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陕西省西安市高新第七高级中学(长安区第七中学)2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题（解析版）
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这是一份陕西省西安市高新第七高级中学(长安区第七中学)2022-2023学年高二下学期期中理科数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了请将各题答案填写在答题卡上，本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
高二期中考试质量监测
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：北师大版选修2-2.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义列式求解.
【详解】根据平均变化率的定义可知，.
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.
【详解】，
故对应的点为，位于第四象限，
故选：D
3. 有一段演绎推理：“对数函数是单调函数，是对数函数，所以是单调函数”.对于以上推理说法正确的是（ ）
A. 大前提错误，但结论正确 B. 小前提错误，但结论正确
C. 推理形式错误，导致结论错误 D. 小前提错误，导致结论错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据演绎推理的知识确定正确答案.
【详解】大前提“对数函数是单调函数”正确；
小前提“是对数函数”错误；
结论“是单调函数”正确.
故选：B
4. 已知函数导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ）
A. 和 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点.
【详解】根据图像，在和上，单调递增；
在上，单调递减，故极大值点为.
故选：C
5. （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】求出的周期，且，所以，即可求出答案.
【详解】因为，所以周期为4，
且，所以.
故选:A.
6. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间.
【详解】因为，所以，
令，则，
又，则，所以，所以，
所以的单调递增区间为，
因为，所以为函数一个单调递增区间.
故选：B
7. 类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比猜想，而后加以证明得出的.在中，，，，则外接圆的半径，由此类比，在四面体中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是，则该四面体外接球的半径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将四面体还原到长方体中，而后找到其外接球心．
【详解】如图所示，将四面体还原到长方体中，
可见四面体的外接球心即为长方体的体对角线交点，
显然四面体外接球半径为．
故选:B．
8. 已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由题设可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，，，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
综上，的最小值为.
故选：C
9. 定义，，，的运算分别对应图中的（1）（2）（3）（4），则可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用合情推理和演绎推理求解.
【详解】根据（1）、（2）、（3）、（4），
得到：A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆，
故A为.
故选：A
10. 观察下图数字，推断第十个图中五个数字之和为（ ）
A. 233 B. 193 C. 169 D. 219
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，归纳图中5个数字的规律，可得第10个图中的5个数字，相加可得答案．
【详解】根据题意，分析可得：
前4个图形中，最左边的数字依次为：1、2、3、4，依次类推，第十个图中，最左边的数字为10；
前4个图形中，最上边的数字依次为：3、5、7、9，依次类推，第十个图中，最左边的数字为；
前4个图形中，最下边的数字依次为：5、8、11、14，依次类推，第十个图中，最左边的数字为；
前4个图形中，最右边的数字依次为：2、4、6、8，依次类推，第十个图中，最右边的数字为；
前4个图形中，中间的数字依次为：2、6、12、20，依次类推，第十个图中，最左边的数字为；
故第10个图形中：五个数字之和为．
故选：B
11. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果.
【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.
因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.
故选：B.
12. 如图所示的三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14…排成，按照此规律，数阵中第21行从左至右的第6个数是（ ）
A. 632 B. 644 C. 647 D. 650
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先分析数列通项公式，归纳可得数阵中，第行有个数，由此可知，数阵中第21行从左至右的第6个数为等差数列的第216项，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列2，5，8，11，14…，其首项为2，公差为3，
则其通项公式，
数阵中，第行有个数，
则数阵前20行共有个数，
则数阵中第21行从左至右的第6个数为等差数列的第216项，
又由，
故数阵中第21行从左至右的第6个数为647．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知函数，则________.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.
【详解】由解析式知：，即，解得.
故答案为：.
14. 复数的虚部为________；共轭复数为________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】根据复数除法化简复数，即可由共轭定义以及虚部定义求解.
【详解】,
所以虚部为，共轭复数为，
故答案为：，
15. 已知函数，则在上的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导判断出单调性，比较极大值与端点值的大小，可得出在上的最大值.
【详解】，
令，得或．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．
故答案为：.
16. 已知复数满足，为的共轭复数，则的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，结合共轭复数的定义，即可求解．
【详解】复数满足，
则在平面内对应的点在以为圆心，3为半径的圆上，
表示对应的点到原点的距离，
故的最大值为.
设，则，
所以的最大值为．
故答案为:．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若是方程的一个根，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的特征即可求解，
（2）根据复数根的求解，即可得，进而由模长公式即可求解.
【小问1详解】
为纯虚数，所以
【小问2详解】
方程变形为，所以，
故复数根为，所以
18. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求解导函数，分别计算，利用导数的几何意义写出切线方程；
（2）求解的根，讨论与的情况，从而得函数的单调性，求解出极值与端点处的函数值，比较大小后可得函数的最值，从而可得函数值域.
【小问1详解】
由题意，函数的定义域为，，
所以，，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
得或，当或时，；
当时，，
所以函数在和上为增函数，在上为减函数，
所以函数极大值为，
极小值为，
又因为，，
所以函数的最大值为，最小值为，
所以函数在区间上的值域为.
19. 已知曲线方程为，过的直线与曲线交于两点，用反证法证明：以为直径的圆不经过原点.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】假设以为直径的圆经过原点，则，然后设出直线的方程，与曲线方程联立，得到两根之和与两根之积，计算，得到矛盾，即可得证．
【详解】假设以为直径的圆经过原点，
则，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去并整理可得，，
则，即且，
设，
则，
则
，
又，
则，
这与假设矛盾，即假设不成立，
所以以为直径的圆不经过原点．
20. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为1，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求解单调性即可求解极值，
（2）将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，利用导数求解最值.
【小问1详解】
由得，
令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，
【小问2详解】
由恒成立可得恒成立，
记，则，令 ，则，
由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，
因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故
21. 设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
（2）若数列的前项和为，证明：.
【答案】（1），证明详见解析
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立.
【小问1详解】
依题意，，，则，
所以，
猜想.
当时，成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，猜想成立，
所以.
【小问2详解】
，
所以
.
22. 定义：若函数在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.
（1）判断函数的2级“平移点”的个数，并求出2级“平移点”；
（2）若函数在上存在1级“平移点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）1个，2级“平移点”为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，代入解析式求解即可；
（2）根据级“平移点”定义知有解，即可得在上有解，构造函数并利用导数研究单调性、最值，即可求的范围.
【小问1详解】
函数，，存在的2级“平移点”，则，
即，
所以，即，
令则，
当时，，所以，
所以在上单调递增，而，
所以在只有1个零点，即函数的2级“平移点”的个数为1，且2级“平移点”为.
【小问2详解】
由在上存在1级“平移点”，则有解，
即：，得：，
∴在上有解，
令，，则
，
∴在上单调递增，则，
∴，即.
实数的取值范围为：.
高二期中考试质量监测
数学（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：北师大版选修2-2.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 函数在区间上的平均变化率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义列式求解.
【详解】根据平均变化率的定义可知，.
所以函数在区间上的平均变化率为.
故选：C
2. 已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.
【详解】，
故对应的点为，位于第四象限，
故选：D
3. 有一段演绎推理：“对数函数是单调函数，是对数函数，所以是单调函数”.对于以上推理说法正确的是（ ）
A. 大前提错误，但结论正确 B. 小前提错误，但结论正确
C. 推理形式错误，导致结论错误 D. 小前提错误，导致结论错误
【答案】B
【解析】
【分析】根据演绎推理的知识确定正确答案.
【详解】大前提“对数函数是单调函数”正确；
小前提“是对数函数”错误；
结论“是单调函数”正确.
故选：B
4. 已知函数导函数的图象如图所示，则的极大值点为（ ）
A. 和 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像，在和上单调递增，在上单调递减，得到极大值点.
【详解】根据图像，在和上，单调递增；
在上，单调递减，故极大值点为.
故选：C
5. （ ）
A. B. C. 0 D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】求出的周期，且，所以，即可求出答案.
【详解】因为，所以周期为4，
且，所以.
故选:A.
6. 已知函数，则在下列区间上，单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的导函数，令，结合选项中角的范围求得x的范围，即可得出单调递增区间.
【详解】因为，所以，
令，则，
又，则，所以，所以，
所以的单调递增区间为，
因为，所以为函数一个单调递增区间.
故选：B
7. 类比在数学中应用广泛，数与式、平面与空间、一元与多元、低次与高次、有限与无限之间有不少结论，都是先用类比猜想，而后加以证明得出的.在中，，，，则外接圆的半径，由此类比，在四面体中，三条侧棱两两垂直，三条侧棱长分别是，则该四面体外接球的半径为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将四面体还原到长方体中，而后找到其外接球心．
【详解】如图所示，将四面体还原到长方体中，
可见四面体的外接球心即为长方体的体对角线交点，
显然四面体外接球半径为．
故选:B．
8. 已知直线与函数，的图象分别交于点，，则的最小值为（ ）
A. 8 B. 10 C. 12 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】由题设可得，利用三元基本不等式求其最小值，注意取值条件.
【详解】由题设，，，且，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
综上，的最小值为.
故选：C
9. 定义，，，的运算分别对应图中的（1）（2）（3）（4），则可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用合情推理和演绎推理求解.
【详解】根据（1）、（2）、（3）、（4），
得到：A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应圆，
故A为.
故选：A
10. 观察下图数字，推断第十个图中五个数字之和为（ ）
A. 233 B. 193 C. 169 D. 219
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，归纳图中5个数字的规律，可得第10个图中的5个数字，相加可得答案．
【详解】根据题意，分析可得：
前4个图形中，最左边的数字依次为：1、2、3、4，依次类推，第十个图中，最左边的数字为10；
前4个图形中，最上边的数字依次为：3、5、7、9，依次类推，第十个图中，最左边的数字为；
前4个图形中，最下边的数字依次为：5、8、11、14，依次类推，第十个图中，最左边的数字为；
前4个图形中，最右边的数字依次为：2、4、6、8，依次类推，第十个图中，最右边的数字为；
前4个图形中，中间的数字依次为：2、6、12、20，依次类推，第十个图中，最左边的数字为；
故第10个图形中：五个数字之和为．
故选：B
11. 定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果.
【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.
因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.
故选：B.
12. 如图所示的三角形数阵由一个等差数列2，5，8，11，14…排成，按照此规律，数阵中第21行从左至右的第6个数是（ ）
A. 632 B. 644 C. 647 D. 650
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，先分析数列通项公式，归纳可得数阵中，第行有个数，由此可知，数阵中第21行从左至右的第6个数为等差数列的第216项，进而计算可得答案．
【详解】根据题意，等差数列2，5，8，11，14…，其首项为2，公差为3，
则其通项公式，
数阵中，第行有个数，
则数阵前20行共有个数，
则数阵中第21行从左至右的第6个数为等差数列的第216项，
又由，
故数阵中第21行从左至右的第6个数为647．
故选：C．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13. 已知函数，则________.
【答案】##-0.5
【解析】
【分析】将作为常量对求导，得到导函数，再将作为未知量求解即可.
【详解】由解析式知：，即，解得.
故答案为：.
14. 复数的虚部为________；共轭复数为________.
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】根据复数除法化简复数，即可由共轭定义以及虚部定义求解.
【详解】,
所以虚部为，共轭复数为，
故答案为：，
15. 已知函数，则在上的最大值为________．
【答案】
【解析】
【分析】对函数求导判断出单调性，比较极大值与端点值的大小，可得出在上的最大值.
【详解】，
令，得或．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以．
故答案为：.
16. 已知复数满足，为的共轭复数，则的最大值为________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，结合共轭复数的定义，即可求解．
【详解】复数满足，
则在平面内对应的点在以为圆心，3为半径的圆上，
表示对应的点到原点的距离，
故的最大值为.
设，则，
所以的最大值为．
故答案为:．
三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若是方程的一个根，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据纯虚数的特征即可求解，
（2）根据复数根的求解，即可得，进而由模长公式即可求解.
【小问1详解】
为纯虚数，所以
【小问2详解】
方程变形为，所以，
故复数根为，所以
18. 已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）求在区间上的值域.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求解导函数，分别计算，利用导数的几何意义写出切线方程；
（2）求解的根，讨论与的情况，从而得函数的单调性，求解出极值与端点处的函数值，比较大小后可得函数的最值，从而可得函数值域.
【小问1详解】
由题意，函数的定义域为，，
所以，，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以曲线在处的切线方程为.
【小问2详解】
由（1）知，，
得或，当或时，；
当时，，
所以函数在和上为增函数，在上为减函数，
所以函数极大值为，
极小值为，
又因为，，
所以函数的最大值为，最小值为，
所以函数在区间上的值域为.
19. 已知曲线方程为，过的直线与曲线交于两点，用反证法证明：以为直径的圆不经过原点.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】假设以为直径的圆经过原点，则，然后设出直线的方程，与曲线方程联立，得到两根之和与两根之积，计算，得到矛盾，即可得证．
【详解】假设以为直径的圆经过原点，
则，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立，消去并整理可得，，
则，即且，
设，
则，
则
，
又，
则，
这与假设矛盾，即假设不成立，
所以以为直径的圆不经过原点．
20. 已知函数.
（1）求的极值；
（2）若恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）极小值为1，无极大值
（2）
【解析】
【分析】（1）求导，利用导数求解单调性即可求解极值，
（2）将恒成立问题转化成求函数最值问题，构造函数，利用导数求解最值.
【小问1详解】
由得，
令，故在单调递增，令，故在单调递减，故当时，取极小值，且极小值为，故极大值，
【小问2详解】
由恒成立可得恒成立，
记，则，令 ，则，
由（1）知：在处取极小值也是最小值，且最小值为1，故，
因此在上单调递增，且，故当时， ，单调递增，当时， ，单调递减，故当时，取极小值也是最小值1，故
21. 设数列满足，.
（1）计算，，猜想的通项公式并用数学归纳法加以证明；
（2）若数列的前项和为，证明：.
【答案】（1），证明详见解析
（2）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）先求得，，然后猜想并利用数学归纳法进行证明.
（2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立.
【小问1详解】
依题意，，，则，
所以，
猜想.
当时，成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，
，猜想成立，
所以.
【小问2详解】
，
所以
.
22. 定义：若函数在定义域内存在实数，使得成立，其中为大于0的常数，则称点为函数的级“平移点”.
（1）判断函数的2级“平移点”的个数，并求出2级“平移点”；
（2）若函数在上存在1级“平移点”，求实数的取值范围.
【答案】（1）1个，2级“平移点”为.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，可得，代入解析式求解即可；
（2）根据级“平移点”定义知有解，即可得在上有解，构造函数并利用导数研究单调性、最值，即可求的范围.
【小问1详解】
函数，，存在的2级“平移点”，则，
即，
所以，即，
令则，
当时，，所以，
所以在上单调递增，而，
所以在只有1个零点，即函数的2级“平移点”的个数为1，且2级“平移点”为.
【小问2详解】
由在上存在1级“平移点”，则有解，
即：，得：，
∴在上有解，
令，，则
，
∴在上单调递增，则，
∴，即.
实数的取值范围为：.
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