高考数学二轮复习课时跟踪检测02三角函数的图象与性质小题练（含答案）

课时跟踪检测（二）  三角函数的图象与性质 （小题练）

A级——12＋4提速练

一、选择题

1.函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为(　　)

A．f(x)＝sin　　 B．f(x)＝sin

C．f(x)＝sin  D．f(x)＝sin

解析：选A　由题图可知， 函数f(x)的最小正周期为T＝＝×4＝π，所以ω＝2，即f(x)＝sin(2x＋φ)．又函数f(x)的图象经过点，所以sin＝1，则＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，即函数f(x)＝sin，故选A.

2．(2018·重庆模拟)函数f(x)＝sin的图象的一个对称中心是(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　令x－＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)＝sin的图象的一个对称中心是，故选C.

3．(2018·宝鸡质检)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选B　由kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)得，－<x<＋(k∈Z)，所以函数f(x)＝tan的单调递增区间为(k∈Z)，故选B.

4．(2018·福州模拟)将函数y＝2sin x＋cos x的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)

A．y＝sin x－2cos x  B．y＝2sin x－cos x

C．y＝－sin x＋2cos x  D．y＝－2sin x－cos x

解析：选D　因为y＝2sin x＋cos x＝sin(x＋θ)，其中θ满足cos θ＝，sin θ＝，所以函数y＝2sin x＋cos x的周期为2π，所以个周期为π.于是由题设知平移后所得图象对应的函数为y＝2sin(x－π)＋cos(x－π)＝－2sin x－cos x．故选D.

5．(2018·郑州模拟)若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

解析：选A　将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到函数g(x)＝sin＝sin＝－sin 2x的图象，令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，因此函数g(x)的单调递增区间为(k∈Z)，故选A.

6．(2018·唐山模拟)把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得函数图象的一条对称轴的方程为(　　)

A．x＝0  B．x＝

C．x＝  D．x＝－

解析：选C　将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后得到y＝sin＝sin的图象，令2x＋＝＋kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，则x＝，选C.

7．(2018·成都模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x在x＝θ时取得最大值，则cos＝(　　)

A．－  B．－

C.  D.

解析：选C　∵f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，又f(x)在x＝θ时取得最大值，∴θ＋＝＋2kπ(k∈Z)，即θ＝＋2kπ(k∈Z)，于是cos＝cos＝cos＝×－×＝，故选C.

8．(2019届高三·福州四校联考)函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，并且函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数ω的值为(　　)

A.  B.

C．2  D.

解析：选C　因为将函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，所以g(x)＝sin，又函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以g＝sin＝1且≥，所以所以ω＝2，故选C.

9．(2018·合肥一模)将函数y＝cos x－sin x的图象先向右平移φ(φ>0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos 2x＋sin 2x的图象，则φ，a的可能取值为(　　)

A．φ＝，a＝2  B．φ＝，a＝2

C．φ＝，a＝  D．φ＝，a＝

解析：选D　将函数y＝cos x－sin x＝cos的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，可得y＝cos的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的a倍，得到y＝cos的图象，又y＝cos＝cos 2x＋sin 2x＝cos，∴＝2，－φ＝－＋2kπ(k∈Z)，∴a＝，φ＝＋2kπ(k∈N)，又φ>0，结合选项知选D.

10．(2018·开封模拟)若存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)＝sin2(ωx＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　由f(x)＝sin2(ωx＋φ)＝及其图象知，<×<1，即<ω<π，所以正整数ω＝2或3.由函数f(x)的图象经过点(1,0)，得f(1)＝＝0，得2ω＋2φ＝2kπ(k∈Z)，即2φ＝2kπ－2ω(k∈Z)．由图象知f(0)>，即＝>，得cos 2ω<0，所以ω＝2，故选B.

11．(2018·沈阳模拟)已知函数f(x)＝sin，以下命题中为假命题的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．x＝－是函数f(x)的一个零点

C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到

D．函数f(x)在上是增函数

解析：选C　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选C.

12．(2018·江苏南京模拟)已知函数f(x)＝sin(ω>0)，若f(0)＝－f且f(x)在上有且仅有三个零点，则ω＝(　　)

A.  B．2

C.  D.或6

解析：选D　f(0)＝sin＝－，

令ωx1－＝0得，x1＝，而＝＝，故x1＝.

又f(0)＝－f，

如图，若f(x)在上有且仅有3个零点，

则＝T＋×2或＝，即T＝或T＝，则ω＝或6，故选D.

二、填空题

13．(2018·广州模拟)函数f(x)＝4cos xsin－1(x∈R)的最大值为________．

解析：∵f(x)＝4cos xsin－1＝4cos x－1＝2sin xcos x＋2cos2x－1＝sin 2x＋cos 2x＝2sin，∴f(x)max＝2.

答案：2

14．(2018·北京东城质检)函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x在区间上的最小值为________．

解析： 由函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x＝－cos 2x＋sin 2x＝sin＋.

∵x∈，∴2x－∈.

当2x－＝时，函数f(x)取得最小值为1.

答案：1

15．(2018·武汉调研)若函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，则φ＝________.

解析：因为函数f(x)＝2sin(ω>0)的图象的对称轴与函数g(x)＝cos(2x＋φ)的图象的对称轴完全相同，故它们的最小正周期相同，即＝，所以ω＝2，故函数f(x)＝2sin.令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，故函数f(x)的图象的对称轴为x＝＋，k∈Z.令2x＋φ＝mπ，m∈Z，则x＝－，m∈Z，故函数g(x)的图象的对称轴为x＝－，m∈Z，故＋－＋＝，m，n，k∈Z，即φ＝(m＋n－k)π－，m，n，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－.

答案：－

16．设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)．若函数f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则函数f(x)的最小正周期为________．

解析：法一：∵f(x)在区间上具有单调性，且f＝f，∴x＝和x＝均不是f(x)的极值点，其极值应该在x＝＝处取得，∵f＝－f，∴x＝也不是函数f(x)的极值点，又f(x)在区间上具有单调性，∴x＝－＝为f(x)的另一个相邻的极值点，故函数f(x)的最小正周期T＝2×＝π.

法二：由已知可画出草图，如图所示，则＝－，解得T＝π.

答案：π

B级——难度小题强化练

1．(2018·宜昌模拟)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于原点对称，则角θ＝(　　)

A．－  B.

C．－  D.

解析：选D　∵f(x)＝2sin，且f(x)的图象关于原点对称，∴f(0)＝2sin＝0，即sin＝0，∴θ－＝kπ(k∈Z)，即θ＝＋kπ(k∈Z)，又|θ|<，∴θ＝.

2．(2018·洛阳模拟)已知函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，先将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于y轴对称，则θ的最小值为(　　)

A.  B.

C.  D.

解析：选C　f(x)＝sin x＋cos x＝2sin，将其图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得y＝2sin的图象，再将得到的图象上所有的点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得y＝2sin＝2sin的图象．由y＝2sin的图象关于y轴对称得－3θ＝＋kπ，k∈Z，即θ＝－π，k∈Z，又θ>0，故当k＝－1时，θ取得最小值，故选C.

3．(2018·洛阳尖子生统考)已知函数f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)，x∈R，则下列说法正确的是(　　)

A．函数f(x)是周期函数且最小正周期为π

B．函数f(x)是奇函数

C．函数f(x)在区间上的值域为[1，]

D．函数f(x)在上是增函数

解析：选C　f(x)＝sin(sin x)＋cos(sin x)＝sin，因为f(π＋x)＝sin＝sin≠f(x)，所以π不是函数f(x)的最小正周期，故A错误；f(－x)＝sin＝sin≠－f(x)，故B错误；当x∈时，sin x∈[0,1]，sin x＋∈，所以sin∈，则sin∈[1，]，

故C正确；当x∈时，sin x∈，sin x＋∈，而∈，所以函数f(x)在上不是单调函数，故D错误．

4．(2018·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：

①f(x)的最大值为A；

②f(x)的最小正周期为2；

③f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；

④f(x)在，k∈Z上是减函数．

则正确结论的个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选B　若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故①不正确；由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故②正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝＋＝＋k(k∈Z)，而＋k＝－无整数解，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故③不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故④正确．故选B.

5．(2018·山东淄博质检)若函数y＝sin2x＋acos x＋a－在闭区间上的最大值是1，则实数a的值为________．

解析：y＝1－cos2x＋acos x＋a－＝－2＋＋a－.∵0≤x≤，∴0≤cos x≤1.

①若>1，即a>2，则当cos x＝1时，ymax＝a＋a－＝1⇒a＝<2(舍去)；

②若0≤≤1，即0≤a≤2，则当cos x＝时，ymax＝＋a－＝1，∴a＝或a＝－4<0(舍去)；

③若<0，即a<0，则当cos x＝0时，ymax＝a－＝1⇒a＝>0(舍去)．

答案：

6．已知函数f(x)＝asin(πωx＋φ)，直线y＝a与f(x)的图象的相邻两个交点的横坐标分别是2和4，现有如下命题：

①该函数在[2,4]上的值域是[a，a]；

②在[2,4]上，当且仅当x＝3时函数取得最大值；

③该函数的最小正周期可以是；

④f(x)的图象可能过原点．

其中是真命题的为________(写出序号即可)．

解析：对于①，∵直线y＝a与函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，∴结合图象可以看出，当a>0时，f(x)在[2,4]上的值域为[a，a]，当a<0时，f(x)在[2,4]上的值域为[a，a]，①错误；

对于②，根据三角函数图象的对称性，显然x＝2和x＝4的中点是x＝3，即当a>0时，f(x)在x＝3处有最大值f(3)＝a，当a<0时，f(x)在x＝3处有最小值f(3)＝a，②错误；

对于③，∵函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的最小正周期T＝＝，当ω＝时，T＝>4－2＝2，因此f(x)的最小正周期可以是，③正确；

对于④，f(0)＝asin φ，令f(0)＝0，得φ＝0，此时f(x)＝asin πωx，由asin πωx＝a得sin πωx＝，

则πωx＝2kπ＋(k∈Z)或πωx＝2kπ＋(k∈Z)，

∴x＝(k∈Z)或x＝(k∈Z)，

∵直线y＝a与函数f(x)＝asin(πωx＋φ)的图象的相邻两个交点的横坐标分别为2和4，

∴令解得k＝∉Z，即不存在这样的k符合题意，④错误．综上，只有③正确．

答案：③