2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十基本立体图形空间几何体的表面积与体积

这是一份2024版新教材高考数学全程一轮总复习课时作业四十基本立体图形空间几何体的表面积与体积，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．[2023·河南焦作模拟]已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为( )
A．50πB．200
C．100πD．150π
2．[2023·河北三河模拟]某圆锥的侧面积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面半径之比为eq \f(1,2)，则该圆台的侧面积为( )
A．eq \f(1,2)B．eq \f(\r(2),2)
C．eq \f(2,3)D．eq \f(3,4)
3．[2023·河南新乡模拟]已知一个圆柱与一个圆锥的轴截面分别为正方形与正三角形，且正方形与正三角形的边长相等，则该圆柱的体积与圆锥的体积的比值为( )
A．eq \r(3)B．2eq \r(2)
C．2eq \r(3)D．eq \r(5)
4．[2023·江西南昌模拟]已知圆锥内部有一个半径为1的球与其侧面和底面均相切，且圆锥的轴截面为等边三角形，则圆锥的侧面积为( )
A．2πB．4π
C．6πD．8π
5．如图所示，已知三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长均为1，且AA1⊥底面ABC，则三棱锥A­BB1C1的体积为( )
A．eq \f(\r(3),12)B．eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(\r(6),12)D．eq \f(\r(6),4)
6．[2023·河南开封模拟]已知点P，A，B，C均在同一个球面上，且PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AB＝AP＝2，则该球的表面积为( )
A．4πB．6π
C．8πD．16π
7．体积为8的正方体ABCD­A1B1C1D1内有一个体积为V的球，则V的最大值为( )
A．8πB．4π
C．eq \f(8\r(2)π,3)D．eq \f(4π,3)
8．一个正四面体的棱长为2，则这个正四面体的外接球的体积为( )
A．eq \r(6)πB．2π
C．3πD．2eq \r(2)π
9．(能力题)[2023·江西南昌模拟]圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球(球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同)后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为( )
A．eq \f(20,3)cmB．15cm
C．10eq \r(3)cmD．20cm
10．(能力题)已知圆台的母线长为2，母线与轴的夹角为60°，且上、下底面的面积之比为1∶4，则该圆台外接球的表面积为( )
A．56πB．100π
C．112πD．128π
二、多项选择题
11．[2023·河北邯郸模拟]如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是( )
A．A与BB．D与E
C．B与DD．C与F
12．[2023·辽宁大连期末]一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是( )
13．(能力题)[2023·广东仲元中学模拟]在正四棱台ABCD­A1B1C1D1中，A1B1＝2AB＝4，AA1＝2，则( )
A．该棱台的高为eq \r(2)
B.该棱台的表面积为16＋12eq \r(3)
C．该棱台的体积为28eq \r(2)
D．该棱台外接球的体积为eq \f(40\r(10),3)π
三、填空题
14．[2023·江西临川一中模拟]将一个边长为4的正三角形以其中一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积为________．
15．(能力题)[2023·河南洛阳模拟]若三棱柱ABC­A1B1C1的底面是以AB为斜边的直角三角形，AA1⊥平面ABC，AB＝2eq \r(2)，AA1＝4，则该三棱柱的外接球的体积为________．
优生选做题
16．[2023·山东济南章丘模拟]已知四棱锥S­ABCD的所有顶点都在同一球面上，底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于4eq \r(3)＋4，则球O的体积为________．
17．[2023·河北秦皇岛模拟]在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，A1A＝1，P为线段C1D1的中点，一质点从A点出发，沿长方体表面运动到达P点处，则质点从A到P的最短距离为________；若沿质点A的最短运动路线截长方体，则所得截面的面积为________．
课时作业（四十） 基本立体图形、空间几何体的表面积与体积
1．解析：由题意，圆柱的轴截面是面积为100的正方形，
可得圆柱的轴截面边长为10，所以圆柱的底面半径为5，母线长为10，
所以侧面积为2π×5×10＝100π.
故选C.
答案：C
2．解析：
由题意，作圆锥的轴截面，如图：
则EF＝eq \f(1,2)CG，易知△BFE∽△BGC，则BE＝eq \f(1,2)BC，
则截得圆台之前的圆锥侧面积为S1＝π·CG·BC＝1，
截圆台之后的小圆锥的侧面积为S2＝π·EF·BE＝π·eq \f(1,2)CG·eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,4)，
则圆台的侧面积为S＝S1－S2＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
故选D.
答案：D
3．解析：设正方形与正三角形的边长为2，
则圆柱的体积为π×12×2＝2π，
圆锥的体积为eq \f(1,3)π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3)π,3)，
所以圆柱的体积与圆锥的体积的比值为2eq \r(3).
故选C.
答案：C
4．解析：设圆锥的底面半径为r，则该圆锥的轴截面（等边三角形）的边长为2r，
由等面积法可知圆锥的轴截面面积为eq \f(\r(3),4)×（2r）2＝eq \f(1,2)×1×6r，解得r＝eq \r(3)，
则该圆锥的母线长为2eq \r(3)，因此，该圆锥的侧面积为π×eq \r(3)×2eq \r(3)＝6π.
故选C.
答案：C
5．解析：由题意，三棱柱ABC­A1B1C1为正三棱柱，
由等边三角形ABC的边长为1，得
S△ABC＝eq \f(1,2)×1×eq \r(1－（\f(1,2)）2)＝eq \f(\r(3),4)，
又高AA1＝1，
∴＝eq \f(\r(3),4)×1＝eq \f(\r(3),4).
∵＝VA­BCC1＝VC1­ABC
＝eq \f(1,3)，
∴三棱锥A­BB1C1的体积为eq \f(\r(3),12).
答案：A
6．解析：
在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，故可将三棱锥P­ABC补形成如图所示的长方体．
若P，A，B，C为球O的球面上的四个点，则该长方体的各顶点亦在球O的球面上．
设球O的半径为R，则该长方体的体对角线长为2R，即2R＝eq \r(PA2＋AB2)＝2eq \r(2)，
从而球的表面积S＝4πR2＝π（2R）2＝8π.故选C.
答案：C
7．解析：体积为8的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，
当正方体内部的球体积最大时，
球为正方体的内切球，
此时球的直径为2，
半径为1，故V＝eq \f(4π,3).故选D.
答案：D
8．解析：
如图，四面体BDMN是正四面体，棱长BD＝2，将其补形成正方体GBCD­MENF，
则正方体GBCD­MENF的棱长GB＝eq \f(\r(2),2)BD＝eq \r(2)，此正方体的体对角线长为eq \r(6)，
正四面体BDMN与正方体GBCD­MENF有相同的外接球，则正四面体BDMN的外接球半径R＝eq \f(\r(6),2)，
所以正四面体BDMN的外接球体积为V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(4,3)π·（eq \f(\r(6),2)）3＝eq \r(6)π.故选A.
答案：A
9．解析：由题意玻璃球的体积等于放入玻璃球后的体积减去原来的体积．设玻璃球的半径为r，即圆柱形玻璃杯的底面半径为r，则玻璃球的体积为eq \f(4πr3,3)，圆柱的底面面积为πr2，若放入一个玻璃球后，水恰好淹没了玻璃球，则此时水面高度为2r，所以eq \f(4πr3,3)＝πr2（2r－10），解得r＝15（cm）.故选B.
答案：B
10．解析：
圆台上、下底面的面积之比为1∶4，则半径比为1∶2，设圆台上、下底面半径为r，2r，因母线与轴的夹角为60°，可得圆台高为1，则r＝eq \r(3)；
设圆台外接球的半径为R，球心到下底面的距离为x，易得圆台两底面在球心同侧，则R2＝x2＋（2eq \r(3)）2，且R2＝（1＋x）2＋（eq \r(3)）2，
解得x＝4，R2＝28，则该圆台外接球的表面积为4πR2＝112π.故选C.
答案：C
11．解析：
将平面展开图，还原成正方体如图所示：
所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F，
故选ABD.
答案：ABD
12．解析：当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A；
当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C；
当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B正确，D错误．
故选ABC.
答案：ABC
13．解析：
由题意可知AC＝2eq \r(2)，A1C1＝4eq \r(2)，
所以正四棱台的高h＝eq \r(22－（\f(4\r(2)－2\r(2),2)）2)＝eq \r(2)，A正确；
正四棱台的侧面为等腰梯形，故斜高h′＝eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4－2,2)))2)＝eq \r(3)，
所以正四棱台的侧面积为4×eq \f(1,2)×（2＋4）×eq \r(3)＝12eq \r(3)，上、下底面的面积分别为4，16，
即正四棱台的表面积S＝4＋16＋12eq \r(3)＝20＋12eq \r(3)，B错误；
正四棱台的体积V＝eq \f(1,3)（4＋eq \r(4×16)＋16）×eq \r(2)＝eq \f(28\r(2),3)，C错误；
设该棱台外接球的球心为O，半径为R，点O到上底面的距离为x，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(R2＝（\r(2)）2＋x2,R2＝（2\r(2)）2＋（\r(2)－x）2))，解得R＝eq \r(10)，
所以该棱台外接球的体积为eq \f(4,3)π×（eq \r(10)）3＝eq \f(40\r(10),3)π，D正确．
故选AD.
答案：AD
14．解析：
如图所示，正三角形绕边AB所在直线为旋转轴旋转一周，得到几何体是两个同底的圆锥，
圆锥的底面半径为r＝OC＝2eq \r(3)，母线长为l＝AC＝4，
则所得几何体的表面积为S＝2×πrl＝2π×2eq \r(3)×4＝16eq \r(3)π.
答案：16eq \r(3)π
15．解析：因为直三棱柱ABC­A1B1C1底面是以AB为斜边的直角三角形，
所以底面三角形ABC外接圆的直径即为AB＝2eq \r(2)，
设外接球的半径为R，则（2R）2＝AB2＋AA12，所以4R2＝24，解得R＝eq \r(6)，
所以外接球的体积V＝eq \f(4π,3)R3＝8eq \r(6)π.
答案：8eq \r(6)π
16．解析：
四棱锥S­ABCD的所有顶点都在同一球面上，
底面ABCD是正方形且和球心O在同一平面内，
所以球心O为正方形ABCD的中心，
当此四棱锥的高为球的半径时，此四棱锥体积取得最大值．
此时四棱锥为正四棱锥．
设球O的半径为R，则|AB|＝eq \f(\r(2),2)|AC|＝eq \r(2)R，
|SB|＝eq \r(|OB|2＋|SO|2)＝eq \r(2)R，
△SBC为等边三角形，则S△SBC＝eq \f(1,2)|SB|2sin60°＝eq \f(\r(3),2)R2，
所以此四棱锥的表面积为4S△SBC＋SABCD＝2eq \r(3)R2＋2R2＝4＋4eq \r(3)，
所以R＝eq \r(2)，因此球O的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝eq \f(8\r(2),3)π.
答案：eq \f(8\r(2)π,3)
17．解析：如图所示，当质点经过棱DD1时，AP＝eq \r(AA eq \\al(2,1) ＋A1P2)＝eq \r(12＋（3＋1）2)＝eq \r(17)，
如图所示，当质点经过棱A1D1时，AP＝eq \r(AD2＋DP2)＝eq \r(32＋（1＋1）2)＝eq \r(13)，
如图所示，当质点经过棱A1B1时，AP＝eq \r(AD eq \\al(2,1) ＋D1P2)＝eq \r(（1＋3）2＋12)＝eq \r(17)，
所以最短距离为eq \r(13)，
此时质点从A点出发，经过A1D1的中点E，再到达P点，则平面AEP截长方体所得的截面为梯形ACPE，如图所示，
由已知得AC＝eq \r(13)，EP＝eq \f(\r(13),2)，AE＝eq \f(\r(13),2)，CP＝eq \r(2)，
过点E，P分别作AC的垂线，垂足为M，N，
设EM＝NP＝h，且MN＝EP＝eq \f(\r(13),2)，
故eq \r(AE2－EM2)＋MN＋eq \r(PC2－PN2)＝AC，
即eq \r(（\f(\r(13),2)）2－h2)＋eq \f(\r(13),2)＋eq \r(（\r(2)）2－h2)＝eq \r(13)，
解得h＝eq \r(\f(22,13))，
故S＝eq \f(1,2)（EP＋AC）·h＝eq \f(1,2)（eq \f(\r(13),2)＋eq \r(13)）×eq \r(\f(22,13))＝eq \f(3\r(22),4).
答案：eq \r(13) eq \f(3\r(22),4)