【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--4.5.3 函数模型的应用（第一课时）（课时教学设计）

六、课时教学设计

第3课时 函数模型的应用

（一）教学内容：

利用已知函数模型解决实际问题

（二）教学目标

 通过例题学习能感受数学建模过程和基本步骤，发展学生数学建模的核心素养.

（三）教学重点及难点

1. 教学重点：

用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程

2. 教学难点：

-在处理已知函数模型的应用题中应该明确谁是自变量，谁是函数，谁是待定系数及待定系数如何确定。

（四）教学过程设计

问题1：同学们，每年的国庆假期外出游玩的时候，你最大的感受是什么？

师生活动：（1）学生回答：人多！

（2）教师展示旅游图片并且告诉数据。

追问1：2020年11月1日零时，我国举行了一次全国人口普查，大家知道这是第几次人口普查吗？

师生活动：（1）学生上网搜索并回答。

（2）教师展示图片收集材料，学生总结人口普查的重要意义：能够预测一定期间人口未来趋势，为我国制定一系列政策或制度提供了保障。早在18世纪末，英国著名的经济学家马尔萨斯就提出了人口模型，在自然条件下，计算结果还是非常接近实际人口情况的。

设计意图：从学生日常生活入手，很自然地把学生引入到本节课的内容。

引导语：同学们，马尔萨斯到底是如何求出的模型？又如何应用到实际生活中的呢？带着疑问我们一起进入今天的学习。

问题2：人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为制定一系列相关政策提供依据. 早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R.Malthus，1766—1834）就提出了自然状态下的人口增长模型：y=y0ert，其中t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率.

（1）根据国家统计局网站公布的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万.根据这些数据，用马尔萨斯人口增长模型建立我国在1950～1959年期间的具体人口增长模型.（温馨提示：已知e9r≈1.2167可得r≈0.021876）

追问1：请同学们说一说大家可以提取出哪些有价值的信息。

①y=y0ert；②t表示经过的时间，y0表示t=0时的人口数，r表示人口的年平均增长率；③1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万；④已知e9r≈1.2167可得r≈0.021876

追问2：非常准确，那么题目中谁是自变量，谁是因变量，谁是系数，谁是谁的函数？

r是自变量，y是因变量，y是关于r的函数，y0与r是系数

追问3：如何解决人口增长模型中的系数，请同学们开始尝试。

师生活动：学生在演算纸上计算，教师将学生的计算过程通过实物投影仪进行展示。

设计意图：本节课正处于学生刚开始进入到函数的学习中，并且没有进入到深层次的学习，那么更需要进一步加深学生对函数的理解，充分理解自变量、因变量以及系数；分析清楚题目的已知，可以有效的帮助学生解决后边的问题，总之第一问起着至关重要的作用。

追问4：同学们，既然理论模型已经求出，那么你认为下面咱们要验证什么呢？

验证是否符合实际的人口数据。

设计意图：再次激发学生对于人口模型实用性的渴望

（2）利用(1)中的模型计算1951到1958年，各年末的人口总数，查阅国家统计局网站公布的我国在1951年～1958年间各年末的实际人口总数，检验所得模型与实际人口数据是否相符.

师生活动：学生上台展示。

设计意图：本题的设计在于让学生会列出计算过程即可，不要求最后计算结果；正确找到t，并且带入模型中；让学生感受到人口模型求出的数据与实际数据还是非常吻合的，进一步感受数学在现实生活中的强大力量。

(3)   以（1）中的模型作预测，大约在什么时候我国人口总数达到13亿?（温馨提示：已知e0.021876t≈2.355得t≈39.15）

师生活动：

教师示范：解：将y=130000代入

                 y=55196e0.021876t，

               由计算工具可得

               t≈39.15.

所以，如果人口按照（1）中的模型增长，那么大约在1950年后的第40年（即1990年），我国的人口就已达到13亿.

设计意图：感受数学力量；感受到如果不加干涉。人口将会达到25.5亿，想象一下那时候的生活是什么样子？

追问5：事实上，我国1990年的人口数为11.43亿，直到2005年才突破13亿，对由函数模型所得的结果与实际情况不符，你有何看法？

学生活动：人口模型是指的在自然状态下。但是因为人口基数较大，人口增长过快，与我国经济发展水平产生了较大矛盾，所以我国从20世纪70年代逐步实施了计划生育政策，因此这一阶段的人口增长模型的条件并不符合马尔萨斯人口增长模型，自然就出现了一模型得到的结果与实际不符的情况。

设计意图：正确认识人口模型的使用条件；认识到中国共产党在方针政策上的正确领导，高度认识没有共产党就没有一切美好生活。

追问6：如果利用马尔萨斯模型预测我国2020年的人口数应该是多少？

学生通过计算器计算，

所以采取人为措施控制人口数量的快速增长是很有必要的.

设计意图：再次体会到没有共产党的正确方针政策，将是一片糟糕的场面。

问题3：同学们有哪些人对“穿越”类型的电影感兴趣？

师生活动：好多学生表示感兴趣。老师提问：有谁有过穿越的经历？学生们都表示没有。

追问1：那么考古学家是通过什么方式能够确定挖掘出来的文物是什么年代的呢？

设计意图：激发学生的学习兴趣，引入下面的例题。

问题4：大家看一下课本的103页，我们共同来解决一下章引言中的问题。

2010年，考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料（草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14年代学检测，检测出碳14的残余量约为初始量的55.2%，能否以此推断此水坝大概是什么年代建成的？

追问1：大家读完题目，能够构建本题的函数模型？

根据化学中所学的知识可以得到：

追问2：这里面的每一个字母都代表什么？

y代表是经过的时间，k代表的是碳14初始量，a代表一年后碳14还保留的比例，x代表经过的年份。

追问3：也就是说我们只需要将解析式中的a求出就可以解决问题了。附加一个碳14的半衰期为5730年。谁能解决这个问题。

由题可知即∴

而即，∴

因为2010年之前的4912年是公元前2903年，所以推断此水坝大概是公元前2903年建成的。

设计意图：让学生知道函数应用的普遍性，以提高学生学习数学的积极性。

问题5：回忆本节课的内容，大家谈谈通过这节课大家学到了什么？

大家思考后回答。函数模型的应用。必须明确函数模型中每一个字母的函数含义，很像之前学过的待定系数法，之后再应该函数模型解决问题。

设计意图：通过本节课的学习使学生学会已知函数模型的应用题的解题方法，增强学生的阅读理解能量，提高学生的数学建模和数据分析素养。

（五）目标检测设计

必做题：

1.   在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年？
2.   1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？

选做题：

上网查阅2016-2021年每年人口总数，结合马尔萨斯人口模型进行合理调整，计算出适合这一时间段内的模型，分析2022年人口形势如何，尝试制定你认为合适的“政策”。

设计意图：分层布置作业，有利于各个层面的学生发展。开放式题目的设计有利于提高学生的学习兴趣和解决问题的能力。