【同步讲义】苏科版数学八年级上册：专题05 等腰三角形的判定和性质综合题 讲义（导图+易错点拨+易错题专训）

专题05 等腰三角形的判定和性质（综合题）

知识点01：等腰三角形的定义

                   的三角形，叫做等腰三角形，其中            叫做腰，另一边叫做底，        叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.

如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为        ,∠A是        

∠B               、∠C是           ．

知识要点：等腰直角三角形的两个          相等，且都等于              .等腰三角形的底角只能为          ，不能为钝角（或直角），但顶角可为                  

∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ .

知识点02：等腰三角形的性质

1.等腰三角形的性质

性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“                ”）．

性质2：等腰三角形的                       互相重合（简称“                ”）．

2.等腰三角形的性质的作用

性质1证明同一个三角形中的两角            .是证明              的一个重要依据．

性质2用来证明                              等．

3.等腰三角形是轴对称图形

等腰三角形底边上的                     所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条               

知识点03：等腰三角形的判定

如果一个三角形中有               相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“                   ”）.

  知识要点：等腰三角形的判定是证明                       的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为                   的重要依据.等腰三角形的                     是互逆定理.

一．选择题

1．（2022秋•朝阳区校级月考）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB＝15，AC＝18，则△AMN的周长为（　　）

A．15 B．18 C．30 D．33

2．（2021秋•建昌县期末）如图所示，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，那么下列结论：①BP＝CP；②MN＝BM+CN；③△BMP和△CNP都是等腰三角形；④△AMN的周长等于AB+AC，其中正确的有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

3．（2021秋•陇县期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE，AB＝5，BE＝3，则AC＝（　　）

A．10 B．11 C．13 D．15

4．（2021秋•覃塘区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点E、F分别在BA、BC的延长线上，∠EAC、∠ABC、∠ACF的平分线相交于点D．对于以下结论：①AD∥BC；②AD＝AC；③∠ADC＝∠ACB；④∠ADB与∠ADC互余．其中正确结论的个数为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

5．（2021秋•南岗区期末）如图，在△ABC中，∠BAC与∠ACB的平分线交于点M，过点M作DE∥AC交AB于点D，交BC于点E，那么下列结论：①△ADM和△CEM都是等腰三角形；②△BDE的周长等于AB+BC；③AM＝2CM；④AD+CE＝AC．其中一定正确的结论有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

6．（2021•太仓市自主招生）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论．

①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn，正确的结论有（　　）个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二．填空题

7．（2021秋•渌口区期末）如图，在△ABC中，BC＝15厘米，BP，CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长为 　   　．

8．（2021秋•滑县期末）如图，△ABC的面积为10cm2，AO垂直于∠ABC的平分线于点O，连接OC，则图中阴影部分的面积是 　   　cm2．

9．（2020秋•东坡区校级月考）如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于点F，过F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，DE＝3cm，AE＝2，求AC的长为 　   　cm．

10．（2021秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作EM∥BC分别交AB，AC于M，N，则△AMN的周长为 　   　．

11．（2021•文成县模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为　   　．

12．（2022春•天山区校级期中）如图，在△ABC中，AB＞AC，AE平分∠BAC，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，F为BC的中点，给出结论：①FD∥AC；②FE＝FD；③AB﹣AC＝DE；④∠BAC+∠DFE＝180°．其中正确结论的题号是 　   　．

13．（2021•长沙模拟）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝3∠B，CE⊥AD，AC＝8，BC＝BD，则CE＝　   　．

三．解答题

14．（2021秋•海沧区期末）定义：一个三角形，若过一个顶点的线段将这个三角形分为两个三角形，其中一个是直角三角形，另一个是等腰三角形，则称这个三角形是等直三角形，这条线段叫做这个三角形的等直分割线段．

例如：

如图1，在△ABC中，

∵AD⊥BC于D，且BD＝AD，

∴△ACD是直角三角形，

△ABD是等腰三角形，

∴△ABC是等直三角形，

AD是△ABC的一条等直分割线段．

（1）如图2，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，请说明AD是△ABC的一条等直分割线段；

（2）若△ABC是一个等直三角形，恰好有两条等直分割线，∠B和∠C均小于45°，求证：△ABC是等腰三角形．

15．（2022•于洪区二模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．

（1）求证：CG＝EG．

（2）已知BC＝13，CD＝5，连接ED，求△BEC的面积．

16．（2021秋•思明区校级期末）已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：

（1）△ABC是等腰三角形；

（2）AF＝CE．

17．（2021秋•铁西区期末）如图1，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．

（1）若∠MON＝60°，则∠ACG＝　   　度；

（2）若∠MON＝n°，则∠ACG＝　   　度；（用含n的代数式表示）

（3）如图2，若∠MON＝72°，过点C作CF∥OA交AB于点F，求∠BGO与∠ACF的数量关系．

18．（2021秋•伊通县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点M，证明：△BCD是等腰三角形．

19．（2021秋•雨花区校级月考）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．

（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；

（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．

（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．

20．（2021春•莲池区期中）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作BC平行线交AB、AC于E、F． 试说明：EO＝BE 

探究一：请写出图①中线段EF与BE、CF间的关系，并说明理由．

探究二：如图②，△ABC若∠ABC的平分线与△ABC的外角平分线交于O，过点O作BC的平行线交AB于E，交AC于F．这时EF与BE、CF的关系又如何？请直接写出关系式，不需要说明理由．