MC−BM=26−2.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】由题意可得：当F=100时，△x=1；当F=300时，△x=3，据此可得PC的值，记直角顶点为M，易得∠BPM=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，利用勾股定理可得PM、MC，然后根据BC=MC-BM进行计算.
23．“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
【答案】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x−4)mg，则
∴x+2x−4=62，
解得：x=22，
∴2x−4=40，
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg，40mg.
（2）解：50000×40=2000000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x-4)mg，根据一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg可得关于x的方程，求解即可；
（2）利用银杏树的总片数×一片银杏树叶一年的平均滞尘量进行解答即可.
24．如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G=θ.
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值.
（2）当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图所示：连接BF、CE，
∵菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），
∴点G、B、E共线，
∴FC∥BG，FC=BC=BE ，
∴FC∥BE，FC=BE ，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴EF与BC相互平分，
即：无论θ为何值，EF与BC相互平分；
又∵EF⊥BC，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形BCDE和菱形BCFG，
∴GF=BG=BF=BE ，
∴△GFB 为等边三角形，
∴∠G=θ=60°；
（2）解：如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，
∵EF垂直平分AC
∴AF=FC，AO=CO，∠AHO=90° ，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，
∴∠BAC=90°，AO=BO=CO ，
∴∠OBA=∠OAB ，
∵∠OAB+∠OAC=∠AOH+∠OAC=90° ，
∴∠AOH=∠OAB=∠OBA ，
在△AOF和△COF 中，
AF=CFAO=COFO=FO ，
∴△AOF≌△COF ，
∴∠FAO=∠FCO ，
∵θ=90°，菱形BCFG，
∴四边形BCFG为正方形，
∴∠FCO=90°，FC=BC ，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
设FC=BC=x，则AF=CF=x ，AO=OC=12BC=12x ，
在Rt△FAO 中，
tan∠FOA=AFAO=x12x=2，
∵∠AOH=∠OBA，
∴tan∠ABC=tan∠FOA=2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BF、CE，根据菱形的性质可得FC∥BG，FC=BC=BE，推出四边形BFCE是平行四边形，得到EF与BC相互平分，结合EF⊥BC可得四边形BFCE是菱形，则BE=BF，进而推出△GFB为等边三角形，据此解答；
（2）连接AF、AO，设EF与AC交于点H，根据垂直平分线的性质可得AF=FG，AO=CO，∠AHO=90°，由（1）知：O为BC的中点，则动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠OAB，推出∠AOH=∠OAB=∠OBA，证明△AOF≌△COF，得到∠FAO=∠FCO，易得四边形BCFG为正方形，则∠FCO=90°，FC=BC，设FC=BC=x，则AF=CF=x，AO=OC=12x，根据∠AOH=∠OBA结合三角函数的概念进行计算.
25．如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E.
（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
（2）若BC=3，CD=32，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα，cosα的关系，并用α=30°给予验证.
【答案】（1）解：AC与⊙O的位置关系为相切，理由如下，
连接OD，如图所示
∵BD为∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD
又∵⊙O过点B、D，设⊙O半径为r
∴OB=OD=r
∴∠ODB=∠OBD=∠CBD
∴OD//BC（内错角相等，两直线平行）
∵OD⊥AC
∴AC与⊙O的位置关系为相切.
（2）解：①∵BC=3，CD=32
∴BD=BC2+CD2=352
∴sin∠DBC=CDBD=55
过点D作DF⊥AB交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，OF=CD=32
∴OD2=OF2+DF2即r2=(3−r)2+(32)2
∴r=158
∵OD//BC
∴∠ABC=∠FOD
∴sin∠ABC=sin∠FOD=DFOD=45
∴sin∠DBC=55，sin∠ABC=45；
②cos∠DBC=CBBD=255
∴sin∠DBC×cos∠DBC=55×255=25
∴sin∠ABC=2sin∠DBC×cos∠DBC
猜测sin2α=2sinαcosα
当α=30°时2α=60°
∴sin2α=sin60°=32
sinα=sin30°=12
cosα=cos30°=32
∴sin2α=2sinαcosα=2×12×32=32=sin2α
∴sin2α=2sinαcosα.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线概念得∠ABD=∠CBD，设OB=OD=r，结合等腰三角形性质得∠ODB=∠OBD=∠CBD，推出OD∥BC，结合BC⊥AD可得OD⊥AC，据此证明；
（2）①利用勾股定理可得BD，根据三角函数的概念可得sin∠DBC的值，过点D作DF⊥AB交于一点F，根据角平分线的性质可得CD=DF，则BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=32，利用勾股定理可得r，根据平行线的性质可得∠ABC=∠FOD，然后结合三角函数的概念进行解答；②根据三角函数的概念求出cos∠DBC、sin∠DBC、cos∠DBC的值，猜想sin2α=2sinαcosα，令α=30°，求出sin2α、sinα、cosα的值，据此证明.
26．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P(m，n)(0
【答案】（1）解：A(−2，0)，B(6，0)，C(0，−6)；
（2）解：过P作PQ∥y轴交BC于Q，如下图.
设直线BC为y=kx+b(k≠0)，将B(6，0)、C(0，−6)代入得
0=6k+bb=−6，
解得k=1b=−6，
∴直线BC为y=x−6，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，△PBC的面积最大，
∵P(m，n)(0
∴PQ=(m−6)−(12m2−2m−6)=−12(m−3)2+92，
∵−12<0，
∴m=3时，PQ最大为92，
而S△PBC=12PQ⋅|xC−xB|=12×92×6=272，
∴△PBC的面积最大为272；
（3）解：存在.
∵点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，如下图.
∴AE∥CF，设F(a，12a2−2a−6).
当点F在x轴下方时，
∵C(0，−6)，
即OC=6，
∴12a2−2a−6=−6，
解得a1=0（舍去），a2=4，
∴F(4，−6).
当点F在x轴的上方时，令y=6，
则12a2−2a−6=6 ，
解得a3=2+27，a4=2−27，
∴F(2+27，6)或(2−27，6).
综上所述，满足条件的点F的坐标为(2+27，6)或(4，−6)或(2−27，6).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）令y=0，
则12x2−2x−6=0，
解得x1=−2，x2=6，
∴A(−2，0)，B(6，0)，
令x=0，则y=−6，
∴C(0，−6)；
【分析】（1）令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，求出直线BC的解析式，易得当平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时△PBC的面积最大，设P（m，12m2-2m-6），则Q（m，m-6），表示出PQ，根据二次函数的性质可得PQ的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算；
（3）作FE∥AC交x轴于点E，设F（a，12a2-2a-6），当点F在x轴下方时，易得OC=6，则点F的纵坐标为-6，代入求解可得a的值，据此可得点F的坐标；当点F在x轴的上方时，同理可得点F的坐标.
湖南省娄底市2022年中考数学试卷
一、单选题
1．2022的倒数是（ ）
A．2022 B．-2022 C．12022 D．−12022
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：2022的倒数是12022.
故答案为：C.
【分析】根据倒数的定义：乘积为1的两个数互为倒数，即可得出答案.
2．下列式子正确的是（ ）
A．a3⋅a2=a5 B．(a2)3=a5 C．(ab)2=ab2 D．a3+a2=a5
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方；幂的乘方
【解析】【解答】解：a3⋅a2=a5，故A选项符合题意；
(a2)3=a6，故B不符合题意；
(ab)2=a2b2，故C不符合题意；
a3，a2不是同类项，不能合并，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断A；幂的乘方，底数不变，指数相乘，据此判断B；积的乘方，先将每一个因式进行乘方，然后将所得的幂相乘，据此判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序及系数没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，据此可判断D.
3．一个小组10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
月份
2
6
8
6
10
4
7
8
8
7
这组数据（月份）的众数是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．6
【答案】B
【知识点】众数
【解析】【解答】解：因为8月份出现了3次，次数最多，所以众数是8.
故答案为：B.
【分析】找出出现次数最多的数据即为众数.
4．下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意.
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此一一判断得出答案.
5．截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿.5000亿用科学记数法表示为（ ）
A．50×1010 B．5×1011 C．0.5×1012 D．5×1012
【答案】B
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：5000亿=500000000000，根据科学记数法要求500000000000的5后面有11个0，从而用科学记数法表示为5×1011.
故答案为：B.
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较大的数，一般表示为a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此即可得出答案.
6．一条古称在称物时的状态如图所示，已知∠1=80°，则∠2=（ ）
A．20° B．80° C．100° D．120°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，由题意可得：AB∥CD，∠1=80°，
∴∠BCD=∠1=80°，
∴∠2=180°−80°=100°，
故答案为：C.
【分析】由题意可得AB∥CD，根据二直线平行，内错角相等得∠BCD=∠1=80°，然后根据邻补角的性质进行计算.
7．不等式组3−x≥12x＞−2的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：∵ 不等式组3−x≥1①2x＞−2②中，
解①得，x≤2，
解②得，x＞-1，
∴不等式组的解集为-1＜x≤2，
数轴表示如下：
故答案为：C.
【分析】分别求出两个不等式的解集，根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，取其公共部分可得不等式组的解集，然后根据解集的在数轴上的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，进行判断.
8．将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【答案】B
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位，可得函数解析式为：y=2x+3，
直线y=2x+1向左平移2个单位，可得y=2(x+2)+1=2x+5， 故A不符合题意；
直线y=2x+1向左平移1个单位，可得y=2(x+1)+1=2x+3， 故B符合题意；
直线y=2x+1向右平移2个单位，可得y=2(x−2)+1=2x−3， 故C不符合题意；
直线y=2x+1向右平移1个单位，可得y=2(x−1)+1=2x−1， 故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】一次函数y=kx+b向左平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x+m)+b；一次函数y=kx+b向右平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=k(x-m)+b；一次函数y=kx+b向上平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b+m；一次函数y=kx+b向下平移m（m>0）个单位长度，得到的新一次函数的解析式为y=kx+b-m，据此一一判断得出答案.
9．在古代，人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”.当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）
A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天
【答案】B
【知识点】进位制及应用（奥数类）
【解析】【解答】解：绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73=5+21+49×3+73=516
故答案为：B.
【分析】由题意可得绳结表示的数为5×70+3×7+3×72+1×73，计算即可.
10．如图，等边△ABC内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边△ABC的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比是（ ）
A．3π18 B．318 C．3π9 D．39
【答案】A
【知识点】等边三角形的性质；勾股定理；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，
由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，
令BC=2a，则BD=a，
在等边三角形ABC中
AD⊥BC，OB平分∠ABC，
∴∠OBD=12∠ABC=30°，
由勾股定理，得AD=3a，
在Rt△BOD中，OD=tan30°×BD=33a，
∴圆中的黑色部分的面积与△ABC的面积之比为π(33a)2×1212×2a×3a=3π18.
故答案为：A.
【分析】令内切圆与BC交于点D，内切圆的圆心为O，连接AD，OB，由题可知：圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC=2a，则BD=a，根据等边三角形的性质可得AD⊥BC，∠OBD=30°，利用勾股定理可得AD，根据三角函数的概念可得OD，然后结合圆的面积公式进行计算.
11．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点P(m，1)、Q(1，m)（m>0且m≠1），过点P、Q的直线与两坐标轴相交于A、B两点，连接OP、OQ，则下列结论中成立的是（ ）
①点P、Q在反比例函数y=mx的图象上；②△AOB成等腰直角三角形；③0°<∠POQ<90°；④∠POQ的值随m的增大而增大.
A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点P(m，1)、Q(1，m)的横纵坐标的积为m，
∴ 点P、Q在反比例函数y=mx的图象上；故①符合题意；
设过点P(m，1)、Q(1，m)的直线为：y=kx+b，
∴mk+b=1k+b=m， 解得：k=−1b=m+1，
∴ 直线PQ为：y=−x+m+1，
当x=0时，y=m+1， 当y=0时，x=m+1，
所以：OA=OB=m+1，
∵∠AOB=90°，
所以△AOB是等腰直角三角形，故②符合题意；
∵ 点P(m，1)、Q(1，m)（m>0且m≠1），
∴ 点P(m，1)、Q(1，m)在第一象限，且P，Q不重合，
∴0°<∠POQ<90°， 故③符合题意；
∵P(m，1)，Q(1，m)，，而PQ在直线y=−x+m+1上，
如图，
显然∠POQ是随m的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意；
故答案为：D.
【分析】由题意可得点P、Q在反比例函数y=mx的图象上，据此判断①；表示出直线PQ的解析式，分别令x=0、y=0，求出y、x，可得OA=OB=m+1，据此判断②；由题意可得点P、Q在第一象限，且P，Q不重合，据此判断③；画出直线PQ的图象，结合图象可判断④.
12．若10x=N，则称x是以10为底N的对数.记作：x=lgN.例如：102=100，则2=lg100；100=1，则0=lg1.对数运算满足：当M>0，N>0时，lgM+lgN=lg(MN)，例如：lg3+lg5=lg15，则(lg5)2+lg5×lg2+lg2的值为（ ）
A．5 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：∵lgM+lgN=lg(MN)，
∴(lg5)2+lg5×lg2+lg2
=lg5(lg5+lg2)+lg2
=lg5·lg10+lg2
=lg5+lg2
=lg10
=1.
故答案为：C.
【分析】原式可边形为lg5(lg5+lg2)+lg2，然后结合lgM+LGN=lg(MN)进行计算.
二、填空题
13．函数y=1x−1的自变量x的取值范围是 .
【答案】x＞1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由1x−1有意义可得：
x−1≥0x−1≠0， 即x−1>0，
解得：x＞1
故答案为：x＞1.
【分析】根据分式的分母不能为0及二次根式的被开方数不能为负数可得x-1>0，求解即可.
14．已知实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，则x1x2= .
【答案】-1
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 实数x1，x2是方程x2+x−1=0的两根，
∴x1x2=−11=−1，
故答案为：-1.
【分析】根据根与系数的关系可得x1x2=ca，据此解答.
15．黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是 .
【答案】715
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知：编号为1~15号台球中偶数球的个数为7个，
∴摸出的球编号为偶数的概率=715.
故答案为：715.
【分析】根据概率的计算公式，利用编号为1~15号台球中偶数球的个数除以球的总个数即可.
16．九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E是AD的黄金分割点，即DE≈0.618AD.延长HF与AD相交于点G，则EG≈ DE.（精确到0.001）
【答案】0.618
【知识点】矩形的判定与性质；黄金分割
【解析】【解答】解：如图，设每个矩形的长为x，宽为y，
则DE＝AD－AE＝x－y，
由题意易得∠GEM＝∠EMF＝∠MFG＝90°，
∴四边形EFGM是矩形，
∴EG＝MF＝y，
∵DE≈0.618AD，
∴x－y≈0.618x，
解得y≈0.382x，
∴EGDE=yx−y≈0.382xx−0.382x≈0.618，
∴EG≈0.618DE.
故答案为：0.618.
【分析】设每个矩形的长为x，宽为y，则DE＝x-y，易得四边形EFGM是矩形，EG＝MF＝y，根据DE≈0.618AD可得y≈0.382x，然后根据EGDE=yx-y进行解答.
17．菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为 .
【答案】2
【知识点】菱形的性质；轴对称的应用-最短距离问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，
∵菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，
∴Rt△BEC中，EC=22BC=2
∴PQ+QC的最小值为2.
故答案为：2.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，根据菱形的性质以及三角函数的概念可得EC，据此解答.
18．如图，已知等腰△ABC的顶角∠BAC的大小为θ，点D为边BC上的动点（与B、C不重合），将AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度时点D落在D′处，连接BD′.给出下列结论：①△ACD≅△ABD′；②△ACB∼△ADD′；③当BD=CD时，△ADD′的面积取得最小值.其中正确的结论有 （填结论对应的序号）.
【答案】①②③
【知识点】垂线段最短；等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：∵AD绕点A沿顺时针方向旋转θ角度得到AD'
∴∠DAD′=θ，AD=AD′
∴∠CAB=∠DAD′
即∠CAD+∠DAB=∠DAB+∠BAD′
∴∠CAD=∠BAD′
∵∠CAD=∠BAD′AC=ABAD=AD′
得：△ADC≌△AD′B（SAS）
故①对
∵△ABC和△ADD'是顶角相等的等腰三角形
∴△ACB∼△ADD′
故②对
∴S△AD′DS△ABC=(ADAC)2
即AD最小时S△AD′D最小
当AD⊥BC时，AD最小
由等腰三角形三线合一，此时D点是BC中点
故③对
故答案为：①②③.
【分析】根据旋转的性质可得∠DAD′=θ，AD=AD′，由角的和差关系可得∠CAD=∠BAD′，然后根据全等三角形的判定定理可判断①；根据△ABC和△ADD′是顶角相等的等腰三角形结合相似三角形的判定定理可判断②；根据相似三角形的性质结合垂线段最短的性质可判断③.
三、解答题
19．计算：(2022−π)0+(12)−1+|1−3|−2sin60°.
【答案】解：(2022-π)0+(−12)-1+|1−3|−2sin60°
=1−2−(1−3)−2×32
=1−2−1+3−3
=−2.
【知识点】实数的运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据0次幂、负整数指数幂的运算性质、绝对值的性质以及特殊角的三角函数值分别化简，然后计算乘法，再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可.
20．先化简，再求值：(x+2+4x−2)÷x3x2−4x+4，其中x是满足条件x≤2的合适的非负整数.
【答案】解：原式＝(x+2)(x−2)+4x−2×(x−2)2x3
=x2−4+4x−2⋅(x−2)2x3
=x−2x；
∵x≤2的非负整数，x≠0，2
∴当x=1时，原式＝1−21=−1
【知识点】利用分式运算化简求值
【解析】【分析】通分计算括号内异分母分式的加法，对括号外分式的分母利用完全平方公式进行分解，然后将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，接下来在x≤2范围内选择一个使分式有意义的非负整数x的值代入计算即可.
21．按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩.某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A：10h以上，B：8h~10h，C：6h~8h，D：6h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）本次调查的学生共 名；
（2）a= ，b= ；
（3）补全条形统计图.
【答案】（1）200
（2）30；50
（3）解：∵ C组有200−60−100−10=30（人），
所以补全图形如下：
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】解：（1）10÷5%=200（人），
所以本次调查的学生共200人.
故答案为：200；
（2）60200×100%=30%，100200×100%=50%，
所以a=30，b=50，
故答案为：30，50；
【分析】（1）利用D的人数除以所占的比例可得总人数；
（2）利用A的人数除以总人数，然后乘以100%可得a的值，利用B的人数除以总人数，然后乘以100%可得b的值；
（3）根据各组人数之和等于总人数可得C组的人数，据此可补全条形统计图.
22．“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”.墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉.如图，握力器弹簧的一端固定在点P处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm，即PQ=3cm.开始训练时，将弹簧的端点Q调在点B处，此时弹簧长PB=4cm，弹力大小是100N，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q调到点C处，使弹力大小变为300N，已知∠PBC=120°，求BC的长.
注：弹簧的弹力与形变成正比，即F=k⋅Δx，k是劲度系数，Δx是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为x0，在外力作用下，弹簧的长度为x，则Δx=x−x0.
【答案】解：由题意可得：当F=100时，△x=4−3=1，
∴k=100， 即F=100·△x，
当F=300时，则△x=3，
∴PC=3+3=6，
如图，记直角顶点为M，
∵∠PBC=120°，∠PMB=90°，
∴∠BPM=30°， 而PB=4，
∴BM=2，PM=42−22=23，
∴MC=62−(23)2=24=26，
∴BC=MC−BM=26−2.
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】由题意可得：当F=100时，△x=1；当F=300时，△x=3，据此可得PC的值，记直角顶点为M，易得∠BPM=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BM，利用勾股定理可得PM、MC，然后根据BC=MC-BM进行计算.
23．“绿水青山就是金山银山”.科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg.
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？
【答案】（1）解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x−4)mg，则
∴x+2x−4=62，
解得：x=22，
∴2x−4=40，
答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg，40mg.
（2）解：50000×40=2000000（mg），
而2000000mg=2000g=2kg，
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.
【知识点】运用有理数的运算解决简单问题；一元一次方程的实际应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为xmg，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(2x-4)mg，根据一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg可得关于x的方程，求解即可；
（2）利用银杏树的总片数×一片银杏树叶一年的平均滞尘量进行解答即可.
24．如图，以BC为边分别作菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），动点A在以BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，连接EF交BC于点O.设∠G=θ.
（1）求证：无论θ为何值，EF与BC相互平分；并请直接写出使EF⊥BC成立的θ值.
（2）当θ=90°时，试给出tan∠ABC的值，使得EF垂直平分AC，请说明理由.
【答案】（1）证明：如图所示：连接BF、CE，
∵菱形BCDE和菱形BCFG（点C，D，F共线），
∴点G、B、E共线，
∴FC∥BG，FC=BC=BE ，
∴FC∥BE，FC=BE ，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∴EF与BC相互平分，
即：无论θ为何值，EF与BC相互平分；
又∵EF⊥BC，
∴四边形BFCE是菱形，
∴BE=BF，
又∵菱形BCDE和菱形BCFG，
∴GF=BG=BF=BE ，
∴△GFB 为等边三角形，
∴∠G=θ=60°；
（2）解：如图所示：连接AF，AO ，设EF与AC交于点H，
∵EF垂直平分AC
∴AF=FC，AO=CO，∠AHO=90° ，
由（1）知，O为BC的中点，
∴动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，
∴∠BAC=90°，AO=BO=CO ，
∴∠OBA=∠OAB ，
∵∠OAB+∠OAC=∠AOH+∠OAC=90° ，
∴∠AOH=∠OAB=∠OBA ，
在△AOF和△COF 中，
AF=CFAO=COFO=FO ，
∴△AOF≌△COF ，
∴∠FAO=∠FCO ，
∵θ=90°，菱形BCFG，
∴四边形BCFG为正方形，
∴∠FCO=90°，FC=BC ，
∴∠FAO=∠FCO=90°，
设FC=BC=x，则AF=CF=x ，AO=OC=12BC=12x ，
在Rt△FAO 中，
tan∠FOA=AFAO=x12x=2，
∵∠AOH=∠OBA，
∴tan∠ABC=tan∠FOA=2.
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接BF、CE，根据菱形的性质可得FC∥BG，FC=BC=BE，推出四边形BFCE是平行四边形，得到EF与BC相互平分，结合EF⊥BC可得四边形BFCE是菱形，则BE=BF，进而推出△GFB为等边三角形，据此解答；
（2）连接AF、AO，设EF与AC交于点H，根据垂直平分线的性质可得AF=FG，AO=CO，∠AHO=90°，由（1）知：O为BC的中点，则动点A在以O为圆心，BC为直径且处于菱形BCFG内的圆弧上，根据等腰三角形的性质可得∠OBA=∠OAB，推出∠AOH=∠OAB=∠OBA，证明△AOF≌△COF，得到∠FAO=∠FCO，易得四边形BCFG为正方形，则∠FCO=90°，FC=BC，设FC=BC=x，则AF=CF=x，AO=OC=12x，根据∠AOH=∠OBA结合三角函数的概念进行计算.
25．如图，已知BD是Rt△ABC的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的⊙O经过点D，与OA相交于点E.
（1）判定AC与⊙O的位置关系，为什么？
（2）若BC=3，CD=32，
①求sin∠DBC、sin∠ABC的值；
②试用sin∠DBC和cos∠DBC表示sin∠ABC，猜测sin2α与sinα，cosα的关系，并用α=30°给予验证.
【答案】（1）解：AC与⊙O的位置关系为相切，理由如下，
连接OD，如图所示
∵BD为∠ABC的角平分线
∴∠ABD=∠CBD
又∵⊙O过点B、D，设⊙O半径为r
∴OB=OD=r
∴∠ODB=∠OBD=∠CBD
∴OD//BC（内错角相等，两直线平行）
∵OD⊥AC
∴AC与⊙O的位置关系为相切.
（2）解：①∵BC=3，CD=32
∴BD=BC2+CD2=352
∴sin∠DBC=CDBD=55
过点D作DF⊥AB交于一点F，如图所示
∴CD=DF（角平分线的性质定理）
∴BF=BC=3
∴OF=BF-OB=3-r，OF=CD=32
∴OD2=OF2+DF2即r2=(3−r)2+(32)2
∴r=158
∵OD//BC
∴∠ABC=∠FOD
∴sin∠ABC=sin∠FOD=DFOD=45
∴sin∠DBC=55，sin∠ABC=45；
②cos∠DBC=CBBD=255
∴sin∠DBC×cos∠DBC=55×255=25
∴sin∠ABC=2sin∠DBC×cos∠DBC
猜测sin2α=2sinαcosα
当α=30°时2α=60°
∴sin2α=sin60°=32
sinα=sin30°=12
cosα=cos30°=32
∴sin2α=2sinαcosα=2×12×32=32=sin2α
∴sin2α=2sinαcosα.
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；锐角三角函数的定义；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据角平分线概念得∠ABD=∠CBD，设OB=OD=r，结合等腰三角形性质得∠ODB=∠OBD=∠CBD，推出OD∥BC，结合BC⊥AD可得OD⊥AC，据此证明；
（2）①利用勾股定理可得BD，根据三角函数的概念可得sin∠DBC的值，过点D作DF⊥AB交于一点F，根据角平分线的性质可得CD=DF，则BF=BC=3，OF=3-r，OF=CD=32，利用勾股定理可得r，根据平行线的性质可得∠ABC=∠FOD，然后结合三角函数的概念进行解答；②根据三角函数的概念求出cos∠DBC、sin∠DBC、cos∠DBC的值，猜想sin2α=2sinαcosα，令α=30°，求出sin2α、sinα、cosα的值，据此证明.
26．如图，抛物线y=12x2−2x−6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C.
（1）请直接写出点A，B，C的坐标；
（2）点P(m，n)(0
【答案】（1）解：A(−2，0)，B(6，0)，C(0，−6)；
（2）解：过P作PQ∥y轴交BC于Q，如下图.
设直线BC为y=kx+b(k≠0)，将B(6，0)、C(0，−6)代入得
0=6k+bb=−6，
解得k=1b=−6，
∴直线BC为y=x−6，
根据三角形的面积，当平行于直线BC直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时，△PBC的面积最大，
∵P(m，n)(0
∴PQ=(m−6)−(12m2−2m−6)=−12(m−3)2+92，
∵−12<0，
∴m=3时，PQ最大为92，
而S△PBC=12PQ⋅|xC−xB|=12×92×6=272，
∴△PBC的面积最大为272；
（3）解：存在.
∵点F是抛物线上的动点，作FE//AC交x轴于点E，如下图.
∴AE∥CF，设F(a，12a2−2a−6).
当点F在x轴下方时，
∵C(0，−6)，
即OC=6，
∴12a2−2a−6=−6，
解得a1=0（舍去），a2=4，
∴F(4，−6).
当点F在x轴的上方时，令y=6，
则12a2−2a−6=6 ，
解得a3=2+27，a4=2−27，
∴F(2+27，6)或(2−27，6).
综上所述，满足条件的点F的坐标为(2+27，6)或(4，−6)或(2−27，6).
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：（1）令y=0，
则12x2−2x−6=0，
解得x1=−2，x2=6，
∴A(−2，0)，B(6，0)，
令x=0，则y=−6，
∴C(0，−6)；
【分析】（1）令x=0、y=0，求出y、x的值，可得点A、B、C的坐标；
（2）过P作PQ∥y轴交BC于Q，求出直线BC的解析式，易得当平行于直线BC的直线与抛物线只有一个交点时，点P到BC的距离最大，此时△PBC的面积最大，设P（m，12m2-2m-6），则Q（m，m-6），表示出PQ，根据二次函数的性质可得PQ的最大值，然后利用三角形的面积公式进行计算；
（3）作FE∥AC交x轴于点E，设F（a，12a2-2a-6），当点F在x轴下方时，易得OC=6，则点F的纵坐标为-6，代入求解可得a的值，据此可得点F的坐标；当点F在x轴的上方时，同理可得点F的坐标.
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