【重难点讲义】浙教版数学七年级上册-第03讲 绝对值相加求最值问题专题探究

第3讲  绝对值相加求最值问题专题探究

【知识点睛】

        绝对值内表达式加减的几何意义

|a|：表示一个数a在数轴上对应的点与原点之间的距离

|x-a|：表示数轴上的数x到数a的距离

|x+a|：因为|x+a|=|x-(-a)|,所以可表示数轴上的数x到数-a的距离

        绝对值相加求最小值的方法总结：

①|x-a|最小值=0     点x与点a重合（即x=a）

②|x-a|+|x-b|：表示数轴上点x到点a、点b的距离之和

当|x-a|+|x-b|取最小值时     点x位于点a、点b之间（可以与a、b重合）    |x-a|+|x-b|最小值=|a-b|

③|x-a|+|x-b|+|x-c|：表示数轴上点x到点a的距离、点x到点b的距离和点x到点c的距离之和

若a＜b＜c，则当点x与点b重合时     |x-a|+|x-b|+|x-c|最小值=c-a

        易错技巧总结：

若求|x-a|+|x+b|、|x-a|+|x+b|+|x-c|等类型的最小值，则表示求点x到点a、点-b的距离之和最小，将-b表示出来后，方法同上

【类题训练】

1．式子﹣6+|x+2|的最小值为 　 　．

2．已知a＜0且|2a|x≤3a，则|2x﹣1|﹣|x﹣2|最小值为 　  　．

3．代数式|x+1009|+|x+506|+|x﹣1012|的最小值是 　   　．

4．如果a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，那么代数式a+b+c的最小值为 　 　．

5．已知有理数a，b，c都不为零，那么++﹣的最大值是 　  　，最小值是 　   　．

6．若x为任意有理数，|x|表示在数轴上x表示的点到原点的距离，|x﹣a|表示在数轴上x表示的点到a表示的点的距离，则|x﹣3|+|x+1|的最小值为 　  　．

7．化简并填空：

（1）当﹣≤x≤1时，化简|3x+1|﹣2|x﹣1|；

（2）当|x|+|x+4|最小时，|3x+1|﹣2|x﹣1|的最大值为　  　．

8．综合应用题：

|m﹣n|的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．

（1）|x|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与 　  　之间的距离，|x|　 　|x﹣0|；（选填“＞”“＜”或“＝”）

（2）|2﹣1|几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离，则|2﹣1|＝　 　；

（3）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣3|＝1，则x＝　  　；

（4）|x﹣（﹣2）|的几何意义是数轴上表示 　 　的点与表示 　 　的点之间的距离，若|x﹣（﹣2）|＝2，则x＝　   　；

（5）找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣（﹣5）|+|x﹣2|＝7这样的整数是 　                    　．

9．已知a为整数

（1）|a|能取最　 　（填“大”或“小”）值是　 　．此时a＝　 　．

（2）|a|+2能取最　 　（填“大”或“小”）值是　 　．此时a＝　 　．

（3）2﹣|a﹣1|能取最　 　（填“大”或“小”）值是　 　．此时a＝　 　．

（4）|a﹣1|+|a+2|能取最　 　（填“大”或“小”）值是　 　．此时a＝　       　．

10．如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，c满足以下关系式：|a+3|+（c﹣9）2＝0，b＝1．

（1）a＝　  　，c＝　  　；

（2）若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数 　  　表示的点重合；

（3）若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式|x﹣a|+|x﹣b|+|x﹣c|取得最小值时，此时x＝　  　，最小值为 　   　．

11．阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，在数轴上A、B两点之间的距离AB＝|a﹣b|．回答下列问题：

（1）数轴上表示﹣3和1两点之间的距离是 　  　，数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是 　   　；

（2）数轴上表示a和1的两点之间的距离为6，则a表示的数为 　    　；

（3）若x表示一个有理数，则|x+2|+|x﹣4|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．

12．认真阅读下面的材料，完成有关问题：

材料：在学习绝对值时，我们已了解绝对值的几何意义，如|5﹣3|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；又如|5+3|＝|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在数轴上对应的两点之间的距离．因此，一般地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B之间的距离（也就是线段AB的长度）可表示为|a﹣b|．

因此我们可以用绝对值的几何意义按如下方法求|x﹣1|+|x﹣2|的最小值；|x﹣1|即数轴上x与1对应的点之间的距离，|x﹣2|即数轴上x与2对应的点之间的距离，把这两个距离在同一个数轴上表示出来，然后把距离相加即可得原式的值．

设A、B、P三点对应的数分别是1、2、x．

当1≤x≤2时，即P点在线段AB上，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB＝1；

当x＞2时，即P点在B点右侧，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB+2PB＞AB；

当x＜1时，即P点在A点左侧，此时|x﹣1|+|x﹣2|＝PA+PB＝AB+2PA＞AB；

综上可知，当1≤x≤2时（P点在线段AB上），|x﹣1|+|x﹣2|取得最小值为1．

请你用上面的思考方法结合数轴完成以下问题：

（1）满足|x+3|+|x﹣4|＞7的x的取值范围是　        　．

（2）求|x+1|﹣|x﹣2|的最小值为　   　，最大值为　    　．

备用图：

13．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．我们知道|4|＝|4﹣0|，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子|7﹣3|，它的几何意义是数轴上表示数7的点与表示数3的点之间的距离．也就是说，在数轴上，如果点A表示的数记为a，点B表示的数记为b，则A，B两点间的距离就可记作|a﹣b|．

回答下列问题：

（1）几何意义是数轴上表示数2的点与数﹣3的点之间的距离的式子是 　       　；式子|a+5|的几何意义是 　                                      　；

（2）根据绝对值的几何意义，当|m﹣2|＝3时，m＝　     　；

（3）探究：|m+1|+|m﹣9|的最小值为 　   　，此时m满足的条件是 　      　；

（4）|m+1|+|m﹣9|+|m﹣16|的最小值为 　  　，此时m满足的条件是 　    　．

14．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：

（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　  　；表示﹣3和2两点之间的距离是　  　；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝　    　．

（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为　   　；

（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是　  　．

（4）当a＝　  　时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是　   　．

15．阅读下列有关材料并解决有关问题．

我们知道，现在我们可以利用这一结论来化简含有绝对值的代数式．例如：化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x＝﹣1和x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在有理数范围内，零点值x＝﹣1和x＝2可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．从而在化简|x+1|+|x﹣2|时，可分以下三种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝（x+1）+（x﹣2）＝2x﹣1．通过以上阅读，请你解决问题：

（1）|x﹣3|+|x+4|的零点值是 　          　；

（2）化简代数式|x﹣3|+|x+4|；

（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；

（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值为 　   　，此时x的取值范围为 　          　．

16．同学们都知道，|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索

（1）求|5﹣（﹣2）|＝　  　；

（2）同样道理|x+1008|＝|x﹣1005|表示数轴上有理数x所对点到﹣1008和1005所对的两点距离相等，则x＝　    　

（3）类似的|x+5|+|x﹣2|表示数轴上有理数x所对点到﹣5和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，这样的整数是　             　．

（4）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．

17．我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A、B，分别用a，b表示，那么A、B两点之间的距离为：AB＝|a﹣b|．利用此结论，回答以下问题：

（1）数轴上表示2和5的两点的距离是　 　，数轴上表示﹣20和﹣5的两点之间的距离是　  　，数轴上表示15和﹣30的两点之间的距离是　  　．

（2）数轴上表示x和﹣1的两点A，B之间的距离是　    　，如果|AB|＝2，那么x是　     　．

（3）式子|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的最小值是　  　．