2024许昌高级中学高三上学期定位考试数学试题含答案

参 考 答 案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.答案：B

解析：因为，，，所以.

2.答案：C

解析：因为函数，所以.因为函数在单调递增，所以在恒成立，即在恒成立，易知，则在恒成立.设，则.当时，，单调递增，所以在上，，所以，即，故选C.

3.答案：A

解析：向量，，向量，.

4.答案：B

解析：用特殊值法，显然.

若，则又有，矛盾；

若，则，，，

因为是一个递增数列，所以；

若，则，矛盾.

综上，.

5.答案：B

解析：由根与系数的关系得，

，

.

又，且，

.

6.答案：A

解析：因为PA，PB，PC两两垂直，所以以P为原点，PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

设，则，，，，，，所以，，.设平面PEF的法向量为，则取，则，，所以平面PEF的一个法向量为.设直线AF与平面PEF所成的角为，则.故选A.

7.答案：D

解析：由，，得，，，当时，，所以，.

8.答案：B

解析：设正方体的棱长为2，则，，，所以，.设向量是平面AEF的法向量，则取，则，，所以是平面AEF的一个法向量.经检验可知，A，C，D选项中的向量均不与共线.故选B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.答案：ABC

解析：取，则，故A正确；取，则，所以，故B正确；取，则，所以，取，则，所以，所以函数为偶函数，故C正确；由于，且函数为偶函数，所以函数的图象关于y轴对称，所以可能为函数的极小值点，也可能为函数的极大值点，也可能不是函数的极值点，故D不正确.综上，选ABC.

10.答案：BCD

解析：对于A:当时，，即，所以A不正确；

对于B：若，则，

即，

可得或，此时，故B正确；

对于C：若“”，则，

若“”，则．

所以“”是“”的必要不充分条件，所以C正确；

对于D：角的终边在第一象限，则，，

当在第一象限时，；

当在第三象限时，则．

则的取值集合为：，所以D正确．

故选BCD．

11.答案：AD

解析：对于A，k不可能为0正确；对于B，时，为等差数列，但不是等差比数列，故B错误；对于C，当等比数列的公比为1，即为常数列时，不符合题设，故C错误；对于D，数列0，1，0，1，0，1，…，0，1是等差比数列，且有无数项为0，故D正确.故选AD.

12.答案：ABD

解析：如图，由正四棱柱的底面边长为2，可知，又侧棱，可得，则当点P与点重合时，此时点P唯一，故A正确.

若，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故B正确.

连接，，可得平面平面，则当P为的中点时，DP有最小值为，故C错误.

由C知，平面BDP即为平面，平面BDP截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故D正确.

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.

13.答案：

解析：，当时，为减函数，

所以当时，函数的值域为，

当时，，，则的值域为，

因为存在，，使成立，

所以，

若，则或，即或，

所以若且，则

故答案为：

14.答案：4

解析：将展开，得到，

令，解得，

则，得，

所以，

当且仅当“”时，取得等号，

故取得最小值．

故答案为：4．

15.答案：

解析：解：，

因为正数a，b满足，所以，所以.

16.答案：

解析：在中，由正弦定理知.因为，椭圆离心率，所以，即.①

又因为点P在椭圆上，所以，

将①代入可得.

又，所以两边同除以a得.

又，所以.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）(1)答案：

解析：设数列的公差为d，，，

，，

，

．

(2)答案：

解析：(2)由(1)可知，

数列的前n项和为，

，

两式作差，得

，

．

18.（12分）答案：（1）圆C的方程为

解析：设圆C的方程为，

依题意得解得

所以圆C的方程为.

（2）答案：不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB

解析：假设符合条件的实数a存在.

由（1）得圆心C为，因为直线l垂直平分弦AB，

所以圆心必在直线l上，

所以直线l的斜率.

又，所以.

又圆C的半径，圆心C到直线的距离，

所以不存在这样的实数a，使得过点的直线l垂直平分弦AB.

19.（12分）答案：（1）证明见解析

解析：因为，D是BC的中点，所以.

如图，以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以射线AD方向为y轴正方向，以射线OP的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

所以，

所以，即.

（2）答案：证明见解析

解析：因为平面，平面ABC，所以.

因为，，所以.

因为M为AP上一点，且，所以.

由（1）得，所以.

又，所以.

所以，.

设平面BMC的法向量为，

则即

令，则，，所以.

设平面AMC的法向量为，

则即

令，则，，所以.

所以，

所以，所以平面平面BMC.

20.（12分）答案：(1)

解析：因为数列是公差为2的等差数列，且以，，为边长的三角形是直角三角形，

所以，

即，解得或（舍），

所以；

答案：(2)

解析：由（1）得，

所以

，

故.

21.（12分）答案：（1）

解析：因为，所以，

又因为，所以化简为，

所以直线l的参数方程为(t为参数)

由消去得：，

所以曲线C的普通方程.

答案：（2）

解析：由知与反向，所以点在圆内联立直线l的参数方程和曲线C的普通方程，可得，

设A，B对应的参数分别为，故，

由，解得，

又因为，由于，代入①②得，

解得(符合m的取值范围).

22.（12分）答案：（1）函数的最大值为，最小值为-3.

解析：据题，得，，

因为，，，

所以，

所以函数的最大值为，最小值为-3.

（2），增区间为

解析：据题，，

结合该函数为偶函数，得到，得，，

结合，得到，

此时，，

令，解得，

从而得到其增区间为.