北京市西城区2023届高三数学二模试题（Word版附答案）

2023北京西城高三二模

数    学

2023.5

本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共 40 分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

第二部分（非选择题 共 110 分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）函数的定义域为____．

（12）设等比数列的前项和为，，，则____；使成立的

的最小值为____．

（13）在中，若，，，则____．

（14）已知两点．点满足，则的面积是____；的一个取值为____．

（15）已知直线和曲线，给出下列四个结论：

① 存在实数和，使直线和曲线没有交点；

② 存在实数，对任意实数，直线和曲线恰有个交点；

③ 存在实数，对任意实数，直线和曲线不会恰有个交点；

④ 对任意实数和，直线和曲线不会恰有个交点．

其中所有正确结论的序号是____．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

如图，在直三棱柱中，分别为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．

（17）（本小题14分）

已知函数，其中．再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使存在，并完成下列两个问题．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围．

条件①：；

条件②：是的一个零点；

条件③：．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

（18）（本小题13分）

体重指数（，简称）是国际上衡量人体胖瘦程度的一项常用指标．已知，其中表示体重（单位：），表示身高（单位：）．对成人，若，则身体处于肥胖状态．

某企业为了解员工的身体状况，从全体员工中随机抽取人，测量他们的体重（单位：）和身高（单位：），得到如下散点图（图中曲线表示时体重和身高的关系）．

假设用频率估计概率．

（Ⅰ）该企业员工总数为人，试估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数；

（Ⅱ）从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，设其中体重在以上的人数

为，估计的分布列和数学期望；

（Ⅲ）从样本中身高大于或等于的员工中随机抽取人，若

其身体处于肥胖状态的概率小于，写出的所有可能取值．（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）

已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．

（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，点在线段上，点关于点

的对称点为．当四边形的面积最大时，求的值．

（20）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）求在区间上的最大值和最小值；

（Ⅱ）若恒成立，求实数的值．

（21）（本小题15分）

给定奇数，设是的数阵．表示数阵第行第列的数，且．定义变换为“将数阵中第行和第列的数都乘以”，其中．

设．将经过变换得到，经过变换得到，，经过变换得到．记数阵中的个数为．

（Ⅰ）当时，设，，写出，并求；

（Ⅱ）当时，对给定的数阵，证明：是的倍数；

（Ⅲ）证明：对给定的数阵，总存在，使得．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）

 （ 1 ）A （ 2 ）D （ 3 ）D （ 4 ）B （ 5 ）A

 （ 6 ）A （ 7 ）B （ 8 ）C （ 9 ）C （10）B

二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）

 （11）      （12）   

（13）             （14）    （答案不唯一）

（15）① ② ③ （注：选对1个给2分，选对2个给3分，全对给5分；错选0分）

三、解答题（共6小题，共85分）

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）连接．

因为分别为的中点，所以．    

在三棱柱中，．

所以，四点共面．      ………1分

因为，，分别为的中点，

所以，．

所以四边形为平行四边形． ………4分

所以．     ………5分

因为平面，平面，

所以平面．    ………6分

（Ⅱ）由题设平面，所以，．

因为，所以两两垂直．

如图建立空间直角坐标系．       ………7分

所以．

，，．

设平面的法向量为，则 即

令，则，．于是．  ………10分

设直线与平面所成角为，则

．      ………13分

（17）（共14分）

解：选条件②．

（Ⅰ）由题设．     ………1分

所以．          ………2分

因为， 所以．      ………3分

所以．           ………4分

所以．            ………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）

       ………7分

．         ………8分

因为， 所以．      ………9分

于是，当且仅当，即时，取得最大值； ………11分

当且仅当，即时，取得最小值．  ………12分

又，即时，．     ………13分

所以的取值范围是．       ………14分

选条件③．

（Ⅰ）由题设．    ………1分

整理得．         ………2分

以下同选条件②．

（18）（共13分）

解：（Ⅰ）因为样本中身体处于肥胖状态的员工共人，     ………2分

所以估计该企业员工身体处于肥胖状态的人数为． ………4分

（Ⅱ）因为样本中身体处于肥胖状态的员工共人，且其中恰有人体重在以上，

所以从该企业身体处于肥胖状态的员工中随机抽取人，估计其体重在以上

的概率为．           ………5分

由题设，；的所有可能取值为．

估计为；        估计为；

估计为； 估计为．……9分

所以的分布列为

估计的数学期望．   ………11分

（Ⅲ）或．            ………13分

（19）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设           ………3分

解得  

所以椭圆的方程为．       ………4分

的离心率为．          ………5分

（Ⅱ）设椭圆的另一个焦点为，则直线过点．   ………6分

由  得．      ………7分

设，则，．   ………9分

由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等．

所以四边形的面积为面积的倍．    ………10分

又，

所以

．    ………12分

所以．   ………13分

设，则．

所以．    ………14分

当且仅当，即时，．

所以四边形的面积最大时，．      ………15分

（20）（共15分）

解：（Ⅰ）因为，      ………2分

所以在区间上单调递增．       ………3分

所以的最小值为；的最大值为．……5分

（Ⅱ）的定义域为．

由（Ⅰ）知，且在上单调递增，

所以当时，；当时，．   ………7分

设．

若恒成立，则当时，；当时，．

所以，即，解得．     ………9分

下面证明：当时，恒成立．

此时，，．

当时，．

所以在上单调递增，．    ………11分

当时，设．

因为，所以在上单调递增．

又，，

所以存在唯一的，使得．     ………13分

所以在上单调递减，在上单调递增．

因为，且，

所以当时，恒成立．

综上，．            ………15分

（21）（共15分）

解：（Ⅰ）由题设，．     ………2分

所以，．         ………4分

（Ⅱ）设数阵中第行和第列中的个数均为，的个数均为．

经过变换，的第行和第列均有个变为，有个变为．

所以．

即是的倍数．         ………9分

（Ⅲ）数阵经过变换得到数阵，设第行和第列中1的个数均为．

由（Ⅱ）可知，．

………10分

设当时，取得最小值，其中．

记每行中的个数为，则必有．

否则，若存在使得，则令，有

，与为最小值矛盾．…11分

在中，① 若等于的个数不超过，

则．   ………12分

②若等于的个数大于，则必存在满足，且．

否则，不妨设，则共有个满足，且，

所以中至多有个等于，矛盾．

故存在满足，且．      ………13分

取，因为，所以．

由变换为时，从变为，故数阵第行中的个数为．

故，

这与为最小值矛盾．

综上，对给定的数阵，总存在，使得．  ………15分