高考数学二轮复习知识 方法篇 专题10　数学思想 第43练 含答案

这是一份高考数学二轮复习知识 方法篇 专题10　数学思想 第43练 含答案，共13页。
[思想方法解读] 1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.
2.函数与方程思想在解题中的应用
(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.
(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.
(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决，建立空间直角坐标系后，立体几何与函数的关系更加密切.
体验高考
1.(2015·湖南)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x3，x≤a，,x2，x＞a，))若存在实数b，使函数g(x)＝f(x)－b有两个零点，则a的取值范围是________.
答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)
解析 函数g(x)有两个零点，
即方程f(x)－b＝0有两个不等实根，
则函数y＝f(x)和y＝b的图象有两个公共点.
①若aa时，
f(x)＝x2，函数先单调递减后单调递增，
f(x)的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.
②若0≤a≤1，
则a3≤a2，函数f(x)在R上单调递增，f(x)的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y＝b至多有一个公共点.
③若a>1，
则a3>a2，函数f(x)在R上不单调，f(x)的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y＝b可能有两个公共点.
综上，a1.
2.(2015·安徽)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；
④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
答案 ①③④⑤
解析 令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，
当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一个实根，④⑤正确；
当a0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2＋x－22>0，,4x－2＋x－22>0，))
解得x2.
题型三 函数与方程思想在数列中的应用
例3 已知数列{an}是首项为2，各项均为正数的等差数列，a2，a3，a4＋1成等比数列，设bn＝eq \f(1,Sn＋1)＋eq \f(1,Sn＋2)＋…＋eq \f(1,S2n)(其中Sn是数列{an}的前n项和)，若对任意n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值.
解 因为a1＝2，aeq \\al(2,3)＝a2·(a4＋1)，
又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，
所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，
得d＝2或d＝－1(舍去)，
所以数列{an}的通项公式an＝2n.
因为Sn＝n(n＋1)，
bn＝eq \f(1,Sn＋1)＋eq \f(1,Sn＋2)＋…＋eq \f(1,S2n)
＝eq \f(1,n＋1n＋2)＋eq \f(1,n＋2n＋3)＋…＋eq \f(1,2n2n＋1)
＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,n＋2)＋eq \f(1,n＋2)－eq \f(1,n＋3)＋…＋eq \f(1,2n)－eq \f(1,2n＋1)
＝eq \f(1,n＋1)－eq \f(1,2n＋1)＝eq \f(n,2n2＋3n＋1)＝eq \f(1,2n＋\f(1,n)＋3).
令f(x)＝2x＋eq \f(1,x) (x≥1)，
则f′(x)＝2－eq \f(1,x2)，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，
即当n＝1时，(bn)max＝eq \f(1,6)，
要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，
则须使k≥(bn)max＝eq \f(1,6)，所以实数k的最小值为eq \f(1,6).
点评 数列问题函数(方程)化法
数列问题函数(方程)化法与形式结构函数(方程)化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，其一般解题步骤为：
第一步：分析数列式子的结构特征.
第二步：根据结构特征构造“特征”函数(方程)，转化问题形式.
第三步：研究函数性质.结合解决问题的需要，研究函数(方程)的相关性质，主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.
第四步：回归问题.结合对函数(方程)相关性质的研究，回归问题.
变式训练3 设Sn为等差数列{an}的前n项和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N*).若eq \f(a8,a7)＜－1，则( )
A.Sn的最大值是S8 B.Sn的最小值是S8
C.Sn的最大值是S7 D.Sn的最小值是S7
答案 D
解析 由条件得eq \f(Sn,n)＜eq \f(Sn＋1,n＋1)，即eq \f(na1＋an,2n)＜eq \f(n＋1a1＋an＋1,2n＋1)，所以an＜an＋1，所以等差数列{an}为递增数列.
又eq \f(a8,a7)＜－1，所以a8＞0，a7＜0，即数列{an}前7项均小于0，第8项大于零，所以Sn的最小值为S7，故选D.
题型四 函数与方程思想在解析几何中的应用
例4 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为eq \r(2)，离心率为eq \f(\r(2),2)，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→)).
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围.
解 (1)设椭圆C的方程为eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1 (a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝eq \r(2)，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以a＝1，b＝c＝eq \f(\r(2),2).
故椭圆C的方程为y2＋eq \f(x2,\f(1,2))＝1，即y2＋2x2＝1.
(2)①当直线l的斜率不存在时，也满足eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，此时m＝±eq \f(1,2).
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m (k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,2x2＋y2＝1，))得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)
x1＋x2＝eq \f(－2km,k2＋2)，x1x2＝eq \f(m2－1,k2＋2).
因为eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，所以－x1＝3x2，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－2x2，,x1x2＝－3x\\al(2,2).))则3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0，
即3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－2km,k2＋2)))2＋4·eq \f(m2－1,k2＋2)＝0，
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋2m2－2＝0，
当m2＝eq \f(1,4)时，上式不成立；
当m2≠eq \f(1,4)时，k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)，
由(*)式，得k2>2m2－2，又k≠0，
所以k2＝eq \f(2－2m2,4m2－1)>0，
解得－10得x2－4x＋30，
所以φ(e)＝e2－(2＋a)e＋1e＋eq \f(1,e)－2，
所以实数a的取值范围是(e＋eq \f(1,e)－2，＋∞).
8.已知f(x)＝ex－ax－1.
(1)求f(x)的单调增区间；
(2)若f(x)在定义域R内单调递增，求a的取值范围.
解 (1)∵f(x)＝ex－ax－1(x∈R)，
∴f′(x)＝ex－a.
令f′(x)≥0，得ex≥a，
当a≤0时，f′(x)>0在R上恒成立；
当a>0时，有x≥ln a.
综上，当a≤0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)；
当a>0时，f(x)的单调增区间为(ln a，＋∞).
(2)由(1)知f′(x)＝ex－a.
∵f(x)在R上单调递增，
∴f′(x)＝ex－a≥0恒成立，
即a≤ex在R上恒成立.
∵当x∈R时，ex>0，
∴a≤0，即a的取值范围是(－∞，0].
9.已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为eq \f(\r(2),2).直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为eq \f(\r(10),3)时，求k的值.
解 (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(2),2)，,a2＝b2＋c2，))解得b＝eq \r(2).
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.
(2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0.
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4k2,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2k2－4,1＋2k2).
所以|MN|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12)
＝eq \r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])
＝eq \f(2\r(1＋k24＋6k2),1＋2k2).
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝eq \f(|k|,\r(1＋k2))，
所以△AMN的面积为S＝eq \f(1,2)|MN|·d＝eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2).
由eq \f(|k|\r(4＋6k2),1＋2k2)＝eq \f(\r(10),3)，解得k＝±1.
所以k的值为1或－1.
10.已知等比数列{an}满足2a1＋a3＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若bn＝an＋lg2eq \f(1,an)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求使Sn－2n＋1＋47