华师大版八年级上册2 两数和（差）的平方优秀第3课时导学案

第3课时 运用两数和（差）的平方分解因式

学习目标：

1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）

2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）

自主学习

一、知识链接

填一填：（1）（x+1）2=___________；（2）（2a-3）2=___________．

二、新知预习

试一试：观察以上计算结果，分解下列因式：

（1）x2+2x+1=___________；（2）4a2－12a+9=___________．

合作探究

一、探究过程                                                                                                                                                                            

探究点1：完全平方式

问题1：在整式乘法中我们学过完全平方公式，请写出完全平方公式.

问题2：观察完全平方公式右边的式子，它们有什么特点？

【要点归纳】把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫做完全平方式.

例1 如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是(       )

 A . 11            B. 9         C.  -11         D.  -9

【方法总结】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免错解、漏解．

【针对训练】

1.下列式子中为完全平方式的是(   )

  A．a2＋b2       B．a2＋2a        C．a2－2ab－b2    D．a2＋4a＋4

2.若x2＋mx＋16是完全平方式，则m的值是________．

探究点2：用完全平方公式进行因式分解

问题1：根据“填一填”“试一试”中的式子，你能写出下列式子分解因式后的结果吗？

解：a2＋2ab＋b2＝________；      a2－2ab＋b2＝________.

【要点归纳】两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的      倍，等于这两个数的和(或差)的平方，即为用完全平方公式分解因式的依据.

例2 分解因式：

(1)m2－6m＋9；               (2)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9.  

【针对训练】分解因式：－3x2＋24x－48.

问题2：近两节课中，我们学习了“运用平方差公式分解因式”“运用完全平方公式分解因式”，从名称来看，你能给它们取一个共同的名字吗？

【要点归纳】利用公式（如__________，__________等）把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.

例3 因式分解：(a2＋4)2－16a2.

例4 简便计算.

(1)1002－2×100×99+99²；      (2)342＋34×32＋162.

【方法总结】在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.

例5已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．

【方法总结】此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．

【针对训练】已知|x y﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0，求x2+4xy+4y2的值．

二、课堂小结

当堂检测

1.下列四个多项式中，能因式分解的是（    ）

  A．a2＋1          B．a2－6a＋9         C．x2＋5y        D．x2－5y

2.分解因式x3y﹣2x2y2+xy3正确的是（　　）

A．xy（x+y）2    B．xy（x2﹣2xy+y2） C．xy（x2+2xy﹣y2） D．xy（x﹣y）2

3.填空：

(1)x²+4x+4= (    )² +2·(   )·(   )+(    )² =(            )²

(2)a²+4ab+4b²=(   )²+2· (    ) ·(      )+(     )²=(            )²

4.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是_______．

5.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为_______.

6.把下列多项式因式分解.

 （1）x2－12x+36;    （2）4xy2－4x2y－y3；        (3) y2+2y+1－x2.

7.计算：

（1）38.92﹣2×38.9×48.9+48.92；       （2）20242-2024×4026+20232.

8.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2).

  小聪和小明的解答过程如下：

他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.

9.（1）已知a﹣b＝3，求a（a﹣2b）+b2的值；

（2）已知ab＝2，a+b＝5，求a3b+2a2b2+ab3的值．

拓展提升

10.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．

参考答案

自主学习

一、知识链接    填一填：x2+2x+1    4a2－12a+9

二、新知预习    试一试：（x+1）2    （2a-3）2

合作探究

一、探究过程

探究点1：

问题1：解：（a+b）2=a²+2ab+b²，（a-b）2=a²-2ab+b²  .

问题2：解：式子里都含有两个数的平方相加，还有两个数的积的2倍.

【要点归纳】2ab     2ab

例1 B      

【针对训练】1.D    2.8

探究点2：

问题1：解：（a+b）2   （a-b）2     

【要点归纳】2

例2 解：（1）原式=（m-3）2.（2）原式=（x＋y+3）2. 

【针对训练】解：原式=-3（x²-8x+16）=-3（x-4）². 

问题2：解：它们都是用公式分解因式的，可以称为公式法.

【要点归纳】平方差公式   完全平方公式

例3  解：原式=（a2+4-4a）（a2+4+4a）=（a-2）2（a+2）2.

例4  解：（1）原式=(100-99)²=1.      （2）原式=（34+16）2=2500.

例5  解：x2－4x＋y2－10y＋29＝0,即（x-2）2＋（y-5）2＝0，∴x-2=0，y-5=0，解得x=2，y=5.则x2y2＋2xy＋1=（xy+1）²=11²=121.

【针对训练】  解：∵|xy﹣4|+（x﹣2y﹣2）2＝0，∴xy＝4，x﹣2y＝2，∴x2+4xy+4y2＝（x+2y）2＝（x-2y）²+8xy＝2²+8×4=36．           

二、课堂小结 

m(a+b+c)   (a+b)(a-b)   (a±b)²   公因式   公式    因式分解是否彻底

当堂检测 

1.   B    2.D    3.（1）x  x  2  2  x+2   （2）a  a  2b  2b  a+2b      4.1     5.4   

6.解：（1）原式=（x－6）2.    （2）原式=-y（2x-y）2. （3）原式=（y+1+x）（y+1-x）.

7.解：（1）原式＝（38.9﹣48.9）2＝100.  （2）原式＝（2024-2023）2＝1.

8.解：都做错了．（1）原式=（2x+1）2；（2）原式==.

9.解：（1）∵a﹣b＝3，∴原式＝a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2＝32＝9.

（2）∵ab＝2，a+b＝5，∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝2×52＝50．

10.解：△ABC为等边三角形，理由如下:由a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=0，即（a-b）2+（b-c）2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b，b=c，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．