初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数教案

22．1.1　二次函数

1．理解、掌握二次函数的概念和一般形式．

2．会利用二次函数的概念解决问题．

3．列二次函数表达式解决实际问题．

一、情境导入

已知长方形窗户的周长为6米，窗户面积为y(米2)，窗户宽为x(米)，你能写出y与x之间的函数关系式吗？它是什么函数呢？

二、合作探究

探究点一：二次函数的有关概念

【类型一】二次函数的识别

下列函数哪些是二次函数？

(1)y＝2－x2;  (2)y＝；

(3)y＝2x(1＋4x);  (4)y＝x2－(1＋x)2.

解析：(1)是二次函数；(2)是分式而不是整式，不符合二次函数的定义式，故y＝不是二次函数；(3)把y＝2x(1＋4x)化简为y＝8x2＋2x，显然是二次函数；(4)y＝x2－(1＋x)2化简后变为y＝－2x－1，它不是二次函数而是一个一次函数．

解：二次函数有(1)和(3)．

方法总结：判定一个函数是否是二次函数常有三个标准：①所表示的函数关系式为整式；②所表示的函数关系式有唯一的自变量；③所含自变量的关系式最高次数为2，且函数关系式中二次项系数不等于0.

【类型二】确定二次函数中待定字母的取值

如果函数y＝(k＋2)xk2－2是y关于x的二次函数，则k的值为多少？

解析：紧扣二次函数的定义求解．注意易错点为忽视k＋2≠0的条件．

解：根据题意知解得∴k＝2.

方法总结：紧扣定义中的两个特征：①a≠0；②自变量最高次数为2的二次三项式ax2＋bx＋c.

【类型三】求函数值

当x＝－3时，函数y＝2－3x－x2的值为________．

解析：把x＝－3直接代入函数的表达式得y＝2－3×(－3)－(－3)2＝2＋9－9＝2.即函数的值为2.

方法总结：求函数值实际上就是求代数式的值．用所给的自变量的值替换函数关系式中的自变量，然后计算，注意运算顺序不要改变．

【类型四】确定自变量的取值

当x＝________时，函数y＝x2＋5x－5的函数值为1.

解析：令y＝1，即x2＋5x－5＝1，解这个一元二次方程得x1＝－6，x2＝1.即x＝－6或1.

方法总结：求二次函数自变量的值实际上就是解一元二次方程．直接转化为关于自变量的一元二次方程，通过解方程确定自变量的取值．

探究点二：列二次函数的解析式

一个正方形的边长是12cm，若从中挖去一个长为2xcm，宽为(x＋1)cm的小长方形．剩余部分的面积为ycm2.

(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出y是x的什么函数？

(2)当x的值为2或4时，相应的剩余部分面积是多少？

解析：几何图形的面积一般需要画图分析，相关线段必须先用x的代数式表示出来．如图所示．

解：(1)y＝122－2x(x＋1)，即y＝－2x2－2x＋144，∴y是x的二次函数．

(2)当x＝2或4时，相应的y的值分别为132cm2或104cm2.

方法总结：二次函数是刻画现实世界变量之间关系的一种常见的数学模型．许多实际问题的解决，可以通过分析题目中变量之间的关系，建立二次函数模型. 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．

解析：根据题意可知：实际商品的利润为(60－x－40)，每星期售出商品的数量为(300＋20x)，则每星期售出商品的利润为y＝(60－x－40)(300＋20x)，化简，注意要求出自变量x的取值范围．

解：由题意，得：y＝(60－x－40)(300＋20x)＝(20－x)(300＋20x)＝－20x2＋100x＋6000，自变量x的取值范围为0≤x<20.

方法总结：销售利润＝单位商品利润×销售数量；商品利润＝售价－进价．

三、板书设计

教学过程中，强调判断一个函数为二次函数的三个条件，可对比已学过的一次函数，进一步巩固函数的有关知识.