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【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第09讲 因式分解单元分类总复习
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这是一份【重难点讲义】浙教版数学七年级下册-第09讲 因式分解单元分类总复习，文件包含第09讲因式分解单元分类总复习原卷版docx、第09讲因式分解单元分类总复习解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
第9讲 因式分解单元分类总复习
考点一 因式分解
知识总结：
1.因式分解与整式乘法的关系：
互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）
2. 因式分解基本步骤：
一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）
二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）
3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底！！！
【类题训练】
1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
B．x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）
C．x2﹣x﹣30＝（x﹣1）x﹣30
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）
＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．3x+3y+3＝3（x+y） B．
C．﹣x2+y2＝（x+y）（x﹣y） D．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝3（x+y+1），不符合题意；
B、原式＝（x+）2，符合题意；
C、原式＝（﹣x+y）（x+y），不符合题意；
D、原式＝（x+2y）（x﹣2y），不符合题意．
故选：B．
3．式子n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
【分析】把式子n2﹣1与n2+n分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
【解答】解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），
∴n2﹣1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
4．下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣9 B．9x﹣9 C．x2﹣6x+9 D．x2+9
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【解答】解：A、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），可以因式分解，不符合题意；
B、9x﹣9＝9（x﹣1），可以因式分解，不符合题意；
C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，可以因式分解，不符合题意；
D、x2+9不可以因式分解，符合题意．
故选：D．
5．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】利用完全平方公式可得结论．
【解答】解：∵4x2+kx+9＝（2x±3）2，
∴k＝±12．
故选：D．
6．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A． B．4a2b2﹣4ab+1
C．y2+10y﹣25 D．
【分析】根据完全平方公式法分别判断即可．
【解答】解：，
故A选项不符合题意；
4a2b2﹣4ab+1＝（2ab﹣1）2，
故B选项不符合题意；
y2+10y﹣25不能用完全平方公式因式分解，
故C选项符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：C．
7．下列多项式：①﹣4m2+9，②9m2﹣4n2，③4m2+12m+9，④9m2﹣6mn+n2．其中有一个相同因式的多项式是（ ）
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：①﹣4m2+9＝﹣（2m+3）（2m﹣3）；
②9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）；
③4m2+12m+9＝（2m+3）2；
④9m2﹣6mn+n2＝（3m﹣n）2．
故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．
故选：C．
8．下列各式：
①﹣x2+y2，②3x2+3y2，③﹣x2﹣y2，④x2+xy+y2，⑤x2+2xy﹣y2，⑥﹣x2+4xy﹣4y2
能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】因式分解可套用公式分别是公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）和公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，所给出的6个多项式中，根据公式结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），两平方项符号相反，能运用平方差公式；
②3x2+3y2两平方项符号相同，不能运用公式；
③﹣x2﹣y2两平方项符号相同，不能运用公式；
④x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式；
⑤x2+2xy﹣y2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式；
⑥﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣y）2，整理后可以利用完全平方公式．
所以①⑥两项能用公式法分解因式．
故选：A．
9．已知20212022﹣20212020＝2021x×2020×2022，则x的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式分解20212022﹣20212020，再根据等式的性质确定x的值．
【解答】解：∵20212022﹣20212020
＝20212020×（20212﹣1）
＝20212020×（2021+1）×（2021﹣1）
＝2022×20212020×2020，
又∵20212022﹣20212020＝2022×2021x×2020，
∴2021×20212020×2021＝2022×2021x×2020．
∴x＝2020．
故选：D．
10．在实数范围内分解因式：2x2﹣4＝ 2（x+）（x-） ．
【分析】首先将原式提公因式2，得2（x2﹣2），再根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣2）=2（x+）（x-），
故答案为：2（x+）（x-）．
11．一个二次二项式分解后其中的一个因式为x﹣3，请写出一个满足条件的二次二项式 x2﹣9 ．
【分析】根据因式分解的定义解决此题．
【解答】解：（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9．
∵x2﹣9是二次二项式，
∴x2﹣9符合题意．
故答案为：x2﹣9．
12．分解因式：（x2﹣5xy）2﹣16y4．
【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．
【解答】解：（x2﹣5xy）2﹣16y4
＝（x2﹣5xy）2﹣（4y2）2
＝[（x2﹣5xy）+（4y2）][（x2﹣5xy）﹣（4y2）]
＝（x2﹣5xy+4y2）（x2﹣5xy﹣4y2）
＝（x﹣y）（x﹣4y）（x2﹣5xy﹣4y2）．
13．将下列各式分解因式：
（1）16x4﹣1；
（2）（2a﹣b）2+8ab．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解即可；
（2）先化简，然后对化简后的式子利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）16x4﹣1
＝（4x2+1）（4x2﹣1）
＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）（2a﹣b）2+8ab
＝4a2﹣4ab+b2+8ab
＝4a2+4ab+b2
＝（2a+b）2．
14．写出下列多项式各项的公因式：
（1）2x2+6x3；
（2）﹣24m2x3+16n2x2；
（3）5（a﹣b）3+10（a﹣b）．
【分析】原式各项提取公因式即可得到结果．
【解答】解：（1）2x2+6x3
＝2x2（1+3x）．
所以其公因式为2x2；
（2）﹣24m2x3+16n2x2；
＝﹣8x2（3m2x﹣2n2）．
所以其公因式为﹣8x2；
（3）5（a﹣b）3+10（a﹣b）
＝5（a﹣b）[（a﹣b）2+2]．
所以其公因式为5（a﹣b）．
15．因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
16．分解因式
（1）12a2﹣3b2；
（2）4x2﹣4x（x+y）+（x+y）2．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）12a2﹣3b2
＝3（4a2﹣b2）
＝3（2a+b）（2a﹣b）；
（2）4x2﹣4x（x+y）+（x+y）2
＝[2x﹣（x+y）]2
＝（x﹣y）2．
17．因式分解：2x+20xt+50xt2．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式．
【解答】解：2x+20xt+50xt2
＝2x（1+10t+25t2）
＝2x（1+5t）2．
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2，
上述解题用到得是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，
请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （x﹣y+1）2 ；
（2）因式分解：（x+y）（x+y+18）+81．
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A＝x+y，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x+y，
则原式＝A（A+18）+81
＝A2+18A+81
＝（A+9）2，
故（x+y）（x+y+18）+81＝（x+y+9）2．
考点二 因式分解方法拓展
【知识点睛】
分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。先分组，分别因式分解，再利用“一提”、“二套”的步骤组合在一起。
十字相乘法：应用公式→
添项、拆项法：当以上因式分解的方法都不足以解决问题时，有时我们需要将某一项拆开使用，或者添加上某一项，再减去。但需要注意的是：每一步的变形都必须是恒等变形。
【类题训练】
1．如果多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），则m，n的值分别为（ ）
A．24，﹣8 B．﹣5，﹣3 C．﹣6，2 D．6，﹣2
【分析】先将（x+n）（x﹣3）展开，再根据多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），可得﹣3+n＝﹣5，﹣3n＝m，进一步求解即可．
【解答】解：∵（x+n）（x﹣3）＝x2﹣3x+nx﹣3n，
又∵多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），
∴﹣3+n＝﹣5，﹣3n＝m，
解得n＝﹣2，m＝6，
故选：D．
2．若A、B、C均为整式，如果A⋅B＝C，则称A能整除C．例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣12，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【分析】根据十字相乘法进行因式分解，然后再判断即可．
【解答】解：∵x﹣3能整除x2+kx﹣12，
当k＝﹣1时，x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4），
故A选项不符合题意；
当k＝1时，x2+x﹣12＝（x﹣3）（x+4），
故B选项符合题意；
当k＝﹣4时，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故C选项不符合题意；
当k＝4时，x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6），
故D选项不符合题意，
故选：B．
3．分解因式：x2﹣xy+ax﹣ay＝ （x﹣y）（x+a） ．
【分析】先把多项式的一二两项、三四两项分组，分组后利用提公因式法分解．
【解答】解：x2﹣xy+ax﹣ay
＝x（x﹣y）+a（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+a）．
故答案为：（x﹣y）（x+a）．
4．分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝ （x+2z+3y）（x+2z﹣3y） ．
【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．
【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz
＝x2+4z2+4xz﹣9y2
＝（x+2z）2﹣9y2
＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．
故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．
5．因式分解：a2+2a﹣3＝ （a+3）（a﹣1） ．
【分析】根据十字相乘法将﹣3分解为3×（﹣1）即可．
【解答】解：原式＝（a+3）（a﹣1），
故答案为：（a+3）（a﹣1）．
6．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y时，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
利用这种方法将下列各式分解因式：
（1）m2﹣mn+mx﹣nx；
（2）x2y2﹣2x2y﹣4y+8；
（3）a2﹣4a﹣b2+4；
（4）4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．
【分析】（1）前两项提出公因式m，后两项提出公因式x，再提出公因式（m﹣n）即可，同理解答（2）；
（3）将a2﹣4a+4运用完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可；
（4）将前三项组合变为完全平方公式，再将第四，五项提出﹣2，然后分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝m（m﹣n）+x（m﹣n）
＝（m+x）（m﹣n）；
（2）原式＝x2y（y﹣2）﹣4（y﹣2）
＝（y﹣2）（x2y﹣4）；
（3）原式＝a2﹣4a+4﹣b2
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）；
（4）原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（4x+2y）﹣3
＝（2x+y）2﹣2（2x+y）﹣3
＝（2x+y+1）（2x+y﹣3）．
7．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．
【分析】仿照题例：（1）加上4x2再减去4x2，先利用完全平方公式再利用平方差公式；
（2）加上x2再减去x2，先利用完全平方公式再利用平方差公式．
【解答】解：（1）4x4+1
＝4x4+4x2+1﹣4x2
＝（2x2+1）2﹣4x2
＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；
（2）x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．
8．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．
例如：将式子x2+5x+6分解因式．
分析：这个式子的常数项6＝2×3，一次项系数5＝2+3，所以x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3．
解：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
请依照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，请写出整数p的所有可能的值．
【分析】（1）用十字相乘法因式分解；
（2）用十字相乘法因式分解；
（3）把﹣8写成整数积的形式，两个因数的和就是p的值．
【解答】解：（1）x2+7x+12
＝（x+3）（x+4）；
（2）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2
＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）
＝（x2﹣4）（x2﹣1）
＝（x+）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；
（3）∵①（x﹣8）（x+1）
＝x2﹣7x﹣8；
②（x+8）（x﹣1）
＝x2+7x﹣8；
③（x+4）（x﹣2）
＝x2+2x﹣8；
④（x﹣4）（x+2）
＝x2﹣2x﹣8；
综上所述：整数p的所有可能的值为：﹣2、2、7、﹣7．
9．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
例2.2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣n2+x﹣n；②x2﹣2xy﹣9+y2
（2）分解因式：a2+4a+3．
（3）若多项式ax2﹣9y2+bx+3y利用分组分解法可分解为（2x+3y）（2x﹣3y+1），请求出a，b的值．
【分析】（1）①前两项与后两项分别结合，利用分组分解法；
②前三项结合利用完全平方公式，再利用平方差公式；
（2）把常数项3写成4与﹣1的和或者把4a写成3a与a的和的形式，再利用拆项法分解；
（3）利用乘法法则先计算（2x+3y）（2x﹣3y+1），再根据因式分解与积的关系得结论．
【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣n2）+（x﹣n）
＝（x+n）（x﹣n）+（x﹣n）
＝（x﹣n）（x+n+1）；
②原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）；
（2）法一、原式＝a2+4a+4﹣1
＝（a2﹣1）+（4a+4）
＝（a+1）（a﹣1）+4（a+1）
＝（a+1）（a﹣1+4）
＝（a+1）（a+3）；
法二、原式＝a2+4a+4﹣1
＝（a+2）2﹣1
＝（a+2+1）（a+2﹣1）
＝（a+3）（a+1）；
法三、原式＝a2+a+3a+3
＝（a2+a）+（3a+3）
＝a（a+1）+3（a+1）
＝（a+1）（a+3）；
（3）∵（2x+3y）（2x﹣3y+1）
＝（2x+3y）（2x﹣3y）+（2x+3y）
＝4x2﹣9y2+2x+3y，
又∵ax2﹣9y2+bx+3y＝（2x+3y）（2x﹣3y+1），
∴ax2﹣9y2+bx+3y＝4x2﹣9y2+2x+3y．
∴ax2+bx＝4x2+2x．
∴a＝4，b＝2．
10．阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，
∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
（1）填空：
式子x2+7x+10的常数项10＝ 2 × 5 ，一次项系数7＝ 2 + 5 ，分解因式x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ．
（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ±6或±9 ．
【分析】（1）利用题中给出的例子即可得出10＝2×5，7＝2+5，即x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）根据8＝1×8、8＝（﹣1）×（﹣8）、8＝2×4和8＝（﹣2）×（﹣4）分别求出对应的p值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：10＝2×5，7＝2+5，
∴x2+7x+10＝（x+2）（x+5），
故答案为：2，5，2，5，（x+2）（x+5）；
（2）当8＝1×8时，则p＝1+8＝9；
当8＝（﹣1）×（﹣8）时，则p＝（﹣1）+（﹣8）＝﹣9；
当8＝2×4时，则p＝2+4＝6；
当8＝（﹣2）×（﹣4）时，则p＝（﹣2）+（﹣4）＝﹣6；
综上所示：p＝±6或±9；
故答案为：±6或±9．
11．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝ （x+3）2 ；16x2﹣8x+1＝ （4x﹣1）2 ；9x2+12x+4＝ （3x+2）2 ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有62＝4×1×9，（﹣8）2＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： b2＝4ac ；
②解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．
【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）观察各式的特征，得到a，b，c之间的关系即可；
（3）根据（2）得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+3）2；
16x2﹣8x+1＝（4x﹣1）2；
9x2+12x+4＝（3x+2）2；
（2）若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系为b2＝4ac；
（3）∵多项式 x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m） 是一个完全平方式，
∴[﹣2（m﹣3）]2＝4×1×（10﹣6m），
解得：m＝±1．
故答案为：（1）（x+3）2，（4x﹣1）2，（3x+2）2；（2）b2＝4ac．
12．阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【分析】（1）根据“明礼崇德数”的定义进行计算即可；
（2）通过因式分解得N＝（x+2）2﹣（y﹣3）2+k+5，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k即可．
【解答】解：（1）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（2）当k+5＝0时，N为“明礼崇德数”，理由如下：
∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
考点三 因式分解的应用
【知识点睛】
因式分解也可以用于代数式类问题，方程类问题。比如代数式类问题，有时需要把式子的部分进行因式分解或者部分因式分解，再根据因式分解的结果解决后续问题。
【类题训练】
1．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是x+1，b﹣c的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】设x2+bx+c＝（x+1）（x+m），根据多项式乘多项式和合并同类项法则得出（x+1）（x+m）＝x2+（m+1）x+m，求出b＝m+1，c＝m，再求出答案即可．
【解答】解：设x2+bx+c＝（x+1）（x+m），
∵（x+1）（x+m）
＝x2+mx+x+m
＝x2+（m+1）x+m，
∴b＝m+1，c＝m，
∴b﹣c＝（m+1）﹣m＝1，
∴b﹣c＝1，
故选：D．
2．803﹣80能被（ ）整除．
A．76 B．78 C．79 D．82
【分析】先提取公因式80，再根据平方查公式进行二次分解，即可得803﹣80＝80×81×79，继而求得答案．
【解答】解：∵803﹣80＝80×（802﹣1）＝80×（80+1）×（80﹣1）＝80×81×79．
∴803﹣80能被79整除．
故选：C．
3．若s+t＝4，则s2﹣t2+8t的值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
【分析】根据s+t＝4，将所求式子进行变形即可解答本题．
【解答】解：∵s+t＝4，
∴s2﹣t2+8t
＝（s+t）（s﹣t）+8t
＝4（s﹣t）+8t
＝4s﹣4t+8t
＝4s+4t
＝4（s+t）
＝4×4
＝16，
故选：C．
4．已知x1，x2，…，x2016均为正数，且满足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），则M，N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N
【分析】令x2+x3+…+x2015＝A，对M、N变形后化简M﹣N，即可判断．
【解答】解：令x2+x3+…+x2015＝A，
则N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015）
＝（x1+A+x2016）•A
＝x1•A+A2+x2016•A，
M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016）
＝（A+x1）（A+x2016）
＝A2+A•x2016+A•x1+x1•x2016，
∴M﹣N＝（A2+A•x2016+A•x1+x1•x2016）﹣（x1•A+A2+x2016•A）
＝x1•x2016，
∵x1，x2，…，x2016均为正数，
∴x1•x2016＞0，
∴M＞N，
故选：A．
5．若＝8×10×12，则k＝ ．
【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解．
【解答】解：∵＝8×10×12，
∴
＝
＝10．
故答案为10．
6．如果a﹣3b﹣2＝0，那么：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝ ．
【分析】把3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab因式分解后代入解得即可．
【解答】解：因为a﹣3b﹣2＝0，
可得：a﹣3b＝2，
可得：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝3（a﹣3b）2﹣5（a﹣3b）＝3×4﹣5×2＝2，
故答案为：2．
7．若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝ ．
【分析】首先把x2﹣（y+z）2＝8的左边分解因式，再把x+y+z＝2代入即可得到答案．
【解答】解：∵x2﹣（y+z）2＝8，
∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）＝8，
∵x+y+z＝2，
∴x﹣y﹣z＝8÷2＝4，
故答案为：4．
8．已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】利用因式分解，把所求代数式进行分解，并把已知代数式的值代入求解，问题即可解决．
【解答】解：∵x2+x+1＝0，
∴x2021+x2020+x2019+…+x+1
＝x2019（x2+x+1）+⋯+（x2+x+1）
＝x2019×0+⋯+0
＝0．
故选：A．
9．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【解答】解：∵甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），但a是正确的，
（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了a，但b是正确的，
∴b＝9，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝（x+3）2，
故答案为：（x+3）2．
10．已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【分析】先将原式进行因式分解，然后将a+b、ab的值代入即可求出答案．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝1，
∴原式＝ab（a+b）2＝1×42＝1×6＝16．
故答案为：16．
11．已知2a﹣b＝2，那么4a2﹣b2﹣4b+5的值为 ．
【分析】首先将原式变形，进而利用完全平方公式以及平方差公式进行分解因式，进而代入已知求出即可．
【解答】解：∵2a﹣b＝2，
∴4a2﹣b2﹣4b+5
＝4a2﹣（b+2）2+9
＝（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+9
＝（2a+b+2）×（2﹣2）+9
＝0+9
＝9．
故答案为：9．
12．若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝ ．
【分析】根据条件得x2＝2﹣x，x2+x＝2，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，
∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴原式＝x2（x+2）﹣x+2020
＝（2﹣x）（2+x）﹣x+2020
＝4﹣x2﹣x+2020
＝2024﹣（x2+x）
＝2024﹣2
＝2022，
故答案为：2022．
13．已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于 ．
【分析】对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac提公因式，进而进行因式分解，再将a、b、c的值代入即可．
【解答】解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]
＝×6
＝3．
故答案为：3．
14．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝ ．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5），
故答案为：（x+1）（x﹣5）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴（﹣2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝2，b＝1．
15．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
②若三个实数x，y，z满足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的值．
【分析】（1）根据图形，由面积的不同表示方法得出等式即可；
（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；
②先求出x+2y+3z＝﹣4，再根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz）求出即可．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝112﹣2×38
＝45；
②∵2x×4y×8z＝，
∴2x×22y×23z＝，
∴2x+2y+3z＝2﹣4，
∴x+2y+3z＝﹣4，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，
∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），
∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
16．我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：×3，2﹣．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．
①（﹣，﹣2），②（，﹣2），③（，2）．
（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．
（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据所给定义判断即可．
（2）列出关于x的方程求解．
（3）列出关于m，n的方程组求解．
【解答】解：（1）①∵﹣﹣2＝﹣，﹣×（﹣2）＝，﹣﹣（﹣2）＝，
∴﹣﹣（﹣2）＝﹣×（﹣2）＝．
∵①是“差积等数对”．
②∵+（﹣2）＝﹣，﹣（﹣2）＝，×（﹣2）＝﹣．
∴+（﹣2）＝×（﹣2）＝﹣．
∴②“和积等数对”．
∵﹣+2＝，﹣﹣2＝，﹣×2＝﹣．
∴③两者都不是．
故答案为：②，①．
（2）由题意得：﹣（﹣2）＝×（﹣2）．
∴＝1﹣x，
∴x+3＝2﹣2x，
∴x＝﹣．
（3）假设存在，由题意得：．
解得：（舍去）或．
∴存在符合条件的m．n，．
第9讲 因式分解单元分类总复习
考点一 因式分解
知识总结：
1.因式分解与整式乘法的关系：
互为逆运算（故：将因式分解的结果乘出来可以用来检验因式分解的正误）
2. 因式分解基本步骤：
一“提”→提取公因式（公因式可以是单独数字、单独字母、数字与字母乘积类的单项式；也可以是一个整体的多项式；提公因式一定要一次提完）
二“套”→套用乘法公式（两项想平方差公式、三项想完全平方公式）
3.分解因式时，一定要按照步骤，先观察能否提取公因式，再考虑用公式法分解，对于结果，一定要进行检查，看是否已分解彻底！！！
【类题训练】
1．下列各式从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．x2+y2＝（x﹣y）2+2xy
B．x4+x2+1＝（x2+x+1）（x2﹣x+1）
C．x2﹣x﹣30＝（x﹣1）x﹣30
D．（a﹣1）2＝a2﹣2a+1
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）
＝（x2+x+1）（x2﹣x+1），从左到右的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
C．从左到右的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从左到右的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A．3x+3y+3＝3（x+y） B．
C．﹣x2+y2＝（x+y）（x﹣y） D．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
【分析】各式分解得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、原式＝3（x+y+1），不符合题意；
B、原式＝（x+）2，符合题意；
C、原式＝（﹣x+y）（x+y），不符合题意；
D、原式＝（x+2y）（x﹣2y），不符合题意．
故选：B．
3．式子n2﹣1与n2+n的公因式是（ ）
A．n+1 B．n2 C．n D．n﹣1
【分析】把式子n2﹣1与n2+n分别进行因式分解后，根据公因式的确定方法，即可得到答案．
【解答】解：∵n2﹣1＝（n+1）（n﹣1），n2+n＝n（n+1），
∴n2﹣1与n2+n的公因式是n+1．
故选：A．
4．下列各式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣9 B．9x﹣9 C．x2﹣6x+9 D．x2+9
【分析】根据分解因式的方法求解即可．
【解答】解：A、x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），可以因式分解，不符合题意；
B、9x﹣9＝9（x﹣1），可以因式分解，不符合题意；
C、x2﹣6x+9＝（x﹣3）2，可以因式分解，不符合题意；
D、x2+9不可以因式分解，符合题意．
故选：D．
5．已知4x2+kx+9可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（ ）
A．6 B．±6 C．12 D．±12
【分析】利用完全平方公式可得结论．
【解答】解：∵4x2+kx+9＝（2x±3）2，
∴k＝±12．
故选：D．
6．下列多项式，不能用完全平方公式分解的是（ ）
A． B．4a2b2﹣4ab+1
C．y2+10y﹣25 D．
【分析】根据完全平方公式法分别判断即可．
【解答】解：，
故A选项不符合题意；
4a2b2﹣4ab+1＝（2ab﹣1）2，
故B选项不符合题意；
y2+10y﹣25不能用完全平方公式因式分解，
故C选项符合题意；
，
故D选项不符合题意，
故选：C．
7．下列多项式：①﹣4m2+9，②9m2﹣4n2，③4m2+12m+9，④9m2﹣6mn+n2．其中有一个相同因式的多项式是（ ）
A．①和② B．①和④ C．①和③ D．②和④
【分析】分别利用提取公因式法以及公式法分解因式，进而得出符合题意的答案．
【解答】解：①﹣4m2+9＝﹣（2m+3）（2m﹣3）；
②9m2﹣4n2＝（3m+2n）（3m﹣2n）；
③4m2+12m+9＝（2m+3）2；
④9m2﹣6mn+n2＝（3m﹣n）2．
故分解因式后，结果含有相同因式的是：①和③．
故选：C．
8．下列各式：
①﹣x2+y2，②3x2+3y2，③﹣x2﹣y2，④x2+xy+y2，⑤x2+2xy﹣y2，⑥﹣x2+4xy﹣4y2
能用公式法分解因式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】因式分解可套用公式分别是公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）和公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，所给出的6个多项式中，根据公式结构特点对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：①﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），两平方项符号相反，能运用平方差公式；
②3x2+3y2两平方项符号相同，不能运用公式；
③﹣x2﹣y2两平方项符号相同，不能运用公式；
④x2+xy+y2，乘积项不是二倍，不能运用完全平方公式；
⑤x2+2xy﹣y2两平方项符号相反，不能运用完全平方公式；
⑥﹣x2+4xy﹣4y2＝﹣（x2﹣4xy+4y2）＝﹣（x﹣y）2，整理后可以利用完全平方公式．
所以①⑥两项能用公式法分解因式．
故选：A．
9．已知20212022﹣20212020＝2021x×2020×2022，则x的值为（ ）
A．2023 B．2022 C．2021 D．2020
【分析】先提取公因式，再套用平方差公式分解20212022﹣20212020，再根据等式的性质确定x的值．
【解答】解：∵20212022﹣20212020
＝20212020×（20212﹣1）
＝20212020×（2021+1）×（2021﹣1）
＝2022×20212020×2020，
又∵20212022﹣20212020＝2022×2021x×2020，
∴2021×20212020×2021＝2022×2021x×2020．
∴x＝2020．
故选：D．
10．在实数范围内分解因式：2x2﹣4＝ 2（x+）（x-） ．
【分析】首先将原式提公因式2，得2（x2﹣2），再根据平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝2（x2﹣2）=2（x+）（x-），
故答案为：2（x+）（x-）．
11．一个二次二项式分解后其中的一个因式为x﹣3，请写出一个满足条件的二次二项式 x2﹣9 ．
【分析】根据因式分解的定义解决此题．
【解答】解：（x﹣3）（x+3）＝x2﹣9．
∵x2﹣9是二次二项式，
∴x2﹣9符合题意．
故答案为：x2﹣9．
12．分解因式：（x2﹣5xy）2﹣16y4．
【分析】先直接利用完全平方公式，然后再运用十字相乘法继续因式分解即可．
【解答】解：（x2﹣5xy）2﹣16y4
＝（x2﹣5xy）2﹣（4y2）2
＝[（x2﹣5xy）+（4y2）][（x2﹣5xy）﹣（4y2）]
＝（x2﹣5xy+4y2）（x2﹣5xy﹣4y2）
＝（x﹣y）（x﹣4y）（x2﹣5xy﹣4y2）．
13．将下列各式分解因式：
（1）16x4﹣1；
（2）（2a﹣b）2+8ab．
【分析】（1）利用平方差公式进行分解即可；
（2）先化简，然后对化简后的式子利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）16x4﹣1
＝（4x2+1）（4x2﹣1）
＝（4x2+1）（2x+1）（2x﹣1）；
（2）（2a﹣b）2+8ab
＝4a2﹣4ab+b2+8ab
＝4a2+4ab+b2
＝（2a+b）2．
14．写出下列多项式各项的公因式：
（1）2x2+6x3；
（2）﹣24m2x3+16n2x2；
（3）5（a﹣b）3+10（a﹣b）．
【分析】原式各项提取公因式即可得到结果．
【解答】解：（1）2x2+6x3
＝2x2（1+3x）．
所以其公因式为2x2；
（2）﹣24m2x3+16n2x2；
＝﹣8x2（3m2x﹣2n2）．
所以其公因式为﹣8x2；
（3）5（a﹣b）3+10（a﹣b）
＝5（a﹣b）[（a﹣b）2+2]．
所以其公因式为5（a﹣b）．
15．因式分解：（2x+y）2﹣（x+2y）2．
【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．
【解答】解：（2x+y）2﹣（x+2y）2
＝（2x+y+x+2y）（2x+y﹣x﹣2y）
＝3（x+y）（x﹣y）．
16．分解因式
（1）12a2﹣3b2；
（2）4x2﹣4x（x+y）+（x+y）2．
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）直接利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）12a2﹣3b2
＝3（4a2﹣b2）
＝3（2a+b）（2a﹣b）；
（2）4x2﹣4x（x+y）+（x+y）2
＝[2x﹣（x+y）]2
＝（x﹣y）2．
17．因式分解：2x+20xt+50xt2．
【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式．
【解答】解：2x+20xt+50xt2
＝2x（1+10t+25t2）
＝2x（1+5t）2．
18．先阅读下列材料，再解答下列问题：
因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．
解：将“x+y”看成整体，令x+y＝A，则原式＝A2+2A+1＝（A+1）2，
再将“A”还原，得原式＝（x+y+1）2，
上述解题用到得是“整体思想”，“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法，
请你解答下列问题：
（1）因式分解：1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝ （x﹣y+1）2 ；
（2）因式分解：（x+y）（x+y+18）+81．
【分析】（1）把（x﹣y）看作一个整体，直接利用完全平方公式因式分解即可；
（2）令A＝x+y，代入后因式分解后代入即可将原式因式分解．
【解答】解：（1）1+2（x﹣y）+（x﹣y）2＝（x﹣y+1）2；
（2）令A＝x+y，
则原式＝A（A+18）+81
＝A2+18A+81
＝（A+9）2，
故（x+y）（x+y+18）+81＝（x+y+9）2．
考点二 因式分解方法拓展
【知识点睛】
分组分解因式：当多项式有四项及以上时常需要分组。先分组，分别因式分解，再利用“一提”、“二套”的步骤组合在一起。
十字相乘法：应用公式→
添项、拆项法：当以上因式分解的方法都不足以解决问题时，有时我们需要将某一项拆开使用，或者添加上某一项，再减去。但需要注意的是：每一步的变形都必须是恒等变形。
【类题训练】
1．如果多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），则m，n的值分别为（ ）
A．24，﹣8 B．﹣5，﹣3 C．﹣6，2 D．6，﹣2
【分析】先将（x+n）（x﹣3）展开，再根据多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），可得﹣3+n＝﹣5，﹣3n＝m，进一步求解即可．
【解答】解：∵（x+n）（x﹣3）＝x2﹣3x+nx﹣3n，
又∵多项式x2﹣5x+m可分解为（x+n）（x﹣3），
∴﹣3+n＝﹣5，﹣3n＝m，
解得n＝﹣2，m＝6，
故选：D．
2．若A、B、C均为整式，如果A⋅B＝C，则称A能整除C．例如由（x+3）（x﹣2）＝x2+x﹣6，可知x﹣2能整除x2+x﹣6．若已知x﹣3能整除x2+kx﹣12，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣4 D．4
【分析】根据十字相乘法进行因式分解，然后再判断即可．
【解答】解：∵x﹣3能整除x2+kx﹣12，
当k＝﹣1时，x2﹣x﹣12＝（x+3）（x﹣4），
故A选项不符合题意；
当k＝1时，x2+x﹣12＝（x﹣3）（x+4），
故B选项符合题意；
当k＝﹣4时，x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2），
故C选项不符合题意；
当k＝4时，x2+4x﹣12＝（x﹣2）（x+6），
故D选项不符合题意，
故选：B．
3．分解因式：x2﹣xy+ax﹣ay＝ （x﹣y）（x+a） ．
【分析】先把多项式的一二两项、三四两项分组，分组后利用提公因式法分解．
【解答】解：x2﹣xy+ax﹣ay
＝x（x﹣y）+a（x﹣y）
＝（x﹣y）（x+a）．
故答案为：（x﹣y）（x+a）．
4．分解因式：x2+4z2﹣9y2+4xz＝ （x+2z+3y）（x+2z﹣3y） ．
【分析】先利用完全平方公式，再利用平方差公式．
【解答】解：x2+4z2﹣9y2+4xz
＝x2+4z2+4xz﹣9y2
＝（x+2z）2﹣9y2
＝（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．
故答案为：（x+2z+3y）（x+2z﹣3y）．
5．因式分解：a2+2a﹣3＝ （a+3）（a﹣1） ．
【分析】根据十字相乘法将﹣3分解为3×（﹣1）即可．
【解答】解：原式＝（a+3）（a﹣1），
故答案为：（a+3）（a﹣1）．
6．分解因式x2﹣4y2﹣2x+4y时，细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程如下：
x2﹣4y2﹣2x+4y＝（x+2y）（x﹣2y）﹣2（x﹣2y）
＝（x﹣2y）（x+2y﹣2）．
这种分解因式的方法叫分组分解法．
利用这种方法将下列各式分解因式：
（1）m2﹣mn+mx﹣nx；
（2）x2y2﹣2x2y﹣4y+8；
（3）a2﹣4a﹣b2+4；
（4）4x2+4xy+y2﹣4x﹣2y﹣3．
【分析】（1）前两项提出公因式m，后两项提出公因式x，再提出公因式（m﹣n）即可，同理解答（2）；
（3）将a2﹣4a+4运用完全平方公式分解，再根据平方差公式分解即可；
（4）将前三项组合变为完全平方公式，再将第四，五项提出﹣2，然后分解因式得出答案．
【解答】解：（1）原式＝m（m﹣n）+x（m﹣n）
＝（m+x）（m﹣n）；
（2）原式＝x2y（y﹣2）﹣4（y﹣2）
＝（y﹣2）（x2y﹣4）；
（3）原式＝a2﹣4a+4﹣b2
＝（a﹣2）2﹣b2
＝（a﹣2+b）（a﹣2﹣b）；
（4）原式＝（4x2+4xy+y2）﹣（4x+2y）﹣3
＝（2x+y）2﹣2（2x+y）﹣3
＝（2x+y+1）（2x+y﹣3）．
7．阅读材料：
在代数式中，将一个多项式添上某些项，使添项后的多项式中的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．如果我们能将多项式通过配方，使其成为A2﹣B2的形式，那么继续利用平方差公式就能把这个多项式因式分解．例如，分解因式：x4+4．
解：原式＝x4+4x2+4﹣4x2＝（x2+2）2﹣4x2＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
即原式＝（x2+2+2x）（x2+2﹣2x）
请按照阅读材料提供的方法，解决下列问题．
分解因式：（1）4x4+1；
（2）x4+x2+1．
【分析】仿照题例：（1）加上4x2再减去4x2，先利用完全平方公式再利用平方差公式；
（2）加上x2再减去x2，先利用完全平方公式再利用平方差公式．
【解答】解：（1）4x4+1
＝4x4+4x2+1﹣4x2
＝（2x2+1）2﹣4x2
＝（2x2+1+2x）（2x2+1﹣2x）；
（2）x4+x2+1
＝x4+2x2+1﹣x2
＝（x2+1）2﹣x2
＝（x2+1+x）（x2+1﹣x）．
8．阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．
例如：将式子x2+5x+6分解因式．
分析：这个式子的常数项6＝2×3，一次项系数5＝2+3，所以x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3．
解：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）．
请依照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：x2+7x+12；
（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；
（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，请写出整数p的所有可能的值．
【分析】（1）用十字相乘法因式分解；
（2）用十字相乘法因式分解；
（3）把﹣8写成整数积的形式，两个因数的和就是p的值．
【解答】解：（1）x2+7x+12
＝（x+3）（x+4）；
（2）（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2
＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）
＝（x2﹣4）（x2﹣1）
＝（x+）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；
（3）∵①（x﹣8）（x+1）
＝x2﹣7x﹣8；
②（x+8）（x﹣1）
＝x2+7x﹣8；
③（x+4）（x﹣2）
＝x2+2x﹣8；
④（x﹣4）（x+2）
＝x2﹣2x﹣8；
综上所述：整数p的所有可能的值为：﹣2、2、7、﹣7．
9．我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，其实分解因式方法还有分组分解法、拆项法等等．
（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）
例2.2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）
（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．请阅读以下例题：
例1．x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）
请你仿照以上例题的方法，解决下列问题：
（1）分解因式：①x2﹣n2+x﹣n；②x2﹣2xy﹣9+y2
（2）分解因式：a2+4a+3．
（3）若多项式ax2﹣9y2+bx+3y利用分组分解法可分解为（2x+3y）（2x﹣3y+1），请求出a，b的值．
【分析】（1）①前两项与后两项分别结合，利用分组分解法；
②前三项结合利用完全平方公式，再利用平方差公式；
（2）把常数项3写成4与﹣1的和或者把4a写成3a与a的和的形式，再利用拆项法分解；
（3）利用乘法法则先计算（2x+3y）（2x﹣3y+1），再根据因式分解与积的关系得结论．
【解答】解：（1）①原式＝（x2﹣n2）+（x﹣n）
＝（x+n）（x﹣n）+（x﹣n）
＝（x﹣n）（x+n+1）；
②原式＝（x2﹣2xy+y2）﹣9
＝（x﹣y）2﹣9
＝（x﹣y+3）（x﹣y﹣3）；
（2）法一、原式＝a2+4a+4﹣1
＝（a2﹣1）+（4a+4）
＝（a+1）（a﹣1）+4（a+1）
＝（a+1）（a﹣1+4）
＝（a+1）（a+3）；
法二、原式＝a2+4a+4﹣1
＝（a+2）2﹣1
＝（a+2+1）（a+2﹣1）
＝（a+3）（a+1）；
法三、原式＝a2+a+3a+3
＝（a2+a）+（3a+3）
＝a（a+1）+3（a+1）
＝（a+1）（a+3）；
（3）∵（2x+3y）（2x﹣3y+1）
＝（2x+3y）（2x﹣3y）+（2x+3y）
＝4x2﹣9y2+2x+3y，
又∵ax2﹣9y2+bx+3y＝（2x+3y）（2x﹣3y+1），
∴ax2﹣9y2+bx+3y＝4x2﹣9y2+2x+3y．
∴ax2+bx＝4x2+2x．
∴a＝4，b＝2．
10．阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：
（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，
∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．
（1）填空：
式子x2+7x+10的常数项10＝ 2 × 5 ，一次项系数7＝ 2 + 5 ，分解因式x2+7x+10＝ （x+2）（x+5） ．
（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是 ±6或±9 ．
【分析】（1）利用题中给出的例子即可得出10＝2×5，7＝2+5，即x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；
（2）根据8＝1×8、8＝（﹣1）×（﹣8）、8＝2×4和8＝（﹣2）×（﹣4）分别求出对应的p值即可．
【解答】解：（1）根据题意可得：10＝2×5，7＝2+5，
∴x2+7x+10＝（x+2）（x+5），
故答案为：2，5，2，5，（x+2）（x+5）；
（2）当8＝1×8时，则p＝1+8＝9；
当8＝（﹣1）×（﹣8）时，则p＝（﹣1）+（﹣8）＝﹣9；
当8＝2×4时，则p＝2+4＝6；
当8＝（﹣2）×（﹣4）时，则p＝（﹣2）+（﹣4）＝﹣6；
综上所示：p＝±6或±9；
故答案为：±6或±9．
11．（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x2+6x+9＝ （x+3）2 ；16x2﹣8x+1＝ （4x﹣1）2 ；9x2+12x+4＝ （3x+2）2 ；
（2）观察以上三个多项式的系数，有62＝4×1×9，（﹣8）2＝4×16×1，122＝4×9×4，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a、b、c一定存在某种关系：
①请你用数学式子表示a、b、c之间的关系： b2＝4ac ；
②解决问题：若多项式x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m）是一个完全平方式，求m的值．
【分析】（1）利用完全平方公式分解即可；
（2）观察各式的特征，得到a，b，c之间的关系即可；
（3）根据（2）得出的三者之间的关系列出方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解答】解：（1）x2+6x+9＝（x+3）2；
16x2﹣8x+1＝（4x﹣1）2；
9x2+12x+4＝（3x+2）2；
（2）若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，则实数系数a，b，c一定存在某种关系为b2＝4ac；
（3）∵多项式 x2﹣2（m﹣3）x+（10﹣6m） 是一个完全平方式，
∴[﹣2（m﹣3）]2＝4×1×（10﹣6m），
解得：m＝±1．
故答案为：（1）（x+3）2，（4x﹣1）2，（3x+2）2；（2）b2＝4ac．
12．阅读下列材料：
若一个正整数x能表示成a2﹣b2（a，b是正整数，且a＞b）的形式，则称这个数为“明礼崇德数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为5＝32﹣22，所以5是“明礼崇德数”，3与2是5的平方差分解；再如：M＝x2+2xy＝x2+2xy+y2﹣y2＝（x+y）2﹣y2（x，y是正整数），所以M也是“明礼崇德数”，（x+y）与y是M的一个平方差分解．
（1）已知（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，求P；
（2）已知N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k（x，y是正整数，k是常数，且x＞y+1），要使N是“明礼崇德数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由．
【分析】（1）根据“明礼崇德数”的定义进行计算即可；
（2）通过因式分解得N＝（x+2）2﹣（y﹣3）2+k+5，根据“明礼崇德数”的定义，列出k的方程求得k即可．
【解答】解：（1）∵（x2+y）与x2是P的一个平方差分解，
∴P＝（x2+y）2﹣（x2）2
＝x4+2x2y+y2﹣x4
＝2x2y+y2；
（2）当k+5＝0时，N为“明礼崇德数”，理由如下：
∵N＝x2﹣y2+4x﹣6y+k＝（x2+4x+4）﹣（y2+6y+9）+k+5＝（x+2）2﹣（y+3）2+k+5，
∴当k+5＝0时，N＝（x+2）2﹣（y+3）2为“明礼崇德数”，
此时k＝﹣5，
故当k＝﹣5时，N为“明礼崇德数”．
考点三 因式分解的应用
【知识点睛】
因式分解也可以用于代数式类问题，方程类问题。比如代数式类问题，有时需要把式子的部分进行因式分解或者部分因式分解，再根据因式分解的结果解决后续问题。
【类题训练】
1．若多项式x2+bx+c因式分解后的一个因式是x+1，b﹣c的值是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1
【分析】设x2+bx+c＝（x+1）（x+m），根据多项式乘多项式和合并同类项法则得出（x+1）（x+m）＝x2+（m+1）x+m，求出b＝m+1，c＝m，再求出答案即可．
【解答】解：设x2+bx+c＝（x+1）（x+m），
∵（x+1）（x+m）
＝x2+mx+x+m
＝x2+（m+1）x+m，
∴b＝m+1，c＝m，
∴b﹣c＝（m+1）﹣m＝1，
∴b﹣c＝1，
故选：D．
2．803﹣80能被（ ）整除．
A．76 B．78 C．79 D．82
【分析】先提取公因式80，再根据平方查公式进行二次分解，即可得803﹣80＝80×81×79，继而求得答案．
【解答】解：∵803﹣80＝80×（802﹣1）＝80×（80+1）×（80﹣1）＝80×81×79．
∴803﹣80能被79整除．
故选：C．
3．若s+t＝4，则s2﹣t2+8t的值是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．32
【分析】根据s+t＝4，将所求式子进行变形即可解答本题．
【解答】解：∵s+t＝4，
∴s2﹣t2+8t
＝（s+t）（s﹣t）+8t
＝4（s﹣t）+8t
＝4s﹣4t+8t
＝4s+4t
＝4（s+t）
＝4×4
＝16，
故选：C．
4．已知x1，x2，…，x2016均为正数，且满足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），则M，N的大小关系是（ ）
A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N
【分析】令x2+x3+…+x2015＝A，对M、N变形后化简M﹣N，即可判断．
【解答】解：令x2+x3+…+x2015＝A，
则N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015）
＝（x1+A+x2016）•A
＝x1•A+A2+x2016•A，
M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016）
＝（A+x1）（A+x2016）
＝A2+A•x2016+A•x1+x1•x2016，
∴M﹣N＝（A2+A•x2016+A•x1+x1•x2016）﹣（x1•A+A2+x2016•A）
＝x1•x2016，
∵x1，x2，…，x2016均为正数，
∴x1•x2016＞0，
∴M＞N，
故选：A．
5．若＝8×10×12，则k＝ ．
【分析】利用平方差公式分解因式后化简可求解．
【解答】解：∵＝8×10×12，
∴
＝
＝10．
故答案为10．
6．如果a﹣3b﹣2＝0，那么：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝ ．
【分析】把3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab因式分解后代入解得即可．
【解答】解：因为a﹣3b﹣2＝0，
可得：a﹣3b＝2，
可得：3a2+27b2﹣5a+15b﹣18ab＝3（a﹣3b）2﹣5（a﹣3b）＝3×4﹣5×2＝2，
故答案为：2．
7．若x+y+z＝2，x2﹣（y+z）2＝8时，x﹣y﹣z＝ ．
【分析】首先把x2﹣（y+z）2＝8的左边分解因式，再把x+y+z＝2代入即可得到答案．
【解答】解：∵x2﹣（y+z）2＝8，
∴（x﹣y﹣z）（x+y+z）＝8，
∵x+y+z＝2，
∴x﹣y﹣z＝8÷2＝4，
故答案为：4．
8．已知x2+x+1＝0，则x2021+x2020+x2019+…+x+1的值是（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．2
【分析】利用因式分解，把所求代数式进行分解，并把已知代数式的值代入求解，问题即可解决．
【解答】解：∵x2+x+1＝0，
∴x2021+x2020+x2019+…+x+1
＝x2019（x2+x+1）+⋯+（x2+x+1）
＝x2019×0+⋯+0
＝0．
故选：A．
9．甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4）；乙看错了a，分解结果为（x+1）（x+9），则多项式x2+ax+b分解因式的正确结果为 ．
【分析】根据题意可知a、b是相互独立的，在因式分解中b决定常数项，a决定一次项的系数，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，代入原多项式进行因式分解．
【解答】解：∵甲看错了b，分解结果为（x+2）（x+4），但a是正确的，
（x+2）（x+4）＝x2+6x+8，
∴a＝6，
∵（x+1）（x+9）＝x2+10x+9，乙看错了a，但b是正确的，
∴b＝9，
∴x2+ax+b＝x2+6x+9＝（x+3）2，
故答案为：（x+3）2．
10．已知a+b＝4，ab＝1，则a3b+2a2b2+ab3的值为 ．
【分析】先将原式进行因式分解，然后将a+b、ab的值代入即可求出答案．
【解答】解：∵a+b＝4，ab＝1，
∴原式＝ab（a+b）2＝1×42＝1×6＝16．
故答案为：16．
11．已知2a﹣b＝2，那么4a2﹣b2﹣4b+5的值为 ．
【分析】首先将原式变形，进而利用完全平方公式以及平方差公式进行分解因式，进而代入已知求出即可．
【解答】解：∵2a﹣b＝2，
∴4a2﹣b2﹣4b+5
＝4a2﹣（b+2）2+9
＝（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+9
＝（2a+b+2）×（2﹣2）+9
＝0+9
＝9．
故答案为：9．
12．若x2+x﹣2＝0，则x3+2x2﹣x+2020＝ ．
【分析】根据条件得x2＝2﹣x，x2+x＝2，然后整体代入求值即可．
【解答】解：∵x2+x﹣2＝0，
∴x2＝2﹣x，x2+x＝2，
∴原式＝x2（x+2）﹣x+2020
＝（2﹣x）（2+x）﹣x+2020
＝4﹣x2﹣x+2020
＝2024﹣（x2+x）
＝2024﹣2
＝2022，
故答案为：2022．
13．已知a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，那么a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值等于 ．
【分析】对a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac提公因式，进而进行因式分解，再将a、b、c的值代入即可．
【解答】解：∵a＝2021x+2020，b＝2021x+2021，c＝2021x+2022，
∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
＝（2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac）
＝[（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2]
＝[（﹣1）2+（﹣1）2+（﹣2）2]
＝×6
＝3．
故答案为：3．
14．教科书中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题．
例如：分解因式x2+2x﹣3＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
求代数式2x2+4x﹣6的最小值，2x2+4x﹣6＝2（x2+2x﹣3）＝2（x+1）2﹣8．
可知当x＝﹣1时，2x2+4x﹣6有最小值，最小值是﹣8，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：x2﹣4x﹣5＝ ．
（2）当x为何值时，多项式﹣2x2﹣4x+3有最大值？并求出这个最大值．
（3）利用配方法，尝试解方程﹣2ab﹣2b+1＝0，并求出a，b的值．
【分析】（1）根据题目中的例子，可以将题目中的式子因式分解；
（2）根据题目中的例子，先将所求式子配方，然后即可得到当x为何值时，所求式子取得最大值，并求出这个最大值；
（3）将题目中的式子化为完全平方式的形式，然后根据非负数的性质，即可得到a、b的值．
【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5
＝（x﹣2）2﹣9
＝（x﹣2+3）（x﹣2﹣3）
＝（x+1）（x﹣5），
故答案为：（x+1）（x﹣5）；
（2）∵﹣2x2﹣4x+3＝﹣2（x+1）2+5，
∴当x＝﹣1时，多项式﹣2x﹣4x+3有最大值，这个最大值是5；
（3）∵，
∴（﹣2ab+2b2）+（b2﹣2b+1）＝0
∴（a﹣b）2+（b﹣1）2＝0
∴a﹣b＝0，b﹣1＝0，
解得，a＝2，b＝1．
15．如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为（a+b+c）的正方形．
（1）若用不同的方法计算这个边长为（a+b+c）的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式可以为 （只要写出一个即可）；
（2）请利用（1）中的等式解答下列问题：
①若三个实数a，b，c满足a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
②若三个实数x，y，z满足2x×4y×8z＝，x2+4y2+9z2＝40，求2xy+3xz+6yz的值．
【分析】（1）根据图形，由面积的不同表示方法得出等式即可；
（2）①先根据公式进行变形，再代入求出即可；
②先求出x+2y+3z＝﹣4，再根据（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz）求出即可．
【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）①∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，
∴a2+b2+c2
＝（a+b+c）2﹣（2ab+2ac+2bc）
＝112﹣2×38
＝45；
②∵2x×4y×8z＝，
∴2x×22y×23z＝，
∴2x+2y+3z＝2﹣4，
∴x+2y+3z＝﹣4，
∵（x+2y+3z）2＝x2+4y2+9z2+2（2xy+3xz+6yz），x2+4y2+9z2＝40，
∴（﹣4）2＝40+2（2xy+3xz+6yz），
∴2xy+3xz+6yz＝﹣12．
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
16．我们规定：对于数对（a，b），如果满足a+b＝ab，那么就称数对（a，b）是“和积等数对”；如果满足a﹣b＝ab，那么就称数对（a，b）是“差积等数对”，例如：×3，2﹣．所以数对（，3）为“和积等数对”，数对（2，）为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．
①（﹣，﹣2），②（，﹣2），③（，2）．
（2）若数对（，﹣2）是“差积等数对”，求x的值．
（3）是否存在非零的有理数m，n，使数对（2m，n）是“和积等数对”，同时数对（2n，m）也是“差积等数对”，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【分析】（1）根据所给定义判断即可．
（2）列出关于x的方程求解．
（3）列出关于m，n的方程组求解．
【解答】解：（1）①∵﹣﹣2＝﹣，﹣×（﹣2）＝，﹣﹣（﹣2）＝，
∴﹣﹣（﹣2）＝﹣×（﹣2）＝．
∵①是“差积等数对”．
②∵+（﹣2）＝﹣，﹣（﹣2）＝，×（﹣2）＝﹣．
∴+（﹣2）＝×（﹣2）＝﹣．
∴②“和积等数对”．
∵﹣+2＝，﹣﹣2＝，﹣×2＝﹣．
∴③两者都不是．
故答案为：②，①．
（2）由题意得：﹣（﹣2）＝×（﹣2）．
∴＝1﹣x，
∴x+3＝2﹣2x，
∴x＝﹣．
（3）假设存在，由题意得：．
解得：（舍去）或．
∴存在符合条件的m．n，．
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