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    考点6 空间向量与立体几何——五年(2020—2024)高考数学真题专项分类汇编(含答案)

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    这是一份考点6 空间向量与立体几何——五年(2020—2024)高考数学真题专项分类汇编(含答案),共24页。试卷主要包含了选择题,多项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题
    1.已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( )
    A.B.C.D.
    2.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为;水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为( )
    A.B.C.D.
    3.已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为和,其顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )
    A.B.C.D.
    4.已知正三棱台的体积为,,,则与平面ABC所成角的正切值为( )
    A.B.1C.2D.3
    5.已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )
    A.2B.C.4D.
    6.正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4,侧棱长为2,则其体积为( )
    A.B.C.D.
    7.已知正四棱锥的侧棱长为l,其各顶点都在同一球面上,若该球的体积为,且,则该正四棱锥体积的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    二、多项选择题
    8.已知正方体,则( )
    A.直线与所成的角为
    B.直线与所成的角为
    C.直线与平面所成的角为
    D.直线与平面ABCD所成的角为
    9.已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径,,,点C在底面圆周上,且二面角为,则( )
    A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为
    C.D.的面积为
    10.下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有( )
    A.直径为的球体
    B.所有棱长均为的四面体
    C.底面直径为,高为的圆柱体
    D.底面直径为,高为的圆柱体
    11.如图,四边形ABCD为正方形,平面,,,记三棱锥,,的体积分别为,,,则( )
    A.B.C.D.
    12.在正三棱柱中,,点P满足,其中,,则( )
    A.当时,的周长为定值
    B.当时,三棱锥的体积为定值
    C.当时,有且仅有一个点P,使得
    D.当时,有且仅有一个点P,使得平面
    三、填空题
    13.已知正方体的棱长为2,分别为的中点,则三棱锥的体积为________________.
    14.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为____________.
    15.在正四棱台中,,,,则该棱台的体积为___________.
    16.已知直四棱柱的棱长均为2,,以为球心,为半径的球面与侧面的交线长为______.
    四、解答题
    17.如图,四棱锥中,底面,,,.
    (1)若,证明:平面PBC;
    (2)若,且二面角的正弦值为,求AD.
    18.如图,平面四边形ABCD中,,,,,,点E,F满足,,将沿EF翻折至,使得,
    (1)证明::
    (2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值.
    19.如图,PO是三棱锥的高,,,E为PB的中点.
    (1)证明:平面PAC.
    (2)若,,,求二面角的正弦值.
    20.如图,在正四棱柱中,,.点,,,分别在棱,,,上,,,.
    (1)证明:;
    (2)点P在棱上,当二面角为时,求.
    21.如图,直三棱柱的体积为4,的面积为.
    (1)求A到平面的距离;
    (2)设D为的中点,,平面平面,求二面角的正弦值.
    22.如图,在三棱锥中,平面平面,,O为BD的中点.
    (1)证明:;
    (2)若是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,,且二面角的大小为,求三棱锥的体积.
    参考答案
    1.答案:B
    解析:设圆柱和圆锥的底面半径均为r,因为它们的高均为,且侧面积相等,所以,得,所以圆锥的体积,故选B.
    2.答案:C
    解析:如图,依题意可知棱台的高,
    所以增加的水量即为棱台的体积V.棱台上底面积,下底面积,
    .故选C.
    3.答案:A
    解析:由题意得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为,.设该正三棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为,,外接球的球心为O,则球心O在直线上,由于球心位置不能确定,需分球心在线段上和不在线段上两种情况讨论.当球心在线段上时,,解得,不符合题意;当球心不在线段上,即球心在线段的延长线上时,,解得,所以.综上,球O的表面积为,故选A.
    4.答案:B
    解析:设正三棱台的高为h,三条侧棱延长后交于一点P,作平面ABC于点O,PO交平面于点,连接,,如图所示.由,可得,,又,,所以正三棱台的体积,解得,故.由正三棱台的性质可知,O为底面ABC的中心,则,因为平面ABC,所以是与平面ABC所成的角,在中,,故选B.
    5.答案:B
    解析:本题考查圆锥的侧面展开图.设圆锥的底面半径为r,母线长为l.由题意可得,所以.
    6.答案:D
    解析:作出图形,连接该正四棱台上下底面的中心,如图,
    因为该四棱台上下底面边长分别为2,4,侧棱长为2,
    所以该棱台的高,
    下底面面积,上底面面积,
    所以该棱台的体积.
    故选:D.
    7.答案:C
    解析:法一:如图,设该球的球心为O,半径为R,正四棱锥的底边长为a,高为h,
    依题意,得,解得.由题意及图可得,解得,所以正四棱锥的体积,所以,令,得,所以当时,;当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减,又当时,;当时,;当时,;所以该正四棱锥的体积的取值范围是.故选C.
    法二:如图,设该球的球心为O,半径为R,正四棱锥的底边长为a,高为h,
    依题意,得,解得.由题意及图可得,解得,又,所以该正四棱锥的体积
    (当且仅当,即时取等号),所以正四棱锥的体积的最大值为,排除A,B,D,故选C.
    法三:如图,设该球的半径为R,球心为O,正四棱锥的底边长为a,高为h,正四棱锥的侧棱与高所成的角为,
    依题意,得,解得,所以正四棱锥的底边长,高.在中,作,垂足为E,则可得,所以,(另解:也可以利用余弦定理,得)所以正四棱锥的体积,设,易得,则,则,令,得,所以当时,,当时,,所以函数在上单调递增,在上单调递减.又当时,;当时,;当时,;所以,所以.所以该正四棱锥的体积的取值范围是,故选C.
    8.答案:ABD
    解析:如图,连接,在正方体中,,,又,所以平面.因此,,故选项A和B都正确.
    连接,设O为与的交点,连接OB,易知平面,所以直线与平面所成的角为.在中,,即,故选项C错误.
    易知直线与平面ABCD所成的角为,且,故选项D正确.故选ABD.
    9.答案:AC
    解析:对于A,依题意,圆锥母线长,,,所以底面圆的半径,圆锥的体积为,故A正确;对于B,该圆锥的侧面积为;故B错误;
    对于C,如图,取AC的中点M,连接PM,OM,则,又因为,所以,故为二面角的平面角,即,所以,即,所以,故C正确;
    对于D,由选项C可知,,,,所以的面积为,故D错误.故选AC.
    10.答案:ABD
    解析:对于A选项,正方体内切球的直径为,故A符合题意;
    对于B选项,如图①,正方体内部最大的正四面体棱长为,,故B符合题意;
    对于C选项,圆柱底面直径为,可忽略不计,高为,圆柱可看作长度为的线段.如图②,正方体的体对角线为,故C不符合题意;
    对于D选项,圆柱高为,可忽略不计,底面直径为,圆柱可看作直径为的圆.如图③,E,F,G,H,I,J为各棱的中点,六边形EFGHIJ为正六边形,其边长为,其内切圆直径,,故D符合题意.故选ABD.
    11.答案:CD
    解析:如图,设,因为平面ABCD,,
    则,,连接BD交AC于点M,连接EM,FM,易得,又平面,平面ABCD,.又,,平面,平面BDEF,又,过F作于G,易得四边形BDGF为矩形,,,,,,,.,,则,则,,,故A,B错误,C,D正确.故选CD.
    12.答案:BD
    解析:易知点P在矩形内部(含边界).
    对于A,当时,,即此时线段.当时,点P与点C重合,此时的周长为;当时,点P为线段的中点,此时,的周长为.所以的周长不是定值,故A错误;
    对于B,当时,,故此时P点轨迹为线段,而,又平面,平面,所以平面,则有点P到平面的距离为定值,又的面积为定值,所以三棱锥的体积为定值,故B正确.
    对于C,当时,,取,的中点分别为Q,H,则,所以点P轨迹为线段QH,不妨建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,,,则,,,所以或.故点H,Q均满足,故C错误;
    对于D,当时,,取,的中点分别为M,N,则,所以点P轨迹为线段MN.设,因为,所以,,因为平面,所以,所以,此时点P与点N重合,故D正确.故选BD.
    13.答案:
    解析:因为正方体的棱长为2,分别为的中点,
    所以.
    故答案为:.
    14.答案:28
    解析:法一:由于,截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,所以原正四棱锥的体积为,截去的正四棱锥的体积为,所以棱台的体积为.
    法二:由法一可知,棱台的体积为.故答案为28.
    15.答案:
    解析:如图,连接AC,BD交于点O,连接,交于点,连接,过点作于点H,则为正四棱台的高.
    在等腰梯形中,,,则,,所以.又,所以,所以,所以正四棱台的体积为.
    16.答案:
    解析:如图,连接,易知为正三角形,所以.分别取,,的中点,连接,则易得,,且.由题意知分别是,与球面的交点.在侧面内任取一点,使,连接,则,连接,易得,故可知以为圆心,为半径的圆弧为球面与侧面的交线.由知,所以的长为.
    17.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)证明:由于底面,底面,,
    又,,平面,平面PAB,
    又平面,.
    ,,,
    平面,平面,平面PBC.
    (2)由题意知DC,AD,AP两两垂直,以D为坐标原点,AD所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,过点D且平行于AP的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,设,,
    则,,,,,.
    设平面CPD的法向量为,
    则,即,可取.
    设平面ACP的法向量为,
    则,即,可取.
    二面角的正弦值为,
    余弦值的绝对值为,
    故,
    又,,即.
    18.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)证明:由题,,,又,
    所以由余弦定理得,故.
    又,所以.
    由及翻折的性质知,,
    又,平面PED,所以平面PED.
    又平面PED,所以.
    (2)如图,连接CE,由题,,,,故.
    又,,所以,故.
    又,,平面ABCD,所以平面ABCD.
    EF,ED,PE两两垂直,故以E为原点,EF,ED,PE所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
    则,,,,,
    连接PA,则,,,.
    设平面PCD的法向量为,
    则,可取.
    设平面PBF即平面PAF的法向量为,
    则,可取.
    所以.
    故平面PCD与平面PBF所成二面角的正弦值为.
    19.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)证明:如图,连接OA.
    因为PO是三棱锥的高,
    所以平面ABC,所以,,
    所以.
    又,,
    所以,所以.
    取AB的中点D,连接OD,DE,则有.
    又,所以.
    因为平面,平面PAC,所以平面PAC.
    因为D,E分别为AB,PB的中点,所以.
    因为平面,平面PAC,所以平面PAC.
    因为,平面,,所以平面平面PAC.
    又平面ODE,所以平面PAC.
    (2)由(1)知.以D为原点,分别以DB,DO所在直线为x轴、y轴,以过点D且垂直于平面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图.
    因为,,且,,所以.
    又,所以,,
    所以,,,,
    所以,.
    设平面AEB的法向量为,则
    即所以.取,得,所以.
    设,则,所以.
    设平面AEC的法向量为,则
    即所以.取,得,所以.
    所以.
    所以二面角的正弦值为.
    20.答案:(1)证明见解析
    (2)
    解析:(1)法一:证明:如图,以,,所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.
    因为,,,,,
    所以,,,,
    所以,
    又,,,四点不共线,所以.
    法二:如图,过点作于点E,过点作于点F,
    在正四棱柱中,,,
    点,,,分别在棱,,,上,且,,,
    所以,,所以四边形,均为平行四边形,
    所以,,所以.
    (2)设,
    由(1)中法一建系可知,,,
    则,,.
    设平面的法向量为,所以
    即取,可得,,所以.
    设平面的法向量为,所以
    即取,可得,,所以.
    因为二面角为,
    所以,
    即,解得或,
    所以点P为的中点或的中点,即.
    21.
    (1)答案:
    解析:三棱锥的体积V为三棱柱体积的,即.
    设点A到平面的距离为h,则.
    由解得.
    故点A到平面的距离为.
    (2)答案:
    解析:如图,连接,交于点E,因为,所以.
    又平面平面,所以平面,.
    由(1)知,点A到平面的距离为,故,,.
    在直三棱柱中,平面ABC,所以,
    又,所以平面,故,.
    由已知得,所以.
    以B为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
    则,,,,,,,.
    设为平面DAB的法向量,
    则即可取.
    因为平面,所以为平面DCB的一个法向量,有.
    设二面角的平面角为,则,
    故二面角的正弦值为.
    22.答案:(1)因为,O为BD的中点,
    所以.
    因为平面ABD,
    平面平面BCD且平面平面,
    所以平面BCD,
    所以.
    (2)以O为坐标原点,OD为y轴,OA为z轴,垂直OD且过点O的直线为x轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,
    有,,,设,则.
    设为平面EBC的法向量.
    因为,,
    所以
    所以
    令,所以,,
    所以.
    因为平面BCD的法向量为,
    所以,解得,
    所以,
    因为,所以,
    所以.
    解析:

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