专题23.1 旋转中的最值问题（强化）-【题型分层练】2022-2023学年九年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（人教版）

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是边长为4的等边三角形，其中点为高上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接、、，则周长的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
是等边三角形，是高，
，，
过点作，交的延长线于点，延长到，使得，连接，，与交于点，连接，，
则，，
，
为等边三角形，
，
垂直平分，
，，
，
，
当与重合时，即、、三点共线时，的值最小为：，
的周长的最小值为．
故选：．
在中，，，，为内一点，连接、、，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：在中，，，，
，，
将绕点逆时针旋转得到，连接，．
由旋转的性质可知：，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
当，在直线上时，的值最小，
，
，
的最小值为，
故选：．
【题组训练】
1．如图，在等边中，是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，若，则的周长的最小值是
A．10B．C．D．20
【解答】解：将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，
，
的周长，
的值最小时，的周长有最小值，
当时，的值最小．
，
，
的周长的最小值是．
故选：．
2．如图，是边长为2的正方形内一动点，为边上一动点，连接、、，则的最小值为
A．4B．3C．D．
【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，是等边三角形，
，
作于，交于．
，
，
，
当点，点，点，点四点共线且垂直时，有最小值为，
，
，
的最小值，
故选：．
3．如图，将面积为8的正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形，是的中点，是对角线的中点，则在旋转过程中的最大值为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，如图，
四边形是面积为8的正方形，
，
是对角线的中点，
，
正方形绕顶点顺时针旋转得到正方形，
，
是的中点，
，
（当且仅当、、共线时取等号），
的最大值为，即的最大值为．
故选：．
4．如图，已知正方形的边长为3，点是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转到，连接，，则当之和取最小值时，的周长为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，过点作交延长线于点，
将绕点顺时针旋转到，
，，
，
，
又，
，
，，
，
即，
，
即点在的角平分线上运动，
作点关于的对称点，
点在的延长线上，
当点，，三点共线时，最小．
在中，，，
，
的最小值为，
此时的周长为．
故选：．
5．如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则线段长度的最小值为
A．1B．C．D．
【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当（点和点重合）时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是，
故选：．
7．如图，四边形是菱形，，且，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，当取最小值时的长
A．B．3C．1D．2
【解答】解：如图，将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形．
，
．
根据“两点之间线段最短”，
当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长，
过点作交的延长线于，
，
，
，，
．
，
，
，
，
，
故选：．
8．在平面直角坐标系中，点、在轴上，点在轴上，是等边三角形，是边上动点，连接，以为边在的右侧作等边三角形，连接，的面积为，的中点为，当点在边上运动时，线段的最小值为
A．B．C．D．4
【解答】解：和都是等边三角形，
，，，
，即，
在和中，
，
，
，，
，
，
点的运动轨迹为过点平行于轴的线段，
时，最小，，
，为线段的中点，
，
设，则，，
由勾股定理可得，
，
解得，
即，
线段的最小值为．
故选：．
9．如图，矩形的边，，点在边上，且，为边上的一个动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为
A．2B．3C．D．
【解答】解：将绕点顺时针旋转得到，延长交于点，
，，，
，
则点在平行于，且与的距离为1的直线上运动，
当时，有最小值，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
故选．
10．已知等边的边长为8，点是边上的动点，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接，则的最小值是
A．B．3C．D．4
【解答】解：绕点逆时针旋转得到，
，
是边长为8的等边三角形，
，
，
点是边的中点，
，
当时，的长最小，此时，，
，
，
的最小值时，
故选：．
11．在等边中，，点是边的中点，点是边上一个动点，连接，将绕点顺时针旋转，得到，连接，则的最小值是
A．1B．C．D．
【解答】解：如图，将绕点旋转得到△，
点是边上一个动点，
点是边上一个动点，
当时，最小，
如图，，
，
在等边中，
，点为中点，
，，
，
，
，
故选：．
12．如图，正方形的边长为5，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为
A．2B．2.5C．3D．3.5
【解答】解：由题意可知，点是主动点，点是从动点，点在线段上运动，点也一定在直线轨迹上运动，
将绕点旋转，使与重合，得到，
，，，
为等边三角形，点在垂直于的直线上，
作，则即为的最小值，
作，可知四边形为矩形，
，
，
则，
故选：．
13．如图，点是等边三角形边的中点，点是直线上一动点，连接，并绕点逆时针旋转，得到线段，连接．若运动过程中的最小值为，则的值为
A．2B．C．D．4
【解答】解：如图，连接，延长至，使，连接，
是等边三角形，是的中点，
，，，
，，
，
在和中，
，
，
，
点在与成的直线上运动，
当时，有最小值，
，
，
，
，
故选：．
16．如图，边长为5的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是
A．B．1C．2D．
【解答】解：如图，取的中点，连接，
旋转角为，
，
又，
，
是等边的对称轴，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
，
，
根据垂线段最短，时，最短，即最短，
此时，，
，
，
故选：．
17．如图，已知，，，点为内一动点，连接、、，将绕着点逆时针方向旋转得到，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：连接，，过点作，交的延长线于点，
由旋转可得：
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
的最小值为：，
故选：．
18．如图，在矩形中，，，点是上的动点，连接，将绕点顺时针旋转得到线段，连结．从点向点运动过程中，的最小值为
A．1B．C．D．2
【解答】解：过作于，如图：
四边形是矩形，
，
绕点顺时针旋转得到线段，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，
在中，
，
当时，取最小值，最小值为2，
最小值是，
故选：．
19．如图，在中，，，，是边上一动点，连接，把线段绕点逆时针旋转到线段，连接，则线段的最小值为
A．1B．2C．3D．
【解答】解：如图，在上取一点，使，连接，过点作于，
由旋转知，，，
，
，
，
，
，
，
要使最小，则有最小，而点是定点，点是上的动点，
当（点和点重合）时，最小，
即：点与点重合，最小，最小值为，
在中，，，
，
，
，
在中，，，
，
故线段长度最小值是，
故选：．
20．如图，已知直线交、轴于、两点，以为边作等边、、三点逆时针排列），、两点坐标分别为、，连接、，则的最小值为
A．6B．C．6.5D．7
【解答】解：点在直线上，
，
，
．，
，
，，
在轴上方作等边，
，
，即，
又，，
，
，
点的轨迹为定直线，
作点关于直线的对称点，连接，，
，
当点、、在同一条直线上时，的值最小，
，，，
，，，即，，
的最小值
故选：．
21．如图，菱形的边长为4，，是边的中点，是边上的一个动点将线段绕着点逆时针旋转得到，连接、，则的最小值为
A．B．C．D．
【解答】解：如图，取的中点．连接，，，作交的延长线于．
四边形是菱形
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
点的运动轨迹是射线，
易知，关于射线对称，
，
，
在中，，，，
，，
在中，，
，
的最小值为．
故选：．
22．如图，在正方形中，，点为中点，点绕着点旋转，且，在的右侧作正方形，则线段的最小值是
A．B．C．D．
【解答】解：延长至，使，连接、、，如图：
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
，
，
的轨迹是以为圆心，以为半径的，
线段最小时，为与线段的交点，如图：
此时，，
，
故选：．
二．填空题（共3小题）
23．如图，边长为9的等边三角形中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．则在点运动过程中，线段长度的最小值是 ．
【解答】解：如图，取的中点，连接，
线段绕点逆时针旋转得到，
，
又是等边三角形，
，
即，
，
是等边三角形的高，
，
，
又旋转到，
，
在和中，
，
，
，
根据垂线段最短，当时，最短，即最短，
此时，
，
，
．
线段长度的最小值是．
故答案为：．
24．如图，在三角形（其中是一个可以变化的角）中，，，以为边在的下方作等边三角形，则的最大值是 6 ．
【解答】解：以点为旋转中心将逆时针旋转得到△，连接，
逆时针旋转得到△，
，，，
△是等边三角形，
，
在△中，，即，
则当点、、三点共线时，，
即的最大值为6，
故答案为：6．
25．如图，为等边三角形，，且，点为线段的中点，把线段绕点逆时针旋转，连接，点为线段的中点，在旋转过程中的最大值为 5 ．
【解答】解：如图，取的中点，连接，
，点为线段的中点，
，
点为线段的中点，
是的中位线，
，
点在以为圆心，1为半径的圆上，
当经过圆心时，最大，
为等边三角形，是的中点，
，
，
，
，
的最大值为5，
故答案为：5．