2023年福建省宁德市福鼎市点头初级中学中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年福建省宁德市福鼎市点头初级中学中考数学模拟试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年福建省宁德市福鼎市点头初级中学中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在实数 3，π，0，−1中，最小的数是(    )
A. −1 B. 0 C. 3 D. π
2. 如图所示的几何体，其俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.


3. 中国人民解放军海军福建舰(舷号：18，简称福建舰)，是中国完全自主设计建造的首艘弹射型航空母舰，是中国第三艘航空母舰，满载排水量80000余吨，数据80000用科学记数法表示为(    )
A. 0.8×105 B. 8×104 C. 8×105 D. 80×103
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别是AB，BC，BD的中点，若AB=8，则EF的长为(    )


A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 下列运算正确的是(    )
A. m10÷m4=m6 B. m⋅m⋅m=3m C. 2m+3m=6m D. (−2m3)3=8m6
6. 在开启全面建设社会主义现代化国家新征程中，人民的生活水平不断提高，家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某市2021年5月底机动车保有量为320万辆，2023年5月底机动车保有量为405万辆，如果该市机动车保有量年平均增长率为x，那么，符合题意的方程是(    )
A. 320(1+x)=405 B. 320(1+x)2=405
C. 320(1+2x)=405 D. 320(1+2x)2=405
7. 16兆瓦海上风电机组是目前全球单机容量最大、叶轮直径最大、单位兆瓦重量最轻的风电机组.如图，机组叶片长OA达到惊人的123米，叶片的旋转中心O离海平面垂直高度为h米，以旋转中心所在水平线为基准，叶片旋转角为α(0°<α<90°)，当叶片旋转时，叶片上点A离海平面的垂直高度可表示为(    )


A. (h+123tanα)米 B. (h+123cosα)米
C. (h+123sinα)米 D. (h+123sinα)米
8. 近几年来旅游市场热度持续高涨，五一劳动节当天，小明、小强随机乘坐由厦门站开往福州站的直达高铁，具体车次如图，各车次各等级座位均有票，则两人乘坐同一趟车的概率是(    )
A. 18
B. 14
C. 12
D. 34


9. 如图，△ABC内接于⊙O，点D在BC的延长线上，AD与⊙O相切，AC=CD，∠B=40°，则∠BAD等于(    )
A. 95°
B. 100°
C. 110°
D. 120°
10. 已知抛物线y=mx2−4mx过点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x1,y3)，其中y2=−4m，以下结论正确的是(    )
A. 若|x1−x2|≤|x3−x2|，则y2≥y3≥y1
B. 若|x1−x2|≥|x3−x2|，则y2≥y3≥y1
C. 若y1 D. 若y1|x2−x3|
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解：2x2−8=____________．
12. 如果一个正多边形的内角和为1260°，则这个多边形的任一内角度数为______．
13. 为研究某地市气象变化情况，小敏将3月和4月的第一周中每天的最高气温整理成两组数据，制作成如下折线统计图，则气温比较稳定的是______ (填3月或4月)．

14. 若1a+1b=3，则a+b2a−ab+2b的值为          ．
15. 在如图所示的网格中(每个小正方形的边长为1)，以点O为原点作平面直角坐标系，则与点P不在同一反比例函数y=kx(k≠0)图象上的是点______ ．

16. 如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=6，点M，N分别在AD，BC上，将矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使得点C落在AD上的一点E处，点D落在点F处，现给出以下结论：
①连接CM，四边形ENCM一定是菱形；
②F，M，C三点一定在同一直线上；
③当点E与A重合时，A，B，C，D，F五点在同一个圆上；
④点E到边MN，BN的距离可能相等．
其中正确的是______ .(写出所有正确结论的序号)
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
计算：2−1+|1− 3|+cos60°．
18. (本小题8.0分)
如图，点E在△ABC的边AC上，AE=BC，∠DAC=∠C，∠CED=∠BAD．
求证：AB=DE．

19. (本小题8.0分)
解不等式组：3x−12>x−2①4x−5≤3②．
20. (本小题8.0分)
随着直播营销在八闽大地的兴起，乡村直播带货已经在推动福建农村产业发展释放消费潜力等方面发挥着重要作用，近年来福建实施了“数商兴农”和“互联网+”农产品出村进城工程.某农民准备生产枇杷膏和枇杷蜜两种产品共500瓶，已知生产1瓶枇杷膏和1瓶枇杷蜜共需成本75元，且每瓶枇杷膏成本比枇杷蜜高5元．
(1)求生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是多少元；
(2)根据直播销售情况，计划生产枇杷膏至少150瓶，枇杷蜜至少200瓶.已知枇杷膏、枇杷蜜每瓶售价分别为60元和40元，恰逢年中大促，该农民将每瓶枇杷膏降价8元进行促销，则该农民应如何安排生产才能获得最大利润？最大利润是多少？
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦BD与AC相交于点E，连接AD，CD，∠BAD=3∠CBD，连接AO并延长交BD于点F．
(1)求证：AF=AD；
(2)若CB2−CD2=4，求BD⋅CD的值．

22. (本小题10.0分)
当代育种研究中，基因编辑是最重要的前沿技术之一，近年来我国农学领域基因编辑研究取得具有国际影响的成果，某科技小组使用基因编辑培育出甜玉米新品种，为了解该甜玉米种子的相关情况，用10块试验田进行试验，其中1～4号为抗虫害试验由，5～10号为抗干旱试验田，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如表所示．
试验田编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
每公顷产量(单位：t)
7.2
7.5
7.8
7.5
8.2
9.7
7.9
6.7
8.5
9.4
每公顷平均产量计算方案如下：
方案一：取各试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为x−=7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.410=8.04．
方案二：从各试验田每公顷产量中先去掉一个最高产量和一个最低产量，再取其余8块试验田每公顷产量的平均数，则该甜玉米种子每公顷平均产量为x−=7.2+7.5+7.8+7.5+8.2+7.9+8.5+9.48=8.0．
回答下列问题：
(1)小明认为“方案二”比“方案一”更合理，你______ 小明的说法吗(填“同意”或“不同意”)？
理由是______ ；
(2)小明认为该甜玉米种子既要突出抗虫害的优势又要体现抗旱性，因此设计了“方案三”：先计
算1至4号试验田每公顷产量的平均产量x−1，5至10号试验田每公顷产量的平均产量x−2，再根据需求设置相应的权重(f1表示抗虫害的权重，f2表示抗干旱的权重，且f1+f2=1)，则该甜玉米种子每公顷平均产量为x−=f1x−1+f2x−2．
Ⅰ.当按照“方案三”中f1=0.6时，求该甜玉米种子每公顷平均产量；
Ⅱ.关于每公顷平均产量计算方案，下列说法正确的有______ ．
①当f1=0.5时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“和“方案一”计算结果相同；
②当f1>0.4时，说明“方案三”更注重该甜玉米种子的抗虫害性；
③当f1=0.3时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高．
23. (本小题10.0分)
(1)如图①，△ABC中，AB=BC=AC=c，动点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，且∠DEF=60°，设BD=a，CF=b，求a，b，c应满足的条件；
(2)如图②，四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，在射线CD上作点F，线段BC上作点E，使∠AEF=60°，且BC上只存在唯一的点E，求作符合条件的点E，F(要求：尺规作图，保留痕迹，不写作法)．

24. (本小题12.0分)
如图①，正方形ABCD中，E是射线BC上一动点，将线段AE绕点A逆时针旋转得到AF，G为EF的中点，BG与AE相交于点H，连接DH．
(1)若∠AEB+2∠CBE=90°，
①求证：AD=AH；
②如图②，过点D作DP⊥BG于点P，连接CH，CP，当CH⊥BH时，求证：四边形DHCP是平行四边形；
(2)请你从下列三个选项中，任选①或②作为条件，剩下的两个作为结论，组成一个真命题，并加以证明；
①∠EAF=∠BAE；
②AB=AH；
③BE，EH，EF三条线段长构成以EF为斜边的直角三角形．
25. (本小题14.0分)
如图，抛物线y=ax2−2(a≠0)交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，直线l：y=−x−4交x轴于点C，交y轴于点D，且∠ABO=∠OAD．
(1)求抛物线的解析式；
(2)证明：对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为PF的中点；
(3)直线m：y=kx+1交抛物线于点G，H，记d1为点G到直线l的距离，d2为点H到直线l的距离，判断d1+d2是否存在最小值，若存在，求出最小值.若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：由题意可得π> 3>0>−1，
则最小的数是−1，
故选：A．
正数>0>负数，据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】D 
【解析】解：从上面看得该几何体的俯视图是：
．
故选：D．
根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．

3.【答案】B 
【解析】解：80000=8×104．
故选：B．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，AB=8，
则CD=12AB=12×8=4，
∵点E，F分别是BC，BD的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=12CD=2，
故选：A．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出CD，再根据三角形中位线定理计算即可．
本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质、三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：A、m10÷m4=m6，故A符合题意；
B、m⋅m⋅m=m3，故B不符合题意；
C、2m+3m=5m，故C不符合题意；
D、(−2m3)3=−8m9，故D不符合题意；
故选：A．
利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

6.【答案】B 
【解析】解：依题意得：320(1+x)2=405，
故选：B．
利用2023年5月底机动车保有量=2021年5月底机动车保有量×(1+该市机动车保有量年平均增长率为x)2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

7.【答案】C 
【解析】解：如图，设过O的水平线为OB，作AC⊥OB于C，
∵sinα=ACOA，
∴AC=OA⋅sinα=123sinα，
∵叶片的旋转中心O离海平面垂直高度为h米，
∴叶片上点A离海平面的垂直高度可表示为(h+123sinα)米．
故选：C．
设过O的水平线为OB，作AC⊥OB于C，利用三角形函数求出AC，再加上h即可．
本题考查了解直角三角形的应用，理解题意并计算是解题关键．

8.【答案】B 
【解析】解：把四趟车分别记为A、B、C、D，
画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小明、小强两人乘坐同一趟车的结果有4种，
∴两人乘坐同一趟车的概率是416=14，
故选：B．
画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明、小强两人乘坐同一趟车的结果有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适用于两步或两步以上完成的事件．解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

9.【答案】B 
【解析】解：如图，连接OA、OC，
∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=180°−80°2=50°，
∵AD是⊙O的切线，
∴∠OAD=90°，
∴∠CAD=90°−50°=40°，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠CDA=40°，
∴∠BAD=180°−∠ABC−∠ADB
=180°−40°−40°
=100°，
故选：B．
根据圆周角定理可得∠AOC=80°，再由等腰三角形的性质以及切线的性质可求出∠CAD=40°=∠D，由三角形内角和定理可得答案．
本题考查切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握切线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的前提．

10.【答案】D 
【解析】解：∵y=mx2−4mx=m(x−2)2−4m，
∴抛物线对称轴为直线x=2，顶点为(2,−4m)，
∵y2=−4m，
∴B(x2,y2)为抛物线顶点，x2=2，
当m>0时，抛物线开口向上，y2为函数最小值，
∴选项A，B错误．
若y1 ∴|x1−x2|>|x2−x3|
∴选项C错误，选项D正确．
故选：D．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线x=2，从而可得点B为顶点，由m>0抛物线开口向上可判断A，B选项，由点到对称轴的距离与函数值的关系可判断C，D．
本题考察二次函数的图象与性质，开口向下时，图象上的点离顶点越远，即横坐标到对称轴的距离越大时，点的纵坐标就越小．

11.【答案】2(x+2)(x−2) 
【解析】
【分析】
本题考查提公因式法和公式法分解因式，是基础题．
观察原式，找到公因式2，提出后再对括号内运用平方差公式分解即可得出答案．
【解答】
解：2x2−8
=2(x2−4)
=2(x+2)(x−2)．
故答案为2(x+2)(x−2)．  
12.【答案】140° 
【解析】解：设这个正多边形边数为n，
由题意得(n−2)×180°=1260°，
解得n=9，
∴这个多边形的任一内角度数为1260°÷9=140°．
故答案为140°．
根据多边形的内角和定理可计算求解．
本题主要考查正多边形，运用多边形的内角和公式求解是关键．

13.【答案】3月 
【解析】解：观察统计图可知，气温比较稳定的是3月．
故答案为：3月．
结合方差的定义，根据折线统计图的平缓程度即可求解．
本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．

14.【答案】35 
【解析】
【分析】
本题考查了分式的化简求值，解决本题的关键是利用整体代入．
变形已知为a+b=n的形式，然后整体代入得结果．
【解答】
解：∵1a+1b=3，
∴b+aab=3，即b+a=3ab，
则a+b2a−ab+2b=3ab2(a+b)−ab=3ab6ab−ab=35，
故答案为：35．  
15.【答案】B 
【解析】解：∵点P在反比例函数y=kx(k≠0)图象上，点P(−1,2)，
∴k=−1×2=−2．
∵点A的坐标为(−2,1)，−2×1=−2，
∴点A在反比例函数y=−2x图象上；
∵点B的坐标为(−3,1)，−3×1=−3≠−2，
∴点B不在反比例函数y=−2x图象上；
∵点C的坐标为(2,−1)，2×(−1)=−2，
∴点C在反比例函数y=−2x图象上，
故与点P不在同一反比例函数y=kx(k≠0)图象上的是点B，
故答案为：B．
由点P在反比例函数图象上可求出k的值，再求出点A、B、C的横纵坐标的积，比照后即可得出结论．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．

16.【答案】①②③④ 
【解析】解：连接CM，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD/​/BC，
∴∠EMN=∠CNM，
由折叠可知：CN=EN，∠ENM=∠CNM，
∴∠EMN=∠ENM，
∴EM=EN=CN，
∴四边形ENCM是平行四边形，
又∵CN=EN，
∴四边形ENCM一定是菱形，故①正确；
由折叠可知，FM//EN，
∴∠FME=∠MEN，
∵四边形ENCM是菱形，
∴∠EMC+∠MEN=180°，
∴∠EMC+∠FME=180°，
∴F，M，C三点一定在同一直线上，故②正确；
连接AC，可知A，B，C，D，在以AC为直径的圆上，
当点E与A重合时，
∵F，M，C三点一定在同一直线上，
∴∠AFC=90°，则点F在以AC为直径的圆上，

∴A，B，C，D，F五点在同一个圆上，故③正确；
当∠ENM=∠BNE时，即∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°时，EN平分∠BNM，
由角平分线的性质可知，此时点E到边MN，BN的距离相等，
∴点E到边MN，BN的距离可能相等(当∠ENM=∠CNM=∠BNE=60°时)，故④正确；
故答案为：①②③④．
利用矩形及折叠的性质证明四边形ENCM一定是菱形，即可判断①，结合矩形的性质可知∠FME=∠MEN，进而可证明∠EMC+∠FME=180°，即可判断②，利用圆周角定理可判断③，由角平分线的性质可判断④．
本题考查矩形与折叠的性质，圆周角定理，菱形的判定及性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质是解决问题的关键．

17.【答案】解：2−1+|1− 3|+cos60°
=12+ 3−1+12
= 3． 
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】证明：∵∠CED=∠BAD，∠CED=∠D+∠DAC，∠BAD=∠DAC+∠BAC，
∴∠D=∠BAC，
在△ABC和△DEA中，
∠D=∠BAC∠DAE=∠CBC=EA，
∴△ABC≌△DEA(AAS)，
∴AB=DE． 
【解析】先证∠D=∠BAC，再由AAS证△ABC≌△DEA，即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

19.【答案】解：解不等式①，得：x>−3，
解不等式②，得：x≤2，
则不等式组的解集为−3 【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：(1)设生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是x、y元，由题意可得：
x=y+5x+y=75，
解之可得：
x=40y=35，
经检验，x=40y=35是原方程的解，也符合题意，
∴生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是40元和35元；
(2)设计划生产枇杷膏t瓶，则生产枇杷蜜(500−t)瓶，则所得利润为：
(60−8−40)t+(40−35)(500−t)=7t+2500，
由题意可得：
t≥150500−t≥200，
解之可得：150≤t≤300，
∴当t=300时，该农民获得最大利润：7×300+2500=4600(元)，
即若该农民生产枇杷膏300瓶，生产枇杷蜜200瓶可以获得最大利润，最大利润为4600元． 
【解析】(1)设生产每瓶枇杷膏、枇杷蜜的成本分别是x、y元，列出关于x、y的方程组并求解即可；
(2)设计划生产枇杷膏t瓶，则生产枇杷蜜(500−t)瓶，则可以用t表示出所得利润，再由题意可得关于t的不等式组，解不等式组即可得到问题解答．
本题考查二元一次方程组、一次函数与不等式的综合应用，熟练掌握二元一次方程组的解法、一次函数的性质及一元一次不等式组的解法是解题关键．

21.【答案】(1)证明：连接OB，OC，
∵AB=AC，OA=OA，
∴△AOB≌△AOC(SSS)，
∴∠BAO=∠CAO，
∴∠BAC=2∠BAF，
∵∠CAD=∠CBD，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=2∠BAF+∠CBD，
∵∠BAD=3∠CBD，
∴∠BAF=∠CBD，
∴∠BAF=∠CAD，
∵AB=AC，∠ABF=∠ACD，
∴△ACD≌△ABF(ASA)，
∴AD=AF；
(2)解：∵AF=AD，∠DAE=∠FAE，
∴AE⊥DF，DE=EF，
∴BC2=BE2+CE2，CD2=CE2+DE2，
∴BC2−CD2=BE2−DE2=(BE+DE)(BE−DE)=BD⋅(BE−EF)=BD⋅BF，
∵△ACD≌△ABF(ASA)，
∴CD=BF，
∴BD⋅CD=BC2−CD2=4． 
【解析】(1)由△AOB≌△AOC(SSS)，得到∠BAO=∠CAO，由∠BAD=3∠CBD，推出∠BAF=∠CBD，得到∠BAF=∠CAD，又AB=AC，∠ABF=∠ACD，即可证明△ACD≌△ABF(ASA)，得到AD=AF，
(2)由AF=AD，∠DAE=∠FAE，得到AE⊥DF，DE=EF，由勾股定理得到BC2=BE2+CE2，CD2=CE2+DE2，于是推出BD⋅CD=BC2−CD2=4．
本题考查圆周角定理，勾股定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是证明△ACD≌△ABF(ASA)，由勾股定理推出BD⋅CD=BC2−CD2=4．

22.【答案】同意  去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响  ②③ 
【解析】解：(1)同意，理由：去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响，
故答案为：同意，去掉最高分和最低分，减少“极端值”对平均数的影响；
(2)Ⅰ：x1−=7.2+7.5+7.8+7.54=7.5，x2−=8.2+9.7+7.9+6.7+8.5+9.46≈8.4，
∴根据“方案三”中f1=0.6评分时，该甜玉米种子每公顷平均产量为7.5×0.6+8.4×0.4=7.76，
Ⅱ：①当f1=0.5时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三“为7.5×0.5+8.4×0.5=7.95，
由于7.95<8<8.04，
因此①不正确；
当f1=0.4时，“方案三”的结果为7.5×0.4+8.4×0.6=8.04(分)，
当f1>0.4时，按照“方案三”结果<8.04分，说明“方案三”更注重该甜玉米种子的抗虫害性，
因此②正确，
③当f1=0.3时，甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果为7.5×0.3+8.4×0.7=8.13(分)，
由于7.95<8<8.13，
当f1=0.3时，该甜玉米种子每公顷平均产量按照“方案三”计算的结果比“方案一”和“方案二”都高．因此③正确；
综上所述，正确的结论为②③．
故答案为：②③．
(1)根据平均数的计算方法，以及“绝端值”对平均数的影响进行解答即可；
(2)Ⅰ先求出x1−，x2−再根据加权平均数的计算方法进行计算即可；
Ⅱ根据题意逐项进行计算可得答案．
本题考查加权平均数，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．

23.【答案】解：(1)∵AB=BC=AC=c，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵△BED中，∠B+∠BED+∠BDE=180°，
∴∠BED+∠BDE=120°，
∵∠BED+∠DEF+∠FEC=180°，
∠DEF=60°，
∴∠BED+∠FEC=120°，
∴∠FEC=∠BDE，
∴△BED∽△CFE，
∴BECF=BDCE，
∵BD=a，CF=b，
∴BEb=aCE，
∴BE⋅CE=ab，
∵BE+CE=BC=c，
∴BE，CE分别为方程x2−cx+ab=0的两个根，
∴Δ=c2−4ab≥0，
∴c2≥4ab；
(2)如图所示，作法：以点A为圆心，AB长为半径作弧，交边BC于点E，以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与AE，EC交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于12MN长为半径作弧，两弧交于点P，作射线EP，交CD的延长线于点F.点E，点F即为所求．
 
【解析】(1)先根据等边三角形的性质、三角形的内角和定理、平角的定义以及等式的性质得∠B=∠C=60°，∠F′EC=∠BDE，从而得△BED∽△CFE，继而得BECF=BDCE，然后根据比例的性质得BE⋅CE=ab，根据BE+CE=c，明确BE，CE分别为方程x2−cx+ab=0的两个根，最后根据一元二次方程的根的判别式进行解答即可；
(2)先截取AE=AB，得到∠AEB=60°，然后作∠AEC的平分线，角平分线EP交射线CD于点F．
本题考查作图，相似三角形的判定与性质，解题的关键是把握相关知识的灵活运用．

24.【答案】证明：(1)①过点A作AM⊥BH于点M，

∴∠AMB=∠AMH=90°，
∴∠BAM+∠ABH=90°，
在正方形ABCD中，∠BCD=∠BAD=∠ABC=90°，AB=AD，
∴∠ABH+∠GBE=90°，
∴∠BAM=∠GBE，
∵∠AEB+BAE=90°，∠AEB+2∠GBE=90°，
∴∠BAE=2∠GBE，
∴∠BAE=2∠BAM，
∴∠BAM=∠HAM，
在△ABM和△AHM中，
∵∠BAM=∠HAM，AM=AM，∠AMB=∠AMH，
∴△ABM≌△AHM(ASA)，
∴AB=AH，
∴AD=AH；
证明：②∵AD=AH，AB=AH，
∴∠ABH=∠AHB，∠ADH=∠AHD，
∵∠BAD+∠ABH+∠ADH+∠BHD=360°，
∴∠BAD+∠ABH+∠ADH+∠AHB+∠AHD=360°，
∴∠BAD+2∠AHB+2∠AHD=360°，
∴2∠AHB+2∠AHD=270°，
∴∠AHB+∠AHD=135°，
∴∠BHD=∠AHB+∠AHD=135°，
∴∠DHG=45°，
连接BD，BD为正方形ABCD对角线，

∴∠BDC=45°，
∴DP⊥BG，
∴∠DPB=90°，
∴∠BCD=∠DPB=90°，
∴B、D、P、C四点共圆，
∴∠BDC=∠BPC=45°，
∴∠DHG=∠BPC=45°，
∴CP//DH，
∵DP⊥BG，当CH⊥BH时，
∴DP//CH，
四边形DHCP为平行四边形；
解：(2)选①为条件，②③为结论；
连接AG，由旋转AE=AF，
∵G为EF中点，
∴AG⊥EF，
∴∠AGE=∠ABC=90°，
∴A、B、G、E四点共圆，
∴∠AEG=∠ABG，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠ABH+∠AHB=∠AEF+∠AFE，
∴∠ABH=∠AHB，
∴AB=AH，
连接HF，

在△ABE和△AHF中，
∵AB=AH，∠BAE=∠EAF，AE=AF，
∴△ABE≌△AHF(SAS)，
∴BE=HF，∠ABE=∠AHF=90°，
∴HF2+EH2+EF2，
∴BE2+EH2+EF2，
∴BE，EH，EF三条线段长构成以EF为斜边的直角三角形． 
【解析】(1)①作AM⊥BH于M，利用正方形的相关性质得∠BAE=2∠BAM，∠BAM=∠HAM，再证明△ABM≌△AHM(ASA)即可；
②根据DP⊥BG，CH⊥BH得DP/​/CH；四边形的内角和等360度和等腰三角形的性质得∠DHG=45°；连接BD证明B、D、P、C四点共圆得到∠BPC=∠DHG=45°得CP/​/DH，结论得证；
(2)选①为条件，②③为结论；先证明A、B、G、E四点共圆得到∠ABH=∠AHB，AB=AH；连接HF，再证明△ABE≌△AHF(SAS)可得BE=HF，∠ABE=∠AHF=90°即可证明结论．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，四边形的内角和等360度，全等三角形的判定和性质，四点共圆，勾股定理，理解题意是关键．

25.【答案】(1)解：当x=0时，y=−x−4=−4，
∴OD=4，
当x=0时，y=ax2−2=−2，
∴OB=2，
∵tan∠ABO=OAOB，tan∠OAD=ODOA，∠ABO=∠OAD，
∴OAOB=ODOA，
∴OA2=OB⋅OD=2×4=8，
∴OA=2 2，
∴A(−2 2,0)，代入y=ax2−2得0=a×(−2 2)2−2，
∴a=14，
∴抛物线的解析式为y=14x2−2；
(2)证明：设点P(m,−m−4)，F(n,14n2−2)，
∴E( m+n2,− m−4+14n2−22)，代入y=14x2−2得− m−4+14n2−22=14( m+n2)2−2，
即n2−2mn−(m2+8m+16)=0，
∴Δ=(−2m)2+4×1×(m2+8m+16)=8m2+32m+64=8(m+2)2+32>0，
∴关于n的方程n2−2mn−(m2+8m+16)=0有两个不相等的实数根，
∴对于直线l上任意给定的一点P，在抛物线上总能存在点E，F，使得点E为PF的中点；
(3)解：d1+d2存在最小值，最小值为9 22，理由如下：
取GH的中点为M，过M作MN/​/y轴交直线l于点N，过M作MP⊥直线m，垂足为P．
设G(x1,y1)，H(x2,y2)，将直线m：y=kx+1与抛物线y=14x2−2联立y=kx+1y=14x2−2得y=kx+1=14x2−2，
即x2−4kx−12=0，
∴x1+x2=4k，
∴x1+x22=2k，
∴M(2k,2k2+1)，N(2k,−2k−4)，
∴MN=2k2+1−(−2k−4)=2k2+2k+5，
∵OC=OD=4，
∴∠ODC=45°，
∵MN//y轴，
∴∠MNC=∠ODC=45°，
∴MP=MN 2，
∴d1+d2=2MP=2×MN 2= 2(2k2+2k+5)=2 2(k+12)2+9 22，
∴d1+d2存在最小值，最小值为9 22． 
【解析】(1)利用∠ABO与∠OAD的正切值相等求出OA，得出A的坐标代入抛物线的表达式；
(2)设出点P、点F，利用中点坐标公式得到E点坐标，把E点坐标代入抛物线的表达式，得到关于n的方程，说明有解即可；
(3)用k表示成d1+d2的二次函数求最值．
本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，以及探索性题目的证明与求解，对于(2)，关键是设而不求，弄清变量和常数．