山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测理科数学试题 Word版含答案

这是一份山西省大同市大同一中2021届高三上学期期中质量检测理科数学试题 Word版含答案，共14页。
2020-2021学年度大同一中高三年级第六次质量监测理科数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.“”是“”的（ ）
A.充分必要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.若双曲线的焦距为8，则实数m的值是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，且满足，若的最大值为，最小值为，则
|的值是（ ）
A. B. C. D.
5.在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
6.函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
7.在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8.函数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示，则其各个面的面积中最大的面积是（ ）

A. B. C. D.
10.已知抛物线的焦点为，准线为1，过点F且斜率为的直线交抛物线于点(在第一象限)，，垂足为，直线交轴于点，若，则抛物线的方程是（ ）
A. B. C. D.
11.设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，，若，则实数的取值范围是（ ）
A.. B. C. D.
12.若的三个内角A，B，C满足依次成等比数列，则值是（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.设复数满足，则__________.
14.已知与之间的一组数据：

1
3
5
7


7
9

已求得关于与的线性回归方程，则的值为__________.
15.已知函数的图象过定点，且角的终边过点，始边与轴的正半轴重合，则的值为__________.
16.定义在上的函数满足，且时，，时，，则函数的零点个数为__________.
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题：共60分.
17.(12分)
已知等差数列中，，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是等比数列的前3项，求的值及数列的前项和
18.(12分)
如图，在四棱锥中，四边形是直角梯形，，底面，，是的中点.

（1）求证：；
（2）若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
19.(12分)
某烘焙店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为60元，售价为100元.如果卖不完，则剩余的蛋糕在当日晚间集中销毁，现收集并整理了该店100天生日蛋糕的日需求量(单位：个)如下表：
需求量
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
30
20
12
8
将100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率.
（1）；若该烘焙店某一天制作生日蛋糕17个，设当天生日蛋糕的需求量为(单位：个)，当天出售生日蛋糕获得的利润为(单位：元).
①试写出关于的表达式；
②求的概率分布列，并计算P.
（2）以烘焙店一天出售生日蛋糕获得利润的平均值作为决策依据，你认为烘焙店每天应该制作17个生日蛋糕还是18个？
20.(12分)
已知椭圆的的离心率为，点分别是的左､右､上､下顶点，且四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知是的右焦点，过的直线交椭圆于两点，记直线的交点为，求证：点在定直线上，并求出直线的方程.
21.(12分)
已知函数
（1）当时，求函数在区间上的最值；
（2）若对，总有，求正实数的取值范围
(二)选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
22.【选修4-4：坐标系与参数方程】(10分)
在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为，(为参数).将曲线上的点按坐标变换得到曲线，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系设点的极坐标为.
（1）求曲极坐标方程；
（2）若过点且倾斜角为的直线与曲线交于两点，求的值.
23.【选修4-5：不等式选讲】(10分)
已知正实数满足
（1）解关于的不等式；
（2）证明：.
2020-2021学年度大同一中高三年级第六次质量监测
理科数学参考答案
一､选择题
1.D
2.C
3.C
4.B
5.B
6.A
7.D
8.A
9.A
10.C
11.C
12.C
二､填空题
13.
14.
15.
16.
三､解答题
17.解：（1）数列是等差数列，设公差为.
由知，且，故.
再由，得，故.
所以：
（2）若，是等比数列的前3项
则，根据等差数列的通项公式得到：，
代入上式解得：
而等数列中，c，
所以：等比数列的公比为.
于是：
则
故
18.（1）证明：平面，平面，
因为直角梯形中，，所以，
所以，所以，
又，所以平面.
又因为平面，所以
（2）解：以为坐标原点，为轴的正
方向建系如图，易知

设，则，
易知的面积为，
由三棱锥，即三棱锥的体积为1，
得，故
即，
由（1）知，是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，
则即，解得
故是平面的一个法向量
设二面角大小为，则
于是
19.解：（1）当时，
当时，
①
②由①可知的概率分布列为

480
580
680

0.1
0.2
0.7
故
（2）由（1）②知，当每天制作17个生日蛋糕时，对应利润的平均值

与（1）类似地，可以得到当每天制作18个生日蛋糕时，其对应利润为的分布列为

420
520
620
720

0.1
0.2
0.3
0.4
故
由于故每天应该制作个生日蛋糕.
20.解：（1）设椭圆的半焦距长为，根据题意
，解得
故
（2）由（1）知
设
由①
②
两式相除得
又故
故
于是③
由于直线经过点，设直线的方程为，代入整理，
得
把代入③

得
得到，故点在定直线上
21.解：（1）当时，，故


















故当时，
当时，
（2）由题意，恒成立
即，也即
故，①
令，则
显然，当时，，当时，，
故当时，递减，当时，递增，
故，
因此递增，
又①等价于
故，即
由（1）可知，，故
故
(二)选考题
22.（1）曲线的普通方程为，
由，得到代入曲线的普通方程得到
的极坐极方程为
（2）点的直角坐标为，直线的参数方程为
代入中，可得

23.解：（1），且，故.


解得
（2）解且