2019年郴州市初中学业水平考试数学试卷

这是一份2019年郴州市初中学业水平考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了在草稿纸、试题卷上答题无效；，∴正方形ADOF的边长为2.等内容，欢迎下载使用。

2019年郴州市初中学业水平考试数学试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上答题无效；
5．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回．
本试卷共6页，有三道大题，共26小题，满分130分，考试时间120分钟．
一、选择题(共8小题，每小题3分，共24分)
1. 如右图，数轴上表示－2的相反数的点是(　　)
　 　 　　　　 　 　　　　 　 　　　


第1题图
A. M B. N C. P D. Q
2. 如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)


3. 邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关统计数据表明：至2017年止，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示44000000为(　　)
A. 44×106 B. 4.4×107
C. 4.4×108 D. 0.44×109
4. 下列运算正确的是(　　)
A. (x2)3＝x5 B. ＋＝
C. x·x2·x4＝x6 D. ＝
5. 一元二次方程2x2＋3x－5＝0的根的情况为(　　)
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
6. 下列采用的调查方式中，合适的是(　　)
A. 为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B. 我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C. 某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D. 某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
7. 如图，分别以线段AB的两端点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB的两侧分别交于点E，F，作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合)，连接PA，PB，则下列结论不一定成立的是(　　)
A. PA＝PB B. OA＝OB
C. OP＝OF D. PO⊥AB
　 　　
第7题图 第8题图
8. 我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A＝90°，BD＝4，CF＝6，则正方形ADOF的边长是(　　)
A. B. 2 C. D. 4
二、填空题(共8小题，每小题3分，共24分)
9. 二次根式中，x的取值范围是________．

第11题图
10. 若 ＝，则＝________．
11. 如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为________度．
12. 某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是________．

13. 某商店今年6月初销售纯净水的数量如下表所示：
日期
1
2
3
4
数量(瓶)
120
125
130
135
观察此表，利用所学函数知识预测今年6月7日该商店销售纯净水的数量约为________瓶．
14. 如图是甲、乙两人6次投篮测试(每次投篮10个)成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作s、s，则s________s.(填“>”，“＝”或“<”)

第14题图
　

15. 已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为5，底边长为4的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是________．(结果保留π)
　
第15题图 第16题图
16. 如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为________．
三、解答题(17～19题每题6分，20～23题每题8分，24～25题每题10分，26题12分，共82分)
17. 计算：(3－π)0－2cos30°＋|1－|＋()－1.






18. 先化简，再求值：－，其中a＝.






19. 如图，▱ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，DF.
求证：四边形ACDF是平行四边形．

第19题图
20. 我市去年成功举办2018郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游(只选一个景区)的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：

第20题图
(1)该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是________人，m＝________，并补全条形统计图；
(2)若该小区有居民1200人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？
(3)小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．(要求画树状图或列表求概率)











21. 如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离A处30 km，在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？
(精确到0.01 km，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449)

第21题图








22. 某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等．
(1)每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？
(2)如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？











23. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点D，且AD∥OC.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)延长CO交⊙O于点E，若∠CEB＝30°，⊙O的半径为2，求的长．(结果保留π)

第23题图













24. 若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y＝的图象与性质．
列表：
x
…
－3
－
－2
－
－1
－
0
y
…


1

2

1
x

1

2

3
…

y

0

1

2
…

描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；

第24题图
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A(－5，y1)，B(－，y2)，C(x1，)，D(x2，6)在函数图象上，则y1________y2，x1________x2；(填“>”，“＝”或“<”)
②当函数值y＝2时，求自变量x的值；
③在直线x＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点P(x3，y3)，Q(x4，y4)，且y3＝y4，求x3＋x4的值；
④若直线y＝a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．



25. 如图①，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点(不与A，B重合)，把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H.
(1)求证：△A1DE∽△B1EH；
(2)如图②，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF的形状，并说明理由；
(3)如图③，在(2)的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．

第25题图









26. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴分别交于A(－3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)点F是线段AD上一个动点．
①如图①，设k＝，当k为何值时，CF＝AD?
②如图②，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．

第26题图







2019郴州市初中学业水平考试数学解析
1. D　【解析】－2的相反数是2.由题图可知，数轴上点Q表示的数是2，∴数轴上表示2的点是Q.
2. C　【解析】
选项
逐项分析
正误
A
既不是轴对称图形，又不是中心对称图形
×
B
是轴对称图形，但不是中心对称图形
×
C
既是轴对称图形，又是中心对称图形
√
D
是轴对称图形，但不是中心对称图形
×
3. B　【解析】用科学记数法表示数44000000，则a＝4.4，此时小数点向左移动了7位，所以n＝7，所以44000000＝4.4×107.
4. D　【解析】
选项
逐项分析
正误
A
(x2)3＝x2×3＝x6≠x5
×
B
＋＝＋2＝3≠
×
C
x·x2·x4＝x1＋2＋4＝x7≠x6
×
D
＝
√
5. B　【解析】∵2x2＋3x－5＝0，∴b2－4ac＝32－4×2×(－5)＝9＋40＝49＞0.∴方程有两个不相等的实数根．
6. A　【解析】调查东江湖的水质情况，如果采用普查，工作量大，而且不易操作，人力、物力花费多，所以采用抽样调查，A正确；调查所生产的产品的合格率，如果采用普查，工作量大，花费较多的人力、物力，应采用抽样调查，B错误；调查在职员工的工作服尺寸大小，由于小型企业员工人数不多，不同员工的工作服的大小不同，且不同员工对工作服的大小要求较高，应采用普查，C错误；调查全市中小学生的视力情况，学生人数多，如果采用普查，那么工作量大，花费的人力、物力多，应采用抽样调查，D错误．
7. C　【解析】由作法可知，直线EF是线段AB的垂直平分线．∴PA＝PB，AO＝BO，PO⊥AB，选项A、B、D正确．点P是直线EF上任取的一点，OP不一定等于OF，C错误．
8. B　【解析】设正方形ADOF的边长为x，则AB＝x＋4，AC＝x＋6.∵△BOD≌△BOE，∴BE＝BD＝4.∵△COE≌△COF，∴CE＝CF＝6.∴BC＝BE＋CE＝4＋6＝10.∵∠A＝90°，∴AB2＋AC2＝BC2.∴(x＋4)2＋(x＋6)2＝102.解得x1＝2，x2＝－12(舍去)．∴正方形ADOF的边长为2.
9. x≥2　【解析】由题意，得x－2≥0.∴x≥2.
10. 　【解析】∵＝，∴2(x＋y)＝3x.∴x＝2y.∴＝＝.

第11题解图
11. 100　【解析】如解图，∵a∥b，∴∠1＝∠4.∵∠1＝130°.∴∠4＝130°.∵∠4＝∠2＋∠3，∠2＝30°，∴∠3＝∠4－∠2＝130°－30°＝100°.
12. 8　【解析】将数据9，8，7，6，9，9，7按由小到大的顺序排列为：6，7，7，8，9，9，9，处于最中间的数是8，∴这组数据的中位数为8.
13. 150　【解析】设日期为x时销售纯净水的数量为y瓶．设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，把(1，120)、(2，125)代入得解得k＝5，b＝115.∴y＝5x＋115.当x＝3时，y＝5×3＋115＝130；当x＝4，y＝5×4＋115＝135.∴y与x的函数关系式为y＝5x＋115.当x＝7时，y＝5×7＋115＝150.
14. ＜　【解析】观察统计图，实线波动小、虚线波动大．根据“方差越大，波动越大；方差越小，波动越小”，实线的数据方差小，虚线的数据方差大．实线表示甲的成绩，虚线表示乙的成绩，所以s＜s.
15. 10π　【解析】由三个视图可知，这个几何体是圆锥．由视图中的数据可知，圆锥的母线长为5，底面圆的半径为2.∴S侧＝πrl＝π×2×5＝10π.
16. 8　【解析】∵y＝的图象与y＝x的图象都关于原点O成中心对称，∴这两个函数图象的交点关于原点O成中心对称．设A(t，t)，则t＞0，C(－t，－t)．∵AD⊥x轴，BC⊥x轴，∴D(t，0)，B(－t，0)．∴BD＝2t，AD＝CB＝t.∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△CBD＝BD·AD＋BD·BC＝·2t·t＋·2t·t＝2t2.∵点A(t，t)在y＝的图象上，∴t＝.∴t2＝4.∴S四边形ABCD＝2×4＝8.
17. 解：原式＝1－2×＋－1＋2＝2.
18. 解：原式＝－
＝－
＝
＝.
当a＝时，原式＝＝＝1.
19. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠FAE＝∠CDE，∠AFE＝∠DCE.
∵点E是边AD的中点，
∴AE＝DE.
在△AEF和△DEC中，

∴△AEF≌△DEC(AAS)．
∴EF＝EC.
又∵AE＝DE，
∴四边形ACDF是平行四边形．
20. 解：(1)200，35；
【解法提示】由条形统计图知，去D景区有20人，由扇形统计图知，去D景区的人所占总人数的百分比为10%，∴调查到的人数为20÷10%＝200(人)．由条形统计图知去B景区的有70人，∴去B景区的人所占的百分比为70÷200＝0.35＝35%，∴m＝35.去C景区的人数为200－20－70－20－50＝40(人)，于是补全条形统计图如解图：

第20题解图
(2)1200×35%＝420，
答：估计去B地旅游的居民约有420人；
(3)用表格列出所有可能出现的结果：

A
B
C
D
A

(A，B)
(A，C)
(A，D)
B
(B，A)

(B，C)
(B，D)
C
(C，A)
(C，B)

(C，D)
D
(D，A)
(D，B)
(D，C)

由表格可知，一共有12种可能出现的结果，它们是等可能的，其中选到A、C两个景区的有2种．
∴P(选到A、C两个景区)＝＝.
21. 解：如解图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D.
∵CB是正南方向，AD是正东方向，
∴AD⊥CB.∴∠D＝90°.
∵AF是正北方向，CB是正南方向，
∴AF∥BC.
∴∠C＝∠FAC＝45°，∠ABD＝∠FAB＝60°.
在Rt△ACD中，sin∠C＝，
∴AD＝AC·sin∠C＝30·sin45°＝15.
在Rt△ABD中，sin∠ABD＝，
∴AB＝＝＝＝10≈10×2.449＝24.49(km)．
答：这时巡逻艇与渔船的距离约是24.49 km.

第21题解图


22. 解：(1)设每台A型机器每小时加工x个零件，则每台B型机器每小时加工(x－2)个零件．根据题意得：
＝.
解得x＝8.经检验x＝8是分式方程的解，且符合题意．
当x＝8时，x－2＝6.
答：每台A型机器每小时加工8个零件，每台B型机器每小时加工6个零件；
(2)设安排A型机器y台，则安排B型机器(10－y)台．
根据题意，得
解得6≤y≤8.
∵y是正整数，∴y＝6或7或8.
当y＝6时，10－y＝4；
当y＝7时，10－y＝3；
当y＝8时，10－y＝2.
答：安排A型机器6台，B型机器4台或安排A型机器7台，B型机器3台或安排A型机器8台，B型机器2台．
23. 解：(1)如解图，连接OD.
∵AD∥OC，
∴∠ADO＝∠COD，∠DAO＝∠COB.
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO.
∴∠COD＝∠COB.
在△COD和△COB中，

∴△COD≌△COB(SAS)．
∵CD与⊙O相切于点D，
∴OD⊥CD.∴∠CDO＝90°.
∴∠CBO＝90°.∴CB⊥OB.
∵OB是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)∵∠COB＝2∠CEB，∠CEB＝30°，
∴∠COB＝60°.
由(1)知∠COD＝∠COB，
∴∠COD＝60°.
∴∠DOB＝∠COD＋∠COB＝60°＋60°＝120°.
又∵⊙O半径为2，
∴l＝π×2＝π.

第23题解图
24. 解：(1)函数图象如解图①；

第24题解图①
(2)①＜，＜；
②在y＝－中，当y＝2时，2＝－，解得x＝－1.满足x≤－1.∴x＝－1符合题意．
在y＝|x－1|中，当y＝2时，2＝|x－1|，
∴x－1＝±2.解得x＝－1或3.
∵x＞－1，∴x＝3.
综上所述，当x＝－1或3时，y＝2.
③设y3＝y4＝t.在y＝|x－1|(x>－1)中，
当y＝t时，t＝|x－1|.∴x－1＝±t.
∴x＝－t＋1或t＋1.
不妨设x3＝－t＋1，x4＝t＋1.
∴x3＋x4＝－t＋1＋t＋1＝2.
④如解图②，在直角坐标系中作直线y＝a的图象．
由图象可知，当0＜y＜2时，直线y＝a与函数图象有三个不同的交点．
∵y＝a，∴0＜a＜2.

第24题解图②
25. (1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°.
由折叠得∠DA1E＝∠A＝90°，∠HB1E＝∠B＝90°，∠AED＝∠A1ED，∠BEH＝∠B1EH.
∵∠AED＋∠A1ED＋∠BEH＋∠B1EH＝180°，
∴∠A1ED＋∠B1EH＝90°.
∵∠DA1E＝90°，∠A1ED＋∠A1DE＝90°，
∴∠B1EH＝∠A1DE.
又∵∠DA1E＝∠HB1E＝90°，
∴△A1DE∽△B1EH；
(2)解：△DEF是等边三角形；
理由是：如解图①，设MN交DE于点K.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，∠DAB＝90°.
∴∠AED＝∠FDE.
由折叠得∠AED＝∠FED.
∴∠FDE＝∠FED.∴DF＝EF.
∵MN是矩形ABCD的对称轴，
∴AM＝DM，MN⊥AD.
∴∠DMN＝90°.
∴∠DMN＝∠DAB.∴MN∥AB.
∴△DMK∽△DAE.
∴＝＝.∴点K是DE的中点．
又∵∠DA1E＝90°，∴A1K＝DE.
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD.∴△EKA1∽△EDF.∴＝＝.
∴KA1＝DF.
∴DE＝DF.
又∵DF＝EF，∴DE＝DF＝EF.
∴△DEF是等边三角形．

第25题解图①
(3)解：如解图②，以DG为边在DC下方作等边△DGP，连接PF.∴DP＝DG＝PG，∠PDG＝∠PGD＝60°.
由(2)知，△DEF是等边三角形，∴∠EDF＝60°.∴∠EDF＝∠PDG.∴∠EDG＝∠PDF.
在△DEG和△DFP中，
∴△DEG≌△DFP(SAS)．
∴EG＝FP.
∵∠DGF＝150°，∠DGP＝60°，
∴∠PGF＝∠DGF－∠DGP＝150°－60°＝90°.
∴PG2＋GF2＝PF2.
∴DG2＋GF2＝GE2.

第25题解图②
26. 解：(1)把A(－3，0)、B(1，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得解得
∴抛物线的函数关系式为y＝－x2－2x＋3.
∵y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，
∴D(－1，4)；
(2)①如解图①，连接CF.在y＝－x2－2x＋3中，当x＝0时，y＝3.∴C(0，3)．∴OC＝3.
∵A(－3，0)，∴OA＝3.
在Rt△AOC中，由勾股定理得AC＝＝＝3.
过点D作DM⊥x轴于点M，作DN⊥y轴于点N.
∵D(－1，4)、A(－3，0)，
∴AM＝2，DM＝4.在Rt△ADM中，由勾股定理得AD＝＝＝2.同理CD＝.
∵AC2＋CD2＝(3)2＋()2＝20，AD2＝(2)2＝20，∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.
∴当点F为AD的中点时，CF＝AD，此时k＝＝.
∴当k＝时，CF＝AD；

第26题解图①
②如解图②，过F作FE⊥AB于点E.由(2)①知AC＝3，CD＝，OB＝1，OC＝3.
∴＝＝3，＝＝3.
∴＝.又∵∠ACD＝∠BOC＝90°，
∴△ACD∽△COB.
∴∠CAD＝∠BCO.又∵∠CAO＝∠ACO，
∴∠OAD＝∠ACB，即△AFO与△ABC始终有一组角相等．
由(2)①知，OA＝OC＝3.又∵∠AOC＝90°，
∴∠CAO＝∠ACO＝45°.
∵△AFO与△ABC相似，
∴∠AOF＝∠CAO＝45°或∠AFO＝∠CAO＝45°.
当∠AOF＝∠CAO＝45°(如解图②)，则OF为∠AOC的角平分线．
∴直线OF的函数关系式为y＝－x.
设直线AD的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，把A(－3，0)、D(－1，4)代入得，解得
∴直线AD的表达式为y＝2x＋6.
解方程组得∴F(－2，2)；

第26题解图②
如解图③，当∠AFO＝∠CAO＝45°时，则∠AOF＝∠ABC.∴OF∥BC.设直线BC的表达式为y＝mx＋n(m≠0)．
把B(1，0)，C(0，3)代入得解得
∴直线BC的表达式为y＝－3x＋3.
∴直线OF的表达式为y＝－3x.
解方程组得
∴点F的坐标为(－，)．

第26题解图③
综上所述，点F的坐标为(－2，2)或(－，)．