安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期5月模拟数学（理）试题 Word版含解析

这是一份安徽省滁州市定远县重点中学2020届高三下学期5月模拟数学（理）试题 Word版含解析，共25页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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2020年高考数学模拟试卷（理科）（5月份）
一、选择题（共12小题）.
1. 集合M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，N＝{x|2x+1＜0}，U＝R，则M∩∁UN＝（ ）
A. [，1） B. （，1） C. （﹣1，） D. （﹣1，]
【答案】B
【解析】
【分析】
解不等式化简集合M，N，根据补集、交集的运算即可求解.
【详解】∵M＝{x|2x2﹣x﹣1＜0}，，U＝R，
∴，.
故选：B
【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集和补集的运算，考查了运算能力，属于容易题.
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】C
【解析】
分析：由题意结合复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
则
本题选择C选项.
点睛：本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3. 已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判断错误的是（　　）

A. 乙班的理科综合成绩强于甲班 B. 甲班的文科综合成绩强于乙班
C. 两班的英语平均分分差最大 D. 两班的语文平均分分差最小
【答案】D
【解析】
【分析】
先对图象数据进行处理,再逐一进行判断即可得到结果.
【详解】由甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图可得：
乙班的理科综合成绩强于甲班,即选项正确，
甲班的文科综合成绩强于乙班，即选项正确，
两班的英语平均分分差最大，即选项正确，
两班地理平均分分差最小，即选项错误，
故选D.
【点睛】本题考查了对图象数据的处理能力，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.
4. 已知各项均不相等的等比数列成等差数列，设为数列的前n项和，则等于
A. B. C. 3 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
设等比数列{an}的公比为q，由3a2，2a3，a4成等差数列，可得2×2a3=3a2+a4，4a2q=3,解得q．利用通项公式与求和公式即可得出．
【详解】设等比数列{an}的公比为q，∵3a2，2a3，a4成等差数列，
∴2×2a3=3a2+a4，
∴4a2q=3，化为q2﹣4q+3=0，
解得q=1或3．又各项均不等，所以q=3
当q=3时，.
故选A．
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的求通项公式与和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．解决等差等比数列的小题时，常见的思路是可以化基本量，解方程；利用等差等比数列的性质解决题目；还有就是如果题目中涉及到的项较多时，可以观察项和项之间的脚码间的关系，也可以通过这个发现规律.
5. 执行如图所示的程序框图，令，若，则实数的取值范围是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
分析：先根据程序框图得解析式，再根据分段函数解三个不等式组，求并集得结果.
详解：因为，所以由得
所以
因此选D.
点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.
6. 某几何体的三视图如图所示，坐标纸上的每个小方格的边长为1，则该几何体的外接球的表面积是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是侧面垂直于底面，且底面是直角三角形的三棱锥，求出该三棱锥外接球的直径，即可求出外接球的表面积．
详解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是如图所示的三棱锥，三棱锥的高 ，
且侧面底面
∴ ，的外接圆的圆心为斜边的中点 ，设该几何体的外接球的球心为 底面，
设外接球的半径为
则
解得
，∴外接球的表面积．
故选C．
点睛：本题考查了空间几何体三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图还原出几何体的结构特征，是基础题．
7. 设是半径为的球面上的四个不同点，且满足，，，用分别表示△、△、△的面积，则的最大值是（ ）.

A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
设，， ．
∵，，，∴，，两两互相垂直，扩展为长方体，它的对角线为球的直径，即．
∵、、分别表示、、的面积，
∴，当且仅当时取等号
∴的最大值是，故选B．
点睛：本题考查球的内接多面体及基本不等式求最值问题，能够把几何体扩展为长方体，推知多面体的外接球是同一个球，是解答本题的关键．
8. 已知双曲线：的左、右焦点分别为、，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为、，点为圆与轴正半轴的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为，以为直径的圆的方程为．

由，解得，故点P的坐标为；
由，解得，故点Q的坐标为．
∵，
∴，
∴，整理得，
∴，故得，
解得．
选D．
点睛：
求双曲线的离心率时，可将条件中所给的几何关系转化为关于等式或不等式，再由及可得到关于的方程或不等式，然后解方程（或不等式）可得离心率（或其范围）．解题时要注意平面几何知识的运用，如何把几何图形中的位置关系化为数量关系是解题的关键．
9. 已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是( )
A. 要得到函数的图象，只需将向右平移个单位
B. 函数的图象关于直线对称
C. 当时，函数的最小值为
D. 函数在上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的有关性质求出其解析式，分别利用其对称性、单调性和最值的性质进行判断即可.
【详解】因为的最大值为，故，
又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故即，
所以函数，
令，则，即，，
因为，故，所以，
对于选项A：因为，故向右平移个单位后可以得到，故选项A正确；对于选项B：因为，所以由，可得，当时，时，时，所以直线不是函数的对称轴，故选项B错误；
对于选项C：当时，，所以函数的最小值为，故选项C错误；
对于选项D：当时，，所以函数在上单调递减，故选项D错误.
故选：A
【点睛】本题考查函数解析式的求解和图象的平移变换公式、正弦函数的对称性、单调性和最值等有关性质；考查运算求解能力；熟练掌握函数解析式的求解和正弦函数的有关性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
10. 已知函数，则大致图象为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
可以排除法，利用奇偶性可排除选项；利用，可排除选项，从而可得结果.
【详解】因为，
所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项；
又因为，可排除选项.
故选A.
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象
11. 已知定义在R上的偶函数（函数f(x)的导函数为）满足，e3f(2018)＝1，若，则关于x的不等式的解集为
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
是偶函数，，，，，即，设，则，在上递增，由，得，相减可得，的周期为，，，，结合的周期为可化为，，不等式解集为，故选B.
【方法点睛】利用导数研究函数的单调性、构造函数解不等式,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
12. 已知函数，若函数在区间上恰有两个不同的零点，则实数的取值范围（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
函数的零点为方程的根，而，则，令，则 ，则在上有两个不同的实根，即在上有两个不同的实根，即与 的图象在有两个交点，设 ，画出图象抛物线，当时，，当时， ，由于，所以 .选C.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 代数式的展开式的常数项是________（用数字作答）
【答案】3
【解析】
的通项公式为.
令，得；令，得.
∴常数项为
故答案为.
点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略
(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.
14. “斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为1，1，2，3，5，8，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前项和，若则__________．(用M表示)
【答案】
【解析】
分析：由“斐波那契”数列定义找与的关系．由定义可得，依次迭代可得 ．进而可得．可求得．
详解：由“斐波那契”数列可知

．
所以 ，
所以
点睛：有关数列求和问题，若是等差、等比数列，应根据等差、等比数列的前项和公式求解；若不是等差、等比数列，看能否构造等差、等比数列，再用等差、等比数列的前项和公式求解；其它特殊数列，应根据特殊数列的定义求解，如“斐波那契”数列，应根据其定义，依次迭代寻找前项和与的关系，进而求解．
15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，，则双曲线的离心率的取值范围为__________．
【答案】
【解析】
由，可得，
故为直角三角形，且，
∴．
由双曲线定义可得．
∵，
∴，可得．
又，
整理得．
∴．
∴，
又，
∴，即双曲线的离心率的取值范围为．
答案：
点睛：求双曲线的离心率时，可将条件中给出的双曲线的几何关系转化为关于基本量的方程或不等式，然后利用和转化为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围，解题时要注意平面几何知识的应用．
16. 若变量满足约束条件，且的最小值为，则__________．
【答案】
【解析】
【详解】目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，
∴y=﹣3x+z，要使目标函数z=3x+y的最小值为﹣1，
则平面区域位于直线y=﹣3x+z的右上方，即3x+y=﹣8，
作出不等式组对应的平面区域是一个封闭的三角形，
则目标函数经过点A时，目标函数z=3x+y的最小值为﹣8，
代入得到
故答案为-2.
三、解答题（本大题共4小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数．
(I)求函数的最小正周期和最小值；
(II)在中，A，B，C的对边分别为，已知，求a，b的值．
【答案】(Ⅰ) 的最小正周期,最小值为-4; (Ⅱ) .
【解析】
【分析】
(I)由三角恒等变形化简f(x)=即可求解；(Ⅱ)得,再由正余弦定理得a的方程即可求.
【详解】(Ⅰ)
，
所以的最小正周期,最小值为.
(Ⅱ)因为所以.
又所以，得.因为，由正弦定理得，由余弦定理得，，
又c=a，所以.
【点睛】本题考查三角恒等变换，正余弦定理，是中档题.
18. 我国是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准（吨），用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（Ⅰ）若全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，试估计全市有多少居民？并说明理由；
（Ⅱ）若该市政府拟采取分层抽样的方法在用水量吨数为和之间选取7户居民作为议价水费价格听证会的代表，并决定会后从这7户家庭中按抽签方式选出4户颁发“低碳环保家庭”奖，设为用水量吨数在中的获奖的家庭数，为用水量吨数在中的获奖家庭数，记随机变量，求的分布列和数学期望．
【答案】（Ⅰ）30万；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（1）由图，不低于3吨人数所占百分比为，解出即可得出．
（2）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，频率 ，，可得，得a．据题意可知随机变量的取值为0，2，4．利用相互独立、互斥事件的概率计算公式即可得出．
【详解】（Ⅰ）由图，不低于3吨人数所占百分比为
所以假设全市的人数为（万人），则有，解得
所以估计全市人数为30万.
（Ⅱ）由概率统计相关知识，各组频率之和的值为1，因为频率 ，
所以，得，
用水量在之间的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户，根据分层抽样的方法，总共需要抽取7户居民，所以用水量在之间应抽取的户数为户，而用水量在吨之间的户数为户．
据题意可知随机变量取值为0,2,4．
，
，
，
其分布列为：

0
2
4






期望为：．
【点睛】本题考查了相互独立、互斥事件的概率计算公式及其数学期望计算公式、频率分布直方图的性质及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19. 如图1，四边形ABCD为等腰梯形，AB＝4，AD＝DC＝CB＝2，△ADC沿AC折起，使得平面ADC⊥平面ABC，E为AB的中点，连接DE，DB（如图2）.

（1）求证：BC⊥AD
（2）求直线DE与平面BCD所成的角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）证明AC⊥BC，结合平面ADC⊥平面ABC，推导出BC⊥平面ADC，然后证明BC⊥AD；
（2）取AC中点F，连结DF，EF，得到FA，FE，FD两两垂直，以FA，FE，FD所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出它们的法向量，设直线DE与平面BCD所成角为θ，利用向量求线面角即可.
【详解】（1）在图1中，作CH⊥AB于H，

则BH，AH，
∵BC＝2，
∴CH，CA，所以，
∴AC⊥BC，
∵平面ADC⊥平面ABC，且平面ADC∩平面ABC＝AC，
∴BC⊥平面ADC，
又AD⊂平面ADC，
∴BC⊥AD.
（2）取AC中点F，连结DF，FE，
由题意知FA，FE，FD两两垂直，
以FA，FE，FD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图，

E（0，，0），D（0，0，），C（，0，0），
（0，），（0，﹣2，0），（，0，），
设（x，y，z）是平面BCD的法向量，
则，取x＝1，（1，0，），
设直线DE与平面BCD所成的角为θ，
则sinθ＝，
∴直线DE与平面BCD所成角的正弦值为.
【点睛】本题主要考查线面垂直的证明，线面角的正弦值的求法，空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，属于中档题.
20. 已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.
(1)求p的值;
(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.
【答案】（1）；（2）
【解析】
分析】
（1）抛物线定义知|，则 ，求得x0=2p，代入抛物线方程， ；
（2）由（1）得M（1，1），拋物线C：y2=2x，
当直线l经过点Q（3，-1）且垂直于x轴时，直线AM的斜率 ，直线BM的斜率 ， ．
当直线l不垂直于x轴时，直线l的方程为y+1=k（x-3），代入抛物线方程，由韦达定理及斜率公式求得 ，即可证明直线AM与直线BM的斜率之积为常数．
【详解】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,
又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.
(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.
当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),
则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.
当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),
则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.
设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).
联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,
所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.
综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率公式及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．
21. 已知，函数，．
求证：；
讨论函数零点的个数．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
设，则，从而，且，利用导数性质能证明；
，，由，得到方程有两个不相等的实根，设，则，从而是减函数，由此利用导数性质能求出零点的个数．
【详解】证明：设，则，
，且，
当时，，递增，
当时，，递减，
，，
，
．
解：，，
，，
，方程有两个不相等的实根，分别为，
，且，
，
当时，，递减，当时，，递增，
，，
，即，
．
设，则，是减函数，
当，即时，，
函数只有一个零点，
当，即时，，
函数没有零点，
当，即时，，且，
由知，，
若，则有，
，
函数有且只有一个大于的零点，
又，即函数在区间有且只有一个零点，
综上，当时，函数有两个零点；当时，函数只有一个零点，
当时，函数没有零点．
【点睛】本题考查不等式的证明，考查函数的零点个数的求法，考查函数性质、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，分类讨论与整合思想，是中档题．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中t为参数）.以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线C2的极坐标方程为.
（1）把曲线C1的方程化为普通方程，C2的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线C1，C2相交于A，B两点，AB的中点为P，过点P做曲线C2的垂线交曲线C1于E，F两点，求|PE|•|PF|.
【答案】（1）y2＝4x；x﹣y﹣1＝0（2）16
【解析】
【分析】
（1）曲线C1消去参数即可得出普通方程，曲线C2利用即可化直角坐标方程；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为P（x0，y0），联立抛物线与直线的方程，利用根与系数的关系、中点坐标公式可得x03，y0＝2，进而得到线段AB的中垂线的参数方程为（t为参数），代入抛物线方程，利用参数的意义即可得出.
【详解】（1）曲线C1的参数方程为（其中t为参数），消去参数可得y2＝4x.
曲线C2的极坐标方程为.展开为（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x﹣y﹣1＝0.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），且中点为P（x0，y0），
联立，解得x2﹣6x+1＝0，
∴x1+x2＝6，x1x2＝1.
∴x03，y0＝2.
线段AB的中垂线的参数方程为为（t为参数），
代入y2＝4x，可得t2+8t﹣16＝0，
∴t1t2＝﹣16，
∴|PE|•|PF|＝|t1t2|＝16.
【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、参数的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.
[选修4-5：不等式选讲]
23. 已知函数.
（1）解不等式；
（2）若，，，试比较，的大小.
【答案】(1) 或 (2) .
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段将绝对值去掉，分段讨论解不等式.
(2)用作差法，化简因式分解可得大小关系.
【详解】【详解】
(1)
不等式.
即是 或或
解得：或
所以不等式的解为：或
（2）



因为，，所以，
所以
即
所以.
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和证明，考查分类讨论思想，属于中档题.