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2023年安徽省六安市霍邱县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年安徽省六安市霍邱县中考数学一模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年安徽省六安市霍邱县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中比−1小的数是( )
A. 0 B. −12 C. 3 D. − 2
2. 下列计算正确的是( )
A. x2÷x2=0 B. (−2x)2=−4x2 C. x6÷x3=x2 D. (x2)3=x6
3. 下列几何体中，从正面观察所看到的形状为圆的是( )
A. B. C. D.
4. 2022年，安徽省12315平台共为消费者挽回经济损失1.82亿元，将1.82亿用科学记数法表应为( )
A. 1.82×108 B. 18.2×108 C. 1.82×109 D. 18.2×109
5. 关于x的一元二次方程x2−2023x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
6. 甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩(单位：环)如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是( )
A. 他们训练成绩的平均数相同 B. 他们训练成绩的中位数不同
C. 他们训练成绩的众数不同 D. 他们训练成绩的方差不同
7. 一次函数y=kx−1的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是( )
A. (−2,5) B. (1,−5) C. (2,5) D. (1,−1)
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=2 3，AB=4 2，则BDCD的值为( )
A. 2
B. 153
C. 155
D. 33
9. 小军在复习圆的相关知识时，遇到下列四个命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③等弧所对的圆周角相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中真命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，则m+n=( )
A. −14 B. −6 C. −8 D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算 16−|−5|=______．
12. 分解因式：2a2−4a+2= ．
13. 点A(a,b)是一次函数y=2x−3与反比例函数y=9x的交点，则2a2b−ab2=______．
14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：
(1)AP= ______ ；
(2)当△QEP∽△ABP时，PQ= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
解方程：x−1x+1−1=6x2−1．
16. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,3)．
(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
17. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：22−12=2×1+1，
第2个等式：32−22=2×2+1，
第3个等式：42−32=2×3+1，
第4个等式：52−42=2×4+1，
按照以上规律，解决下列问题：
...
(1)写出第6个等式：______ ．
(2)写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的等式表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
如图，小陈在数学实践活动中，利用所学知识对他所在学校实验楼AB的高度进行测量，从小陈的教室走廊C处测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD=18m，求实验楼AB的高度(结果保留整数.参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)．
19. (本小题10.0分)
为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量
不超过210度
超过210度(超出部分的收费)
收费标准
每度0.5元
每度0.8元
(1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：______ ；
(2)小林家6月份用电x(x>210)度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：______ ；
(3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
20. (本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙O的切线，切点为F，FH//BC，连接AF交BC于E，连接BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)作∠ABC的平分线BD交AF于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(2)的条件下，若EF=4，DE=6，求tan∠EBF的值．
21. (本小题12.0分)
自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策.某学校在课后托管时间里开展了“A.音乐、B.体育、C.演讲、D.美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查(每人必选且只选一种)，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加调查的学生共有______ 人；条形统计图中m的值为______ ；扇形统计图中α的度数为______ ；
(2)根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；
(3)现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
22. (本小题12.0分)
祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元.经调查发现：其日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设日利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并说明日利润W随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
(3)若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围．
23. (本小题14.0分)
如图1，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．
(1)求证：∠AFE=60°；
(2)如图2，连接CF，若BD=13BC，判断CF与AD的位置关系并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G在AE上，GF的延长线交BD于H，当AG=FG=5时，请直接写出线段FH的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵− 2<−1<−12<0<3，
∴各数中比−1小的数是− 2，
故选：D．
将各数和−1进行大小排列即可．
此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2.【答案】D
【解析】解：A.x2÷x2=1，故本选项不符合题意；
B.(−2x)2=4x2，故本选项不符合题意；
C.x6÷x3=x3，故本选项不符合题意；
D.(x2)3=x6，正确，符合题意．
故选：D．
分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.从正面看是一个等腰三角形，故本选项不符合题意；
B.从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，故本选项不符合题意；
C.从正面看是一个圆，故本选项符合题意；
D.从正面看是一个矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：1.82亿=182000000=1.82×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(−2023)2−4×1×(−1)=20232+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出Δ=(−2023)2−4×1×(−1)=>0，然后根据判别式Δ=b2−4ac的意义即可判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为6+7+8+8+9+106=8(环)，中位数为8+82=8(环)、众数为8环，
方差为16×[(6−8)2+(7−8)2+2×(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=53，
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为7+7+8+8+8+96=476，中位数为8+82=8(环)、众数为8环，
方差为16×[2×(7−476)2+3×(8−476)2+(9−476)2]=1736，
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选D．
利用平均数、方差、众数和中位数的定义分别计算得出答案．
此题主要考查了平均数、中位数、方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵在一次函数y=kx−1中，y的值随x增大而增大，
∴k>0，且k≠0，
A.将(−2,5)代入y=kx−1中，得5=−2k−1，
解得：k=−3<0，故A选项不符合题意；
B.将(1,−5)代入y=kx−1中，得−5=k−1，
解得：k=−4<0，故B选项不符合题意；
C.将(2,5)代入y=kx−1中，得5=2k−1，
解得：k=3>0，故C选项符合题意；
D.将(1,−1)代入y=kx−1中，得−1=k−1，
解得：k=0，故D选项不符合题意．
故选：C．
根据题意可得k>0，且k≠0，将各选项的点的坐标分别代入一次函数y=kx−1中，求出k的值即可判断．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 3，AB=4 2，
∴BC= AB2−AC2=2 5，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
则BDCD=tan∠BCD=tanA=BCAC=2 52 3= 153．
故选：B．
先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据CD⊥AB得出∠BCD=∠A，继而可求得BDCD=tan∠BCD的值．
本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：不共线的三点确定一个圆，所以①为假命题；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以②为假命题；
等弧所对的圆周角相等，所以③为真命题；
平弦(非直径)的直径垂直于弦，所以④为假命题．
故选：A．
根据确定圆的条件对①进行判断；根据三角形外心的性质对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据垂径定理的推论对④进行判断．
本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了垂径定理、圆周角定理和确定圆的条件．
10.【答案】B
【解析】解：∵2a+b=2，
∴b=2−2a，
设y=2a2−4b
=2a2−4(2−2a)
=2a2+8a−8
=2(a2+4a−4)
=2(a2+4a+4−8)
=2[(a+2)2−8]
=2(a+2)2−16，
∵a≥0，b≥0，
∴a≥02−2a≥0，
解得：0≤a≤1，
∵2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a=−2，
当a>−2时，y随a的增大而增大，
当a=0时，y最小，即m=2×22−16=−8，
当a=1时，y最大，即n=2×32−16=2，
∴m+n=−8+2=−6．
故选：B．
先用a表示b，然后代入2a2−4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0确定a的取值范围，根据二次函数的增减性确定m，n的值，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围确定最大值和最小值是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解： 16−|−5|
=4−5
=−1．
故答案为：−1．
首先计算开方和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12.【答案】2(a−1)2
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=2(a2−2a+1)
=2(a−1)2．
故答案为：2(a−1)2．
13.【答案】27
【解析】解：∵点A(a,b)是一次函数y=2x−3与反比例函数y=9x的交点，
∴b=2a−3，ab=9，
即2a−b=3，ab=9，
∴原式=ab(2a−b)=9×3=27．
故答案为：27．
把点A(a,b)分别代入两个函数表达式，求出a−2b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标一定适合两函数的解析式是解答此题的关键．
14.【答案】2 5 5
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，
∵点P为BC的中点，
∴BP=CP=2，
∴AP= AB2+BP2= 4+16=2 5，
故答案为：2 5；
(2)∵△QEP∽△ABP，
∴EQEP=ABBP=2，∠APB=∠APQ，
∴EQ=2EP，
∵BC//AD，
∴∠APB=∠PAD，
∴∠PAD=∠APQ，
∴AQ=PQ，
又∵EQ⊥AP，
∴AE=EP= 5，
∴EQ=2 5，
∴PQ= EP2+EQ2= 5+20=5，
故答案为：5．
(1)由勾股定理可求解；
(2)由相似三角形的性质可求EQ=2EP，∠APB=∠APQ，由平行线的性质可证∠APB=∠PAD=∠APQ，可得AQ=PQ，由等腰三角形的性质可得AE=EP= 5，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出AE的长是解题的关键．
15.【答案】解：去分母得：(x−1)2−(x2−1)=6，
整理得：−2x+2=6，
解得：x=−2，
检验：x=−2时，分母x2−1≠0，
∴原方程的解为x=−2．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标(−4,2)．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
(2)延长OA到A2使OA2=2OA，延长OB到B2使OB2=2OB，延长OC到C2使OC2=2OC，从而得到△A2B2C2，再点A2的坐标．
本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
17.【答案】72−62=2×6+1 (n+1)2−n2=2n+1
【解析】解：(1)第6个等式是72−62=2×6+1，
故答案为：72−62=2×6+1；
(2)猜想：第n个等式是(n+1)2−n2=2n+1，
证明：∵(n+1)2−n2
=n2+2n+1−n2
=2n+1，
∴(n+1)2−n2=2n+1成立．
故答案为：(n+1)2−n2=2n+1．
(1)根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
(2)根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
18.【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD=18m，∠BCE=45°，∠ACE=33°，
在Rt△BCE中，∠BCE=45°，
∴BE=CE=CD=18m，
在Rt△ACE中，∠ACE=33°，CE=36m，
∴AE=CE⋅tan33°≈18×0.65≈11.7(m)，
∴AB=AE+BE=18+11.7=29.7≈30(m)，
答：居民楼AB的高度约为30m．
【解析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出AE、BE即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
19.【答案】90元 (0.8x−63)元
【解析】解：(1)0.5×180=90(元)．
故答案为：90元．
(2)依题意得：小林家6月份应付的电费为0.5×210+0.8(x−210)=(0.8x−63)(元)．
故答案为：(0.8x−63)元．
(3)设小林家11月份的用电量为y度．
∵0.5×210=105(元)，105<181，
∴y>210．
依题意得：0.8y−63=181，
解得：y=305．
答：小林家11月份的用电量为305度．
(1)利用小林家4月份应付的电费=0.5×小林家4月份的用电量，即可求出小林家4月份应付的电费；
(2)利用小林家6月份应付的电费=0.5×210+0.8×超出210度的部分，即可用含x的代数式表示出小林家6月份应付的电费；
(3)设小林家11月份的用电量为y度，求出用电量为210度时的应付电费，由该值小于181可得出y>210，由(2)的结论结合小林家11月份交付电费181元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出小林家11月份的用电量．
本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出小林家6月份应付的电费；(3)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
20.【答案】(1)证明：连接OF，
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH，
∵FH//BC，
∴OF⊥BC，
∴BF=CF，
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF平分∠BAC；
(2)解：如图：BD即是∠ABC的角平分线；
(3)解：∵∠ABD=∠CBD，∠BAF=∠CAF=∠CBF，且∠FBD=∠CBD+∠CBF，∠BDF=∠ABD+∠BAF，
∴∠FBD=∠BDF，
∴BF=DF=EF+DE=2+3=5，
∵∠AFB=∠BFE(公共角)，∠CBF=∠BAF，
∴△BEF∽△ABF，
∴BF：AF=EF：BF，
∴AF=BF2EF=252，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴tan∠EBF=tan∠BAF=BFAF=5252=25．
【解析】(1)首先连接OF，由FH是⊙O的切线，切点为F，FH//BC，易证得OF⊥BC，然后由垂径定理，求得AF平分∠BAC；
(2)根据角平分线的作法，求解即可求得∠ABC的角平分线；
(3)易证得△BDF是等腰三角形，即可求得BF的长，△BEF∽△ABF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，继而求得答案．
此题考查了切线的性质，角平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21.【答案】60 11 90°
【解析】解：(1)24÷40%=60(人)，
m=60−10−24−15=11，
α=360°×1560=90°，
故答案为：60，11，90°；
(2)1200×1060=200(人)，
∴参加调查的学生共有60人；条形统计图中m的值为11；扇形统计图中α的度数为90°；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有200人；
故答案为：200．
(3)画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16．
(1)利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数．根据m=60−10−24−15，α=360°×1560即可得出答案；
(2)用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐”社团的占比即可．
(3)画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将(60,120)、(80,80)代入，得：60k+b=12080k+b=80，
解得：k=−2b=240，
∴y=−2x+240；
(2)w=(x−50)(−2x+240)
=−2x2+340x−12000
=−2(x−85)2+2450，
∴当x=85时，w最大值=2450，
答：w与x之间的函数表达式为w=−2x2+340x−12000，售价为85元时获得最大利润，最大利润是2450元；
(3)−2(x−85)2+2500≥2450，
解得：75≤x≤105，
∵售价≤100，
∴售价范围为75≤x≤100，
答：售价x(元/千克)的范围为75≤x≤100．
【解析】(1)待定系数法求解可得；
(2)根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
(3)根据题意列出不等式−2(x−90)2+1800≥1350，利用二次函数的性质求解可得x的范围．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠BCEBD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
(2)解：CF⊥AD，理由如下：
如图，延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取FM的中点N，连接CN，
由(1)得：∠AFE=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴∠FAM=60°，AF=AM=FM，
∴∠BAC=∠FAM=∠AMF=60°，
∴∠BAC−∠CAD=∠FAM−∠CAD，
即∠BAF=∠CAM，
在△ABF和△ACM中，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAM，AF=AM，
∴△ABF≌△ACM(SAS)，
∴∠AFB=∠AMC=180°−60°=120°，
∴∠CME=∠AMC−∠AMF=120°−60°=60°，
∴∠AFM=∠CME，
∴CM//AF，
∴△AEF∽△CEM，
∴CMAF=CEAE，
∵BD=13BC，BD=CE，BC=AC，
∴CE=13AC，即CEAE=12，
∴CMAF=12，即AF=2CM，
∴FM=2CM，
∵点N是FM的中点，
∴FM=2FN=2MN，
∴CM=MN=FN，
又∵∠CMN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠MCN=∠MNC=60°，CN=MN，
∴CN=FN，
∴∠NFC=∠NCF=30°，
∴∠FCM=∠NCF+∠MCN=30°+60°=90°，
∴∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AD；
(3)解：如图，延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取AD的中点K，连接GK，
由(2)知：AF=FM=2CM，△ABF≌△ACM，CM//AF，∠AFC=90°，
∴△BDF∽△BCM，
∴DFCM=BDBC=13，
∴CM=3DF，
∴AF=6DF，
∴AD=7DF，
∵AG=FG=5，
∴∠CAF=∠AFG，
∵∠CAF+∠ACF=90°，∠AFG+∠CFG=90°，
∴∠ACF=∠CFG，
∴CG=FG=5=AG，
∴点G是AC的中点，AC=10=BC，
∵点K是AD的中点，
∴GK是△ACD的中位线，
∴GK//BC，GK=12CD=12×203=103，
∵AK=DK=12AD=72DF，
∴FK=DK−DF=52DF，
∵GK//BC，
∴△DFH∽△KFG，
∴DHGK=DFFK=25，
∴DH=25GK=25×103=43，
∵BD=13BC=103，
∴BH=BD−DH=103−43=2，
∵∠BFH=∠EFG=∠AFE−∠AFG=60°−∠AFG=60°−∠CAF=∠BAD=∠CBE，
∴FH=BH=2．
【解析】(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；
(2)延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取FM的中点N，连接CN，可证得△AFM是等边三角形，得出∠FAM=60°，AF=AM=FM，再证得△ABF≌△ACM(SAS)，推出∠AFM=∠CME，CM//AF，证得△AEF∽△CEM，推出FM=2CM，结合点N是FM的中点，得出CM=MN=FN，△CMN是等边三角形，进而可得∠MCN=∠MNC=60°，CN=MN，推出∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+30°=90°，即CF⊥AD；
(3)延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取AD的中点K，连接GK，可得△BDF∽△BCM，DFCM=BDBC=13，推出AD=7DF，再由GK是△ACD的中位线，可得GK//BC，GK=12CD=12×203=103，FK=DK−DF=52DF，再由△DFH∽△KFG，可得DHGK=DFFK=25，进而可得BH=2，再证得∠BFH=∠CBE，得出FH=BH=2．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形．
2023年安徽省六安市霍邱县中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数中比−1小的数是( )
A. 0 B. −12 C. 3 D. − 2
2. 下列计算正确的是( )
A. x2÷x2=0 B. (−2x)2=−4x2 C. x6÷x3=x2 D. (x2)3=x6
3. 下列几何体中，从正面观察所看到的形状为圆的是( )
A. B. C. D.
4. 2022年，安徽省12315平台共为消费者挽回经济损失1.82亿元，将1.82亿用科学记数法表应为( )
A. 1.82×108 B. 18.2×108 C. 1.82×109 D. 18.2×109
5. 关于x的一元二次方程x2−2023x−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
6. 甲、乙两名同学分别进行6次射击训练，训练成绩(单位：环)如下表
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
甲
9
8
6
7
8
10
乙
8
7
9
7
8
8
对他们的训练成绩作如下分析，其中说法正确的是( )
A. 他们训练成绩的平均数相同 B. 他们训练成绩的中位数不同
C. 他们训练成绩的众数不同 D. 他们训练成绩的方差不同
7. 一次函数y=kx−1的图象经过点M，且y的值随x增大而增大，则点M的坐标可能是( )
A. (−2,5) B. (1,−5) C. (2,5) D. (1,−1)
8. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若AC=2 3，AB=4 2，则BDCD的值为( )
A. 2
B. 153
C. 155
D. 33
9. 小军在复习圆的相关知识时，遇到下列四个命题：①三点确定一个圆；②三角形的外心到三边的距离相等；③等弧所对的圆周角相等；④平分弦的直径垂直于弦.其中真命题的个数为( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 若a≥0，b≥0，且2a+b=2，2a2−4b的最小值为m，最大值为n，则m+n=( )
A. −14 B. −6 C. −8 D. 2
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
11. 计算 16−|−5|=______．
12. 分解因式：2a2−4a+2= ．
13. 点A(a,b)是一次函数y=2x−3与反比例函数y=9x的交点，则2a2b−ab2=______．
14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，P为BC的中点，点Q在射线AD上，过点Q作QE⊥AP于点E，连接PQ，请探究下列问题：
(1)AP= ______ ；
(2)当△QEP∽△ABP时，PQ= ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题8.0分)
解方程：x−1x+1−1=6x2−1．
16. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,3)．
(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，位似比为2：1，在y轴的左侧，画出将△
ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
17. (本小题8.0分)
观察以下等式：
第1个等式：22−12=2×1+1，
第2个等式：32−22=2×2+1，
第3个等式：42−32=2×3+1，
第4个等式：52−42=2×4+1，
按照以上规律，解决下列问题：
...
(1)写出第6个等式：______ ．
(2)写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的等式表示)，并证明．
18. (本小题8.0分)
如图，小陈在数学实践活动中，利用所学知识对他所在学校实验楼AB的高度进行测量，从小陈的教室走廊C处测得点A的仰角为33°，测得点B的俯角为45°，已知观测点到地面的高度CD=18m，求实验楼AB的高度(结果保留整数.参考数据：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65)．
19. (本小题10.0分)
为鼓励节约能源，某电力公司特别出台了新的用电收费标准：
每户每月用电量
不超过210度
超过210度(超出部分的收费)
收费标准
每度0.5元
每度0.8元
(1)小林家4月份用电180度，则小林家4月份应付的电费为：______ ；
(2)小林家6月份用电x(x>210)度，请你用x表示小林家6月份应付的电费：______ ；
(3)小林家11月份交付电费181元，请利用方程的知识，求出小林家11月份的用电量．
20. (本小题10.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，FH是⊙O的切线，切点为F，FH//BC，连接AF交BC于E，连接BF．
(1)证明：AF平分∠BAC；
(2)作∠ABC的平分线BD交AF于点D；(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
(3)在(2)的条件下，若EF=4，DE=6，求tan∠EBF的值．
21. (本小题12.0分)
自从2021年7月国家出台“双减”政策以来，全国各地纷纷响应落实该政策.某学校在课后托管时间里开展了“A.音乐、B.体育、C.演讲、D.美术”四项社团活动，学校从全校1200名学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一种社团活动”的问卷调查(每人必选且只选一种)，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
(1)参加调查的学生共有______ 人；条形统计图中m的值为______ ；扇形统计图中α的度数为______ ；
(2)根据调查结果，请估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有多少人；
(3)现从“演讲”社团里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．
22. (本小题12.0分)
祁门红茶是中国名茶，某茶叶公司经销某品牌祁门红茶，每千克成本为50元，规定每千克售价需超过成本，但不高于90元.经调查发现：其日销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)设日利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式，并说明日利润W随售价x的变化而变化的情况以及最大日利润；
(3)若公司想获得不低于2000元日利润，请直接写出售价范围．
23. (本小题14.0分)
如图1，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，连接AD、BE交于点F．
(1)求证：∠AFE=60°；
(2)如图2，连接CF，若BD=13BC，判断CF与AD的位置关系并说明理由；
(3)如图3，在(2)的条件下，点G在AE上，GF的延长线交BD于H，当AG=FG=5时，请直接写出线段FH的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵− 2<−1<−12<0<3，
∴各数中比−1小的数是− 2，
故选：D．
将各数和−1进行大小排列即可．
此题考查了实数的大小比较能力，关键是能准确理解并运用该知识．
2.【答案】D
【解析】解：A.x2÷x2=1，故本选项不符合题意；
B.(−2x)2=4x2，故本选项不符合题意；
C.x6÷x3=x3，故本选项不符合题意；
D.(x2)3=x6，正确，符合题意．
故选：D．
分别根据同底数幂的除法法则，积的乘方运算法则，同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A.从正面看是一个等腰三角形，故本选项不符合题意；
B.从正面看是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的实线，故本选项不符合题意；
C.从正面看是一个圆，故本选项符合题意；
D.从正面看是一个矩形，故本选项不符合题意；
故选：C．
利用从正面看到的图叫做主视图判断即可．
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度得出正确视图是解题关键．
4.【答案】A
【解析】解：1.82亿=182000000=1.82×108．
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(−2023)2−4×1×(−1)=20232+4>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算出Δ=(−2023)2−4×1×(−1)=>0，然后根据判别式Δ=b2−4ac的意义即可判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
6.【答案】D
【解析】解：∵甲6次射击的成绩从小到大排列为6、7、8、8、9、10，
∴甲成绩的平均数为6+7+8+8+9+106=8(环)，中位数为8+82=8(环)、众数为8环，
方差为16×[(6−8)2+(7−8)2+2×(8−8)2+(9−8)2+(10−8)2]=53，
∵乙6次射击的成绩从小到大排列为：7、7、8、8、8、9，
∴乙成绩的平均数为7+7+8+8+8+96=476，中位数为8+82=8(环)、众数为8环，
方差为16×[2×(7−476)2+3×(8−476)2+(9−476)2]=1736，
则甲、乙两人的平均成绩不相同、中位数和众数均相同，而方差不相同，
故选D．
利用平均数、方差、众数和中位数的定义分别计算得出答案．
此题主要考查了平均数、中位数、方差以及众数的定义等知识，正确掌握相关定义是解题关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵在一次函数y=kx−1中，y的值随x增大而增大，
∴k>0，且k≠0，
A.将(−2,5)代入y=kx−1中，得5=−2k−1，
解得：k=−3<0，故A选项不符合题意；
B.将(1,−5)代入y=kx−1中，得−5=k−1，
解得：k=−4<0，故B选项不符合题意；
C.将(2,5)代入y=kx−1中，得5=2k−1，
解得：k=3>0，故C选项符合题意；
D.将(1,−1)代入y=kx−1中，得−1=k−1，
解得：k=0，故D选项不符合题意．
故选：C．
根据题意可得k>0，且k≠0，将各选项的点的坐标分别代入一次函数y=kx−1中，求出k的值即可判断．
本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，熟知一次函数的性质是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2 3，AB=4 2，
∴BC= AB2−AC2=2 5，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD+∠B=90°，
∵∠A+∠B=90°，
∴∠BCD=∠A，
则BDCD=tan∠BCD=tanA=BCAC=2 52 3= 153．
故选：B．
先根据勾股定理求得BC的长度，然后根据CD⊥AB得出∠BCD=∠A，继而可求得BDCD=tan∠BCD的值．
本题考查解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：不共线的三点确定一个圆，所以①为假命题；
三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以②为假命题；
等弧所对的圆周角相等，所以③为真命题；
平弦(非直径)的直径垂直于弦，所以④为假命题．
故选：A．
根据确定圆的条件对①进行判断；根据三角形外心的性质对②进行判断；根据圆周角定理对③进行判断；根据垂径定理的推论对④进行判断．
本题考查了命题与定理：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．也考查了垂径定理、圆周角定理和确定圆的条件．
10.【答案】B
【解析】解：∵2a+b=2，
∴b=2−2a，
设y=2a2−4b
=2a2−4(2−2a)
=2a2+8a−8
=2(a2+4a−4)
=2(a2+4a+4−8)
=2[(a+2)2−8]
=2(a+2)2−16，
∵a≥0，b≥0，
∴a≥02−2a≥0，
解得：0≤a≤1，
∵2>0，
∴抛物线开口向上，对称轴为a=−2，
当a>−2时，y随a的增大而增大，
当a=0时，y最小，即m=2×22−16=−8，
当a=1时，y最大，即n=2×32−16=2，
∴m+n=−8+2=−6．
故选：B．
先用a表示b，然后代入2a2−4b中，利用配方法进行配方，再根据a≥0，b≥0确定a的取值范围，根据二次函数的增减性确定m，n的值，即可得出答案．
本题主要考查了二次函数的最值问题，用a表示b，转化为关于a的二次函数，根据a的取值范围确定最大值和最小值是解题的关键．
11.【答案】−1
【解析】解： 16−|−5|
=4−5
=−1．
故答案为：−1．
首先计算开方和绝对值，然后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
12.【答案】2(a−1)2
【解析】
【分析】
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用．掌握因式分解的常见方法是解题的关键．
原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】
解：原式=2(a2−2a+1)
=2(a−1)2．
故答案为：2(a−1)2．
13.【答案】27
【解析】解：∵点A(a,b)是一次函数y=2x−3与反比例函数y=9x的交点，
∴b=2a−3，ab=9，
即2a−b=3，ab=9，
∴原式=ab(2a−b)=9×3=27．
故答案为：27．
把点A(a,b)分别代入两个函数表达式，求出a−2b与ab的值，代入代数式进行计算即可．
本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟知反比例函数与一次函数的交点坐标一定适合两函数的解析式是解答此题的关键．
14.【答案】2 5 5
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=4，
∵点P为BC的中点，
∴BP=CP=2，
∴AP= AB2+BP2= 4+16=2 5，
故答案为：2 5；
(2)∵△QEP∽△ABP，
∴EQEP=ABBP=2，∠APB=∠APQ，
∴EQ=2EP，
∵BC//AD，
∴∠APB=∠PAD，
∴∠PAD=∠APQ，
∴AQ=PQ，
又∵EQ⊥AP，
∴AE=EP= 5，
∴EQ=2 5，
∴PQ= EP2+EQ2= 5+20=5，
故答案为：5．
(1)由勾股定理可求解；
(2)由相似三角形的性质可求EQ=2EP，∠APB=∠APQ，由平行线的性质可证∠APB=∠PAD=∠APQ，可得AQ=PQ，由等腰三角形的性质可得AE=EP= 5，由勾股定理可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，求出AE的长是解题的关键．
15.【答案】解：去分母得：(x−1)2−(x2−1)=6，
整理得：−2x+2=6，
解得：x=−2，
检验：x=−2时，分母x2−1≠0，
∴原方程的解为x=−2．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
16.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标(−4,2)．
【解析】(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可；
(2)延长OA到A2使OA2=2OA，延长OB到B2使OB2=2OB，延长OC到C2使OC2=2OC，从而得到△A2B2C2，再点A2的坐标．
本题考查了作图−位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．也考查了旋转变换．
17.【答案】72−62=2×6+1 (n+1)2−n2=2n+1
【解析】解：(1)第6个等式是72−62=2×6+1，
故答案为：72−62=2×6+1；
(2)猜想：第n个等式是(n+1)2−n2=2n+1，
证明：∵(n+1)2−n2
=n2+2n+1−n2
=2n+1，
∴(n+1)2−n2=2n+1成立．
故答案为：(n+1)2−n2=2n+1．
(1)根据题目中等式的特点，可以写出第5个等式；
(2)根据题目中等式的特点，可以写出猜想，然后将等式左边和右边展开，看是否相等，即可证明猜想．
本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点，写出相应的等式和猜想，并证明．
18.【答案】解：如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E，
由题意得，CD=18m，∠BCE=45°，∠ACE=33°，
在Rt△BCE中，∠BCE=45°，
∴BE=CE=CD=18m，
在Rt△ACE中，∠ACE=33°，CE=36m，
∴AE=CE⋅tan33°≈18×0.65≈11.7(m)，
∴AB=AE+BE=18+11.7=29.7≈30(m)，
答：居民楼AB的高度约为30m．
【解析】通过作高，构造直角三角形，在两个直角三角形中用直角三角形的边角关系可求出AE、BE即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
19.【答案】90元 (0.8x−63)元
【解析】解：(1)0.5×180=90(元)．
故答案为：90元．
(2)依题意得：小林家6月份应付的电费为0.5×210+0.8(x−210)=(0.8x−63)(元)．
故答案为：(0.8x−63)元．
(3)设小林家11月份的用电量为y度．
∵0.5×210=105(元)，105<181，
∴y>210．
依题意得：0.8y−63=181，
解得：y=305．
答：小林家11月份的用电量为305度．
(1)利用小林家4月份应付的电费=0.5×小林家4月份的用电量，即可求出小林家4月份应付的电费；
(2)利用小林家6月份应付的电费=0.5×210+0.8×超出210度的部分，即可用含x的代数式表示出小林家6月份应付的电费；
(3)设小林家11月份的用电量为y度，求出用电量为210度时的应付电费，由该值小于181可得出y>210，由(2)的结论结合小林家11月份交付电费181元，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出小林家11月份的用电量．
本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出小林家6月份应付的电费；(3)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
20.【答案】(1)证明：连接OF，
∵FH是⊙O的切线，
∴OF⊥FH，
∵FH//BC，
∴OF⊥BC，
∴BF=CF，
∴∠BAF=∠CAF，
∴AF平分∠BAC；
(2)解：如图：BD即是∠ABC的角平分线；
(3)解：∵∠ABD=∠CBD，∠BAF=∠CAF=∠CBF，且∠FBD=∠CBD+∠CBF，∠BDF=∠ABD+∠BAF，
∴∠FBD=∠BDF，
∴BF=DF=EF+DE=2+3=5，
∵∠AFB=∠BFE(公共角)，∠CBF=∠BAF，
∴△BEF∽△ABF，
∴BF：AF=EF：BF，
∴AF=BF2EF=252，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∴tan∠EBF=tan∠BAF=BFAF=5252=25．
【解析】(1)首先连接OF，由FH是⊙O的切线，切点为F，FH//BC，易证得OF⊥BC，然后由垂径定理，求得AF平分∠BAC；
(2)根据角平分线的作法，求解即可求得∠ABC的角平分线；
(3)易证得△BDF是等腰三角形，即可求得BF的长，△BEF∽△ABF，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，继而求得答案．
此题考查了切线的性质，角平分线的作法、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂径定理、圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21.【答案】60 11 90°
【解析】解：(1)24÷40%=60(人)，
m=60−10−24−15=11，
α=360°×1560=90°，
故答案为：60，11，90°；
(2)1200×1060=200(人)，
∴参加调查的学生共有60人；条形统计图中m的值为11；扇形统计图中α的度数为90°；根据调查结果，可估计该校1200名学生中最喜欢“音乐”社团的约有200人；
故答案为：200．
(3)画树状图如图：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16．
(1)利用24÷40%即可求出参加问卷调查的学生人数．根据m=60−10−24−15，α=360°×1560即可得出答案；
(2)用该校总人数乘以样本中最喜欢“音乐”社团的占比即可．
(3)画树状图列出所有等可能的结果，再找出恰好选中甲、乙两名同学的结果，利用概率公式可得出答案．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、列表法与树状图法，熟练掌握条形统计图与扇形统计图、用样本估计总体以及列表法与树状图法求概率是解答本题的关键．
22.【答案】解：(1)设y=kx+b，
将(60,120)、(80,80)代入，得：60k+b=12080k+b=80，
解得：k=−2b=240，
∴y=−2x+240；
(2)w=(x−50)(−2x+240)
=−2x2+340x−12000
=−2(x−85)2+2450，
∴当x=85时，w最大值=2450，
答：w与x之间的函数表达式为w=−2x2+340x−12000，售价为85元时获得最大利润，最大利润是2450元；
(3)−2(x−85)2+2500≥2450，
解得：75≤x≤105，
∵售价≤100，
∴售价范围为75≤x≤100，
答：售价x(元/千克)的范围为75≤x≤100．
【解析】(1)待定系数法求解可得；
(2)根据“总利润=每千克利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况；
(3)根据题意列出不等式−2(x−90)2+1800≥1350，利用二次函数的性质求解可得x的范围．
本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及二次函数的性质．
23.【答案】(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，
AB=BC∠ABD=∠BCEBD=CE，
∴△ABD≌△BCE(SAS)，
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，
∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
(2)解：CF⊥AD，理由如下：
如图，延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取FM的中点N，连接CN，
由(1)得：∠AFE=60°，
∴△AFM是等边三角形，
∴∠FAM=60°，AF=AM=FM，
∴∠BAC=∠FAM=∠AMF=60°，
∴∠BAC−∠CAD=∠FAM−∠CAD，
即∠BAF=∠CAM，
在△ABF和△ACM中，
∵AB=AC，∠BAF=∠CAM，AF=AM，
∴△ABF≌△ACM(SAS)，
∴∠AFB=∠AMC=180°−60°=120°，
∴∠CME=∠AMC−∠AMF=120°−60°=60°，
∴∠AFM=∠CME，
∴CM//AF，
∴△AEF∽△CEM，
∴CMAF=CEAE，
∵BD=13BC，BD=CE，BC=AC，
∴CE=13AC，即CEAE=12，
∴CMAF=12，即AF=2CM，
∴FM=2CM，
∵点N是FM的中点，
∴FM=2FN=2MN，
∴CM=MN=FN，
又∵∠CMN=60°，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠MCN=∠MNC=60°，CN=MN，
∴CN=FN，
∴∠NFC=∠NCF=30°，
∴∠FCM=∠NCF+∠MCN=30°+60°=90°，
∴∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+30°=90°，
∴CF⊥AD；
(3)解：如图，延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取AD的中点K，连接GK，
由(2)知：AF=FM=2CM，△ABF≌△ACM，CM//AF，∠AFC=90°，
∴△BDF∽△BCM，
∴DFCM=BDBC=13，
∴CM=3DF，
∴AF=6DF，
∴AD=7DF，
∵AG=FG=5，
∴∠CAF=∠AFG，
∵∠CAF+∠ACF=90°，∠AFG+∠CFG=90°，
∴∠ACF=∠CFG，
∴CG=FG=5=AG，
∴点G是AC的中点，AC=10=BC，
∵点K是AD的中点，
∴GK是△ACD的中位线，
∴GK//BC，GK=12CD=12×203=103，
∵AK=DK=12AD=72DF，
∴FK=DK−DF=52DF，
∵GK//BC，
∴△DFH∽△KFG，
∴DHGK=DFFK=25，
∴DH=25GK=25×103=43，
∵BD=13BC=103，
∴BH=BD−DH=103−43=2，
∵∠BFH=∠EFG=∠AFE−∠AFG=60°−∠AFG=60°−∠CAF=∠BAD=∠CBE，
∴FH=BH=2．
【解析】(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABD=∠BCE=60°，AB=AC=BC，又BD=CE，所以用“SAS”可判定△ABD≌△BCE，根据全等三角形的性质得出∠BAD=∠CBE，利用三角形外角性质解答即可；
(2)延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取FM的中点N，连接CN，可证得△AFM是等边三角形，得出∠FAM=60°，AF=AM=FM，再证得△ABF≌△ACM(SAS)，推出∠AFM=∠CME，CM//AF，证得△AEF∽△CEM，推出FM=2CM，结合点N是FM的中点，得出CM=MN=FN，△CMN是等边三角形，进而可得∠MCN=∠MNC=60°，CN=MN，推出∠AFC=∠AFM+∠NFC=60°+30°=90°，即CF⊥AD；
(3)延长BE至M，使FM=AF，连接AM、CM，取AD的中点K，连接GK，可得△BDF∽△BCM，DFCM=BDBC=13，推出AD=7DF，再由GK是△ACD的中位线，可得GK//BC，GK=12CD=12×203=103，FK=DK−DF=52DF，再由△DFH∽△KFG，可得DHGK=DFFK=25，进而可得BH=2，再证得∠BFH=∠CBE，得出FH=BH=2．
本题是三角形综合题，考查了等边三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，直角三角形性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是添加恰当辅助线构造全等三角形和相似三角形．
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