2022-2023学年重庆市大渡口区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年重庆市大渡口区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年重庆市大渡口区七年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 计算(x2)3的结果是(    )
A. x5 B. x6 C. x8 D. 3x2
2. 下面的数字图案，不是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 从某班学生中随机选取一名学生是女生的概率为35，则该班女生与男生的人数比是(    )
A. 32 B. 35 C. 23 D. 25
4. 已知三角形两边长分别为7、11，那么第三边的长可以是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
5. 李明骑车上学，一开始以某一速度行进，途中车子发生故障，只好停下修车，车修好后，因怕耽误时间，于是加快了车速．如用s表示李明离家的距离，t为时间．在下面给出的表示s与t的关系图中，符合上述情况的是(    )
A. B.
C. D.
6. 如图，不能判定a//b的是(    )
A. ∠2=∠3
B. ∠1=∠4
C. ∠1=∠2
D. ∠1=∠3


7. 如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是(    )


A. ∠A=∠C B. ∠D=∠B C. AD//BC D. DF//BE
8. 图(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图(2)那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是(    )


A. ab B. (a+b)2 C. (a−b)2 D. a2−b2
9. 如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB、AC边交于点D、E两点，BC边的中垂线FG，分别与BC、AC边交于点F、G两点，连接BE、BG.若△BEG的周长为16，GE=1.则AC的长为(    )

A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
10. 如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为d(n)=b，例如101=10，d(10)=1，则下列说法正确的个数是(    )
①d(10−2)=−2；
②d(a3)d(a)=3；
③若d(2)=0.301，则d(16)=1.204．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 一种细胞的直径约为0.00065米，将0.00065用科学记数法表示为______ ．
12. 已知∠β=52°，则∠β的余角的度数为______°.
13. 在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球7个，黑球5个，黄球n个，搅匀后随机从中摸取一个恰好是黄球的概率为13，则放入的黄球总数n= ______ ．
14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AC=9，AD=5，则DE的长为______ ．


15. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点E，F分别为AB，AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A′处，EA′，FA′分别交BC边于点M，N.若∠BEA′=80°，则∠CFA′的度数为______ ．
16. 已知x2+2(m+1)x+25是完全平方式，则m的值为______．
17. 如图，在△ABC中，G是边BC上任意一点，D、E、F分别是AG、BD、CE的中点，S△ABC=40，则S△DEF= ______ ．


18. 对任意一个三位正整数m=abc−(1≤a≤9,1≤b≤9,1≤c≤9,a,b,c且均为正整数)，如果m满足各个数位上的数字均不相同，且三个数位上的数字之和不小于10，则称这个数为“超级数”.现将一个“超级数”规定F(m)=|a−c|.例如：a=263，因为2，6，3均不相等，且2+6+3=11>10，所以263是超级数，F(263)=|2−3|=1.请计算F(356)的值______ ；若s，t都是“超级数”，其中s=140+x，t=100y+85(1≤x≤9,1≤y≤9,x,y且均为正整数)，规定：K=t−s，若F(s)+F(t)=6，则K的最大值与最小值的和是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)2−2+(π−3)0+(1−2)233；
(2)(−3x2y)2⋅(2xy2)÷(6x3y3).
20. (本小题10.0分)
如图，AD//BC，∠B+∠BCD=180°
(1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点A作∠BAD的角平分线，交CD于点F，与BC的延长线交于点E；(不写作法，保留作图痕迹)
(2)求证：∠CFE=∠FEC．
证明：∵AD//BC(已知)，
∴∠DAF=∠FEC(①______ ).
∵AE平分∠BAD，
∴② ______ (角平分线的定义)．
∴∠BAE=∠FEC(③______ ).
∵∠B+∠BCD=180°(已知)，
∴④ ______ (⑤______ ).
∴∠BAE=∠CFE(两直线平行，同位角相等)．
∴∠CFE=∠FEC(等量代换)．

21. (本小题10.0分)
先化简，再求值：[(a+2b)2−(a+b)(a−b)−3b2]÷(2b)，其中a=−1,b=12．
22. (本小题10.0分)
新型冠状病毒爆发，教育部部署了“停课不停学”的有关工作，各地都在进行在线教育．小依同学为了了解网课学习情况，对本班部分同学最喜爱的课程进行了调查，调查课程分别是网上授课、体育锻炼、名著阅读、艺术欣赏和其他课程并制成以下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：

(1)本次调查中一共调查了______名学生，其中“名著阅读”所占的圆心角度数为______．
(2)请把条形统计图补全．
(3)在调查的同学中随机选取一名学生，求他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率．
(4)若该校一共有3000名学生，请估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数．
23. (本小题10.0分)
如图，方格纸中每一个小正方形的边长都是1，在方格纸内将△ABC经过一次轴对称变换后得到△A′B′C′，图中标出了点C的对应点C′．
(1)作出△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称的对称轴MN；
(2)在给定的方格纸中画出变换后的△A′B′C；
(3)若方格纸的格点上存在一点P(异于点C)，使S△ABP=S△ABC，作出符合条件的点P(不包括方格纸的边框)．

24. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF//AB，交ED的延长线于点F．
(1)求证：△BDE≌△CDF；
(2)当AD⊥BC，AE=2，CF=1时，求AC的长．

25. (本小题10.0分)
如图1，在长方形ABCD中，点P为长方形边上一动点，点P以每秒v cm的速度从B−C−D的路径匀速移动，移动到D处后以每秒2v cm的速度从D−A的路径匀速移动，运动到点A时停止.在整个移动的过程中，设点P移动的时间为t秒，点P到AB的距离为y cm，时间t与距离y的关系图象如图2所示.若AB=6cm，根据图象信息回答下列问题：

(1)线段BC= ______ cm，v= ______ cm/s；
(2)图2中a的值是______ ；
(3)当y=8cm时，求移动时间t的值．
26. (本小题10.0分)
在△ABC和△AEF中AC=AE，连接CE，CE恰好平分∠ACB，在CE上存在一点D，使∠DAF与∠ACB互为补角，连接AD．

(1)如图1，当∠ACB=60°时，求∠CAE的度数；
(2)如图2，当∠ACB=120°，AD=AF时，试说明EF与AC的位置关系；
(3)在(2)问的条件下，如图3连接FD并延长，分别交BC，AE于点M，N，若MN=4，AC=BC，P，Q分别为AB和AE上的动点，请直接写出△DPQ周长的最小值．
答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：(x2)3=x6．
故选B．
根据幂的乘方和积的乘方的运算法则求解．
本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．

2.【答案】B 
【解析】解：数字图案中，不是轴对称图形的是6．
故选：B．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．

3.【答案】A 
【解析】解：女生占全班5份中的3份，所以男生就是占(5−3)=2份，所以女生与男生的人数比是32．
故选A．
先求出男生所占全班同学的份数，再求出女生与男生的人数比即可．
此题主要考查概率的意义及求法；易错点是得到该班男生占全班同学的份数．

4.【答案】D 
【解析】
【分析】
此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形三边关系为任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系可得11−7<第三边长<11+7，再解可得第三边的范围，然后可得答案。
 【解答】
解：设第三边长为x，由题意得：
11−7 解得：4 故选D．  
5.【答案】C 
【解析】解；∵停下修车时，路程没变化，
观察图象，A、B、D的路程始终都在变化，故错误；
C、修车是的路程没变化，故C正确；
故选：C．
根据修车时，路程没变化，可得答案．
本题考查了函数图象，观察图象是解题关键，注意修车时路程没有变化．

6.【答案】D 
【解析】解：A、∵∠2=∠3，
∴a//b，故A不符合题意；
B、∵∠1=∠4，
∴a//b，故B不符合题意；
C、∵∠1=∠3，∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴a//b，故C不符合题意；
D、当∠1=∠3不能判断a//b，故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定条件进行判断即可．
本题主要考查平行线的判定，解答的关键是熟记平行线的判定条件并灵活运用．

7.【答案】B 
【解析】
【分析】
此题主要考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键．
根据全等三角形的判定得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．
【解答】
解：当∠D=∠B时，
在△ADF和△CBE中，
∵AD=CB∠D=∠BDF=BE,
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
故选B．  
8.【答案】C 
【解析】解：∵图(1)是一个长为2a，宽为2b(a>b)的长方形，
∴正方形的边长为：a+b，
∵由题意可得，正方形的边长为(a+b)，
∴正方形的面积为(a+b)2，
∵原矩形的面积为2a⨉2b=4ab，
∴中间空的部分的面积
=(a+b)2−4ab=(a−b)2．
故选：C．
先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积=正方形的面积−矩形的面积即可得出
此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．

9.【答案】B 
【解析】解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，
∴EB=EA，GB=GC，
∵△BEG周长为16，
∴EB+GB+EG=16，
∴EA+GC+EG=16，
∴GA+EG+EG+EG+EC=16，
∴AC+2EG=16，
∵EG=1，
∴AC=14，
故选：B．
利用线段的垂直平分线的性质以及线段的和差关系即可解决问题．
本题考查线段的垂直平分线，三角形的周长等知识，解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．

10.【答案】D 
【解析】解：由题意，d(10−2)=−2，
则①正确；
设10k=a，则103k=a3，
则d(a3)=3k，d(a)=k，
那么d(a3)d(a)=3kk=3，
则②正确；
设10p=2，则104p=16，
则d(2)=p，d(16)=4p，
∵d(2)=0.301，
∴d(16)=4×0.301=1.204，
则③正确；
那么正确的个数为3个，
故选：D．
结合定义，利用有理数的乘方进行计算即可．
本题考查幂的乘方的实际应用，利用幂的乘方得出d(a3)与d(a)，d(2)与d(16)的数量关系是解题的关键．

11.【答案】6.5×10−4 
【解析】解：0.00065=6.5×10−4．
故答案为：6.5×10−4．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

12.【答案】38 
【解析】解：∠β的余角=90°−52°=38°．
故答案为：38°．
依据余角的定义求解即可．
本题主要考查的是余角的定义，熟练掌握余角的定义是解题的关键．

13.【答案】6 
【解析】解：由题意知，n7+5+n=13，
解得n=6，
故答案为：6．
根据概率公式计算出n的值即可．
本题主要考查概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键．

14.【答案】4 
【解析】解：∵AC=9，AD=5，
∴CD=4，
∵∠ACB=90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，
∴DE=CD=4．
故答案为：4．
由线段的和差关系可得CD的长，再根据角平分线的性质可得答案．
本题考查的是角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

15.【答案】100° 
【解析】解：∵∠BEA′=80°，
∴∠AEA′=180°−∠BEA′=100°，
由折叠得：∠AFA′=2∠AFE，∠AEF=∠A′EF=12∠AEA′=50°，
∵∠A=90°，
∴∠AFE=90°−∠AEF=40°，
∴∠AFA′=2∠AFE=80°，
∴∠CFA′=180°−∠AFA′=100°，
故答案为：100°．
先根据平角定义可得∠AEA′=100°，然后利用折叠的性质可得：∠AFA′=2∠AFE，∠AEF=∠A′EF=12∠AEA′=50°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠AFE=90°=40°，进而可得∠AFA′=80°，最后利用平角定义进行计算，即可解答．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，折叠问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

16.【答案】4或−6 
【解析】解：∵(x±5)2=x2±10x+25，
∴2(m+1)=±10，
∴m=4或−6
故答案为：4或−6．
根据完全平方平方公式即可求出答案．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型．

17.【答案】5 
【解析】解：连接CD，如图所示：

∵点D是AG的中点，
∴S△ABD=12S△ABG，S△ACD=12S△ACG，
∴S△ABD+S△ACD=12S△ABG+12S△ACG=12S△ABC，
∵S△ABC=40，
∴S△ABD+S△ACD=20，
∴S△BCD=20，
∵点E是BD的中点，
∴S△CDE=12S△BCD=10，
∵点F是CE的中点，
∴S△DEF=12S△CDE=5．
故答案为：5．
根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．
本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为同底等高的三角形的面积相等．

18.【答案】3  884 
【解析】解：F(356)=‖3−6‖=3；
由已知得s=140+x，1≤x≤9，且x≠1，
∴F(s)=‖1−x‖=x−1，
由已知得t=100y+85，1≤y≤9，且y≠8和5，
∴F(t)=‖y−5‖，
∵F(s)+F(t)=6，
∴F(s)+F(t)=x−1+‖y−5‖=6，
即x−1+y−5=6，或者x−1+5−y=6，
∴x+y=12，或者x−y=2．
∵t=100y+85，1≤y≤9，y≠8和5，
∴当y=9时，t的值最大，
将y=9代入x+y=12，解得x=3，
此时K最大=985−143=842；
当y=1时，t的值最小，
将y=1代入x−y=2，解得x=3，
此时K最小=185−143=42．
∴K最大+K最小=842+42=884．
故答案为：3，884．
首先根据“超级数”的新定义判断356是超级数，再依据规定F(m)=|a−c|，可求F(356)=‖3−6‖=3；由已知得s=140+x，1≤x≤9，且x≠1，求得F(s)=‖1−x‖=x−1，由已知得t=100y+85，1≤y≤9，且y≠8和5，得F(t)=‖y−5‖，所以F(s)+F(t)=x−1+‖y−5‖=6，即x−1+y−5=6，求得x+y=12，或者x−1+5−y=6，求得x−y=2.规定K=t−s，K最大=t大−s小，K最小=t小−s大，因为t=100y+85，1≤y≤9，y≠8和5，只需y取最大值，t即为最大，所以当y=9时，由x+y=12，求得x=3，此时K最大=985−143=842，y取最小值时，t即为最小，所以当y=1时，由x−y=2，求得x=3，此时K最小=185−143=42，所以K最大+K最小=842+42=884．
本题属于新定义类型题目，正确理解题意是解题的关键．

19.【答案】解：(1)2−2+(π−3)0+(1−2)233
=14+1+(−1)233
=14+1−1
=14；
(2)(−3x2y)2⋅(2xy2)÷(6x3y3)
=9x4y2⋅(2xy2)÷(6x3y3)
=18x5y4÷(6x3y3)
=3x2y. 
【解析】(1)先算负整数指数幂，零指数幂，括号里的减法，再算乘方，最后算加减即可；
(2)先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后算整式的除法即可．
本题主要考查整式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

20.【答案】两直线平行，内错角相等  ∠BAE=∠DAF  等量代换  AB//CD  同旁内角互补，两直线平行 
【解析】(1)解：如图，BE为所作；

(2)证明：∵AD//BC(已知)，
∴∠DAF=∠FEC(两直线平行，内错角相等)．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAF(角平分线的定义)，
∴∠BAE=∠FEC(等量代换)．
∵∠B+∠BCD=180°(已知)，
∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)．
∴∠BAE=∠CFE(两直线平行，同位角相等)．
∴∠CFE=∠FEC(等量代换)．
故答案为：两直线平行，内错角相等；∠BAE=∠DAF；等量代换；AB//CD，同旁内角互补，两直线平行．
(1)利用基本作图作∠BAD的平分线即可；
(2)先根据平行线的性质得到∠DAF=∠FEC，再利用角平分线的定义得到∠BAE=∠DAF，则∠BAE=∠FEC，接着证明AB//CD得到∠BAE=∠CFE，然后利用等量代换得到∠CFE=∠FEC．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行线的判定与性质．

21.【答案】解：[(a+2b)2−(a+b)(a−b)−3b2]÷(2b)
=[a2+4ab+4b2−a2+b2−3b2]÷(2b)
=(2b2+4ab)÷(2b)
=b+2a，
把a=−1，b=12代入上式得：
原式=12+2×(−1)=−32． 
【解析】根据完全平方公式、平方差公式先算出括号里面的，再把所得的结果合并，最后代入求值即可．
本题考查了整式的混合运算，用到的知识点是完全平方公式、平方差公式、合并同类项、多项式除以单项式的法则，熟记公式并灵活运用是解题的关键．

22.【答案】20  54° 
【解析】解：(1)2÷10%=20，
所以本次调查中一共调查了20名学生，
其中“名著阅读”的人数为20−5−6−4−2=3，
所以在扇形统计图中，320×360°=54°；
故答案为20，54°；
(2)如图，

(3)他恰好最喜爱的课程是“艺术欣赏”的概率=420=15；
(4)3000×620=900，
所以估算出全校最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数为900人．
(1)用喜欢“其它课程“的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用“名著阅读”所占的百分比乘以360°得到扇形统计图中，“名著阅读”所占的圆心角度数；
(2)利用喜欢名著阅读的人数补全条形统计图；
(3)根据概率公式计算；
(4)利用样本估计整体，用3000乘以样本中最喜爱的课程是“体育锻炼”的人数所占的百分比．
本题考查了概率公式：事件A的概率=事件A所占的结果数除以总的等可能的结果数．也考查了条形统计图、扇形统计图和样本估计整体．

23.【答案】解：(1)如图，MN为所作；
(2)如图，△A′B′C′为所作；
(3)如图，P点为所作．
 
【解析】(1)利用网格特点作CC′的垂直平分线即可；
(2)利用网格特点分别画出点A、B关于直线MN的对称点即可；
(3)平移直线AB使其经过点C，利用平行线的性质和三角形面积公式可得到点P1、P2、P3满足条件．
本题考查了作图−轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键(先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点)．

24.【答案】证明：∵CF//AB，
∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，在△BDE和△CDF中，
∠B=∠FCD∠BED=∠FBD=CD，
∴△BDE≌△CDF(AAS)；
(2)∵△BDE≌△CDF，
∴BE=CF=1，
∴AB=AE+BE=2+1=3，
∵AD⊥BC，BD=CD，
∴AC=AB=3． 
【解析】(1)根据平行线的性质得到∠B=∠FCD，∠BED=∠F，由AD是BC边上的中线，得到BD=CD，于是得到结论；
(2)根据全等三角形的性质得到BE=CF=1，求得AB=AE+BE=3，于是得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

25.【答案】10  2  10.5 
【解析】解：(1)结合图1、图2可知：点P在5秒时到达点C，在CD上移动了3秒，
点P在CD时到达AB的距离为10cm，即BC的长为10cm；
∵四边形ABCD是长方形，
∴CD=AB=6cm，
∴v=63=2cm/s，
故答案为：10，2．

(2)点P在AD上移动的速度为：
2v=2×2=4cm/s，
∴点P在AD上移动的时间为：104=2.5s，
∴a的值为：8+2.5=10.5s；
故答案为：10.5．

(3)当点P在BC上时，
t=82=4s，
∴此时点P移动的时间是4s；
当点P在AD上时，
t=8+10−84=8.5s，
∴此时点P移动的时间是8.5s；
综上所述，点P移动的时间是4s或8.5s．
(1)结合图1、图2可知：点P在5秒时到达点C，在CD上移动了3秒，根据速度公式求解即可；
(2)先求出点P在AD上移动的速度，从而求出点P在AD上移动的时间，进而求出a的值；
(3)结合图象分两种情况讨论即可．
本题主要考查动点问题的函数的图象，长方形的性质、路程、速度、时间之间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．

26.【答案】(1)解：∵∠ACB=60°，CE恰好平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=30°，
在△ABC和△AEF中，AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC=30°，
∴∠CAE=180°−∠ACE−∠AEC=180°−30°−30°=120°；
(2)证明：∵∠ACB=120°，CE恰好平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE=12∠ACB=60°，
∵AC=AE，
∴△ACE为等边三角形，∠CAE=∠AEC=60°，
∵∠DAF与∠ACB互为补角，
∴∠DAF=60°，
∴∠DAF=∠CAE=60°，
∴∠DAF−∠DAE=∠CAE−∠DAE，
即∠CAD=∠EAF，
在△ADC和△AFE中，
AC=AE∠CAD=∠EAFAD=AF，
∴△ADC≌△AFE(SAS)，
∴∠AEF=∠ACE=60°，
∴∠ACE+∠CEF=60°×3=180°，
∴EF//AC；
(3)解：由(2)可知，∠AEF=∠AEC=60°，
∵AC=BC，CE恰好平分∠ACB，
∴CE垂直平分AB，
如图所示，将D沿AB对称至D′，沿AE对称至D″，且D′，D″分别在EC、EF上
连接D′D″，此时与AB和AE交点即为所求P、Q，
此时，△DPQ的周长最小，且N、Q两点重合，
此时，△DPQ周长的最小值即为D′D″的长度，

由(2)可得∠EAB=30°，
由对称的性质可得：∠D′AD″=60°，AD=AD′=AD″，
∴△AD′D″为等边三角形，
∴D′D″=AD
∵△ADF为等边三角形，
∴DF=AD，
∴D′D″=DF，
此时，过D点作DK//AC，交BC于K点，如图所示，

∴∠DKM=∠FEN=60°，∠KDM=∠EFN，
∵∠BCE=60°，
∴△KDC为等边三角形，DK=DC，
由(2)知，DC=EF，
∴DK=EF．
在△KDM和△EFN中，
∠DKM=∠FENDK=FE∠KDM=∠EFN，
∴△KDM≌△EFN(ASA)，
∴MD=NF，
∴MD+DN=NF+DN，即：MN=DF=4
∴D′D″=DF=4，
∴△DPO周长的最小值为4． 
【解析】(1)根据题意确定∠ACE=∠AEC=30°，再利用三角形的内角和计算即可：
(2)由题干条件推出△ACE为等边三角形，然后进一步证明△ADC≌△AFE，从而利用全等三角形和平行线的判定证明即可；
(3)首先将D沿AB对称至D′，AE对称至D″，可确定且D′，D″分别在EC、EF上，并连接D′D″，此时与AB和AE交点即为所求P、Q，此时，△DPQ的周长最小，即为D′D″的长度，然后根据全等三角形的判定以及对称的性质证明D′D″=AD=MN，即可求得结论．
本预考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等，掌握全等三角形的判定方法，熟练运用等边三角形的性质和轴对称变化确定最短路径是解题关键．