2023兰州一中高二下学期期末考试数学试题含答案

兰州一中2022-2023-2学期期末考试试题

高二数学

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第ⅠⅠ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡.

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，若，则实数的取值范围为（    ）

A.    B.    C.    D.

2.已知矩形为平面外一点，平面，点满足，.若，则（    ）

A.-1    B.1    C.    D.

3.从中依次不放回地取2个数，事件为“第一次取到的是偶数”，事件为“第二次取到的是3的整数倍”，则等于（    ）

A.    B.    C.    D.

4.已知正方体中，点在棱上，直线平面，则点的位置是（    ）

A.点    B.点    C.的中点    D.不存在

5.给出定义：设是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.已知函数的拐点为，则下列结论正确的为（    ）

A.    B.点在直线上

C.    D.点在直线上

6.正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ）

A.    B.    C.    D.

7.抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（    ）

A.    B.    C.1    D.

8.已知函数的定义域为为函数的导函数，当时，，且，则下列说法一定正确的是（    ）

A.    B.

C.    D.

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列四个条件中，能成为的充分不必要条件的是（    ）

A.    B.

C.    D.

10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（    ）

A.    B.

C.事件与事件相互独立    D.是两两互斥的事件

11.我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”.现有一如图所示的“堑堵”，其中，若，则（    ）

A.该“堑堵”的体积为2

B.该“堑堵”外接球的表面积为

C.若点在该“堑堵”上运动，则的最大值为

D.该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为

12.已知函数，则（    ）

A.的最小正周期为

B.的图象关于直线对称

C.时，在区间单调递增

D.时，在区间既有极大值点也有极小值点

第II卷（非选择题共90分）

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知，若，则的最大值为__________.

14.拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”为__________.

15.矩形中，平面，且，则到的距离为__________.

16.已知在上为增函数，则的取值范围是__________.

四､解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋､前卫､中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.

（1）当甲出场比赛时，求球队获胜的概率；

（2）当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当前卫的概率.

18.（本题满分12分）

已知函数，（注：是自然对数的底数）.

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若只有一个极值点，求实数a的取值范围.

19.（本题满分12分）

如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为的中点，为上一点.

（1）求证：平面；

（2）若平面，求二面角的度数.

20.（本题满分12分）

MCN即多频道网络，是一种新的网红经济运行模式，这种模式将不同类型和内容的PGC（专业生产内容）联合起来，在资本有力支持下，保障内容的持续输出，从而最终实现商业的稳定变现，在中国以直播电商､短视频为代表的新兴网红经济的崛起，使MCN机构的服务需求持续增长.数据显示，近年来中国MCN市场规模迅速扩大.下表为2018年—2022年中国MCN市场规模（单位：百亿元），其中2018年—2022年对应的代码依次为1-5.

（1）由上表数据可知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程；

（2）从2018年-2022年中国MCN市场规模中随机抽取3个数据，记这3个数据中与的差的绝对值小于1的个数为，求的分布列与期望.

参考数据：

其中，，.

参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.

21.（本题满分12分）

如图1所示，在矩形中，为中点，将沿折起，使点到点处，且平面平面，如图2所示.

（1）求证：；

（2）在棱上取点，使平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.

22.（本题满分12分）

已知函数.

（1）当时，讨论函数零点的个数；

（2）当时，恒成立，求的取值范围.

兰州一中2022-2023-2学期高二年级期末考试数学试题

参考答案

一､单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.有且仅有一个选项符合题意；

二､多选题：9-12题每题至少两个选项符合题意，多选不得分，少选得2分.

三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2    14.    15.    16.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）

【解】（1）设表示“甲球员担当边锋”，

表示“甲球员担当前卫”，

表示“甲球员担当中场”，

，，两两互斥，

设表示“球队赢了某场比赛”，

则

，

该球队某场比赛获胜的概率为.

（2）由知：，

则，

所以球员甲担当前卫的概率为.

18.（本小题满分12分）

【详解】（1）当时，，

，

所以在处的切线斜率为，

又，

所以在处的切线方程为，即，

所以在处的切线方程为.

（2）若只有一个极值点，则只有一个根，

所以方程只有一个根，即只有一个解，

即与只有一个交点，

因为，

所以，

所以，

所以，当时，，当时，，

所以只有一个极小值点，

故a的取值范围为.

19.（本小题满分12分）

【解】（1）证明：连接交于点O，连接，

由是正方形可得，O是的中点，又由F为的中点，

在中，为中位线，所以，

因为平面，且平面，所以平面.

（2）解：连接，由面，因为面，所以，

又由平面，且面，所以，所以，

所以点G为的中点，以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

设，

则，，，所以，，

设平面的法向量为，则，

令，则，，所以平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，

所以，

所以二面角的度数为.

20.（本小题满分12分）

【解】（1）两边同时取自然对数得.

设，所以，

因为，

所以.

把代入，得，

所以，所以，

即关于的回归方程为.

（2）2018年-2022年中国MCN市场规模的5个数据中，与的差的绝对值小于1的数据有1.68，2.45，3.35，共3个，所以的取值依次为1，2，3

所以的分布列为

.

21.（本小题满分12分）

【解】（1）（法一）证明：平面平面，

故以为原点，为轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

在图1中，作于点，过点作于于点，

由题知，，

，

，

，

，

，

故.

（1）（法二）证明：过，连接，

由法一可得：，由勾股定理可得，

在中，由余弦定理可得，

平面平面，

（2）解：设，则点，

设平面的法向量为，则，即

令，则，

同理可得，平面的法向量，

平面平面，

，解得，

平面的法向量，

设直线与平面所成角为，

故直线与平面所成角的正弦值为.

22.【解】（1）由得，

当时，，在区间上单调递增，且无限趋近于0时，，

又，故只有1个零点；

当时，令，解得，令，解得，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增；

所以当时，取得最小值，

当时，，所以函数无零点，

当时，恒成立，所以函数无零点，

综上所述，当时，无零点，当时，只有一个零点；

（2）由已知有，所以，

所以，

构造函数，则原不等式转化为在上恒成立，

，记，所以，

令，解得，令，解得，

故在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，所以，即单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，则，

令，解得，令，解得，

故在单调递减，单调递增，

故的最小值为，

故的取值范围是.