湘教版（2019）高中数学 选择性必修第二册 第二章 空间向量与立体几何 单元测试卷（Word版含解析）

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第二章 空间向量与立体几何 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题(共40分)
1、(4分)若向量，，且a与b的夹角的余弦值为，则实数等于( ).
A.0 B. C.0或 D.0或
2、(4分)已知棱长为1的正方体的上底面的中心为，则的值为( ).
A.-1 B.0 C.1 D.2
3、(4分)如图，在四面体OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC的中点，则( ).

A. B. C. D.
4、(4分)如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )

A. B. C. D.
5、(4分)已知直线过定点,且为其一个方向向量,则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
6、(4分)已知点，，，则的形状是( )
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
7、(4分)若向量，且，则实数的值是（ ）
A.0 B.1 C. D.
8、(4分)已知，，且，则向量与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
9、(4分)已知向量，，且与互相垂直，则k的值是( ).
A.1 B. C. D.
10、(4分)向量，，若，且，则的值为( )
A.-1 B.1 C.-4 D.4
二、填空题(共25分)
11、(5分)在直三棱柱中(侧棱与底面垂直的三棱柱)，，，四边形为正方形，M为中点，则直线与直线AB所成角的余弦值为______.
12、(5分)在空间直角坐标系Oxyz中，已知点，，，，则直线AD与BC所成角的大小是_________.
13、(5分)若的方向向量为,平面的法向量为,且,则________.
14、(5分)如图，已知四边形为圆柱的轴截面，，为上底圆上的两个动点，且过圆心，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为_____________．

15、(5分)三棱锥中，PA，PB，PC两两垂直，，点Q为平面ABC内的动点，且满足，记直线PQ与直线AB的所成角为，则的取值范围为___________.
三、解答题(共35分)
16、(8分)如图，四棱柱的侧棱底面ABCD，四边形ABCD为菱形，E，F分别为，的中点.

(1)证明：B，E，D，F四点共面；
(2)若，，求直线AE与平面所成角的正弦值.
17、(9分)如图，已知E是平面外一点，，，.

(1)四点C，D，E，F在同一平面内吗？说明理由；
(2)若，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
18、(9分)如图，三棱柱中，侧面是菱形，，点在平面上的投影为棱的中点.

（1）求证：四边形为矩形；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
19、(9分)如图，在三棱柱中，，，平面平面，E，F分别为的中点.

（1）求直线AB与平面AEF所成角的正弦值；
（2）若平面平面，且，求AM的长度.
参考答案
1、答案：C
解析：由题意得，解得或.故选C.
2、答案：D
解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，

.故选D.
3、答案：B
解析：.故选B.
4、答案：C
解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，

则根据题意可得，，，，
所以，，
设异面直线AB与CM所成角为，
则.
故选：C.
5、答案：A
解析：,则点到直线的距离.
6、答案：C
解析：，，，所以，，，所以.所以为直角三角形.故选C.
7、答案：C
解析：因为，
所以，
因为，
所以，
解得．
故选：C．
8、答案：B
解析：，
所以，
∴，∴，
∴，
又∵，
∴与的夹角为.
故选：B.
9、答案：D
解析：依题意，所以，
而，所以，解得.
10、答案：C
解析：，，解得.
由，得，
解得，，故选C.
11、答案：
解析：不妨设，因为，，所以，取中点N，连结MN，，所以，所以或其补角为异面直线所成角，因为三棱柱为直三棱柱，所以平面ABC，所以，因为，，所以平面，所以，因为，所以，在中，，，所以，则.

12、答案：
解析：
13、答案：4
解析： ，
的方向向量为 与平面 的法向量为
平行，.
，解得.
故答案为 4 .
14、答案：
解析： 建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，

则，，．
设平面的法向量为，
则得
令，则．
设直线与平面所成角为，
则．
故答案为．

15、答案：
解析：因为PA，PB，PC两两垂直，且，所以由全等三角形可知，
所以三棱锥为正三棱锥，记P在底面ABC内的投影为O，
所以，
因为，所以，所以，
因为，所以，所以Q的轨迹是以O为圆心半径为1的圆，
取AB中点D，连接CD，可知CD经过点O，建立如下图所示的空间直角坐标系：

设，，
所以，
所以，
所以，
所以，且，
所以，所以，
故答案为：.
16、答案：(1)证明过程见解析.
(2)正弦值为.
解析：(1)证明：连接BE，，取的中点为G，

连接AG，GE，
因为E，G分别为，的中点，
由已知可得四边形ABEG为平行四边形，
故.
因为F是的中点，所以，
所以，
所以B，F，，E四点共面.
(2)连接AC、BD交于点O，取上底面的中心为，
以O为原点，OA、OB、分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取.
设直线AE与平面所成角为，故，
所以直线AE与平面所成角的正弦值为.
17、答案：(1)在同一平面内.
(2)余弦值为.
解析：(1)分别设线段，的中点分别为，分别连接，，.
．
，，
，，
四边形和四边形都是平行四边形.
，，，，
，，即四边形是平行四边形，
，.
所以，四点在同一平面内.
(2)，，与是平面内两相交直线，
平面.
分别以直线,为轴和轴，以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直线坐标系.

设，由于，，所以，，，，．
，，，.
设和分别是平面和平面的一个法向量，则，，，，

不妨取，得，，，
.
所以，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
18、答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)因为平面，所以，
又因为，，，
所以，因此，
所以，因此平面，
所以，从而，
即四边形为矩形.
(2)如图，以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
所以.
平面的法向量，
设平面的法向量为，
由，
由，令，
即，所以，
所以二面角的余弦值是.

19、答案：（1）
（2）
解析：（1），，，

又平面平面，
且平面平面
平面，
平面平面
连接交EF于G，四边形是菱形，
且E，F是线段的中点
，平面AEF，连接AG，
则为AB与平面AEF所成的角
连接BE，有，，
又，.

（2）如第一小题建系，有，，
，，，
设，，M，共线，，
，，
，，
，，共面，
即


M的坐标为