【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第一章《分式》单元测试卷（困难）（含答案）

这是一份【阶段测试】湘教版数学八年级上册--第一章《分式》单元测试卷（困难）（含答案），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湘教版初中数学八年级上册第一章《分式》单元测试卷
考试范围：第一章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共11小题，共33分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若分式a+ba3中的a，b的值同时扩大到原来的3倍，则分式的值(    )
A. 变为原来的3倍 B. 变为原来的127 C. 变为原来的19 D. 变为原来的13
2. 下列分式是最简分式的是(    )
A. 2a3a2b B. 2a4b C. a+ba2+b2 D. a2−aba2−b2
3. 计算2x5x−3÷325x2−9⋅x5x+3的结果为(    )
A. 2x23 B. (5x+3)23 C. 2x5x−3 D. 2x15x−9
4. 计算(−2ab2)3⋅(2ba)2÷(−2ba)2的结果是(    )
A. −8ab6 B. −8a3b6 C. 16a2b6 D. −16a2b6
5. 已知m=(12)−2，n=(−2)3，p=−(−12)0，则m，n，p的大小关系是(    )
A. m 6. 下列计算正确的是(    )
A. (−3pq)2=−6p2q2
B. (12)0+(−12)−1=12
C. 1232−124×122=−1
D. (5m3n2−6m2+3m)÷3m=53m2n2−2m+1
7. 若分式1m−1n=2，则分式4m+5mn−4nm−3mn−n的值等于(    )
A. −45 B. 45 C. −35 D. 35
8. 在学习整式的加、减、乘及除法运算时，我们是回忆小学学习整数的加、减、乘及除法运算的方法来研究的．由整数的除法可得到分数，由两个整式相除可得到分式．学习分式的相关运算时，我们同样是回忆和对比分数的有关知识来探索和发现分式的运算方式，这种研究分式的方法是(    )
A. 转化 B. 类比 C. 数形结合 D. 公理化
9. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一个人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后完成化简．过程如图，接力中，自己负责的一步出现错误的是(    )
老师x2−2xx−1÷x21−x→甲x2−2xx−1⋅1−xx2→乙x2−2xx−1⋅x−1x2→丙x(x−2)x−1⋅x−1x2→丁x−22
A. 只有乙 B. 甲和丁 C. 乙和丙 D. 乙和丁
10. 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，骑自行车地相距60km，B，C是相距50km.甲骑行的平均速度比乙骑行的平均速度快3km/ℎ，两人同时到达C地，设乙骑行的平均速度为xkm/ℎ，则所列方程正确的是(    )
A. 60x=50x+3 B. 60x+3=50x C. 60x−3=50x D. 60x=50x−3
11. 若关于x的分式方程x+1x−1+1=m1−x有增根x=1，则m的值为(    )
A. −1 B. −2 C. 1 D. 2
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15分）
12. 化简：x+1x2+2x+1=______．
13. 计算：a+ba2−2ab+b2⋅a−bab+b2=______．
14. 若a=3+1，则代数式(1−aa+1)÷a2−2a+1a2−1的值为______．
15. 若关于x的方程1x−4+mx+4=m+3x2−16无解，则m的值为_______________．
16. 方程2x−1=1的解是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题8.0分)
“约去”指数：如33+1333+23=3+13+2，53+2353+33=5+25+3，⋯，你见过这样的约分吗?面对这“荒谬”的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确!这是什么原因?仔细观察式子，我们可作如下猜想：a3+b3a3+(a−b)3=a+ba+(a−b).试说明此猜想的正确性. [提示：x3+y3=(x+y)(x2−xy+y2)]．

18. (本小题8.0分)
已知1a+12b=3，求代数式2a−5ab+4b4ab−3a−6b的值．
19. (本小题8.0分)
老师在黑板上书写了一个代数式的正确计算结果，随后用手遮住了原代数式的一部分，如图：◆(−x2−1x2−2x+1)÷xx+1=x+1x−1．
(1)求被手遮住部分的代数式，并将其化简；
(2)原代数式的值能等于−1吗？请说明理由．
20. (本小题8.0分)
计算：(1)(ab2)2(−a3b)3÷(−ab)；
(2)(−13)−2−(3−π)0−22×(−12)2．
21. (本小题8.0分)
先化简，再求值
(1)(3x2y−xy2+12xy)÷(−12xy)；
(2)(a−b−3)(a−b+3)；
(3)先化简，再求值[(a−2b)2+(a−2b)(2b+a)−2a(2a−b)]÷(2a)，其中a=12，b=(−12)−1．
22. (本小题8.0分)
先化简，再求值：m2−2mn+n2m2−n2÷(1m−1n)，其中m=2+1，n=2−1．
23. (本小题8.0分)
先化简a2−4a2+4a+4÷a−2a2+2a+a2−aa−1，然后从0，1，2，3中选一个合适的a值代入求解．
24. (本小题8.0分)
先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程：
x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；
(1)猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是______；
(2)猜想关于x的方程x+1x=c+1c的解是______；
(3)用上述方法求关于x的方程x2−x+1x−1=a+1a−1的解．
25. (本小题8.0分)
为提高学生的阅读兴趣，某学校建立了共享书架，并购买了一批书籍．其中购买A种图书花费了3000元，购买B种图书花费了1600元，A种图书的单价是B种图书的1.5倍，购买A种图书的数量比B种图书多20本．
(1)求A和B两种图书的单价；
(2)书店在“世界读书日”进行打折促销活动，所有图书都按8折销售学校当天购买了A种图书20本和B种图书25本，共花费多少元？
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】3a+3b(3a)3=3(a+b)27a3=19⋅a+ba3，则分式的值变为原来的19．

2.【答案】C 
【解析】
【分析】
本题考查了最简分式的知识，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式.根据最简分式的定义分别判断即可．
【解答】
解：2a3a2b=23a​b，故A不正确；
2a4b=a2b，故B不正确；
a+ba2+b2是最简分式，故C正确；
a2−aba2−b2=aa+b，故D不正确；
故选C．  
3.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】
解：原式=2x5x−3⋅(5x+3)(5x−3)3⋅x5x+3
=2x23，
故选：A．  
4.【答案】B 
【解析】略

5.【答案】D 
【解析】解：m=(12)−2=4，n=(−2)3=−8，p=−(−12)0=−1，
∵4>−1>−8，
∴m>p>n，
故选：D．
分别根据负整数次幂的运算，有理数的乘方的定义、零指数幂的性质化简后，再根据有理数大小比较的法则解答．
本题考查的是有理数大小比较，负整数次幂的运算，有理数的乘方的定义、零指数幂的性质，掌握有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小是解题的关键．

6.【答案】D 
【解析】解：A.(−3pq)2=9p2q2，此选项错误；
B.左边=1−2=−1≠右边，此选项错误；
C.左边=1232−[(123+1)(123−1)]=1232−1232+1=1≠右边，此选项错误；
D.左边=53m2n2−2m+1=右边，此选项正确；
∴符合题意是D．
故选：D．
利用整式四则运算法则一一进行运算判别即可．
本题考查了整式的四则运算，做题关键要掌握整式四则运算法则．

7.【答案】D 
【解析】解：∵1m−1n=2，
∴n−mmn=2，
∴n−m=2mn，即m−n=−2mn，
∴原式=4(m−n)+5mn(m−n)−3mn=−8mn+5mn−2mn−3mn=35，
故选：D．
将已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，得到n−m=2mn，代入所求式子中计算，即可求出值．
本题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．

8.【答案】B 
【解析】解：在学习整式的加、减、乘及除法运算时，我们是回忆小学学习整数的加、减、乘及除法运算的方法来研究的．由整数的除法可得到分数，由两个整式相除可得到分式．学习分式的相关运算时，我们同样是回忆和对比分数的有关知识来探索和发现分式的运算方式，这种研究分式的方法是类比，
故选：B．
利用类比的数学思想，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，整式的除法，熟练掌握类比的数学思想是解题的关键．

9.【答案】D 
【解析】解：原式=x2−2xx−1⋅1−xx2
=−x2−2xx−1⋅x−1x2
=−x(x−2)x−1⋅x−1x2
=−x−2x，
则自己负责的一步出现错误的是乙和丁．
故选：D．
观察每人计算的式子，判断即可．
此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10.【答案】B 
【解析】解：设乙骑行的平均速度为x km/ℎ，则甲骑行的平均速度为(x+3)km/ℎ，
依题意，得60x+3=50x．
故选：B．
设乙骑行的平均速度为x km/ℎ，则甲骑行的平均速度为(x+3)km/ℎ，根据时间=路程÷速度结合甲、乙所用时间相同，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

11.【答案】B 
【解析】解：去分母得：x+1+x−1=−m，
把x=1代入得：2=−m，
解得：m=−2．
故选：B．
分式方程去分母转化为整式方程，把x=1代入计算即可求出m的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

12.【答案】1x+1 
【解析】
【分析】
此题主要考查了约分，正确分解因式是解题关键．
直接将分母分解因式，进而化简得出答案．
【解答】
解：x+1x2+2x+1
=x+1(x+1)2
=1x+1．
故答案为：1x+1．  
13.【答案】1ab−b2 
【解析】
【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘法运算法则，本题属于基础题型．
根据分式的乘法运算即可求出答案．
【解答】
解：原式=a+b(a−b)2⋅a−bb(a+b)
=1b(a−b)
=1ab−b2，
故答案为：1ab−b2．  
14.【答案】33 
【解析】解：(1−aa+1)÷a2−2a+1a2−1
=a+1−aa+1⋅(a+1)(a−1)(a−1)2
=1a+1⋅a+1a−1
=1a−1，
当a=3+1时，原式=13+1−1=33，
故答案为：33．
先计算括号内的式子，然后计算括号外的除法，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．

15.【答案】−1或5或−13 
【解析】
【分析】
此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键．
直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【解答】
解：去分母得：x+4+m(x−4)=m+3，
可得：(m+1)x=5m−1，
当m+1=0时，一元一次方程无解，
此时m=−1，
当m+1≠0时，
则x=5m−1m+1=±4，
解得：m=5或−13，
综上所述：m=−1或5或−13，
故答案为：−1或5或−13．
  
16.【答案】x=3 
【解析】解：去分母得：x−1=2，
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解．
故答案为：x=3．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

17.【答案】解：∵a3+b3a3+(a−b)3=(a+b)(a2−ab+b2)(a+a−b)[a2−a(a−b)+(a−b)2]=a+ba+(a−b)，
∴a3+b3a3+(a−b)3=a+ba+(a−b)，
猜想正确． 
【解析】本题主要考查了分式的化简，应用公式分解因式再约分即可．

18.【答案】解：由1a+12b=3可得2b+a2ab=3．
∴a+2b=6ab．
原式=2(a+ab)−5ab4ab−3(a+2b)=2×6ab−5ab4ab−3×6ab=7ab−14ab=−12．
 
【解析】此题考查分式的通分、约分，由1a+12b=3可得2b+a2ab=3，则a+2b=6ab，代入式子计算即可．

19.【答案】解：(1)被手遮住部分的代数式为：
x+1x−1⋅xx+1÷(−x2−1x2−2x+1)
=x+1x−1⋅xx+1⋅[−(x−1)2(x+1)(x−1)]
=−xx+1；

(2)原代数式的值不能等于−1，
理由是：x+1x−1=−1，
x+1=−(x−1)，
x+1=−x+1，
x+x=1−1，
2x=0，
x=0，
要使代数式−xx+1(−x2−1x2−2x+1)÷xx+1有意义，x+1≠0且x≠0且x+1≠0，
即x不能为1，−1，，0，
所以原代数式的值不能等于−1． 
【解析】(1)根据已知算式得出被手遮住部分的代数式=x+1x−1⋅xx+1÷(−x2−1x2−2x+1)，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则算乘法即可；
(2)列出方程x+1x−1=−1，求出x=0，再根据分式有意义的条件求出x不能为1，−1，0，再得出答案即可．
本题考查了分式的乘除法法则，能灵活运用分式的运算法则进行化简是解此题的关键．

20.【答案】解：(1)(ab2)2(−a3b)3÷(−ab)
=a2b4⋅(−a9b3)÷(−ab)
=−a11b7÷(−ab)
=a10b6；
(2)(−13)−2−(3−π)0−22×(−12)2
=9−1−4×14
=9−1−1
=7． 
【解析】(1)先算积的乘方，再算乘除，即可解答；
(2)先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

21.【答案】解：(1)原式=3x2y÷(−12xy)−xy2÷(−12xy)+12xy÷(−12xy)
=−6x+2y−1；
(2)原式=(a−b)2−9
=a2−2ab+b2−9；
(3)原式=(a2−4ab+4b2+a2−4b2−4a2+2ab)÷2a
=(−2a2−2ab)÷2a
=−a−b，
当a=12，b=(−12)−1=−2时，
原式=−12+2=32． 
【解析】(1)原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果；
(2)原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；
(3)原式中括号里利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，以及负整数指数幂，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

22.【答案】解：m2−2mn+n2m2−n2÷(1m−1n)
=(m−n)2(m+n)(m−n)÷n−mmn
=(m−n)2(m+n)(m−n)⋅mn−(m−n)
=−mnm+n，
当m=2+1，n=2−1时，原式=−(2+1)(2−1)2+1+2−1=−122=−24． 
【解析】先算括号里，再算括号外，然后把m，n的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．

23.【答案】解：原式=(a+2)(a−2)(a+2)2⋅a(a+2)a−2+a(a−1)a−1
=a+a
=2a，
∵a=0，1，2，−2时分式无意义，
∴a=3，
当a=3时，原式=2×3=6． 
【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．

24.【答案】解：(1)x1=5，x2=15；
(2) x1=c，x2=1c；
(3)∵x2−x+1x−1=a+1a−1，
∴x(x−1)+1x−1=a+1a−1，
∴x+1x−1=a+1a−1，
∴x−1+1x−1=a−1+1a−1，
∴x−1=a−1或x−1=1a−1，
∴x1=a，x2=aa−1． 
【解析】
【分析】
本题考查了分式方程的解及解分式方程，通过观察题干中各个方程的特点与方程解的关系是解决问题的关键．
(1)通过观察题干中各个方程的特点与方程解的关系，即可得出答案；
(2)通过观察题干中各个方程的特点与方程解的关系，即可得出答案；
(3)利用得出的规律解方程即可．
【解答】
解：(1)∵x+1x=2+12的解为x1=2，x2=12；
x+1x=3+13的解为x1=3，x2=13；
x+1x=4+14的解为x1=4，x2=14；
∴猜想关于x的方程x+1x=5+15的解是x1=5，x2=15，
故答案为：x1=5，x2=15；
(2)由(1)可得：关于x的方程x+1x=c+1c的解是x1=c，x2=1c，
故答案为：x1=c，x2=1c；
(3)见答案．  
25.【答案】解：(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，
依题意，得：30001.5x−1600x=20，
解得：x=20，
经检验，x=20是所列分式方程的解，且符合题意，
∴1.5x=30．
答：A种图书的单价为30元，B种图书的单价为20元．
(2)30×0.8×20+20×0.8×25=880(元)．
答：共花费880元． 
【解析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
(1)设B种图书的单价为x元，则A种图书的单价为1.5x元，根据数量=总价÷单价，结合花3000元购买的A种图书比花1600元购买的B种图书多20本，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
(2)根据总价=单价×数量，即可求出结论．