中考数学真题：2021年山东省济宁市初中学业水平考试试题

2021年山东省济宁市初中学业水平考试试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．

1. 若盈余2万元记作＋2万元，则－2万元表示(　　)

A. 盈余2万元　　　　      B. 亏损2万元

C. 亏损－2万元             D. 不盈余也不亏损

2. 一个圆柱体如图所示，下面关于它的左视图的说法，其中正确的是(　　)

第2题图

A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形

B. 既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形

D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形

3. 下列各式中，正确的是(　　)

A. x＋2x＝3x3                   B. －(x－y)＝－x－y

C. (x2)3＝x5                     D. x5÷x3＝x2

4. 如图，AB∥CD，BC∥DE，若∠B＝72°28′，那么∠D的度数是(　　)

第4题图

A. 72°28′　   　     B. 101°28′

C. 107°32′　　       D. 127°32′

5. 计算÷(a＋1－)的结果是(　　)

A.                        B.

C.            D.

6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是(　　)

7. 如图，正五边形ABCDE中，∠CAD的度数为(　　)

第7题图

A. 72°          B. 45°        C. 36°           D. 35°

8. 已知m，n是一元二次方程x2＋x－2021＝0的两个实数根，则代数式m2＋2m＋n的值等于(　　)

A. 2019          B. 2020        C. 2021            D. 2022

9. 如图，已知△ABC.

(1)以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N.

(2)分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部相交于点P.

(3)作射线AP交BC于点D.

(4)分别以A，D为圆心，以大于AD的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点．

(5)作直线GH，交AC，AB分别于点E，F.

依据以上作图，若AF＝2，CE＝3，BD＝，则CD的长是(　　)

第9题图

A. 　　　        B. 1　　       　C. 　　       　D. 4

10. 按规律排列的一组数据：，，□，，，，…，其中□内应填的数是(　　)

A.                B.              C.             D.

二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．

11. 数字6100000用科学记数法表示是________．

12. 如图，四边形ABCD中，∠BAC＝∠DAC.请补充一个条件________，使△ABC≌△ADC.

第12题图

13. 已知一组数据0，1，x，3，5的平均数是y，则y关于x的函数解析式是________．

14. 如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是________．

第14题图

15. 如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的正半轴交于点A，对称轴为直线x＝1.下面结论：①abc<0；②2a＋b＝0；③3a＋c>0；④方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)必有一个根大于－1且小于0.其中正确的是________(只填序号)．

第15题图

三、解答题：本大题共7小题，共55分．

16. (5分)计算：|－1|＋cos45°－()－1＋.

17. (7分)某校为了解九年级学生体质健康情况，随机抽取了部分学生进行体能测试，根据测试结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图．请回答下列问题：

第17题图

(1)在这次调查中，“优秀”所在扇形的圆心角的度数是________；

(2)请补全条形统计图；

(3)若该校九年级共有学生1200人，则估计该校“良好”的人数是________；

(4)已知“不及格”的3名学生中有2名男生，1名女生，如果从中随机抽取两名同学进行体能加试，请用列表法或画树状图的方法，求抽到两名男生的概率是多少？

18. (7分)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C(2，0)，点B(0，4)，反比例函数y＝(x>0)的图象经过点A.

(1)求反比例函数的解析式；

(2)将直线OA向上平移m个单位后经过反比例函数y＝(x>0)图象上的点(1，n)，求m，n的值．

第18题图

19. (8分)如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC.BP交OE的延长线于点P.

(1)求证：PB是⊙O的切线；

(2)若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

第19题图

20. (8分)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．

(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？

(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱，如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？

21. (9分)研究立体图形问题的基本思路是把立体图形问题转化为平面图形问题．

(1)阅读材料

立体图形中既不相交也不平行的两条直线所成的角，就是将直线平移使其相交所成的角．

例如，正方体ABCD－A′B′C′D′(图①)．因为在平面AA′C′C中，CC′∥AA′，AA′与AB相交于点A，所以直线AB与AA′所成的∠BAA′就是既不相交也不平行的两条直线AB与CC′所成的角．

解决问题

如图①，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求既不相交也不平行的两直线BA′与AC所成角的大小．

第21题图

(2)如图②，M，N是正方体相邻两个面上的点．

①下列甲、乙、丙三个图形中，只有一个图形可以作为图②的展开图，这个图形是________；

②在图③所选正确展开图中，若点M到AB，BC的距离分别是2和5，点N到BD，BC的距离分别是4和3，P是AB上一动点，求PM＋PN的最小值．

第21题图③

22. (11分)如图，直线y＝－x＋分别交x轴、y轴于点A，B，过点A的抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的另一交点为C，与y轴交于点D(0，3)，抛物线的对称轴l交AD于点E，连接OE交AB于点F.

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：OE⊥AB；

(3)P为抛物线上的一动点，直线PO交AD于点M，是否存在这样的点P，使以A，O，M为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．

第22题图

2021年山东省济宁市初中学业水平考试数学解析

一、选择题

1. B　【解析】盈余记作“＋”，根据负数的意义，－2万元表示亏损2万元，故选B.

2. A　【解析】圆柱体的左视图为矩形，矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形．故选A.

3. D　【解析】A.x＋2x＝3x，故错误；B.－(x－y)＝－x＋y，故错误；C.(x2)3＝x2×3＝x6，故错误；D.x5÷x3＝x5－3＝x2，正确，故选D.

4. C　【解析】∵AB∥CD，∠B＝72°28′，∴∠C＝∠B＝72°28′，又∵BC∥DE，∴∠C＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－∠C＝180°－72°28′＝107°32′，故选C.

5. A　【解析】原式＝÷＝÷＝·＝，故选A.

6. B　【解析】解不等式x＋3≥2，得x≥－1；解不等式－x>－2，得x＜3，则不等式组的解集为－1≤x＜3，在数轴上表示为选项B.

7. C　【解析】∵正五边形的内角为180°－360°÷5＝108°，在△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝×(180°－108°)＝36°，同理可得∠DAE＝36°，∴∠CAD＝∠BAE－∠BAC－∠DAE＝108°－36°－36°＝36°，故选C.

8. B　【解析】利用根与系数的关系得m＋n＝－1，∵m是方程x2＋x－2021＝0的根，∴m2＋m－2021＝0，即m2＋m＝2021，∴m2＋2m＋n＝m2＋m＋m＋n＝2021－1＝2020.故选B.

9. C　【解析】根据作图步骤可知，AD是∠BAC的平分线，GH是AD的垂直平分线，如解图，连接DE，DF，则四边形AEDF是菱形，∴DF∥AC，DF＝AE＝AF，∴△ABC∽△FBD，∴＝，∵AF＝2，CE＝3，BD＝，则有＝，即＝，解得CD＝，故选C.

第9题解图

10. D　【解析】设□内数的分子为n，分母为m，根据数据可得规律：分子分别是1，3，n，7，…，可得n＝5；分母分别是2，5，m，17，26，37，…，前一个数字和后一个数字之差分别是3，m－5，17－m，9，11，…故可得m－5＝5，17－m＝7，即m＝10.综上所述，□内的数是，即，故选D.

二、填空题

11. 6.1×106　【解析】6100000＝6.1×106.

12. AD＝AB或∠DCA＝∠BCA或∠ADC＝∠ABC 　【解析】∵在△ABC和△ADC中，已知条件有AC＝AC，∠BAC＝∠DAC，∴可知再添加一组对应角相等或者已知角的另一对组应边相等即可．

13. y＝x＋　【解析】根据平均数的概念，得×(0＋1＋x＋3＋5)＝y，可得y＝x＋.

14. －　【解析】如解图，连接OD，∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，∴BC＝＝2，∠ACB＝30°，∴∠BOD＝60°，又∵O是BC的中点，∴OB＝OC＝OD＝，∴△OCD边OC上的高h＝OD·sin60°＝，∴S△ABC＝×2×2＝2，S扇形BOD＝＝，∴S△OCD＝××＝，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BOD－S△OCD＝2－－＝－.

第14题解图

15. ①②④　【解析】 ∵二次函数的图象开口向下，与y轴正半轴相交，∴a＜0，c＞0，又∵x＝－＝1，∴b＝－2a＞0，∴abc＜0，2a＋b＝0，故①②正确；由二次函数的图象可知函数的一个根在2，3之间，由图象对称性可知另一个根在－1，0之间，∴当x＝－1时，y＜0，有a－b＋c＜0，又∵b＝－2a，∴3a＋c＜0，故③错误，④正确．综上所述，正确结论为①②④.

三、解答题

16. 解：原式＝－1＋－＋2

＝3－1.

17. 解：(1)108°；

(2)补全条形统计图如解图；

第17题解图

【解法提示】抽取的学生人数为12÷30%＝40(人)，40－3－17－12＝8(人)，∴及格人数为8人．

(3)510；

(4)列表如下：

由列表可知，共有6种等可能的结果，其中抽到两名男生的结果有2种，

∴P(抽到两名男生)＝＝.

18. 解：(1)如解图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，

第18题解图

∵∠ACB＝90°，AC＝BC，OC＝2，OB＝4，

易得△OBC≌△DCA，

∴DC＝OB＝4，AD＝OC＝2，

∴点A的坐标为(6，2)．

∵点A在反比例函数的图象上，

∴k＝6×2＝12，

∴反比例函数的解析式为y＝；

(2)∵直线OA经过点A，

∴直线OA的解析式为y＝x.

∵点(1，n)在反比例函数的图象上，

∴n＝12.

则直线OA向上平移m个单位后的解析式为y＝x＋m，且经过点(1，12)，解得m＝.

19. (1)证明：如解图，连接AE，

第19题解图

∵点D是BC的中点，OE是⊙O的半径，

∴OE垂直平分BC，

∴＝，

∴∠BAE＝∠CAE＝∠EBC.

又∵∠EBP＝∠EBC，

∴∠EBP＝∠BAE.

∵AB为⊙O的直径，

∴∠AEB＝90°，即∠BAE＋∠ABE＝90°，

∴∠EBP＋∠ABE＝90°，

∴AB⊥BP.

∵AB是⊙O的直径，

∴PB为⊙O的切线；

(2)解：由①易得△ABC∽△BPD，

∴＝，即＝，

解得BC＝2，

∴AB＝＝2，

∴⊙O的半径为.

20. 解：(1)设甲商品每箱盈利x元，则乙商品每箱盈利(x－5)元，

根据题意，得＋＝100，

解得x＝15(x＝3不合题意，舍去)，

经检验，x＝15是原分式方程的解，且符合题意．

∴15－5＝10(元)，

答：甲、乙两种商品每箱各盈利15元、10元；

(2)设降价a元时该商场获得利润为y元，

由题意，得y＝(15－a)(100＋20a)＝－20a2＋200a＋1500＝－20(a－5)2＋2000，

∵－20＜0，

∴当a＝5时，y取得最大值，最大值为2000，

答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润为2000元．

21. 解：(1)∵AC可平移到A′C′，

∴BA′与AC所成的角即为BA′与A′C′所成的角，

如解图①，连接BC′.

∵此立体图形为正方体，

∴A′C′＝BA′＝BC′，

∴△BA′C′是等边三角形，

∴BA′与AC所成的角为60°；

第21题解图①

(2)①丙图；

【解法提示】甲图，很显然M、N所在平面不相邻；乙图不是正方体的展开图形，故选丙图．

②如解图②，作点M关于AB的对称点M′，连接M′N交AB于点P，此时PM＋PN的值最小，为M′N的长，以M′N为斜边构造Rt△M′NQ.

第21题解图②

∵点M到AB，BC的距离分别为2和5，点N到BD，BC的距离分别为4和3，

∴NQ＝2＋4＝6，M′Q＝5＋3＝8，

∴M′N＝＝10，即PM＋PN的最小值为10.

22. (1)解：∵直线y＝－x＋交x轴于点A，

∴点A的坐标为(3，0)，

把点A(3，0)，D(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c中，

得，解得，

∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；

(2)证明：∵直线y＝－x＋交y轴于点B，

∴点B的坐标为(0，)．

根据A、D两点坐标可得直线AD的解析式为y＝－x＋3，

抛物线对称轴为直线x＝－＝1，

当x＝1时，y＝2，

∴点E的坐标为(1，2)，

则直线OE的解析式为y＝2x，

∵2×(－)＝－1，

∴OE⊥AB；

(3)解：存在．易得点P一定在AD的上方，且∠DAC为公共角．

∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴点C的坐标为(－1，0)，

∴直线CD的解析式为y＝3x＋3，

①当∠POA＝∠DCA时，PO∥CD，则OP的解析式为y＝3x，

将y＝3x代入抛物线解析式y＝－x2＋2x＋3中，得x2＋x－3＝0，

解得x＝(x＝不合题意，舍去)；

②当∠POA＝∠ADC时，△ADC∽△AOM，则＝，即＝，

解得AM＝2，

如解图，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则AN＝MN＝2，

∴点M的坐标为(1，2)，此时点M与点E重合，

∴OM所在直线的解析式为y＝2x，

将y＝2x代入抛物线解析式y＝－x2＋2x＋3中，得x2－3＝0，

解得x＝(x＝－不合题意，舍去)．

综上所述，点P的横坐标为或时，△AOM与△ACD相似．

第22题解图