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高考数学一轮复习教案 第6章_第1节_不等式的性质与一元二次不等式(含答案解析)
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1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a-b>0⇔a>ba,b∈R,,a-b=0⇔a=ba,b∈R,,a-b<0⇔a<ba,b∈R;))
(2)作商法eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a,b)>1⇔a>ba∈R,b>0,,\f(a,b)=1⇔a=ba∈R,b>0,,\f(a,b)<1⇔a<ba∈R,b>0.))
2.不等式的性质
(1)对称性:a>b⇔bb,b>c⇒a>c;(单向性)
(3)可加性:a>b⇔a+c>b+c;(双向性)
(4)加法法则:a>b,c>d⇒a+c>b+d;(单向性)
(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;(单向性)
a>b,c0,c>d>0⇒ac>bd;(单向性)
(7)乘方法则:a>b>0⇒an>bn(n≥2,n∈N);(单向性)
(8)开方法则:a>b>0⇒eq \r(n,a)>eq \r(n,b)(n≥2,n∈N);(单向性)
3.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
eq \([常用结论])
1.有关分数的性质
若a>b>0,m>0,则
(1)eq \f(b,a)<eq \f(b+m,a+m);eq \f(b,a)>eq \f(b-m,a-m)(b-m>0);
(2)eq \f(a,b)>eq \f(a+m,b+m);eq \f(a,b)<eq \f(a-m,b-m)(b-m>0).
2.有关倒数的性质
a>b,ab>0⇒eq \f(1,a)<eq \f(1,b).
3.a>b>0,0<c<d⇒eq \f(a,c)>eq \f(b,d).
4.简单的分式不等式
(1)eq \f(fx,gx)≥0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx·gx≥0,,gx≠0;))
(2)eq \f(fx,gx)>0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fxgx>0,,gx≠0.))
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)a>b⇔ac2>bc2.( )
(2)a>b>0,c>d>0⇒eq \f(a,d)>eq \f(b,c).( )
(3)若不等式ax2+bx+c0.( )
(4)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2.(教材改编)下列四个结论,正确的是( )
①a>b,cb-d;
②a>b>0,cb>0⇒eq \r(3,a)>eq \r(3,b);
④a>b>0⇒eq \f(1,a2)>eq \f(1,b2).
A.①② B.②③ C.①④ D.①③
D [利用不等式的同向可加性可知①正确;对于②,根据不等式的性质可知acb>0可知a2>b2>0,所以eq \f(1,a2)y>0,则( )
A.eq \f(1,x)-eq \f(1,y)>0 B.sin x-sin y>0
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x-eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))y0
C [函数y=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x在(0,+∞)上为减函数,∴当x>y>0时,eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x0⇒eq \f(1,x)0时,不能比较sin x与sin y的大小,故B错误;x>y>0⇒xy>0eq \(⇒,/)ln(xy)>0eq \(⇒,/)ln x+ln y>0,故D错误.]
3.若a=20.6,b=lgπ3,c=lg2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(2π,5))),则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
A [因为a=20.6>20=1,又lgπ1<lgπ3<lgππ,所以0<b<1,c=lg2sineq \f(2π,5)<lg21=0,于是a>b>c.故选A.]
4.已知角α,β满足-eq \f(π,2)<α-β<eq \f(π,2),0<α+β<π,则3α-β的范围是________.
(-π,2π) [设3α-β=m(α-β)+n(α+β),则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m+n=3,,n-m=-1,))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m=2,,n=1,))
从而3α-β=2(α-β)+(α+β),
又-π<2(α-β)<π,0<α+β<π,
∴-π<2(α-β)+(α+β)<2π.]
[规律方法] 利用不等式的性质判断正误及求代数式的范围的方法
1利用不等式的范围判断正误时,常用两种方法:
一是直接使用不等式的性质逐个验证;二是利用特殊值法排除错误答案.
2比较大小常用的方法
①作差商法:作差商⇒变形⇒判断,
②构造函数法:利用函数的单调性比较大小,
③中间量法:利用中间量法比较两式大小,一般选取0或1作为中间量.
3由a
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