【重难点讲义】浙教版数学八年级下册-第02讲 二次根式的运算专题复习

第2讲 二次根式的运算专题复习

类型一  二次根式的计算

1．计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【分析】（1）先化简式子含有的二次根式为最简二次根式，再进行二次根式乘除法运算；

（2）先化简式子含有的二次根式为最简二次根式，再进行二次根式加减运算；

（3）先化简完全平方式，再化简二次根式为最简二次根式最后进行二次根式的加减运算．

【解答】解：（1）

＝

＝；

（2）

＝

＝

＝；

（3）

＝

＝6．

2．计算（写出详细的计算过程）．

（1）+4×；

（2）．

【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．

【解答】解：（1）+4×

＝﹣2﹣（﹣2）+1+2

＝﹣2﹣+2+1+2

＝+1；

（2）

＝﹣[（2﹣）（2+）]×（2﹣）

＝5﹣（4﹣3）×（2﹣）

＝5﹣1×（2﹣）

＝5﹣2+

＝3+．

3．计算：

（1）2﹣7+4；

（2）﹣+．

【分析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可；

（2）先将各二次根式化为最简二次根式，再合并即可．

【解答】解：（1）原式＝

＝0；

（2）原式＝3﹣×2+

＝3﹣++1

＝3+1．

4．计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）利用乘法的分配律进行运算即可；

（2）先化简，再算加减即可．

【解答】解：（1）

＝

＝2

＝；

（2）

＝

＝

＝．

5．计算：

（1）；

（2）．

【分析】（1）根据平方差公式和二次根式的乘法可以解答本题；

（2）先化简，然后合并同类项和同类二次根式即可．

【解答】解：（1）

＝5﹣2﹣[（+1）（﹣1）]×（﹣1）

＝5﹣2﹣（2﹣1）×（﹣1）

＝5﹣2﹣1×（﹣1）

＝5﹣2﹣+1

＝4﹣；

（2）

＝+﹣2+2﹣2+1

＝2+3﹣2+2﹣2+1

＝8﹣4．

6．化简题：

（1）；

（2）﹣2．

【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答；

（2）先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．

【解答】解：（1）

＝5﹣2+2+2

＝7；

（2）﹣2

＝2﹣4﹣2，

＝﹣﹣2

＝﹣2．

类型二  与二次根式有关的化简求值

【直接型化简求值】

7．若a＝，求a4﹣10a3+a2﹣20a+5的值．

【分析】根据二次根式的性质化简a，根据完全平方公式计算，得到答案．

【解答】解：∵a＝＝+5，

∴a﹣5＝，

∴（a﹣5）2＝26，

∴a2﹣10a+25＝26，

∴a2﹣10a＝1，

则a4﹣10a3+a2﹣20a+5

＝a2（a2﹣10a）+（a2﹣10a）﹣10a+5

＝a2﹣10a+6

＝7．

8．先化简，再求值；+x﹣4y﹣，其中x＝，y＝4．

【分析】根据二次根式的性质、合并同类二次根式的法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝5+x•﹣4y•﹣•y

＝5+﹣4﹣

＝2﹣，

当x＝，y＝4时，原式＝2﹣＝﹣2．

【利用其非负性化简求值】

9．已知x，y为实数，且，求的值．

【分析】根据二次根式有意义的条件求出x、y，根据算术平方根的概念计算即可．

【解答】解：∵，

∴x﹣9≥0，9﹣x≥0，

∴x＝9，

∴y＝4，

∴+

＝+

＝3+2

＝5．

10．已知：，求的值．

【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，以此即可得到结果．

【解答】解：由可得，

，

∴，

∴y＞2，

∴

＝

＝

＝﹣1+5﹣2

＝2．

【新定义型化简求值】

11．对于任意的正数m，n，定义新运算“※”为：m※n＝，请依据新运算计算：（3※2）×（8※12）．

【解答】解：∵3＞2，8＜12，

∴（3※2）×（8※12）

＝（）×（）

＝（）×（）

＝2（）×（）

＝2．

12．对实数a、b，定义“★”运算规则如下：a★b＝，求★（★）的值

【解答】解：∵＜，

∴★＝，

则原式＝★

＝

＝

＝

＝2

【利用整体思想化简求值】

13．已知，b＝．

求：（1）ab﹣a+b的值；

（2）求a2+b2+2的值．

【解答】解：（1）a＝＝，

b＝＝，

∴ab＝（）（）＝6﹣5＝1，

a﹣b＝（+）﹣（）＝+﹣+＝2，

∴原式＝ab﹣（a﹣b）

＝1﹣2，

即ab﹣a+b的值为1﹣2

（2）原式＝（a﹣b）2+2ab+2

＝（2）2+2×1+2

＝20+2+2

＝24，

即a2+b2+2的值为24．

14．已知x＝2﹣，y＝2+，求代数式x2+2xy+y2的值．

【解答】解：∵x＝2﹣，y＝2+，

∴x2+2xy+y2

＝（x+y）2

＝（2﹣+2+）2

＝42

＝16．

15．在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：

已知a＝，求2a2﹣8a+1的值．他是这样解答的：

∵a＝＝＝2﹣，

∴a﹣2＝﹣．

∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3．

∴a2﹣4a＝﹣1．

∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

（1）＝　﹣　；

（2）化简+++……+；

（3）若a＝，求a4﹣4a3﹣4a+3的值．

【解答】解：（1）＝＝﹣；

故答案为﹣；

（2）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣

＝﹣1

＝13﹣1

＝12；

（3）∵a＝＝+2，

∴a﹣2＝，

∴（a﹣2）2＝5，即a2﹣4a+4＝5．

∴a2﹣4a＝1．

∴a4﹣4a3﹣4a+3＝a2（a2﹣4a）﹣4a+3

＝a2×1﹣4a+3

＝a2﹣4a+3

＝1+3

＝4．

【综合应用】

16．著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题：

数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去里面的一层根号．

例如：＝＝＝＝1+．

解决问题：

（1）在括号内填上适当的数：＝＝③

①：　5　，②：　　，③　3+　．

（2）根据上述思路，化简并求出+的值．

【分析】（1）模仿样例进行解答便可；

（2）把28看成，7看成，借助完全平方公式将每个根号内化成完全平方数的形式，便可开方计算得结果．

【解答】解：（1）由题意得，＝＝3+，

则①＝5，②＝，③＝3+，

故答案为：①5；②；③3+；

（2）+

＝

＝

＝5﹣

＝7．

17．观察下列等式：；；…你根据观察得到的结论，解答下列各题：

（1）猜想：＝　　；

（2）解方程：．

【分析】（1）根据阅读部分提供的方法直接可得答案；

（2）根据阅读部分的方法把方程化为x＝3，再解方程即可．

【解答】解：（1）由题意可得：．

故答案为：；

（2）∵，

∴，

∴x＝3，

解得：x＝＝＝．

18．小明在复习二次根式的性质后，在一本数学资料上看到这样一道题及它的解法：

请根据表中的解法，回答下列问题：

（1）这个问题的解法主要用了二次根式的 　乘除　（填“乘除”或“加减”）．

（2）利用上述解法解答问题：已知a＝，b＝，试用含a，b的式子表示．

【分析】（1）根据二次根式的乘除法即可求解；

（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案．

【解答】解：（1）这个问题的解法主要用了二次根式的乘除．

故答案为：乘除．

（2）＝＝＝××＝ab＝．