【重难点讲义】浙教版数学九年级上册-第02讲 二次函数图象与系数的关系

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第2讲 二次函数图象与系数的关系
考点：由二次函数图象中符号判断类问题总结
【知识点睛】
v 一般式中a、b、c的作用

作用
特别记忆
a

|a|越大，抛物线开后越小
b

简称：“左同右异”

b=0时，抛物线对称轴为y轴
c

c=0时，抛物线过原点
v 其他常见形式
1.只含有a、b两个字母时，想对称轴；
如：2a+b与0的大小→找对称轴与1的左右关系；
2a-b与0的大小→找对称轴与-1的左右关系；
a+b与0的大小→找对称轴与的左右关系；
a- b与0的大小→找对称轴与的左右关系；
2.含有a、b、c三个字母，且a 和b系数是平方关系时，给x取值，结合图像上下判断;
如∶二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），
①a+b+c与0的大小：
∵当x=1时，y=a+b+c，
∴看x=1时，对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，
上方则a+b+c＞0，下方则a+b+c＜0；
②a-b+c与0的大小：找x=-1时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
③4a+2b+c与0的大小：找x=2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
④4a-2b+c与0的大小：找x=-2时对应抛物线上的点在x轴上方还是下方，具体方法同上
3.含有b2和4ac时，想顶点纵坐标，或用图象与图象的交点个数想△.
4.只含有a、c或者只含有b、c时，通常对称轴已知，常需要将一部分的a或b转化成b或a，最后转化成a+b+c或a-b+c结论判断.
5.其他类型，可考虑给x取特殊值，联立方程进行判断;也可结合函数最值，图像增减性进行判断.
【类题训练】——作业建议：第4、5、6、10、12、13、14、19、24、26题
1．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图，其中b，c的值可能是（　　）

A．b＝﹣3，c＝3 B．b＝3，c＝﹣3 C．b＝3，c＝3 D．b＝﹣3，c＝﹣3
【分析】由抛物线开口方向得到a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置得到c＞0，据此选择即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
故选：C．
2．已知，在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．
【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，
∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴正半轴．
故选：B．
3．一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
B、由抛物线可知，a＞0，x＝﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；
C、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项错误；
D、由抛物线可知，a＜0，x＝﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；
故选：D．
4．在同一平面直角坐标系中，反比例函数y＝﹣（k≠0）与二次函数y＝x2﹣kx﹣k的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据k的取值范围分当k＞0时和当k＜0时两种情况进行讨论，根据反比例函数图象与性质以及二次函数图象与性质，结合图形进行判断即可．
【解答】解：当k＞0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过二、四象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝在y轴右侧，并与y轴交于负半轴，则C选项不符合题意，D选项符合题意；
当k＜0时，反比例函数y＝﹣（k≠0）的图象经过一、三象限，二次函数y＝x2﹣kx﹣k图象的对称轴x＝ 在y轴左侧，并与y轴交于正半轴，则A、B选项都不符合题意；
故选：D．
5．已知四个二次函数的图象如图所示，那么a1，a2，a3，a4的大小关系是　a1＞a2＞a3＞a4　．（请用“＞”连接排序）

【分析】直接利用二次函数的图象开口大小与a的关系进而得出答案．
【解答】解：如图所示：①y＝a1x2的开口小于②y＝a2x2的开口，则a1＞a2＞0，
③y＝a3x2的开口大于④y＝a4x2的开口，开口向下，则a4＜a3＜0，
故a1＞a2＞a3＞a4．
故答案为：a1＞a2＞a3＞a4
6．小明同学在用描点法画二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）图象时，列出了下面表格：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
2
3
6
…
则m的值是 　6　．
【分析】根据题目提供的满足二次函数解析式的x、y的值，确定二次函数的对称轴，利用对称轴找到一个点的对称点的纵坐标即可．
【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0，3）和点（2，3），
∴对称轴为x＝1，
∴当x＝﹣1时的函数值等于当x＝3时的函数值，
∵当x＝3时，y＝6，
∴当x＝﹣1时，m＝6．
故答案为：6．
7．若直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是　0＜m＜2　．
【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．
【解答】解：如图所示：当x＝2时，y＝2，
故直线y＝m（m为常数）与函数y＝的图象恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是：0＜m＜2．
故答案为：0＜m＜2．

8．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：
①＞0；②2b﹣4ac＝1；③a＝；④c＝2b﹣1．
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由OB＝2OC可得抛物线经过（﹣2c，0），将（﹣2c，0）代入解析式可判断②，由抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0）可得x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，根据一元二次方程根与系数的关系可判断③，由a的值及4a﹣2b+c＝0可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴＜0，①错误．
∵OB＝2OC，
∴抛物线经过（﹣2c，0），
∴4ac2﹣2bc+c＝0，
∴4ac﹣2b+1＝0，
∴2b﹣4ac＝1，②正确．
∵抛物线经过（﹣2，0），（﹣2c，0），
∴x1＝2，x2＝2c为方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴x1•x2＝＝4c，
∴a＝．③正确．
∵抛物线经过（﹣2，0），
∴4a﹣2b+c＝0，
∴1﹣2b+c＝0，
∴c＝2b﹣1，④正确．
故选：C．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象经过（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③8a+7b+2c＞0；④当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线对称轴为直线x＝2可判断①，由图象可得x＝﹣3时，y＜0，从而判断②，由抛物线经过（﹣1，0）可得c与a的关系，即可判断③，由图象可得﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，可判断④．
【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．
由图象可得x＝﹣3时，y＜0，
∴9a﹣3b+c＜0，
∴9a+c＜3b，②错误．
∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝5a+c＝0，
∴c＝﹣5a，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴8a+7b+2c＝8a﹣28a﹣10a＝﹣30a＞0，③正确．
由图象可得﹣1＜x＜2时，y随x增大而增大，
∴当x＞﹣1且x＜0时，y的值随x值的增大而增大，④正确．
故选：C．
10．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，其部分图象交x轴负半轴交于点A，交y轴正半轴于点B，如图所示，则下列结论：
①b2﹣4ac＞0；②2a﹣b＝0；③m（am+b）≤a﹣b（m为任意实数）；
④点是该抛物线上的点，且y1＜y2＜y3．
其中正确的有（　　）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【分析】由抛物线与x轴的交点个数可判断①，由抛物线对称轴为直线x＝﹣1可判断②，由抛物线开口向下及对称轴为直线x＝﹣1可得a﹣b+c≥am2+bm+c，从而判断③，根据各点与对称轴的距离大小可判断④．
【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，①正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∴2a﹣b＝0，②正确．
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴x＝﹣1时y取最大值，
∴a﹣b+c≥am2+bm+c，
∴m（am+b）≤a﹣b，③正确．
∵﹣1﹣（﹣）＜﹣（﹣1）＜﹣1﹣（﹣），
∴y2＞y3＞y1，④错误．
故选：A．
11．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴负半轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论：①abc＜0；②c﹣a＞0；③当x＝﹣k2﹣2（k为任意实数）时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由抛物线对称轴及抛物线与y轴交于正半轴可得b，c的符号，从而判断①，由x＝﹣1时y＜0及b与a的关系可判断②，由抛物线的对称性可得抛物线经过（﹣2，c），
由x＜﹣1时，y随x增大而减小可判断③，将方程的解的问题转化为图象交点问题，根据抛物线开口向上可判断④．
【解答】解：∵抛物线与y轴交与正半轴，
∴c＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＞0，
∴abc＞0，①错误．
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，即a+c＜2a，
∴c＜a，
∴c﹣a＜0，②错误．
∵抛物线经过（0，c），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线经过（﹣2，c），
∵x＜﹣1时，y随x增大而减小，﹣k2﹣2≤﹣2，
∴x＝﹣k2﹣2时，y≥c．③正确．
∵x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交点横坐标为x1，x2，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与直线y＝1的交点在x轴上方，
∴m＜x1＜x2＜n，④正确．
故选：B．
12．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，下列结论：①abc＜0；②（9a+c）2＜（3b）2；③若顶点坐标为（﹣2，﹣7a），则5a﹣2b﹣c＝0；④若（x1，y1）和（x2，y2）是抛物线上的两点，则当|x1+2|＞|x2+2|时，y1＜y2；其中正确的结论有（　　）

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线经过（﹣5，0）及抛物线对称轴为直线x＝﹣2可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得x＝﹣3及x＝3时y的符号，从而判断②，将b＝4a及顶点坐标代入解析式可得c与a的关系，从而判断③，根据|x1+2|＞|x2+2|可得点到对称轴的距离大小关系，结合图象可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，①正确．
由图象可得x＝﹣3时，y＝9a﹣3b+c＜0，
∵抛物线经过（﹣5，0），对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线经过（1，0），
∴x＝3时，y＝9a+3b+c＞0，
∴（9a+c）2﹣（3b）2＝（9a+3b+c）（9a﹣3b+c）＜0，
即（9a+c）2＜（3b）2，②正确．
∵b＝4a，
∴y＝ax2+4ax+c，
将（﹣2，﹣7a）代入y＝ax2+4ax+c得﹣7a＝4a﹣8a+c，
解得c＝﹣3a，
∴5a﹣2b﹣c＝5a﹣8a+3a＝0，③正确．
∵|x1+2|＞|x2+2|，
∴点（x1，y1）到对称轴距离大于点（x2，y2）到对称轴的距离，
∴y1＞y2.④错误．
故选：C．
13．如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴a＜0，c＞0，
∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，且过点（3，0），
∴b＝﹣2a＞0，抛物线过点（﹣1.0）．
∴abc＜0，a﹣b+c＝0．
∴①错误，②正确．
∵抛物线开口向下，对称轴是直线x＝1，
∴当x＝1时，y有最大值＝a+b+c＝﹣2a+（﹣3a）＝﹣5a，
其值与a有关，
∴③错误．
∵方程ax2+bx+c+1＝0的根即是y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的交点，
由图象知，y＝ax2+bx+c的图象与y＝﹣1的图象有两个交点．
∴④正确．
∵抛物线过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴a+2a+c＝0，
∴3a+c＝0，
∴4a+c＝a＜0，
∴⑤正确．
故选：C．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其顶点为（，1），有下列结论：①ac＜0；②函数最大值为1；③b2﹣4ac＜0；④2a+b＝0．其中，正确结论的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由抛物线开口方向，与y轴交点位置可判断①，由抛物线开口方向及顶点坐标可判断②，由抛物线与x轴交点个数可判断③，由抛物线对称轴为直线x＝可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴ac＜0，①正确．
∵抛物线开口向下，顶点为（，1），
∴函数最大值为y＝1，②正确．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，③错误．
∵﹣＝，
∴b＝﹣a，
∴a+b＝0，④错误．
故选：B．
15．已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（　　）
A．开口向下 B．顶点在第一象限 C．a≥1 D．当x＞1时，y的最小值为﹣1
【分析】由抛物线的解析式化成顶点式，即可求得顶点为（﹣1，﹣1），得到顶点在第三象限，由二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限可知抛物线开口向上，a﹣1≥0，即可得到a≥1，根据二次的性质即可得到x≥﹣1时，y的最小值为﹣1．
【解答】解：∵y＝ax2+2ax+a﹣1＝a（x+1）2﹣1，
∴顶点为（﹣1，﹣1），
∴顶点在第三象限，
∵二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1的图象只经过三个象限，
∴抛物线开口向上，a﹣1≥0，
∴a≥1，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，
∴x≥﹣1时，y的最小值为﹣1，
故A、B、D错误，C正确；
故选：C．
16．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝2OC，点B的坐标为（﹣1，0），顶点为D，对称轴与x轴交于点E，则下列结论：①abc＞0，②a+c＜0，③a＝，④当c＜﹣1时，在线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，其中正确的结论的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】由OA＝2OC，点B坐标为（1，0）可得x＝﹣1和x＝﹣2c为方程ax2+bx+c＝0的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得2c＝，从而判断①，由抛物线开口方向，对称轴的位置及抛物线与y轴交点位置可判断②，由c＜﹣1可得OC＞OB，即∠ABC＞45°，从而可得判断③．
【解答】解：∵y＝ax2+bx+c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），c＜0，
∴点A坐标为（﹣2c，0），
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴x＝﹣1和x＝﹣2c为方程ax2+bx+c＝0的两个根，
∴﹣1×（﹣2c）＝2c＝，
∴a＝，③正确，
∵抛物线对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，①正确．
∵抛物线经过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，即a+c＝b＜0，②正确．
当c＝﹣1时，OB＝OC，∠ABC＝45°，
∵c＜﹣1，
∴OC＞OB，
∴∠ABC＞45°，
∴线段DE上一定存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，③正确．
故选：C．
17．二次函数y＝ax2﹣6ax﹣5（a≠0），当5≤x≤6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【分析】根据二次函数的性质求出y的范围，再求a的范围．
【解答】解：原函数化为：y＝a（x﹣3）2﹣9a﹣5，
当a＞0时，抛物线开口向上，对称轴是直线x＝3，
∴当5≤x≤6时，y随x的增大而增大，
∴﹣5a﹣5≤y≤﹣5，
∵y的整数值只有4个，
∴﹣9＜﹣5a﹣5≤﹣8，
∴≤a＜，
当a＜0时，抛物线开口向下，对称轴是直线x＝3，
∴当5≤x≤6时，y随x的增大而减小，
∴﹣5≤y≤﹣5a﹣5，
∵y的整数值只有4个，
∴﹣2≤﹣5a﹣5＜﹣1，
∴﹣＜a≤﹣．
综上：﹣＜a≤﹣或≤a＜，
故选：D．
18．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的顶点为（1，n），抛物线与x轴交于点A（3，0），则下列结论：
①abc＞0；②若方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，且满足x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3；
③关于x的方程ax2+bx+c﹣n+1＝0有两个不等的实数根；④2c﹣a＜2n．
其中，正确的结论有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用待定系数法求得抛物线的系数之间的关系式，利用数形结合的方法得到a，b，c的符号，再利用二次函数的性质对每个结论进行逐一判断即可．
【解答】解：由题意得：﹣＝1，
∴b＝﹣2a．
∵抛物线的开口方向向上，
∴a＞0．
∴b＜0．
∵抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，
∴c＜0．
∴abc＞0．
∴①的结论正确；

∵方程ax2+bx+c﹣1＝0的解是x1，x2，
∴抛物线与直线y＝1的交点的横坐标为x1，x2，
∵对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴交于点A（3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），
∵抛物线开口向上，
∴x1＜﹣1，x2＞3，
∴②的结论正确；

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），
∴二次函数有最小值n．
∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝n﹣1没有公共点．
∴方程ax2+bx+c＝n﹣1无解．
即方程ax2+bx+c﹣n+1＝0没有实数根．
∴③的结论错误；

∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的顶点坐标是（1，n），
∴n＝a+b+c．
∵b＝﹣2a，
∴n＝﹣a+c，
∴2n＝﹣2a+2c，
∴2n﹣（﹣a+2c）＝﹣a＜0，
∴2c﹣a＞2n，
∴④的结论错误．
综上，正确的结论为：①②，
故选：B．
19．如图．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，结合图象给出下列结论：①a+b+c＝0；②a﹣2b+c＜0；③若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝5（a≠0）的一根是3，则另一根是﹣5；④若点（﹣4，y1），（﹣2，y2），（3，y3）均在二次函数图象上，则y1＜y2＜y3．其中正确的结论的序号为 　①②③　．

【分析】由抛物线经过（1，0）可判断①，由抛物线对称轴可得b＝2a，由抛物线与y轴交点位置可得c＜0，从而判断②，由抛物线的对称性及二次函数与方程的关系可判断③，根据各点与抛物线对称轴的距离大小可判断④．
【解答】解：∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，①正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴a﹣2b+c＝﹣3a+c＜0，②正确．
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线上的点（3，5）关于对称轴的对称点坐标为（﹣5，5），
∴方程ax2+bx+c＝5的另一个根是﹣5，③正确．
∵﹣1﹣（﹣2）＜﹣1﹣（﹣4）＜3﹣（﹣1），抛物线开口向上，
∴y2＜y1＜y3．④错误．
故答案为：①②③．
20．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的部分图象如图所示，设m＝a﹣b+c，则m的取值范围是 　﹣4＜m＜0　．

【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得a，b，c的等量关系，然后将x＝﹣1代入解析式求解．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴﹣＜0，
∴b＞0，
∵抛物线经过（0，﹣2），
∴c＝﹣2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴a+b＝2，b＝2﹣a，
∴y＝ax2+（2﹣a）x﹣2，
当x＝﹣1时，y＝a+a﹣2﹣2＝2a﹣4，
∵b＝2﹣a＞0，
∴0＜a＜2，
∴﹣4＜2a﹣4＜0，
故答案为：﹣4＜m＜0．
21．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论正确的有 　②④　.（填序号）
①abc＜0；②b﹣4a＝0；③（a+c）2＜b2；④若当x＝0时，y＝2.5，则有．

【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①②，由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，从而判断③，由x＝0时，y＝2.5，可得c＝，再由x＝2时y＞0，x＝3时，y＜0，列不等式求解可判断④．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴b＝4a＜0，b﹣4a＝0，②正确．
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，①错误．
由图象可得x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＞0，
∴（a﹣b+c）（a+b+c）＝（a+c）2﹣b2＞0，
∴（a+c）2＞b2，③错误．
∵当x＝0时，y＝2.5，
∴c＝，
∵x＝2时y＞0，x＝3时，y＜0，
∴，即，
解得．
∴④正确．
故答案为：②④．
22．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
x
…
﹣1
0
1
2

…
y＝ax2+bx+c
…
m
﹣1
﹣1
n
t
…
且当x＝﹣时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①abc＞0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣；④m+n＞．其中，正确的结论是 　①③④　．
【分析】由抛物线经过（0，﹣1），（1，﹣1）可得抛物线对称轴为﹣＝，c＝﹣1，再根据x＝﹣时，y＞0可判断a与b的符号，进而判断①②，由抛物线的对称性可得抛③物线经过点（1﹣，t），从而判断③，由x＝﹣时，y＞0可判断a的取值范围，进而判断④．
【解答】解：∵抛物线经过（0，﹣1），（1，﹣1），
∴抛物线对称轴为直线x＝，c＝﹣1
∵x＝0时，y＜0，x＝﹣时y＞0，
∴x＜时，y随x增大而减小，即图象开口向上，
∴a＞0，
∵﹣＝，
∴b＝﹣a＜0，
∴abc＞0，①正确．
∵x＞时，y随x增大而增大，
∴x＞1时，y随x增大而增大，
∴②错误．
∵抛物线经过（，t），抛物线的对称轴为直线x＝，
∴抛物线经过点（1﹣，t），
∴关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根是和1﹣，③正确．
∵b＝﹣a，c＝﹣1，
∴y＝ax2﹣ax﹣1，
当x＝﹣时，y＝a+a﹣1＞0，
∴a＞．
当x＝﹣1时，m＝2a﹣1，当x＝2时，n＝2a﹣1，
∴m+n＝4a﹣2＞，④正确．
故答案为：①③④．
23．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，抛物线的对称轴为x＝1，下列结论：①abc＜0；②ac+b+1＝0；③2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根；④a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，其中正确结论的序号有 　②④　．

【分析】由开口方向得a＞0，由对称轴得b＝﹣2a＜0，由与y轴的交点得c＜0，然后得abc的正负，由OA＝OC，得函数图象经过点（c，0），从而得ac+b+1的值，进而判断2+c是否是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，最后由开口方向和对称轴得到函数的最小值判断④．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在y轴负半轴上，
∴c＜0，点（0，c）在抛物线上，
∴abc＞0，故①错误，不符合题意；
∵OA＝OC，
∴函数图象经过点（c，0），
∴ac2+bc+c＝0，
∴ac+b+1＝0，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，
∴函数图象与x轴的交点B的坐标为（2﹣c，0），
∴2+c不是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根，故③错误，不符合题意；
∵开口向上，对称轴为直线x＝1，
∴当x＝1时，y的最小值为a+b+c，
∴am2+bm+c≥a+b+c，
∴a（m2﹣1）+b（m﹣1）≥0，故④正确，符合题意；
∴正确的序号有②④，
故答案为：②④．
24．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2﹣1（m为常数）的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C．
（1）若把二次函数图象向下平移3个单位恰好过原点，求m的值．
（2）①若P（m﹣3，y1），Q（m+2，y2）在已知的二次函数图象上，比较y1，y2的大小；
②求△ABC的面积．
【分析】（1）求出平移后抛物线解析式，由抛物线经过原点求解．
（2）①由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据P，Q到对称轴的距离大小求解．
②由抛物线解析式可得抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标，进而求解．
【解答】解：（1）二次函数图象向下平移3个单位后解析式为y＝x2﹣2mx+m2﹣4，
由题意得m2﹣4＝0，
解得m＝±2．
（2）①∵y＝x2﹣2mx+m2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵m﹣（m﹣3）＞m+2﹣m，
∴y1＞y2．
②令x2﹣2mx+m2﹣1＝0，则（x﹣m）2＝1，
解得x1＝m﹣1，x2＝m+1，
∴AB＝2，点C坐标为欸（m，﹣1），
∴S△ABC＝AB•|yC|＝×2×1＝1．
25．已知抛物线y＝﹣x2+（b+1）x+c经过点P（﹣1，﹣2b）．
（1）若b＝﹣3，求这条抛物线的顶点坐标；
（2）若b＜﹣3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP＝3AP，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．
【分析】（1）将b＝﹣3代入抛物线解析式及点P坐标，通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线对称轴为直线x＝及b＜﹣3，可得抛物线对称轴与点P的位置关系，从而可得点P，点A，点B的横坐标，即可求出抛物线对称轴，进而求解．
【解答】解：（1）∵b＝﹣3，
∴y＝﹣x2﹣2x+c，点P坐标为（﹣1，6），
将（﹣1，6）代入y＝﹣x2﹣2x+c得6＝﹣1+2+c，
解得c＝5，
∴y＝﹣x2﹣2x+5＝﹣（x+1）2+6，
∴抛物线顶点坐标为（﹣1，6）．
（2）∵y＝﹣x2+（b+1）x+c，
∴抛物线对称轴为直线x＝，
∵b＜﹣3，
∴＜﹣1，
∴抛物线对称轴在点P左侧，
∴AP＝1，
∵BP＝3AP＝3，
∴AB＝AP+BP＝4，
∴点B横坐标为x＝﹣4，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝＝﹣，
∴b＝﹣6，y＝﹣x2﹣5x+c，点P坐标为（﹣1，12），
将（﹣1，12）代入y＝﹣x2﹣5x+c得12＝﹣1+5+c，
解得c＝8，
∴y＝﹣x2﹣5x+8．
26．已知二次函数y＝ax2+bx﹣3（a≠0）．
（1）若函数图象的对称轴为直线x＝1，且顶点在x轴上，求a的值；
（2）若a＝1，b＝2，点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，请分别求出m，n的取值范围；
（3）若点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，求证：a2+b2≥．
【分析】（1）利用待定系数法解得即可；
（2）求得抛物线与xzhou 负半轴的交点坐标与抛物线的顶点坐标，根据第三象限点的坐标的特征解答即可；
（3）利用待定系数法将点P坐标代入整理得到b与a的关系式，计算a2+b2的值，再利用配方法解答即可．
【解答】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
∴b＝﹣2a．
∵二次函数y＝ax2+bx﹣3的顶点在x轴上，
∴b2﹣4a×（﹣3）＝0，
∴4a2+12a＝0，
∵a≠0，
∴a＝﹣3；
（2）解：若a＝1，b＝2，则y＝x2+2x﹣3，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线y＝x2+2x﹣3的顶点坐标为（﹣1，﹣4），
∵a＝1＞0，
∴抛物线y＝x2+2x﹣3的的开口方向向上，
令y＝0，则x2+2x﹣3＝0，
解得：x＝﹣3或1．
∴抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于点（﹣3，0）和（1，0）．
∵点（m，n）为该二次函数图象在第三象限内的点，
∴﹣3＜m＜0，﹣4≤n＜0；
（3）证明：∵点P（a，a﹣3）始终是函数图象上的点，
∴a•a2+b•a﹣3＝a﹣3．
∴a3+ab＝a．
∵a≠0，
∴a2+b＝1．
∴b＝1﹣a2．
∴a2+b2＝a2+（1﹣a2）2＝a4﹣a2+1＝，
∵≥0，
∴a2+b2有最小值，
∴a2+b2≥．
27．在直角坐标系中，设函数y1＝ax2+bx﹣a（a，b是常数，a≠0）．
（1）已知函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1图象的顶点在函数y2＝2ax的图象上，求证：b＝2a．
（3）已知点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，且k≠0．当y1＞0时，求自变量x的取值范围．
【分析】（1）将已知点代入函数表达式即可．
（2）先不是函数顶点坐标，代入y2表达式即可．
（3）根据二次函数性质求解．
【解答】解：（1）函数y1的图象经过点（1，2）和（﹣2，﹣1），
∴．
∴a＝1，b＝2．
∴y1＝x2+2x﹣1．
（2）y1＝ax2+bx﹣a＝a﹣．
∴顶点坐标为（﹣，﹣）．
∵抛物线的顶点在y2＝2ax的图象上，
∴﹣＝﹣2a×，
∴b2+4a2＝4ab．
∴（b﹣2a）2＝0．
∴b＝2a．
（3）∵点A（﹣2，0），B（1，k2﹣a）在函数y1的图象上，
∴．
∴a＝k2，b＝k2，
∴y1＝k2x2+k2x﹣k2
＝（2x﹣1）（x+2）．
∴当y1＝0时，x＝或x＝﹣2．
∵k≠0，
∴＞0，抛物线开口向上．
∴y1＞0时，x＜﹣2或x＞．
28．抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4）和B（2，0）两点．
（1）求c的值及a，b满足的关系式；
（2）抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），求b的值；
（3）若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，求a的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法解答即可；
（2）利用两点是纵坐标相同，可求得抛物线的对称轴，再利用（1）的结论即可求解；
（3）利用分类讨论的方法分a＞0和a＜0两种情况，结合图象列出不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过A（0，4），
∴c＝4；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过B（2，0），
∴4a+2b+c＝0．
∴4a+2b＝﹣4．
∴a，b满足的关系式为：2a+b＝﹣2；
（2）∵抛物线同时经过两个不同的点M（k，m）和N（﹣2﹣k，m），
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．
∴﹣＝﹣1．
∴b＝2a．
∴b+b＝﹣2．
∴b＝﹣1．
（3）∵2a+b＝﹣2，c＝4，
∴抛物线解析式为y＝ax2+（﹣2﹣2a）x+4＝0．
∴抛物线的对称轴为：x＝﹣＝．
当a＞0时，
∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，
∴抛物线的对称轴经过点B或在点B的右侧．
∴≥2．
∴0＜a≤1．
当a＜0时，
∵抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，
∴抛物线的对称轴经过点A或在点A的左侧．
∴≤0．
∴﹣1≤a＜0．
综上，若抛物线在A和B两点间y随x的增大而减少，a的取值范围为0＜a≤1或﹣1≤a＜0．