2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三下学期第一次模拟数学试题含解析

2023届安徽省滁州市定远县民族中学高三下学期第一次模拟数学试题

一、单选题

1．设集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解集合A中的不等式，求集合B中函数的值域，得到两个集合，再求交集.

【详解】由，解得，

又，函数单调递增，则，

，得

故选：C

2．已知复数（是虚数单位），设，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】B

【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法运算求出，再根据复数的模的计算公式即可得解.

【详解】解：由已知，

所以.

故选：B.

3．某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如下表：

若依据表中数据画出散点图，则样本点都在曲线附近波动.但由于某种原因表中一个值被污损，将方程作为回归方程，则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为（       ）A．              B．1.69              C．1.96              D．4.32

【答案】C

【解析】令，根据线性回归中心点在回归直线上，求出，得出，即可求解.

【详解】设缺失的数据为，则样本数据如下表所示：

其回归直线方程为，由表中数据可得，

，

由线性回归方程得，，

即，解得.

故选:C.

【点睛】本题考查线性回归方程的应用，换元是解题的关键，掌握回归中心点在线性回归直线上，考查计算求解能力，属于中档题.

4．已知向量，，，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由向量线性运算的坐标表示，向量共线的坐标公式，计算即可.

【详解】根据题意，向量，，则；

若，且，

则有，解可得；

故选：A．

5．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性求出的范围，即可解出．

【详解】因为，，，所以．

故选：D．

6．如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，即可得出结果.

【详解】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，

设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，

∴且为平面BDF的一个法向量.

由，，

可得平面BCF的一个法向量为

.故选：D

7．已知双曲线的左右焦点分别为，，点是双曲线右支上一点，点是线段上一点，且，，则该双曲线的离心率为（    ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】首先设，，利用双曲线的定义和余弦定理得到，根据得到，化简整理即可得到，再求离心率即可.

【详解】设，，则，如图所示：

由余弦定理得，

即，

所以，

从而.

因为，

所以，

整理得：，

即，整理得，

解得或（舍去），

所以，，.

故选：B

【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于难题.

8．小李年初向银行贷款万元用于购房，购房贷款的年利率为，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分次等额还清，每年次，问每年应还（ ）万元.

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】设出每年应还款的数额，分别求出10年还款的现金与利息和以及银行贷款10年后的本利和，列等式后求得每年应还款数．

【详解】设每年应还万元，则有，

得 ，

解得．

故选：B．

二、多选题

9．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象可以由的图象向右平移个长度单位得到

B．，则

C．是偶函数

D．在区间上单调递增

【答案】AD

【分析】根据函数平移可判断A,根据最值点的与周期的关系可判断B,根据偶函数的特征可判断C,整体代入验证法可判断D.

【详解】对于A,的图象向右平移个长度单位得到，故A正确，

对于B，因为，由可知为最值，又故,故B错误，

对于C,为奇函数，故错误，

对于D,，故在区间上单调递增，正确，

故选：AD

10．如图，AE⊥平面ABCD，CF//AE，AD// BC，AD⊥AB，AE= BC=2，AB=AD=1，，则（    ）

A．BD⊥EC

B．BF//平面ADE

C．二面角E- BD-F的余弦值为

D．直线CE与平面BDE所成角的正弦值为

【答案】BC

【分析】建立空间直角坐标系，逐项验证，即可求解.

【详解】以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，可得A（0，0，0）， B（1，0，0），C（1，2，0），D（0，1，0），E（0，0，2），F（1，2，），=（-1，1，0），=（1，2，-2），，则BD，EC不垂直，则A错误；

（1，0，0）是平面ADE的法向量，又= （0，2，），可得=0，又因为直线BF平面ADE，所以BF//平面ADE，则B正确；

设为平面BDF的一个法向量，则即令b=1，可得，.依题意，=（-1，1，0），=（-1，0，2），=（-1.-2.2）.设为平面BDE的法向量，则即令z=1，可得.所以，.则C正确；

，则D错误.

故选BC.

11．过平面内一点P作曲线两条互相垂直的切线，切点为P1、P2(P1、P2不重合），设直线分别与y轴交于点A，B，则下列结论正确的是（    ）

A．P1、P2两点的横坐标之积为定值

B．直线P1P2的斜率为定值

C．线段AB的长度为定值

D．三角形ABP面积的取值范围为(0，1]

【答案】ABC

【分析】A.由条件可知两条直线的斜率存在时，斜率之积为-1，讨论的位置，即可判断；

B.由两点的坐标，表示直线的斜率，即可判断；

C.分别求切线方程，并表示点的坐标，即可求线段的长度；

D.根据切线方程，求交点的横坐标，因为为定值，即转化为求点的横坐标的取值范围.

【详解】因为，

所以，当时，；当时，，

不妨设点，的横坐标分别为，且，

若时，直线，的斜率分别为，，此时，不合题意；

若时，则直线，的斜率分别为，，此时，不合题意.

所以或，则，，

由题意可得，可得，

若，则；若，则，不合题意，所以，选项A对；

对于选项B，易知点，，

所以，直线的斜率为，选项B对；

对于选项C，直线的方程为，令可得，即点，

直线的方程为，令可得，即点，

所以，，选项C对；

对于选项D，联立可得，

令，其中，则，

所以，函数在上单调递增，则当时，，

所以，，选项D错.

故选：ABC.

12．某省年美术联考约有名学生参加，现从考试的科目素描满分分中随机抽取了名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成组：，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（    ）

A．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于分

B．用样本估计总体，全省该项科目分数小于分的考生约为人

C．若样本中分数小于的考生有人，则可估计总体中分数在区间内约人

D．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为分

【答案】AD

【分析】由样本和总体的关系判断选项A；利用样本频率计算总体中的频数判断选项BC；利用频率分布直方图中位数的算法计算中位数判断选项D.

【详解】由题意可知，在个样本中，该项科目分数是均不高于分，样本可以用来估计总体，但不能代替总体，在其余名考生中，该项科目分数中可能有高于分的，故选项A不正确；

在样本中，分数不低于分的频率为，

则样本中分数小于分的频率为，

若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于分的考生约为人，故选项B正确；

在样本中，成绩低于分的频率为，

当分数小于的考生有人时，其频率为，则分数在区间内的频率为，

用样本估计总体，则全省考生中分数在区间内约人，故选项C正确；

用样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区间内，且等于分，故选项D不正确．

故选：AD．

三、填空题

13．若的展开式中项的系数为-160，则的最小值为_______

【答案】16

【分析】求出的展开式的通项公式，得到，求出，再利用重要不等式，求出最小值.

【详解】展开式的通项公式为，

令，解得：，

故，所以，

解得：，

所以，当且仅当时，等号成立，

故的最小值为16.

故答案为：16

14．梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆，湖南，湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰．某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为，在点B处测得P的仰角为，则金顶P的海拔为________米．（结果精确到整数部分，取）

【答案】2494

【分析】先求出，然后加上400米即可

【详解】设米，依题意可得，则．因为，所以，则，所以米，故金顶P的海拔为米．

故答案为：2494

15．2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩难求甲、乙、丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，丙购买到冰墩墩的概率为，则甲，乙，丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为_________．

【答案】##

【分析】先算出甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率，然后算出丙购买不到冰墩墩的概率，进而算出甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，最后算出答案.

【详解】因为甲乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为，所以甲乙2人均购买不到冰墩墩的概率.

同理，丙购买不到冰墩墩的概率.

所以，甲乙丙3人都购买不到冰墩墩的概率，

于是甲乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率.

故答案为：.

16．若 ，则的值 ___________________.

【答案】

【分析】根据赋值法分别令、，然后可得.

【详解】令，得，令，得，所以

故答案为：

四、解答题

17．在中，

（1）求的值；

（2）若，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）利用余弦定理可求得的值；

（2）利用二倍角的正弦公式求出的值，然后利用正弦定理可求得的值.

【详解】（1）因为在中，，所以，；

（2）由（1）知，，所以

因为，所以

又因为，由正弦定理，可得

18．已知数列{an}中，a1＝1，其前n项和Sn，满足an+1＝Sn+1（n∈N*）．

（1）求Sn；

（2）记bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由数列的递推式和等比数列的定义、通项公式，可得所求；

（2）求得，由数列的裂项相消求和，化简即可得到答案.

【详解】（1）当时，，又，

所以，

即，

在中，令，可得

因为，所以

故是首项为1，公比为2的等比数列，

其通项公式为，

所以.

（2）因为

所以

故

19．旨在全面提高国民体质和健康水平，1995年国务院颁布了《全民健身计划纲要》，并在2009年将每年8月8日设置为“全民健身日”，倡导全民做到每天参加--次以上的体育健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定．某小区为了调查居民的体育运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：

(1)求的值，并求这100位居民锻炼时间的中位数；

(2)若规定为第一组，依次往下，现采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，再从这6人中随机抽取2人进行跟踪调查，求这2人中，两组各有1人的概率．

【答案】(1)，中位数为

(2)

【分析】（1）根据频率和为1计算得到的值，再根据中位数定义解得答案.

（2）根据分层抽样的比例关系得到第三组的人数为，第五组的人数为，再计算概率得到答案.

【详解】（1）根据频率分布直方图，，

解得.

设中位数为，则，

解得.

（2）第三组的人数为：，第五组的人数为：，故.

20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB＝4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF＝BC.

（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；

（2）求点F到平面PCD的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）根据题意可得AE⊥平面PBC，进而可证明平面AEF⊥平面PBC；

（2）利用等体积法求点到面的距离.

【详解】（1）证明：因为PA⊥底面ABCD，BC底面ABCD，所以，又因为底面ABCD为正方形，所以，又因为AB平面PBC，PA平面PBC，且，所以BC⊥底面PAB，又因为AE平面PBA，所以，因为PA＝AB，E为PB的中点，所以，又因为PB平面PBC，BC平面PBC，所以AE⊥平面PBC，因为AE平面AEF，所以平面AEF⊥平面PBC；

（2）解：因为，，所以，又，所以

，因为，

设点B到平面PCD的距离为，

所以，

由BF＝BC，知点F到平面PCD的距离为.

21．已知椭圆C：1（a＞b＞0）过A（2，0），B（0，1）两点.

（1）求椭圆C的方程和离心率的大小；

（2）设M，N是y轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM与椭圆C的另一个交点为P，直线AN与椭圆C的另一个交点为Q，判断直线PQ与x轴的位置关系，并证明你的结论.

【答案】（1）；离心率（2）直线PQ与x轴平行；证明见解析

【解析】（1）依题意得a＝2，b＝1，写出椭圆C的方程，求解离心率的大小即可.

（2）设M，N坐标为（0，m），（0，n），则，m≠0，n≠0，由A（2，0），M（0，m）得直线AM的方程为，联立，求出P的纵坐标，Q纵坐标，然后推出结果.

解法二：设直线AM的方程为x＝ty+2（t≠0），直线AN的方程为x＝sy+2（s≠0）令x＝0得tyM＝﹣2，M坐标为，同理N坐标为，推出yP＝yQ≠0，直线PQ与x轴平行.

解法三：设直线AM的方程为y＝k1（x﹣2），k1≠0，直线AN的方程为y＝k2（x﹣2），k2≠0，令x＝0得M坐标为（0，﹣2k1），同理N坐标为（0，﹣2k2），得到4k1k2＝1，代入椭圆方程求出P的纵坐标，Q的纵坐标，即可得到结果.

【详解】（1）依题意得a＝2，b＝1，所以椭圆C的方程为，，

离心率的大小.

（2）解法一、因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，

设M，N坐标为（0，m），（0，n），则，m≠0，n≠0

由A（2，0），M（0，m）得直线AM的方程为，，

整理得（m2+1）y2﹣2my＝0或（m2+1）x2﹣4m2x+4m2﹣4＝0，

得交点P的纵坐标为，

同理交点Q的纵坐标为，

所以yP＝yQ≠0，直线PQ与x轴平行.

解法二：

设直线AM的方程为x＝ty+2（t≠0），直线AN的方程为x＝sy+2（s≠0），

令x＝0得tyM＝﹣2，M坐标为，同理N坐标为，

因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以st＝4，，

整理得（t2+4）y2+4ty＝0或（t2+4）x2﹣16x+16﹣4t2＝0，

得交点P的纵坐标为，

同理得，

所以yP＝yQ≠0，直线PQ与x轴平行.

解法三：

设直线AM的方程为y＝k1（x﹣2），k1≠0，直线AN的方程为y＝k2（x﹣2），k2≠0

令x＝0得M坐标为（0，﹣2k1），同理N坐标为（0，﹣2k2），

因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以4k1k2＝1，

代入椭圆方程得，，

或所以，

得交点P的纵坐标为，

同理得，

所以yP＝yQ≠0，直线PQ与x轴平行.

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程以及简单性质的应用，还考查分析问题解决问题运算求解的能力，属于中档题.

22．已知函数．

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)当时，若关于x的不等式恒成立，试求a的取值范围．

【答案】(1)的减区间为，增区间为

(2)

【分析】（1）利用导数求得的单调区间.

（2）利用分离参数法，结合构造函数法以及导数求得的取值范围.

【详解】（1）当时，，

，

所以在区间递减；在区间递增.

所以的减区间为，增区间为.

（2），恒成立.

构造函数，，

，

构造函数，，

所以在上递增，，

所以在上成立，

所以，

所以，即的取值范围是.