专题中考数学图形的变化（课件）

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1. 平移的定义：把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移．2. 平移的性质：（1）平移不改变图形的大小和形状，平移前后的图形全等，但图形上的每个点都沿同一方向进行了移动．（2）图形平移后，对应线段相等且平行，对应角相等，且对应角的两边分别平行，方向相同．（3）连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等．
3. 确定一个平移运动的条件是：平移的方向和距离．4. 平移的规则：图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离．5. 画平移图形：必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．
【解答】解：点B平移后对应点是点E．∴线段BE就是平移距离，∵已知BC＝5，EC＝2，∴BE＝BC－EC＝5－2＝3．故选：C．
1. 轴对称的定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2. 图形轴对称的性质：（1）轴对称图形变换不改变图形的 形状 和 大小 ，只改变图形的 位置 ．关于某条直线对称的两个图形是全等形，对应线段、对应角相等．（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线．（3）两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
3. 轴对称的判定：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称．4. 轴对称图形的定义：把一个图形沿着某条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
5. 轴对称与轴对称图形的区别与联系：（1）轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系． （2）两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
【例3】（3分）（2021•天津4/25）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【例4】（3分）（2021•江西6/23）如图是用七巧板拼接成的一个轴对称图形（忽略拼接线）小亮改变①的位置，将①分别摆放在图中左，下，右的位置（摆放时无缝隙不重叠），还能拼接成不同轴对称图形的个数为（　　） A．2B．3 C．4 D．5
1. 旋转的定义：把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．2. 旋转的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等．（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．3. 中心对称的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
4. 中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形．（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分．（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等．5. 中心对称的判定：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．6. 中心对称图形的定义：把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
7. 中心对称与中心对称图形区别与联系：（1）中心对称与中心对称图形的区别：中心对称是两个图形的位置关系，必须涉及两个图形，中心对称图形是指一个图形；中心对称是指其中一个图形沿对称中心旋转180°后，两个图形重合；中心对称图形是指该图形绕对称中心旋转180°，与原图形重合．（2）中心对称与中心对称图形的联系：如果把两个成中心对称的图形拼在一起，看成一个整体，那么它就是中心对称图形；如果把中心对称图形看成以对称中心为分点的两个图形，那么这两个图形成中心对称．
8. 中心对称与轴对称的区别与联系：（1）中心对称与轴对称的区别：中心对称有一个对称中心——点；图形绕中心旋转180°，旋转后与另一个图形重合．轴对称有一条对称轴——直线．图形沿直线翻折180°，翻折后与另一个图形重合．（2）中心对称与轴对称的联系：如果一个轴对称图形有两条互相垂直的对称轴，那么它必是中心对称图形，这两条对称轴的交点就是它的对称中心，但中心对称图形不一定是轴对称图形．
【例5】（3分）（2021•天津11/25）如图，在△ABC中，∠BAC=120°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E在同一条直线上时，下列结论一定正确的是（ ） A．∠ABC=∠ADCB．CB=CD C．DE+DC=BC D．AB∥CD
【例6】（3分）（2021•吉林12/26）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），点B的坐标为（4，0），连接AB，若将△ABO绕点B顺时针旋转90°，得到△A'BO'，则点A'的坐标为 .
【例7】（6分）（2021•江西16/23）已知正方形ABCD的边长为4个单位长度，点E是CD的中点，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，将直线AC绕着正方形ABCD的中心顺时针旋转45°；（2）在图2中，将直线AC向上平移1个单位长度．
【例8】（3分）（2021•山西2/23）为推动世界冰雪运动的发展，我国将于2022年举办北京冬奥会，在此之前进行了冬奥会会标的征集活动，以下是部分参选作品，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意．故选：B．【点评】轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
1. 关于x轴对称的点的特征：两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P（x，y）关于x轴的对称点为P′（x，-y）.2. 关于y轴对称的点的特征：两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（-x，y）.3. 关于原点对称的点的特征：两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P（x，y）关于原点的对称点为P′（-x，-y）.
【例9】（3分）（2020•广东3/25）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ）A．（-3，2）B．（-2，3）C．（2，-3）D．（3，-2）
【解答】解：点（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，-2）．故选：D．【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
【例10】（3分）（2019·河南省10/23）如图，在△OAB中，顶点O（0，0），A（﹣3，4），B（3，4），将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（　　） A．（10，3） B．（﹣3，10）C．（10，﹣3）D．（3，﹣10）
（6）比例的基本性质： ．（7）合比性质： ．（8）等比性质： ．（9）黄金分割：若线段AB上的一点P，把线段AB分成AP、BP两部分，并且使 ，即较长线段（AP）是原线段AB与较短线段（BP）的比例中项，就叫作把这条线段黄金分割．即AP2=AB•BP， ．一条线段的黄金分割点有两个．
（10）平行线分线段成比例定理：①三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．②平行于三角形一边截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．③如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．④平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．
2. 相似三角形：（1）定义：如果两个三角形的对应角 相等 ，对应边 成比例 ，那么这两个三角形叫做相似三角形．相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的相似比．
（2）相似三角形的性质： ①对应角相等． ②对应边 成比例 ． ③对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比． ④周长之比等于 相似比 ． ⑤面积之比等于相似比的平方．
（3）相似三角形的判定： ①平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似． ②两角对应相等，两三角形相似． ③两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． ④三边对应成比例，两三角形相似． ⑤两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． ⑥直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似．
3. 相似多边形的性质：（1）相似多边形对应角相等，对应边成比例．（2）相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．4. 图形的位似：（1）定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．（2）性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
【例11】（3分）（2021•云南12/23）如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点F．若BF=6，则BE的长是 ．
【例12】（3分）（2021•山西15/23）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD=3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE，若∠ACD=∠BED=45°，且 ，则AB的长为 ．
【例13】 （3分）（2021•河北8/26）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB＝（　　） A．1cm B．2cmC．3cmD．4cm
【考点】相似三角形的应用．【分析】高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果．
【例14】 （4分）（2021•重庆A卷4/26）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ） A．1：2B．1：4C．1：3D．1：9
【考点】位似变换【分析】根据位似图形的概念得到BC∥EF，进而证明△OBC∽△OEF，根据相似三角形的性质解答即可．
【例15】（8分）（2021•陕西24/26）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且 ，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线，分别与OE、AF的延长线交于点C、D．（1）求证：∠COB＝∠A；（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．
【例16】（14分）（2021•安徽23/23）如图1，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，点E在边BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交线段AE于点F，连接BF．（1）求证：△ABF≌△EAD；（2）如图2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的长；（3）如图3，若BF的延长线经过AD的中点M，求 的值．