2022-2023学年度吉林省长市东北师范大学附中九年级下学期大练习（一）数学试题

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2022-2023学年九年级下学期大练习（一）数学试题
一、选择题（本大题共8小题）
1. 下列实数中，是无理数的为（ ）
A. 0 B. － C. D. 3.14
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
试题解析：A．0是有理数，故A错误；
B．-是有理数，故B错误；
C．是无理数，故C正确；
D．3．14是有理数，故D错误；
故选C．
考点：无理数．
2. 科学家发现了一种新型病毒，其直径约为0.00000042m，0.00000042这个数用科学记数法表示为（　　）
A. 0.42×10﹣6 B. 4.2×10﹣6 C. 4.2×10﹣7 D. 42×10﹣8
【答案】C
【解析】
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】0.00000042＝4.2×10﹣7．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3. 如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）．

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据几何体的三视图解答即可．
【详解】根据立体图形得到：
主视图为：
左视图为：
俯视图为：
故答案为：A．
【点睛】此题考查小正方体组成的几何体的三视图，解题的关键是掌握三视图的视图角度及三视图的画法．
4. 《九章算术》是中国古代数学的重要著作，方程术是它的最高成就，其中记载“今有牛五，羊二，直金十两：牛二，羊五；直金八两，问：牛羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两，问：每头牛、每只羊各值金多少两？”设每头牛值金两，每只羊值金两，则列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据“5头牛、2只羊，值金10两；2头牛，5只羊，值金8两”列方程组即可．
【详解】由有5头牛，2只羊值金10两得；
由2头牛，5只羊，值金8两得．
故列方程组为．
故选A．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．
5. 若正多边形的一个外角是，则该正多边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据正多边形的外角和为360°求出边数，然后再运用多边形的内角和公式解答即可．
【详解】解：多边形的边数为360°÷72°=5
则多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故答案为B．
【点睛】本题考查了正多边形每一个外角都相等、多边形的外角和为360°以及多边形的内角和公式，求得正多边形的边数和掌握多边形内角和公式是解答本题的关键．
6. 2016年2月1日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第颗新一代北斗星送入预定轨道.如图，火箭从地面处发射，当火箭达到点时，从位于地面处雷达站测得的距离是千米，仰角为则发射台与雷达站之间的距是（ ）

A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意直接利用锐角三角函数关系得出PQ=AQ•cos∠求出答案即可；
【详解】解：在Rt△AQP中，AQ=9千米，∠AQP=∠，
由cos∠=，得PQ=AQ•cos∠=千米．
∴发射台与雷达站之间的距是千米．故选B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题的关键．
7. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，使点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，延长交于点F，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题可通过旋转的性质得出△ABC与△DEC全等，故可判断A选项；可利用相似的性质结合反证法判断B，C选项；最后根据角的互换，直角互余判断D选项．
【详解】由已知得：△ABC△DEC，则AC=DC，∠A=∠D，∠B=∠CED，故A选项错误；
∵∠A=∠A，∠B=∠CED=∠AEF，
故△AEF△ABC，则，
假设BC=EF，则有AE=AB，
由图显然可知AEAB，故假设BC=EF不成立，故B选项错误；
假设∠AEF=∠D，则∠CED=∠AEF=∠D，
故△CED为等腰直角三角形，即△ABC为等腰直角三角形，
因为题干信息△ABC未说明其三角形性质，故假设∠AEF=∠D不一定成立，故C选项错误；
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
又∵∠A=∠D，
∴∠B+∠D=90°．
故AB⊥DF，D选项正确．
故选：D．
【点睛】本题考查旋转的性质以及全等三角形的性质，证明过程常用角的互换、直角互余作为解题工具，另外证明题当中反证法也极为常见，需要熟练利用．
8. 已知抛物线（是常数，）经过点，其对称轴是直线．有下列结论：
①；
②关于x的方程有两个不等的实数根；
③．
其中，正确结论的个数是（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据对称轴和抛物线与x轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断①根据根的判别式，即可判断②；根据以及c=-2a，即可判断③．
【详解】∵抛物线经过点，对称轴是直线，
∴抛物线经过点，b=-a
当x= -1时，0=a-b+c，∴c=-2a;当x=2时，0=4a+2b+c，
∴a+b=0，∴ab<0，∵c＞1，
∴abc＜0，由此①是错误的，
由已知，抛物线与x轴，有两个交点，
∴
∵②中方程，
∴关于x的方程有两个不等的实数根，②正确；
∵，c=-2a>1， ∴，③正确
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
二、填空题（本大题共6小题）
9. 分解因式：ma2﹣2ma+m＝___．
【答案】m（a－1）2
【解析】
【分析】先提公因式m，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：ma2﹣2ma+m= m（a2﹣2a+1）=m（a－1）2，
故答案为：m（a－1）2．
【点睛】本题考查因式分解、完全平方公式，熟记完全平方公式，熟练掌握因式分解的方法是解答的关键．
10. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为_____．
【答案】k≥
【解析】
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴△＝12−4（−k−1）≥0，
解得：k≥，
故答案为：k≥．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
11. 为做好疫情宣传巡查工作，各地积极借助科技手段加大防控力度．如图，亮亮在外出期间被无人机隔空喊话“戴上口罩，赶紧回家”．据测量，无人机与亮亮的水平距离是15米，当他抬头仰视无人机时，仰角恰好为，若亮亮身高1.70米，则无人机距离地面的高度约为________米．（结果精确到0.1米，参考数据：，）

【答案】10.4
【解析】
【分析】根据题意可得，DE⊥BE，AB⊥BE，过点D作DC⊥AB于点C，所以四边形DEBC是矩形，再根据锐角三角函数即可求出AC的长，进而可求出AB的长．
【详解】解：如图，

根据题意可知：
DE⊥BE，AB⊥BE，
过点D作DC⊥AB于点C，
所以四边形DEBC矩形，
∴BC=ED=1.70，
DC=EB=15，
在Rt△ACD中，∠ADC=30°，
∴，
即，
解得AC=5，
∴AB=AC+CB=5+1.70≈10.4（米）．
答：无人机距离地面的高度约为10.4米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(﹣1，0)、(0，2)，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标为___．

【答案】－1##-1+
【解析】
【分析】先由点A、B的坐标和勾股定理求得AB的长，再根据AC=AB求得OC即可求解．
【详解】解：∵点A、B的坐标分别为(﹣1，0)、(0，2)，
∴OA=1，OB=2，
∴，
根据画图过程得：AC=AB= ，则OC= －1，
∴点C的横坐标为－1，
故答案为：－1．
【点睛】本题考查点的坐标、勾股定理、利用勾股定理求解线段长是解答的关键．
13. 如图，四边形ABCD中，∠C＝90°，BC＝3，CD＝3，点P为线段BC上的动点，点E、点F分别为线段AD、AP的中点，则EF长度的最大值为 ___．

【答案】3
【解析】
【分析】连接DP，勾股定理求出BD，利用点E、点F分别为线段AD、AP的中点，得到，当DP最大时，EF长度最大，此时DP=BD=6，由此求出EF．
【详解】解：连接DP，
∵∠C＝90°，BC＝3，CD＝3，
∴，
∵点E、点F分别为线段AD、AP的中点，
∴，
当DP最大时，EF长度最大，即当点P与点B重合时，DP有最大值，此时DP=BD=6，
∴EF=3，
故答案为：3．
．
【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理，勾股定理，正确掌握勾股定理即中位线的性质定理是解题的关键．
14. 如图，已知中，， 顶点分别在反比例函数与的图象上，则的值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】过B作BC⊥x轴，过A作AD⊥x轴于D，于是得到∠ADO=∠BCO=90°，根据反比例函数的性质得到S△ADO=,S△BOC=，根据相似三角形的性质得到=()2==5，求得=，根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
过B作BC⊥x轴，过A作AD⊥x轴于D，
则∠ADO=∠BCO=90°，
∵顶点A,B分别在反比例函数与的图象上，
∴S△ADO=,S△BOC=，
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠DAO=∠AOD+∠BOC=90°，
∴∠DAO=∠COB，
∴△DAO∽△COB，
∴=()2==5，
∴=，
∴= =，
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角函数求值，相似三角形的判定及性质，反比例函数的性质等，通过作辅助线证明两个三角形相似是解题的关键.
三、解答题（本大题共9小题）
15. 先化简，再求值：，其中，．
【答案】，44
【解析】
【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再去括号、合并同类项即可化简原式，再将x、y的值代入计算即可．
【详解】解：原式


当，时，
原式

．
【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、去括号法则以及合并同类项法则，熟练掌握乘法公式是解本题的关键．
16. 小明和小红两人参加一个幸运挑战活动，活动规则是：一个布袋里装有2个红球，1个白球，除颜色外其余均相同，小明从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并搅匀；小红再从布袋中随机摸出一个球，若颜色相同，则挑战成功，用画树状图（或列表）的方法，求两人挑战成功的概率．
【答案】．
【解析】
【分析】用树状图或列表法列举出所有等可能出现的结果，从中找出颜色相同的结果数，进而求出概率．
【详解】解：树状图如下：

或列表如下：

红
红
白
红
（红，红）
（红，红）
（白，红）
红
（红，红）
（红，红）
（白，红）
白
（红，白）
（红，白）
（白，白）
共有9种等可能出现的结果，其中颜色相同的有5种，
∴P（挑战成功）＝
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
17. “母亲节”前夕，某花店用4000元购买若干花束，很快售完，接着又用4500元后买第二批花．已知第二批购买的花的数量是第一批购买花的数量的1.5倍，且每束花的进价比第一批的进价少5元，求第一批所购花的数量.
【答案】第一批购买花200束．
【解析】
【分析】设第一批购买花x束，则第一批进的进价是：，第二批进的进价是：，再根据等量关系：第二批进的进价=第一批进的进价-5可得方程．
【详解】设第一批购买花x束．
由题意，得．
解得x=200．
经检验，x=200是原方程的解，且符合题意．
答：第一批购买花200束．
【点睛】考查分式方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系列出方程是解题的关键.
18. 如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，以AB为边画等腰△ABC，要求点C在格点上．
（1）在图①、图②中画出两种不同形状的等腰三角形△ABC．
（2）格点C的不同位置有　 　处．

【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的定义，利用勾股定理、数形结合的思想解决问题即可．
（2）根据画出的图形判断即可．
【详解】解：（1）所求作的△ABC如图所示；

（2）在图②中再作出符合条件的点C´，所以格点C的位置有3处，
故答案为3．
【点睛】本题考查了格点中画等腰三角形、等腰三角形的定义、勾股定理，能根据等腰三角形的定义，利用勾股定理、数形结合的思想解决问题是解答的关键．
19. 某中学八、九两个年级各有学生180人，为了解这两个年级学生的体质健康情况，进行了抽样调查，过程如下：
收集数据：从八、九两个年级各随机抽取20名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
八年级
78
86
74
81
75
76
87
70
75
90
75
79
81
70
74
80
86
69
83
77
九年级
93
73
88
81
72
81
94
83
77
83
80
81
70
81
73
78
82
80
70
40
整理、描述数据：按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
成绩x
40≤x≤49
50≤x≤59
60≤x≤69
70≤x≤79
80≤x≤89
90≤x≤100
八年级
0
0
1
11
7
1
九年级
1
0
0
7
10
2
（说明：成绩80分及以上体质健康优秀，70～79分为体质健康良好，60～69分为体质健康合格，60分以下为体质健康不合格）
（1）分析数据：两组样本数据的平均数、中位数、众数如表，请将表格补充完整：

平均数
中位数
众数
八年级
78.3
775
a
九年级
78
b
81
a＝ ，b＝ ．
（2）得出结论：
①估计九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为 ．
②可以推断出 年级学生的体质健康情况更好一些，理由为 ．（写出一条即可）
【答案】（1）75，80.5；
（2）①108人；②九，理由：九年级的中位数和众数都比八年级的大，故九年级学生的体质健康情况更好一些
【解析】
【分析】（1）根据众数是出现次数最多的数据可求得众数，将所给数据从小到大排列，中位数是最中间位置的数据即可求得中位数；
（2）①由九年级的总人数乘以样本中体质健康优秀学生所占的百分比即可求解；②根据
表格数据
【小问1详解】
解：由表格数据，八年级测试成绩中75分出现3次，出现次数最多，则a=75，
将九年级测试成绩从小到大排列，第10和第11位置的数为80和81，则b=（80+81）÷2=80.5，
故答案为：75，80.5；
【小问2详解】
解：①由表格知，九年级样本中体质健康优秀学生有12人，
∴九年级全体学生中体质健康优秀的学生人数为180×=108（人），
故答案为：108；
②九年级年级学生的体质健康情况更好一些，
理由：根据表格中数据，九年级的中位数和众数都比八年级的大，故九年级学生的体质健康情况更好一些．
故答案为：九，理由：九年级的中位数和众数都比八年级的大，故九年级学生的体质健康情况更好一些．
【点睛】本题考查中位数、众数、用样本估计总体、用合适的统计量作决策，正确从表格中得到有关数据解决问题是解答的关键.
20. 甲、乙两个工程队共同开凿一条隧道，甲队按一定的工作效率先施工，一段时间后，乙队从隧道的另一端按一定的工作效率加入施工，中途乙队调离一部分工人去完成其他任务，工作效率降低．当隧道气打通时，甲队工作了40天，设甲，乙两队各自开凿隧道的长度为y（米），甲队的工作时间为x（天），y与x之间的函数图象如图所示．
（1）求甲队的工作效率．
（2）求乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式
（3）求这条隧道的总长度．

【答案】（1）30米/天；（2）y＝25x+125；（3）2325米；
【解析】
【分析】（1）根据函数图象中的数据可以求得甲的工作效率；
（2）根据函数图象中的数据可以求得乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式；
（3）将x＝40代入（2）中的函数解析式可以求得乙开凿的隧道的长度，再根据甲的工作效率和工作时间可以求得甲开凿的隧道的长度，从而可以求得这条隧道的总长度．
【详解】解：（1）甲队的工作效率是：750÷25＝30米/天；
（2）设乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式y＝kx+b，
，得，
即乙队调离一部分工人后y与x之间的函数关系式是y＝25x+125；
（3）将x＝40代入y＝25x+125，得
y＝25×40+125＝1125，
则这条隧道的总长度是：30×40+1125＝1200+1125＝2325（米），
答：这条隧道的总长度是2325米．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 【问题背景】
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝60°，试探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使GD＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是　 　．
【探索延伸】
如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
【学以致用】
如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是边AB上一点，当∠DCE＝45°，BE＝2时，则DE的长为　 　．

【答案】【问题背景】：EF＝BE+FD；【探索延伸】：结论EF＝BE+DF仍然成立，见解析；【学以致用】：5.
【解析】
【分析】[问题背景]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
[探索延伸]延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题；
[学以致用]过点C作CG⊥AD交AD延长线于点G，利用勾股定理求得DE的长．
【详解】[问题背景】解：如图1，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD；
故答案为EF＝BE+FD．
[探索延伸]解：结论EF＝BE+DF仍然成立；
理由：如图2，延长FD到点G．使DG＝BE．连结AG，
在△ABE和△ADG中，
∵，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，
∴∠EAF＝∠GAF，
在△AEF和△GAF中，
∵，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝FG，
∵FG＝DG+DF＝BE+FD，
∴EF＝BE+FD；
[学以致用]如图3，过点C作CG⊥AD，交AD的延长线于点G，
由【探索延伸】和题设知：DE＝DG+BE，
设DG＝x，则AD＝6﹣x，DE＝x+3，
在Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2+AE2＝DE2，
∴（6﹣x）2+32＝（x+3）2，
解得x＝2．
∴DE＝2+3＝5．
故答案是：5．



【点睛】此题是一道把等腰三角形的判定、勾股定理、全等三角形的判定结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力，解决问题的关键是在直角三角形中运用勾股定理列方程求解．
22. 如图，在锐角ABC中，AB＝BC＝5，ABC的面积为10．点P从点B出发，以每秒3个单位的速度沿边BC向终点C运动，当点P不与点B、C重合时，过点P作PQ⊥BC，与ABC的另一边交于点Q，取PQ的中点R，将线段QR绕点Q逆时针旋转90°得到线段QS，连结PS．设点P的运动时间为t（s）．

（1）BC边上的高为 ．
（2）当点S落在边AC上时，求t的值．
（3）当PQS与ABC重叠部分的图形是三角形时，求重叠部分的面积y与t的函数关系式，并写出t的取值范围．
（4）当点R落在ABC的高线上时，直接写出t的值．
【答案】（1）4； （2）；
（3）；
（4）1或或
【解析】
【分析】（1）设高为h，直接根据三角形的面积公式求解即可；
（2）过点A作AD⊥BC于D，可证明△BPQ∽△BDA，可得PQ=4t，BQ=5t，再证明△AQS∽△ABC，可得AQ=QS=2t，由BQ+AQ=AB求解t值即可；
（3）根据P的运动过程，当P从B运动到S落在AC上时和P从D运动到C时两种情况时，PQS与ABC重叠部分的图形是三角形，根据这两种情况分别求解即可；
（4）分R落在边BC的高线上、R落在边AB的高线上、R落在边AC的高线上三种情况分别进行解答即可．
【小问1详解】
解：设BC边上的高为h，由题意，，
∴h=4，
故答案为：4；
【小问2详解】
解：如图1，过点A作AD⊥BC于D，则∠BDA=∠CDA=90°，
∴=3，
∵PQ⊥BC，
∴∠BPQ=∠QPC=90°，
∴∠BPQ=∠BDA，又∠B=∠B，
∴△BPQ∽△BDA，
∴，
∵AB=5，AD=4，BD=3，BP=3t，
∴，
∴PQ=4t，BQ=5t，
∵R为PQ的中点，且线段QR绕点Q逆时针旋转90°得到线段QS，
∴QS=QR=PR= PQ=2t，∠PQS=90°，
∴∠PQS=∠QPC=90°，
∴QS∥BC，
∴△AQS∽△ABC，
∴，
∴AQ=QS=2t，
由BQ+AQ=AB得：5t+2t=5，
∴t=；
【小问3详解】
解：当P从B运动到S落在AC上时，PQS与ABC重叠部分是PQS，
∴，
当P从D运动到C过程中，如图2，Q在AC上，连接CS，设SP交AC于M，则PQS与ABC重叠部分是PQM，
∵∠CPQ=∠CDA，又∠C=∠C，
∴△CPQ∽△CDA，
∴，
∵AD=4，CD=BC－BD=2，CP=BC－BP=5－3t，
∴，
∴PQ=10－6t，
∴QS=QR=PR= PQ=5－3t=CP，
∵QS∥PC，∠PQS=90°，
∴四边形QPCS是矩形，
∴y=SPQM=S矩形QPCS=CP·QP=，
当点P在D时，t=3÷3=1，当点P在C点时，t=5÷3=，
∴综上，重叠部分的面积y与t的函数关系式为；
【小问4详解】
解：当R落在边BC的高线上时，即R在AD上，则t=1；
当R落在边AB的高线上时，过C作CG⊥AB于G，则R在CG上，如图3，

∵∠B+∠BAD=∠B+∠BCG=90°，
∴∠BAD=∠BCG，则tan∠BAD=tan∠BCG=，
∵R在CG上，PR⊥BC，
∴tan∠BCG=，
由（3）中知，当t＞1时，PR=CP=5－3t，则与不符，舍去；
当t＜1时，PR=2t，CP=5－3t，由得：t=；
当R落在边AC的高线上时，过B作BH⊥AC于H，则R在BH上，如图4，

∵∠C+∠CBH=∠C+∠CAD=90°，
∴∠CBH=∠CAD，则tan∠CBH=tan∠CAD=，
∵R在BH上，PR⊥BC，
∴tan∠CBH=，
由（3）中知，当t＞1时，PR=5－3t，BP=3t，由得：t=；
当t＜1时，PR=2t，BP=3t，则与不符，舍去，
综上，点R落在ABC的高线上时，t的值为1或或．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、图形运动与二次函数问题、矩形的判定与性质、解直角三角形、比例性质、旋转性质、等角的余角相等、三角形的面积公式等知识，综合性强，难度较难，熟练掌握相关知识的联系与运用，借助数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键．
23. 已知，抛物线y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≥﹣1，且a≠0）经过点A(1，1)，与y轴交于点B．
（1）用含a的式子表示b．
（2）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴．
（3）若抛物线上A、B两点之间的部分，从左往右呈下降趋势，则a的取值范围是 ．
（4）当﹣1≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，a≥﹣1，且a≠0）的最大值为m，求m的最小值．
【答案】（1）b=-3-a；
（2）
（3）-1≤a＜0或
（4）5
【解析】
【分析】（1）将点A(1，1)代入y＝ax2+bx+4，即可得到结果；
（2）利用对称轴公式计算即可；
（3）分别讨论当a>0时，对称轴，求出a的取值范围；当a<0时，对称轴x=，求出a的取值范围；
（4）讨论当时，y最大值为m=a+a+3+4=2a+7，当，y 最大值为m= 2a+7，当a>1，时，y=2a-2，由2a+7>2a-2，得到最大值为m=2a+7，代入a=-1求值．
【小问1详解】
解：将点A(1，1)代入y＝ax2+bx+4，得a+b+4=1，
∴b=-3-a；
【小问2详解】
解：当a＝﹣时，b=-3-a=，
∴抛物线的对称轴为x=；
【小问3详解】
解：∵a≥﹣1，且a≠0，抛物线上A、B两点之间的部分，从左往右呈下降趋势，
∴当a>0时，对称轴，得，解得；
当a<0时，对称轴x=，解得，
∵a≥﹣1，且a≠0，
∴-1≤a＜0
综上，a的范围是-1≤a＜0或；
【小问4详解】
解：∵a≥﹣1，且a≠0，
当对称轴时，即，y在﹣1≤x≤2时呈下降趋势，
当x=-1时，m=a+a+3+4=2a+7，
当对称轴时，得，y在﹣1≤x≤2时呈下降趋势，
当x=-1时，m=a+a+3+4=2a+7，
当a>1，时，y在﹣1≤x≤呈下降趋势，≤x≤2呈上升趋势，
当x=2时，y=2a-2，
∴2a+7>2a-2，
∴m=2a+7，
∴当a=-1时m最小值为5．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特点，二次函数对称轴的计算公式，二次函数的增减性，正确理解二次函数的增减性是解题的关键．