2022-2023学年四川省达州市开江县任市中学八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年四川省达州市开江县任市中学八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省达州市开江县任市中学八年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  以下表达式：；；；；其中不等式有(    )A. 个 B. 个 C. 个 D. 个2.  将多项式因式分解，结果正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边上，则点与点之间的距离为(    )A.
B.
C.
D. 4.  若运算的结果为整式，则“”中的式子可能是(    )A.  B.  C.  D. 5.  如图，在中，点、、分别是、、的中点，如果的周长为，那么的周长是(    )A.
B.
C.
D. 6.  若不等式组的解集为，则的值为(    )A.  B.  C.  D. 7.  如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点；的垂直平分线交于点，交与点，连接、，若，，则等于(    )
A.  B.  C.  D. 8.  如果关于的方程无解，那么的值为(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，在中，，，为边上一点，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别为点、，连接，将平移得到点、的对应点分别为点、，连接，若，，则的长为(    )
 
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，在平行四边形中，分别以、为边向外作等边和等边，延长交于点，点在点、之间，连接、、，则以下四个结论，正确的是(    )
≌；；；是等边三角形．
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.  如图，在平面直角坐标系中，若直线，直线相交于点，则关于的不等式的解集是______．
 12.  已知、满足，则______．13.  如图，等腰三角形中，，、是等腰三角形的高线，连接，若，，则______．
14.  关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______．15.  在四边形中，，，，，是上一点，且，点从出发以的速度向运动，点从点出发以的速度向点运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为，当的值为______ 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形．
三、解答题（本大题共10小题，共80.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16.  本小题分
因式分解：

 17.  本小题分
解方程：．18.  本小题分
解不等式：．
已知，化简：．
求不等式组的整数解．19.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
将平移后得到，若点的对应点的坐标为，求的面积．
20.  本小题分
如图，在中，，将绕着点逆时针旋转得到，点，的对应点分别为，，点落在上，连接．
若则的度数为______；
若，，求的长．
21.  本小题分
为了奖励优秀学生，某学校购买了、两种不同的笔记本，已知型笔记本的单价比型笔记本的单价多元，且用元购买型笔记本与用买型笔记本本数相同．
求、两种型号笔记本的单价各是多少元？
为了奖励更多的学生，增强学生的学习积极性学校还需要增加购买一些笔记本，增加购买型笔记本和型笔记本共本，且购买的型笔记本数量不能多于型笔记本若要使得用于购买的花费最少，应当购买型笔记本，型笔记本各多少本？22.  本小题分
如图，在中，点，分别是，的中点，点是延长线上的一点，且，连接，．
求证：四边形是平行四边形：
若，，，求四边形的面积．
23.  本小题分
如图，是边长为的等边三角形，动点、同时从、两点出发，分别沿、方向匀速移动．
当点的运动速度是，点的运动速度是，当到达点时，、两点都停止运动，设运动时间为，当时，判断的形状，并说明理由；
当它们的速度都是，当点到达点时，、两点停止运动，设点的运动时间为，则当为何值时，是直角三角形？
24.  本小题分
我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和雅式”，这个常数称为关于的“和雅值”．
如分式，，，则是的“和雅式”，关于的“和雅值”为．
已知分式，，判断是否为的“和雅式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“和雅值”；
已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，求的值；
已知分式，，是的“和雅式”，且关于的“和雅值”是，为整数，且“和雅式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和．25.  本小题分
已知和都是等腰三角形，且，，．
初步感知如图，当点、分别落在边、上时，那么 ______填、或
发现证明如图，将图中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：；
深入研究如图，如果和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，则的度数为______；线段、之间的数量关系为______；
拓展应用如图，如果和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，作，若，，求的长．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、、是不等式，和不是不等式，
即不等式有个，故B正确．
故选：．
据不等式的定义进行判断即可．
本题主要考查了不等式的定义，熟知用不等号连接的式子是不等式是解本题的关键．
 2.【答案】 【解析】解：


．
故选：．
直接提取公因式，进而分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 3.【答案】 【解析】解：如图，连接，

将绕点按逆时针方向旋转得到，
，，，
，
是等边三角形，，
，，
，
是等边三角形，
，
在中，，
，
，
故选：．
由旋转的性质，可证、都是等边三角形，由勾股定理求出的长即可．
本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 4.【答案】 【解析】【分析】
本题考查分式的乘除，解答的关键是明确运算结果为整式，得到“”中的式子可能是含的单项式．
根据分式的除法的法则进行整理，再由运算的结果为整式进行分析即可求解．
【解答】
解：，
运算的结果为整式，
“”中的式子可能是含的单项式．  5.【答案】 【解析】解：、分别是的边、的中点，
，
同理，，
．
故选：．
利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的一半，据此即可求解．
本题考查了三角形的中位线定理，正确根据三角形中位线定理证得：的周长是的周长的一半是关键．
 6.【答案】 【解析】解：
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集为：，
不等式组的解集为，
，，
解得：，
故选A．
求出每个不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集，即可得出方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元一次不等式和一元一次不等式组的应用，关键是能根据不等式组的解集得出关于的方程．
 7.【答案】 【解析】解：的垂直平分线交于点，交于点；的垂直平分线交于点，交与点，，
，，

，
，
在中，，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即，
故选：．
根据线段垂直平分线性质求出，，推出，求出，解直角三角形求出和，根据勾股定理求出即可．
本题考查了勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，能得出关于的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
 8.【答案】 【解析】解：
去分母，得．
移项，．
合并同类项，得．
的系数化为，得．
关于的方程无解，即该方程有增根，
．
．
故选：．
先解分式方程，再根据分式方程的解的定义解决此题．
本题主要考查分式方程的解，熟练掌握解分式方程是解决本题的关键．
 9.【答案】 【解析】【分析】
由旋转的性质可得，，由勾股定理得到，由“”可证≌，可得，于是得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用性质解决问题是本题的关键
【解答】
解：，，
，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
；
，
，
，
平移得到，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
故选：．  10.【答案】 【解析】解：、是等边三角形，
，，
，，
，，
，，
，
≌，故正确；
，
，
，故正确；
在等边三角形中，
等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
如果，则是的中点，，，题目缺少这个条件，不能求证，故错误；
同理可得：，
，，
≌，
，
，
，
，
是等边三角形，故正确．
故选：．
根据为平行四边形，、是等边三角形逐一进行证明即可判断．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
 11.【答案】 【解析】解：当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为；
故答案为：．
观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 12.【答案】 【解析】解：，，





，
故答案为：．
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 13.【答案】 【解析】解：是的高，
，
，，
，
，，
，，
．
故答案为：．
先根据等腰可知，由勾股定理计算和的长，最后由直角三角形斜边中线的性质可得的长．
本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是本题的关键．
 14.【答案】且 【解析】解：原分式方程可化为：，
，
解得，
关于的分式方程的解是正数，
，
解得：且．
故答案为：且．
解分式方程，用表示，再根据关于的分式方程的解是正数，列不等式组，解出即可．
本题考查了分式方程的解、解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程、一元一次不等式的步骤，根据关于的分式方程的解是正数，列不等式组是解题关键．
 15.【答案】或 【解析】解：当点在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
当在线段上，时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
则有，解得，
综上所述，或时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形，
故答案为：或
分两种情形列出方程即可解决问题．
本题考查了平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
 16.【答案】解：

；



． 【解析】首先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
首先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法即公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 17.【答案】解：，
，
，
经检验是方程的增根，
原方程无解； 【解析】化简所求方程为，将分式方程转化为整式方程，解得，检验方程的根即可求解；
本题考查分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，验根是关键．
 18.【答案】解：，
原不等式整理，得，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得；
，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为，得，


；
，
由得，
由得，
不等式组的解集为：，
不等式组整数解为，，． 【解析】根据解一元一次不等式的基本步骤解答即可；
先求出不等式的解集，再根据绝对值的性质化简即可；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组以及一元一次不等式组的整数解，掌握解一元一次不等式的基本步骤是解答本题的关键．
 19.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．的面积．

 【解析】本题考查作图旋转变换，作图平移变换，三角形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，再根据三角形的面积公式求出的面积．
 20.【答案】 【解析】解：在中，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
故答案为：；
，，，
，
将绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
．
根据三角形的内角和定理得到，根据旋转的性质得到，，根据三角形的内角和定理即可得到结论；
根据勾股定理得到，根据旋转的性质得到，，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 21.【答案】解：设型笔记本的单价是元，则型笔记本的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：型笔记本的单价是元，型笔记本的单价是元；
设购买型笔记本本，则购买型笔记本本，
根据题意得：，
解得：．
设购买，两种笔记本共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
又，且为正整数，
当时，取得最小值，此时．
答：若要使得用于购买的花费最少，应当购买型笔记本本，型笔记本本． 【解析】设型笔记本的单价是元，则型笔记本的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买型笔记本与用买型笔记本本数相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出型笔记本的单价，再将其代入中，即可求出型笔记本的单价；
设购买型笔记本本，则购买型笔记本本，根据购买的型笔记本数量不能多于型笔记本，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，设购买，两种笔记本共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 22.【答案】证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：由得：，
是的中点，，
，
，
四边形的面积 【解析】证是的中位线，得，，再证，即可得出四边形是平行四边形；
由得：，四边形是平行四边形，得其面积，即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、四边形的面积等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形为平行四边形是解题的关键．
 23.【答案】解：如图，根据题意得：，，

当时，，，
是边长为的等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形；
中，，，
若是直角三角形，则或，
当时，，
，
，即，
解得：；
当时，同理得：，
即，解得：，
答：当秒或秒时，是直角三角形． 【解析】先根据等边三角形的性质得：，，当时，计算和的长，根据等边三角形的判定可得结论；
若是直角三角形，则或，根据直角三角形含度角的性质列方程可解答．
本题主要考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含度角的性质是关键．
 24.【答案】解：不是的“和雅式”；
理由：


，
不是的“和雅式”；
由题意得：，
，
，
，
解得：，，
；
由题意得：，
，
，
为整数，为整数，
的值为：或，
的值为：，，，，
，
所以所有符合条件的的值之和为． 【解析】根据新定义进行判断；
根据新定义，列出方程求解；
根据新定义列出方程，再根据整除的意义求解．
本题考查了分式的加减法，理解新定义和掌握分式的运算是解题的关键．
 25.【答案】解： 
，
，即，
在和中，
，
≌，
；
；；
，
，即，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，即，
解得：负值已舍去． 【解析】【分析】
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
结合图形解答即可；
证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明≌，根据全等三角形的性质解答即可；
证明≌，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】
解：，，
，
，
故答案为：；
见答案；
解：为的等边三角形，
，
，
同可得：≌，
，，
，
故答案为：；；
见答案．