高考数学一轮复习课时作业：11 函数与方程 Word版含解析

课时作业11　函数与方程

一、选择题

1．函数f(x)＝的零点个数是(　D　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：当x>0时，令f(x)＝0可得x＝1；当x≤0时，令f(x)＝0可得x＝－2或x＝0.因此函数的零点个数为3.故选D.

2．方程ln(x＋1)－＝0(x>0)的根存在的大致区间是(　B　)

A．(0,1)   B．(1,2)

C．(2，e)   D．(3,4)

解析：令f(x)＝ln(x＋1)－，则f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.

3．已知函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是(　C　)

A．(－1，－log32)   B．(0，log52)

C．(log32,1)   D．(1，log34)

解析：∵单调函数f(x)＝log3－a在区间(1,2)内有零点，∴f(1)·f(2)<0，即(1－a)·(log32－a)<0，解得log32<a<1，故选C.

4．关于x的方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是(　B　)

A．1　　　　B．2  C．3　　　　D．4

解析：∵a>0，∴a2＋1>1.而y＝|x2－2x|的图象如图所示，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有2个交点，即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是2.

5．(2019·广东七校联合体联考)若函数f(x)＝2x＋a2x－2a的零点在区间(0,1)上，则实数a的取值范围是(　C　)

A.   B．(－∞，1)

C.   D．(1，＋∞)

解析：易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f(0)f(1)＝(1－2a)(2＋a2－2a)<0，解得a>.

6．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为(　C　)

A．(－∞，0)   B．(0，＋∞)

C．(0,1)∪(1，＋∞)   D．(－∞，0)∪{1}

解析：由题意，显然x＝1是函数f(x)的一个零点，取a＝－1，则f(x)＝lnx＋x2－x，f′(x)＝＝>0恒成立．则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、D；取a＝1，则f(x)＝lnx－x2＋x，f′(x)＝＝，f′(x)＝0得x＝1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C.

二、填空题

7．已知f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数为2.

解析：函数g(x)＝f(x)－ex的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝ex的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－ex有2个零点．

8．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是.

解析：∵f(x)＝x2＋ax＋b的两个零点是－2，3.

∴－2,3是方程x2＋ax＋b＝0的两根，

由根与系数的关系知

∴∴f(x)＝x2－x－6.

∵不等式af(－2x)>0，即－(4x2＋2x－6)>0⇔2x2＋x－3<0，解集为.

9．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点个数为3.

解析：解法1：当x>1时，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2为函数f(x)在区间(1，＋∞)上的一个零点；当x≤1时，∵f(x)＝x3－3x＋1，∴f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝1，∵当x<－1时，f′(x)>0，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，∴x＝－1为函数f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上的极大值点，∵f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，且当x→－∞时，f(x)→－∞，∴函数f(x)＝x3－3x＋1在(－∞，1]上有两个不同的零点．综上，函数f(x)的零点个数为3.

解法2：当x>1时，作出函数y＝log2(x－1)的图象如图1所示，当x≤1时，由f(x)＝x3－3x＋1＝0得，x3＝3x－1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝x3和y＝3x－1的图象如图2所示，由图1,2可知函数f(x)的零点个数为3.

10．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x，则在R上，函数f(x)零点的个数为3.

解析：因为函数f(x)为R上的奇函数，

所以f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝2 015x＋log2 015x在区间内存在一个零点，又f(x)为增函数，

因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．

根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，

从而函数f(x)在R上的零点个数为3.

三、解答题

11．已知函数f(x)＝x3－x2＋＋.

证明：存在x0∈，使f(x0)＝x0.

证明：令g(x)＝f(x)－x.∵g(0)＝，g＝f－＝－，∴g(0)·g<0.

又函数g(x)在上是连续曲线，

∴存在x0∈，使g(x0)＝0，即f(x0)＝x0.

12．已知a是正实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3－a.如果函数y＝f(x)在区间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．

解：f(x)＝2ax2＋2x－3－a的对称轴为x＝－.

①当－≤－1，即0<a≤时，须使

即∴无解．

②当－1<－<0，即a>时，须使即

解得a≥1，

∴a的取值范围是[1，＋∞)．

13．(2019·惠州市调研考试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝则函数g(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为(　A　)

A．8   B．32

C.   D．0

解析：令g(x)＝xf(x)－1＝0，则x≠0，所以函数g(x)的零点之和等价于函数y＝f(x)的图象和y＝的图象的交点的横坐标之和，分别作出x>0时，y＝f(x)和y＝的大致图象，如图所示，

由于y＝f(x)和y＝的图象都关于原点对称，因此函数g(x)在[－6,6]上的所有零点之和为0，而当x＝8时，f(x)＝，即两函数的图象刚好有1个交点，且当x∈(8，＋∞)时，y＝的图象都在y＝f(x)的图象的上方，因此g(x)在[－6，＋∞)上的所有零点之和为8.故选A.

14．已知关于x的方程|2x－10|＝a有两个不同的实根x1，x2，且x2＝2x1，则实数a＝6.

15．(2019·福州四校联考)已知函数f(x)＝

若F(x)＝f[f(x)＋1]＋m有两个零点x1，x2，则x1·x2的取值范围是(　D　)

A．[4－2ln2，＋∞)   B．(，＋∞)

C．(－∞，4－2ln2]   D．(－∞，)

16．(2019·德州模拟)已知函数f(x)＝－x2－2x.g(x)＝

(1)求g[f(1)]的值；

(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．

解：(1)∵f(1)＝－12－2×1＝－3，

∴g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.

(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图所示，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.