【同步讲义】苏科版数学八年级上册：专题04 线段的垂直平分线性质综合题 讲义（导图+易错点拨+易错题专训）

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专题04 线段的垂直平分线性质（综合题）

易错点拨

知识点：线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
知识要点：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
易错题专训

一．选择题
1．（2021秋•九龙坡区校级期末）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝3cm，△ABC的周长为19cm，则△ABD的周长为（　　）

A．10cm B．13cm C．16cm D．18cm
【易错思路引导】根据垂直平分线的性质计算．△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC．
【规范解答】解：∵AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，
∴AD＝DC，AC＝2AE＝6cm，
∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+BC＝13cm，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13cm．
故选：B．
【考察注意点】本题考查了线段垂直平分线的性质；解决本题的关键是利用线段的垂直平分线性质得到相应线段相等．
2．（2021秋•锡山区校级月考）如图，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB、BC于点M、N．若M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，若则∠APC的度数记为α，则∠ABC的度数为（　　）

A． B．+45 C．2α﹣135 D．2α﹣180
【易错思路引导】根据平角的定义、三角形内角和定理得到∠APM+∠CPN＝180°﹣α，∠PAC+∠PCA＝180°﹣α，根据线段垂直平分线的性质得到AM＝PM，PN＝CN，根据等腰三角形的性质得到∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，根据三角形内角和定理计算即可．
【规范解答】解：∵∠APC＝α，，
∴∠APM+∠CPN＝180°﹣α，∠PAC+∠PCA＝180°﹣α，
∵M在PA的中垂线上，N在PC的中垂线上，
∴AM＝PM，PN＝CN，
∴∠MAP＝∠APM，∠CPN＝∠PCN，
∴∠MAP+∠PCN＝180°﹣α，
∴∠ABC＝180°﹣（∠MAP+∠PCN）﹣（∠PAC﹣∠ACP）
＝180°﹣（180°﹣α）﹣（180°﹣α）
＝2α﹣180°，
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键．
3．（2021春•罗湖区校级期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC＝22cm，AB＝14cm，则△ABD的周长为（　　）

A．24cm B．25cm C．30cm D．36cm
【易错思路引导】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据三角形的周长公式计算即可．
【规范解答】解：∵DE垂直平分AC，
∴DA＝DC，
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝36（cm）．
故选：D．
【考察注意点】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
4．（2019•襄城区模拟）如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8，AB＝10，AC＝7，则△EBC的周长是（　　）

A．13 B．16 C．18 D．20
【易错思路引导】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【规范解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴EA＝EC，
又∵BC＝8，AB＝10，
∴△EBC的周长＝BC+BE+EC＝BC+BE+EA＝BC+BA＝18，
故选：C．
【考察注意点】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
5．（2021秋•建湖县期末）△ABC中，BC＝10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，且DE＝4，则AD+AE的值为（　　）
A．6 B．14 C．6或14 D．8或12
【易错思路引导】分两种情况，当BD与CE无重合，当BD与CE有重合．
【规范解答】解：∵AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D，E，
∴AD＝BD，AE＝EC，
分两种情况：
当BD与CE无重合时，

∵BC＝10，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC﹣DE＝10﹣4＝6，
当BD与CE有重合时，

∵BC＝10，DE＝4，
∴AD+AE＝BD+CE＝BC+DE＝10+4＝14，
综上所述：AD+AE的值为：6或14，
故选：C．
【考察注意点】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
6．（2021春•乾县期末）如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG．若△BEG的周长为16，GE＝1．则AC的长为（　　）

A．13 B．14 C．15 D．16
【易错思路引导】利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
【规范解答】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB＝EA，GB＝GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG＝16，
∴EA+GC+EG＝16，
∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，
∴AC+2EG＝16，
∵EG＝1，
∴AC＝14，
故选：B．
【考察注意点】本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
二．填空题
7．（2022春•龙岗区校级期末）如图，BD垂直平分AC，交AC于E，∠BCD＝∠ADF，FA⊥AC，垂足为A，AF＝DF＝5，AD＝6，则AC的长为 　9.6　．

【易错思路引导】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，证明AB∥DF，进而得到四边形AFDB为平行四边形，根据平行四边形的性质得到BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【规范解答】解：∵BD垂直平分AC，
∴DA＝DC，BA＝BC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠BAC＝∠BCA，
∴∠DAC+∠BAC＝∠DCA+∠BCA，即∠DAB＝∠BCD，
∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠DAB＝∠ADF，
∴AB∥DF，
∵FA⊥AC，DB⊥AC，
∴AF∥BD，
∴四边形AFDB为平行四边形，
∴BD＝AF＝5，AB＝DF＝5，
设BE＝x，则DE＝5﹣x，
在Rt△AEB中，AB2﹣BE2＝AE2，
在Rt△AED中，AD2﹣DE2＝AE2，
∴AB2﹣BE2＝AD2﹣DE2，即52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2，
解得：x＝，
∴AE＝＝，
∴AC＝2AE＝9.6，
故AC的长为9.6，
故答案为：9.6．
【考察注意点】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
8．（2018秋•宁阳县期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABC的周长为22，BE＝4，则△ABD的周长为　14　．

【易错思路引导】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，BC＝2BE＝8，根据三角形的周长公式计算即可．
【规范解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，BC＝2BE＝8，
∵△ABC的周长为22，
∴AB+BC+AC＝22，
∴AB+AC＝14，
∴△ABD的周长＝AD+BD+AB＝AD+CD+AB＝AB+AC＝14，
故答案为：14．
【考察注意点】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9．（2017秋•天门期末）如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝　95°　．

【易错思路引导】先过点D作DF⊥AB于E，DF⊥AC于F，易证得△DEB≌△DFC（HL），即可得∠BDC＝∠EDF，又由∠EAF+∠EDF＝180°，即可求得答案．
【规范解答】解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝85°，
∴∠BDC＝∠EDF＝95°，
故答案为：95°．

【考察注意点】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题注意掌握辅助线的作法，掌握数形结合思想与转化思想的应用．
10．（2022春•锦江区校级期中）已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P、O同时在不等边△ABC的内部时，那么∠BOC和∠BPC的数量关系是：∠BOC＝　4∠BPC﹣360°　．

【易错思路引导】根据三角形角平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BAC＝2∠BPC﹣180°；再根据三角形垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，即可得到∠BOC＝2∠BAC，进而得出∠BOC和∠BPC的数量关系．
【规范解答】解：∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
即∠BAC＝2∠BPC﹣180°；
如图，连接AO．
∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，
∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）
＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），
＝2∠OAB+2∠OAC
＝2∠BAC
＝2（2∠BPC﹣180°）
＝4∠BPC﹣360°，
故答案为：4∠BPC﹣360°．

【考察注意点】本题考查了三角形的垂直平分线与角平分线，熟练掌握三角形的垂直平分线与角平分线的性质是解题的关键．
11．（2018秋•江岸区校级期中）O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，若3∠BOC＝2∠BPC，则∠BAC＝　36°或（）°　．
【易错思路引导】分两种情况讨论，根据中垂线定理及角平分线的性质分别将∠BOC和∠BPC用∠BAC表示出来，再根据3∠BOC＝2∠BPC可得出答案．
【规范解答】解：分两种情况：
①如图所示，当O在△ABC内部时，连接AO，
∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，
∴∠BOC＝∠ABO+∠BAO+∠ACO+∠CAO＝2∠BAC，
∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
又∵3∠BOC＝2∠BPC，
∴3×2∠BAC＝2（90°+∠BAC），
解得∠BAC＝36°；

②如图所示，当O在△ABC外部时，连接AO，
∵O点是△ABC的边AB、AC的垂直平分线的交点，
∴AO＝BO＝CO，
∴∠ABO＝∠BAO，∠ACO＝∠CAO，
∴四边形ABOC中，∠BOC＝360°﹣∠ABO﹣∠BAO﹣∠ACO﹣∠CAO＝360°﹣2∠BAC，
∵P点是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠BAC）
＝90°+∠BAC，
又∵3∠BOC＝2∠BPC，
∴3×（360°﹣2∠BAC）＝2（90°+∠BAC），
解得∠BAC＝（）°，
故答案为：36°或（）°．


【考察注意点】本题考查三角形的内角和定理，注意掌握中垂线及角平分线的性质．
12．（2021秋•慈溪市期末）如图，∠AOB＝30°，点P为∠AOB的角平分线上一点，OP的垂直平分线交OA，OB分别于点M，N，点E为OA上异于点M的一点，且PE＝ON＝2，则△POE的面积为 　1+　．

【易错思路引导】连接PM，PN，过P作PF⊥EM于F，根据角平分线的定义得到∠MOP＝∠NOP＝AOB＝15°，根据线段垂直平分线的性质得到OM＝PM，ON＝PN，根据菱形的性质得到PM＝ON＝PE＝OM＝2，∠PME＝∠MPO+∠MOP＝30°，根据勾股定理得到FM＝＝，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【规范解答】解：连接PM，PN，过P作PF⊥EM于F，
∵∠OP平分∠AOB，
∴∠MOP＝∠NOP＝AOB＝15°，
∵OP的垂直平分线交OA，OB分别于点M，N，
∴OM＝PM，ON＝PN，
∴∠MOP＝∠MPO，
∠NPO＝∠PON，
∴∠MOP＝∠MPO＝∠OPN＝∠PON，
∴PM∥ON，PN∥OM，
∴四边形PMON是菱形，
∴PM＝ON＝PE＝OM＝2，∠PME＝∠MPO+∠MOP＝30°，
∴PF＝PM＝1，
∴FM＝＝，
∴EM＝2FM＝2，
∴OE＝OM+EM＝2+2，
∴△POE的面积＝OE•PF＝×（2+2）×1＝1+，
故答案为：1+．

【考察注意点】本题考查了线段垂直平分线的性质，菱形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
三．解答题
13．（2018秋•醴陵市期末）已知：如图，AF平分∠BAC，BC垂直平分AD，垂足为E，CF上一点P，连接PB交线段AF相交于点M．
（1）求证：AB∥CD；
（2）若∠DAC＝∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

【易错思路引导】（1）依据垂直平分线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠CDA＝∠BAD，即可得到AB∥CD；
（2）判定△ACE≌△ABE，可得AC＝AB．再判定△ACM≌△ABM，可得∠AMC＝∠AMB，再根据三角形内角和定理，即可得到∠F＝∠MCD．
【规范解答】解：（1）∵BC垂直平分AD，
∴AC＝CD，∠CAD＝∠CDA，
∵AF平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CDA＝∠BAD，
∴AB∥CD；
（2）结论：∠F＝∠MCD，
理由：∵∠DAC＝∠CDA，∠DAC＝∠MPC，
∴∠CDA＝∠MPC，
又∵∠CDA+∠CDM＝180°，∠MPC+∠MPF＝180°，
∴∠CDM＝∠MPF；
又∵AF平分∠BAC，AE⊥BC，AE＝AE．
∴△ACE≌△ABE（ASA），
∴AC＝AB．
又∵AF平分∠BAC，AM＝AM，
∴△ACM≌△ABM（SAS），
∴∠AMC＝∠AMB，
又∵∠AMB＝∠PMF．
∴∠AMC＝∠PMF．
又∵∠AMC+∠MCD+∠CDM＝180°，∠PMF+∠MPF+∠F＝180°，
∴∠F＝∠MCD．

【考察注意点】本题考查了全等三角形的判定与性质、轴对称的性质及线段垂直平分线的性质；解题时需注意充分利用两点关于某条直线对称，对应点的连线被对称轴垂直平分，进而得到相应的线段相等，角相等．
14．（2021秋•洪江市期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

【易错思路引导】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【规范解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【考察注意点】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
15．（2021秋•蓝山县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，∠CAD＝20°，∠ACB＝70°．求证：BE＝AC．

【易错思路引导】连接AE，根据三角形内角和定理得到∠ADC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到DE＝DC，AE＝BE，等量代换证明结论．
【规范解答】证明：连接AE，
∵∠ACB＝70°，∠DAC＝20°，
∴∠ADC＝180°﹣∠DAC﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣70°＝90°，
∴AD⊥EC，
∵DE＝DC，
∴AD是线段CE的垂直平分线，
∴AE＝AC，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC．

【考察注意点】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16．（2021秋•惠东县月考）如图，△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC，垂足为D，且BD＝DE，连接AE．
（1）求证：AB＝CE；
（2）若△ABC的周长为14cm，AC＝6cm，则DC的长为 　4　cm．

【易错思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论；
（2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝14cm，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案．
【规范解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，
∴AE＝EC，
∵AD⊥BC，BD＝DE，
∴AB＝AE，
∴AB＝EC；
（2）解：∵△ABC的周长为14cm，
∴AB+BC+AC＝14（cm），
∵AC＝6cm，
∴AB+BC＝8（cm），
∵AB＝EC，BD＝DE，
∴DC＝DE+EC＝（AB+BC）＝4（cm）．
故答案为：4．
【考察注意点】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
17．（2021秋•容县期中）如图，△ABC中，DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）若BC的长为10，求△DAF的周长；
（2）若∠DAF＝30°，求∠BAC的度数．

【易错思路引导】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，FA＝FC，得到DA+FA+DF＝BD+FC+DF＝BC＝10，于是得到结论；
（2）根据等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，求得∠DAB+∠FAC＝75°，于是得到∠BAC＝75°+30°＝105°．
【规范解答】解：（1）∵DE，FG分别为AB、AC的垂直平分线，
∴DA＝DB，FA＝FC，
∵BC＝10，
∴DA+FA+DF＝BD+FC+DF＝BC＝10，
∴△DAF的周长为10；
（2）∵DA＝DB，FA＝FC，
∴∠DAB＝∠B，∠FAC＝∠C，
∴∠DAB+∠FAC＝∠B+∠C，
∵∠DAF＝30°，
∴∠DAB+∠FAC+∠B+∠C＝180°﹣30°＝150°，
∴∠DAB+∠FAC＝75°，
∴∠BAC＝75°+30°＝105°．
【考察注意点】本题考查的是线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题的关键．
18．（2021秋•任丘市期末）如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线．
求证：（1）∠EAD＝∠EDA．
（2）DF∥AC．
（3）∠EAC＝∠B．

【易错思路引导】（1）根据垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等可得到AE＝DE，再根据等角对等边可得到∠EAD＝∠EDA；
（2）根据线段垂直平分线的性质证明AF＝DF，进而得到∠BAD＝∠ADF，再利用角平分线的性质可得到∠BAD＝∠CAD，利用等量代换可得∠ADF＝∠CAD，再根据平行线的判定即可得到DF∥AC；
（3）根据三角形内角与外角的关系可得到结论．
【规范解答】证明：（1）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AE＝DE，
∴∠EAD＝∠EDA；

（2）∵EF是AD的垂直平分线，
∴AF＝DF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ADF＝∠CAD，
∴DF∥AC；

（3）由（1）∠EAD＝∠EDA，
即∠ADE＝∠CAD+∠EAC，
∵∠ADE＝∠BAD+∠B，
∠BAD＝∠CAD，
∴∠EAC＝∠B．
【考察注意点】此题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定以及三角形内角与外角的关系，题目综合性较强，但是难度不大，需要同学们掌握好基础知识．
19．（2021秋•高港区月考）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．
（1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠PAQ的度数；
（2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由；
（3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长．

【易错思路引导】（1）先根据三角形内角和定理求出∠B+∠C，再根据等边对等角的性质可得∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，然后代入数据进行计算即可得解；
（2）根据垂直平分线的性质可得∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，再利用三角形内角和可得∠BAC的度数；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AP＝BP，AQ＝CQ，然后求出△APQ周长等于BC，从而得解．
【规范解答】解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，
∴AP＝BP，AQ＝CQ，
∵∠BAC＝80°，
∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵AP＝BP，AQ＝CQ，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠PAQ＝∠BAP+∠CAQ﹣∠BAC＝∠B+∠C﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°；
（2）如图，

∵AP⊥AQ，
∴∠PAQ＝90°，
由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，
∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，
∴∠BAC＝135°；
答：当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ；
（3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，
∵BC＝10，
∴△APQ周长＝10．
【考察注意点】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的周长公式，熟记性质是解题的关键．
20．（2021秋•潮安区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE＝BF．

【易错思路引导】（1）根据已知条件得到∠BCD＝45°，求得BD＝CD，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质和判定即可得到结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【规范解答】解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
，
∴△BDF≌△CDA，
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE＝AC，
∴CE＝BF．
【考察注意点】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定，正确的识别图形是解题的关键