模型41 单中点、双中点模型（讲+练）-备战2023年中考数学解题大招复习讲义（全国通用）

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           有关中点的知识点归纳：①三角形中线平分三角形面积；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；                      ③等腰三角形“三线合一”的性质；④三角形中位线平行且等于第三边的一半.在题干中，出现一个中点时，我们通常想到中线；两个中点时，想到中位线。模型一、双中点-中位线模型 如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.模型二、 单中点-倍长中线模型模型二、 单中点-“三线合一”模型如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线（AD是角平分线、中线、垂线）.考点一：单中点-倍长中线模型【例1】．如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．点E是CD的中点，则AE的长为（　　）A．6 B． C．5 D．  变式训练【变式1-1】．如图，在菱形ABCD中，∠A＝110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC＝（　　）A．35° B．45° C．50° D．55°  【变式1-2】．如图，在△ABC中，AB＝12，AC＝20，求BC边上中线AD的范围为 　     　． 考点二：双中点中位线模型【例2】．如图，在△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足为点E，F是BC的中点，若BD＝16，则EF的长为　 　．  变式训练【变式2-1】．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为　　   ．  【变式2-2】．如图，在△ABC中，BE、CF分别为边AC、AB上的高，D为BC的中点，DM⊥EF于M．求证：FM＝EM．   考点三：单中点三线合一模型【例3】．如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于D，M为BC的中点，AB＝10，求DM的长．      变式训练【变式3-1】．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，M是BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN＝（　　）A． B． C．6 D．11  【变式3-2】．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D为边AC的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F，连接EF，若AE＝4，FC＝3，求EF的长．     【变式3-3】．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D．求证：∠BAC＝2∠DCB．                              1．如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC中点，连接EF、BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确的有（　　）A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④  2．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME＝90°；②∠BAF＝∠EDB；③∠BMO＝90°；④MD＝2AM＝4EM；⑤AM＝MF．其中正确结论的是（　　）A．①③④ B．②④⑤ C．①③④⑤ D．①③⑤  3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，若CD＝5，则AE＝　　   ．  4．如图在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，过点D作DE垂直AB交BC的延长线于点E，则CE的长是 　    　．  5．如图．AB是半圆O的直径．点C、D在上．且AD平分∠CAB．已知AB＝10，AC＝6，则AD＝　   　．  6．如图，四边形ABCD中，AB＝8，CD＝6，∠ADB＝∠BCA＝90°，以AD，AC为边作平行四边形DACE，连接BE，则BE的长为　    　．  7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，连接AE与对角线BD交于点G，连接CG并延长，交AB于点F，连接DE交CF于点H，连接AH．以下结论：①CF⊥DE；②GH＝；③AD＝AH；④＝，其中正确结论的序号是 　    　．     8．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D．若BF＝3EF，求的值．        9．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，AF＝EF，求证：AC＝BE．         10．已知线段AB＝8（点A在点B的左侧）．（1）若在直线AB上取一点C，使得AC＝3CB，点D是CB的中点，求AD的长；（2）若M是线段AB的中点，点P是线段AB延长线上任意一点，点N是线段BP的中点，求的值．        11．如图所示，在△ABC中，AD是边BC上的高线，CE是边AB上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE（1）证明：CG＝EG；（2）若AD＝6，BD＝8，求CE的长．          12．如图1，直线AB上有一点P，点M、N分别为线段PA、PB的中点，AB＝14．（1）若点P在线段AB上，且AP＝8，求线段MN的长度；（2）若点P在直线AB上运动，试说明线段MN的长度与点P在直线AB上的位置无关；（3）如图2，若点C为线段AB的中点，点P在线段AB的延长线上，下列结论：①的值不变；②的值不变，请选择一个正确的结论并求其值．       13．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BO的长．      14．在菱形ABCD和等边△BGF中，∠ABC＝60°，P是DF的中点．（1）如图1，点G在BC边上时，①判断△BDF的形状，并证明；②请连接PB，若AB＝10，BG＝4，求PB的长；（2）如图2，当点F在AB的延长线上时，连接PG、PC．试判断PC、PG有怎样的关系，并给予证明．                    15．已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F． （1）如图1，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时，易证S△DEF+S△CEF与S△ABC的数量关系为 　S△DEF+S△CEF＝S△ABC　；（2）如图2，当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；（3）如图3，这种情况下，请猜想S△DEF、S△CEF、S△ABC的数量关系，不需证明．               16．【问题情境】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是 　  　．A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 　            　．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【初步运用】如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE＝EF．若EF＝3，EC＝2，求线段BF的长．【灵活运用】如图3，在△ABC中，∠A＝90°，D为BC中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系，并证明你的结论．     17．（1）【提出问题】在一次思维训练营上老师给同学们出了这样一个问题：如图①在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD与AC的平行线BE交于点E．如果AD＝5，那么AE长为多少？小凯同学立刻利用全等三角形解决了老师的问题．请你直接写出AE的长．解：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，又∵AC∥BE，∴∠CAD＝∠E．在△ADC和△EDB中，∴△ADC≌△EDB（AAS）．∴AD＝DE．又∵AD＝5，∴AE＝　  　．（2）【猜想证明】如图②，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试猜想线段AB，AD，DC之间的数量关系，并证明你的猜想．（3）【拓展延伸】如图③，已知某学校内有一块梯形空地，AB∥CD，生物小组把它改造成了花圃，内部正好有两条小路BC，AE，经过测量发现AB＝BC＝50米，CD＝16米，△ABE和△ACE正好面积相等，分别种上了玫瑰和郁金香，在△BCD内种了向日葵．现在准备在地下建一条水管DF，且已知∠DFE＝∠BAE＝30°，但由于不便于测量DF的长，请你用所学几何知识求出DF的长，并说明理由．