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2022-2023学年江西省赣州市大余县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江西省赣州市大余县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了下列实数是无理数的是，4的算术平方根是 等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江西省赣州市大余县七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．如图所示的图案分别是不同汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果x＜y，那么下列结论错误的是（ ）
A．x+3＜y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．3x＜3y D．﹣3x＜﹣3y
4．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学1000个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了200个家长，结果有180个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．总体是中学生
B．样本容量是180
C．估计该校约有90%的家长持反对态度
D．该校只有180个家长持反对态度
5．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
6．2022年12月3日随着G组比赛正式结束，卡塔尔足球世界杯16强正式出炉．如图是16强代表队所属国家在五大洲的分布扇形统计图，则下列说法中错误的是（ ）
A．16强中欧洲队占一半 B．16强中大洋洲队最少
C．16强中亚洲队有2支 D．m的值为67.5
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．4的算术平方根是 ．
8．关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＞1，那么m的取值范围是 ．
9．将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，那么点Q的坐标是 ．
10．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝35°，则∠ACD的度数为 ．
11．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
12．长方形ABCD的边AB＝1，BC＝2，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（1，1），且AB∥x轴，则点C的坐标为 ．
三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）已知：如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．求证：FE∥OC．
14．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
15．已知点P（2a﹣3，a+1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大2．
16．已知a﹣1的立方根是﹣1，b是25的算术平方根．
（1）求a+b的值．
（2）求的平方根．
17．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．2023年3月初，某校七年级体育组教师，为了了解七年级全体同学“一分钟跳绳”成绩情况，并为学期末学考过程性评价测试设置合理的训练计划，对全校750名七年级学生进行了“一分钟跳绳”测试，成绩经整理后得到下表和频数分布直方图（如图）：
成绩x/个
60≤x＜80
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
200≤x＜220
频数
50
80
a
b
180
70
40
10
请你根据图表信息完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校的成绩与全市基本持平，请估计全市30000名七年级学生中“一分钟跳绳”成绩达到140个的学生人数；
（4）若过程性评价标准规定，“一分钟跳绳”成绩达到180个才能获得满分，请以同学们目前的成绩提出你的训练建议．
19．（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ ）
∴∠2＝∠DCE，（ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．
20．在平面直角坐标系xOy中，对于与原点不重合的两个点P（a，b）和Q（c，d），关于x，y的方程ax﹣by＝1称为点P的“映射方程”．若是方程ax﹣by＝1的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点P（5，7）的“映射方程”是5x﹣7y＝1，且是该方程的解，则点P（5，7）“映射”了点Q（3，2），也可以说点Q（3，2）被点P（5，7）“映射”．
（1）请写出点A（1，﹣2）的“映射方程”： ；
（2）若点C（m，n）同时被点D（2，﹣3）和点E（﹣2，4）“映射”，请求出m，n．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC经平移后得到△A′B′C′，点A的对应点是点A′．画出平移后所得的△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为 ，线段AA′、CC′的数量关系为 ；
（3）四边形AA′C′C的面积为 ．
22．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买6支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需42元，买11支铅笔、7块橡皮、5本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝30，4*7＝44，那么1*1＝ ．
六.（本大题共12分）
23．如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为α（0＜a＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为β（0＜β＜90°），直接写出α与β之间的数量关系．
参考答案
一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】根据无理数的概念、立方根及算术平方根可进行排除选项．
解：A．3.14是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．＝3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数．
2．如图所示的图案分别是不同汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
【点评】此题主要考查的是利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致错选．
3．如果x＜y，那么下列结论错误的是（ ）
A．x+3＜y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．3x＜3y D．﹣3x＜﹣3y
【分析】根据x＜y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
解：∵x＜y，
∴x+3＜y+3，
∴选项A不符合题意；
∵x＜y，
∴x﹣3＜y﹣3，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学1000个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了200个家长，结果有180个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．总体是中学生
B．样本容量是180
C．估计该校约有90%的家长持反对态度
D．该校只有180个家长持反对态度
【分析】根据总体、样本容量的概念、用样本估计总体判断即可．
解：A、总体是某中学1000个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，本选项说法错误，不符合题意；
B、样本容量是200，本选项说法错误，不符合题意；
C、估计该校约有90%的家长持反对态度，本选项说法正确，符合题意；
D、该校大约有900个家长持反对态度，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是用样本估计总体，以及总体、样本容量的概念，掌握相关的概念是解题的关键．
5．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【分析】把代入2x+y＝16先求出■，再代入x+y求★．
解：把代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4，
再把代入x+y＝★得★＝6+4＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意，代入法求解．
6．2022年12月3日随着G组比赛正式结束，卡塔尔足球世界杯16强正式出炉．如图是16强代表队所属国家在五大洲的分布扇形统计图，则下列说法中错误的是（ ）
A．16强中欧洲队占一半 B．16强中大洋洲队最少
C．16强中亚洲队有2支 D．m的值为67.5
【分析】根据扇形图即可判断．
解：由图可知，
16强中欧洲队占一半，A选项正确，不合题意；
16强中大洋洲队最少，B选项正确，不合题意；
16强中亚洲队16×12.5%＝2支，C选项正确，不合题意；
16强中美洲队占1﹣50%﹣12.5%﹣12.5%﹣6.25%＝18.75%，m＝18.75，D选项错误，合题意；
故选：D．
【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．4的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
解：4的算术平方根是＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＞1，那么m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
解：∵（m+2）x＞m+2的解集为x＞1，
∴m+2＞0，
解得：m＞﹣2，
故答案为：m＞﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，那么点Q的坐标是 （5，0） ．
【分析】先根据向上平移横坐标不变，纵坐标相加得出Q的坐标，再根据x轴上的点纵坐标为0求出m的值，进而得到点Q的坐标．
解：∵将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到Q，
∴Q的坐标为（2m+3，m﹣1），
∵Q在x轴上，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
∴点Q的坐标是（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律．同时考查了x轴上的点的坐标特征．
10．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝35°，则∠ACD的度数为 125° ．
【分析】由AB∥CD，得∠BAC+∠ACD＝180°．欲求∠ACD，需求∠BAC．由AB⊥AE，得∠BAE＝90°，进而可求得∠BAC．
解：∵AB⊥AE，
∴∠BAE＝90°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣35°＝55°．
又∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题主要考查垂线的定义以及平行线的性质，熟练掌握垂线的定义以及平行线的性质是解决本题的关键．
11．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．
解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为，
故答案为．
【点评】考查列二元一次方程组；关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果．
12．长方形ABCD的边AB＝1，BC＝2，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（1，1），且AB∥x轴，则点C的坐标为 （0，3）或（0，﹣1）或（2，3）或（2，﹣1） ．
【分析】根据AB＝1，AB∥x轴，可得点B的坐标，再根据长方形ABCD可得点C的坐标．
解：∵A的坐标为（1，1），且AB∥x轴，
∴B的坐标为（0，1）或（2，1），
如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，BC＝2，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）或（2，3）或（2，﹣1）．
故答案为：（0，3）或（0，﹣1）或（2，3）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行于坐标轴的性质，掌握平行于x轴直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴直线上的点的横坐标相等是解本题的关键．
三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）已知：如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．求证：FE∥OC．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用平行线的与性质得出结合已知得出∠1＝∠C，再利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】（1）解：；
＝2+2﹣9
＝﹣5；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵∠1＝∠A，
∴∠1＝∠C，
∴FE∥OC．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及平行线的判定与性质，正确掌握相关性质与判定是解题关键．
14．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由不等式①得：x≥﹣1，
由不等式②得：x＜3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．已知点P（2a﹣3，a+1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大2．
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0即可解答；
（2）根据纵坐标比横坐标大2列出方程即可解答．
解：（1）∵点P（2a﹣3，a+l）在x轴上，
∴a+1＝0，解得a＝﹣1，
∴2a﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5
∴点P的坐标为（﹣5，0）；
（2）∵点P（2a﹣3，a+1）的纵坐标比横坐标大2，
∴a+1﹣（2a﹣3）＝2，
解得：a＝2，
∴2a﹣3＝2×2﹣3＝1，a+1＝2+1＝3，
∴点P的坐标为（1，3）．
【点评】本题考查点的坐标特征，解题关键是熟练掌握以上知识点，属于简单题．
16．已知a﹣1的立方根是﹣1，b是25的算术平方根．
（1）求a+b的值．
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后代入a+b中计算即可；
（2）将a，b的值代入a+b中计算，然后利用平方根定义即可求得答案．
解：（1）∵a﹣1的立方根是﹣1，b是25的算术平方根，
∴a﹣1＝﹣1，b＝5，
∴a＝0，
∴a+b＝0+5＝5；
（2）当a＝0，b＝5时，
a+b＝×0+×5＝1；
∵（﹣1）2＝1，12＝1，
∴a+b的平方根为±1．
【点评】本题考查立方根，平方根，算术平方根，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
【分析】（1）根据垂线段最短即可画出图形；
（2）过AB的中点或画AB的平行线即可．
解：（1）如图1，线段CD即为所求；
（2）如图2，直线l1和l2即为所求；
【点评】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，垂线段最短等知识，熟练掌握各知识是解题的关键．
四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．2023年3月初，某校七年级体育组教师，为了了解七年级全体同学“一分钟跳绳”成绩情况，并为学期末学考过程性评价测试设置合理的训练计划，对全校750名七年级学生进行了“一分钟跳绳”测试，成绩经整理后得到下表和频数分布直方图（如图）：
成绩x/个
60≤x＜80
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
200≤x＜220
频数
50
80
a
b
180
70
40
10
请你根据图表信息完成下列问题：
（1）a＝ 120 ，b＝ 200 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校的成绩与全市基本持平，请估计全市30000名七年级学生中“一分钟跳绳”成绩达到140个的学生人数；
（4）若过程性评价标准规定，“一分钟跳绳”成绩达到180个才能获得满分，请以同学们目前的成绩提出你的训练建议．
【分析】（1）由题意可得b的值，根据各分组人数之和等于总人数得出a的值；
（2）根据a的值即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
解：（1）由图可得，b＝200，
∴a＝750﹣50﹣80﹣200﹣180﹣70﹣40﹣10＝120．
故答案为：120；200；
（2）根据a＝120，b＝200，
补全频数分布直方图如下：
（3）×30000＝12000（人），
所以估计全市30000名七年级学生中“一分钟跳绳”成绩达到140个的学生人数有12000人；
（4）建议一：同学们要经常参加体育锻炼，尤其是周末在家的时候，多参加一些户外活动；
建议二：课间时间，同学们可以进行跳绳锻炼，既可以锻炼身体，也可以提高课堂上的学习效率．（答案不唯一，合理即可）
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ 平行于同一直线的两条直线平行 ）
∴∠2＝∠DCE，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ 等量代换 ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；
（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，对于与原点不重合的两个点P（a，b）和Q（c，d），关于x，y的方程ax﹣by＝1称为点P的“映射方程”．若是方程ax﹣by＝1的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点P（5，7）的“映射方程”是5x﹣7y＝1，且是该方程的解，则点P（5，7）“映射”了点Q（3，2），也可以说点Q（3，2）被点P（5，7）“映射”．
（1）请写出点A（1，﹣2）的“映射方程”： x+2y＝1 ；
（2）若点C（m，n）同时被点D（2，﹣3）和点E（﹣2，4）“映射”，请求出m，n．
【分析】（1）根据“映射方程”概念可得答案；
（2）根据“映射方程”概念得出方程组，解方程组即可得答案．
解：（1）根据“映射方程”概念可知点A（1，﹣2）的“映射方程”：x+2y＝1；
故答案为：x+2y＝1；
（2）根据“映射方程”概念可列方程组：，
∴．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组，掌握新概念是解题关键．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC经平移后得到△A′B′C′，点A的对应点是点A′．画出平移后所得的△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为 AA′∥CC′ ，线段AA′、CC′的数量关系为 AA′＝CC′ ；
（3）四边形AA′C′C的面积为 6 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）把四边形的面积看成两个三角形的面积和即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为：AA′∥CC′，线段AA′、CC′的数量关系为：AA′＝CC′．
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′；
（3）四边形AA′C′C的面积为：2××6×1＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
22．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买6支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需42元，买11支铅笔、7块橡皮、5本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝30，4*7＝44，那么1*1＝ 2 ．
【分析】（1）将两方程相加可求x+y的值，将两方程相减可求x﹣y的值；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】（1）
由①﹣②得x﹣y＝﹣1，
由①+②得3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设购买每支铅笔需x元，每块橡皮需y元，每本日记本共需z元，根据题意得，
由①×2﹣②得x+y+z＝10，
则5x+5y+5z＝50．
答：买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需50元；
（3）根据题意得
由①×3﹣②×2得：9a+15b+3c﹣（8a+14b+2c）＝90﹣88，
a+b+c＝2，
∵3*5＝30，4*7＝44，
∴1*1＝a+b+c＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
六.（本大题共12分）
23．如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为α（0＜a＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为β（0＜β＜90°），直接写出α与β之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意可得∠ABC＝180°﹣2∠2，再由光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，可得∠BCD＝180°﹣2∠BCE，根据MN∥EF，可得∠2＝∠BCE，即可求解；
（2）过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，根据题意可得∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，可得NG∥OF，从而得到∠2＝∠OEN，继而得到∠ANE+∠BEN＝180°，即可求解；
（3）根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠α，再由∠β＝180°﹣（∠5+∠6），即可求解．
解：（1）AB∥CD，理由如下：如图2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠2，
∵光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，
∴∠3＝∠4，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCD＝180°﹣2∠BCE，
∵MN∥EF，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD；
（2）两束光线会平行，理由如下：
如图3，过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，
根据题意得：∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，
∴NG∥OF，
∴∠2＝∠OEN，
∵∠OEN+∠3+∠4+∠BEF＝180°，即2（∠3+∠OEN）＝180°，
∴2（∠3+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
即∠ANE+∠BEN＝180°，
∴AN∥BE，即两束光线会平行；
（3）α与β的数量关系为2α+β＝180°，理由如下：如图4，
根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠α，
∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）
＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣∠α）﹣180°
＝180°﹣2∠α，
∴α与β的数量关系为2α+β＝180°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
2022-2023学年江西省赣州市大余县七年级（下）期末数学试卷
一.选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
2．如图所示的图案分别是不同汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如果x＜y，那么下列结论错误的是（ ）
A．x+3＜y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．3x＜3y D．﹣3x＜﹣3y
4．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学1000个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了200个家长，结果有180个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．总体是中学生
B．样本容量是180
C．估计该校约有90%的家长持反对态度
D．该校只有180个家长持反对态度
5．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
6．2022年12月3日随着G组比赛正式结束，卡塔尔足球世界杯16强正式出炉．如图是16强代表队所属国家在五大洲的分布扇形统计图，则下列说法中错误的是（ ）
A．16强中欧洲队占一半 B．16强中大洋洲队最少
C．16强中亚洲队有2支 D．m的值为67.5
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．4的算术平方根是 ．
8．关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＞1，那么m的取值范围是 ．
9．将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，那么点Q的坐标是 ．
10．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝35°，则∠ACD的度数为 ．
11．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
12．长方形ABCD的边AB＝1，BC＝2，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（1，1），且AB∥x轴，则点C的坐标为 ．
三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）已知：如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．求证：FE∥OC．
14．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
15．已知点P（2a﹣3，a+1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大2．
16．已知a﹣1的立方根是﹣1，b是25的算术平方根．
（1）求a+b的值．
（2）求的平方根．
17．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．2023年3月初，某校七年级体育组教师，为了了解七年级全体同学“一分钟跳绳”成绩情况，并为学期末学考过程性评价测试设置合理的训练计划，对全校750名七年级学生进行了“一分钟跳绳”测试，成绩经整理后得到下表和频数分布直方图（如图）：
成绩x/个
60≤x＜80
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
200≤x＜220
频数
50
80
a
b
180
70
40
10
请你根据图表信息完成下列问题：
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校的成绩与全市基本持平，请估计全市30000名七年级学生中“一分钟跳绳”成绩达到140个的学生人数；
（4）若过程性评价标准规定，“一分钟跳绳”成绩达到180个才能获得满分，请以同学们目前的成绩提出你的训练建议．
19．（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ ）
∴∠2＝∠DCE，（ ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．
20．在平面直角坐标系xOy中，对于与原点不重合的两个点P（a，b）和Q（c，d），关于x，y的方程ax﹣by＝1称为点P的“映射方程”．若是方程ax﹣by＝1的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点P（5，7）的“映射方程”是5x﹣7y＝1，且是该方程的解，则点P（5，7）“映射”了点Q（3，2），也可以说点Q（3，2）被点P（5，7）“映射”．
（1）请写出点A（1，﹣2）的“映射方程”： ；
（2）若点C（m，n）同时被点D（2，﹣3）和点E（﹣2，4）“映射”，请求出m，n．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC经平移后得到△A′B′C′，点A的对应点是点A′．画出平移后所得的△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为 ，线段AA′、CC′的数量关系为 ；
（3）四边形AA′C′C的面积为 ．
22．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ，x+y＝ ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买6支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需42元，买11支铅笔、7块橡皮、5本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝30，4*7＝44，那么1*1＝ ．
六.（本大题共12分）
23．如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为α（0＜a＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为β（0＜β＜90°），直接写出α与β之间的数量关系．
参考答案
一.选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列实数是无理数的是（ ）
A．3.14 B． C． D．
【分析】根据无理数的概念、立方根及算术平方根可进行排除选项．
解：A．3.14是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
C．是无理数，故本选项符合题意；
D．＝3，是整数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了无理数的概念，无限不循环小数是无理数．
2．如图所示的图案分别是不同汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移的性质：不改变图形的形状和大小，不可旋转与翻转，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
【点评】此题主要考查的是利用平移设计图案，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而导致错选．
3．如果x＜y，那么下列结论错误的是（ ）
A．x+3＜y+3 B．x﹣3＜y﹣3 C．3x＜3y D．﹣3x＜﹣3y
【分析】根据x＜y，应用不等式的基本性质，逐项判断即可．
解：∵x＜y，
∴x+3＜y+3，
∴选项A不符合题意；
∵x＜y，
∴x﹣3＜y﹣3，
∴选项B不符合题意；
∵x＜y，
∴3x＜3y，
∴选项C不符合题意；
∵x＜y，
∴﹣3x＞﹣3y，
∴选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4．中学生骑电动车上学给交通安全带来隐患，为了解某中学1000个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，从中随机调查了200个家长，结果有180个家长持反对态度，则下列说法正确的是（ ）
A．总体是中学生
B．样本容量是180
C．估计该校约有90%的家长持反对态度
D．该校只有180个家长持反对态度
【分析】根据总体、样本容量的概念、用样本估计总体判断即可．
解：A、总体是某中学1000个学生家长对“中学生骑电动车上学”的态度，本选项说法错误，不符合题意；
B、样本容量是200，本选项说法错误，不符合题意；
C、估计该校约有90%的家长持反对态度，本选项说法正确，符合题意；
D、该校大约有900个家长持反对态度，本选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是用样本估计总体，以及总体、样本容量的概念，掌握相关的概念是解题的关键．
5．如果方程组的解为，那么被“★”“■”遮住的两个数分别是（ ）
A．10，4 B．4，10 C．3，10 D．10，3
【分析】把代入2x+y＝16先求出■，再代入x+y求★．
解：把代入2x+y＝16得12+■＝16，解得■＝4，
再把代入x+y＝★得★＝6+4＝10，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题的关键是理解题意，代入法求解．
6．2022年12月3日随着G组比赛正式结束，卡塔尔足球世界杯16强正式出炉．如图是16强代表队所属国家在五大洲的分布扇形统计图，则下列说法中错误的是（ ）
A．16强中欧洲队占一半 B．16强中大洋洲队最少
C．16强中亚洲队有2支 D．m的值为67.5
【分析】根据扇形图即可判断．
解：由图可知，
16强中欧洲队占一半，A选项正确，不合题意；
16强中大洋洲队最少，B选项正确，不合题意；
16强中亚洲队16×12.5%＝2支，C选项正确，不合题意；
16强中美洲队占1﹣50%﹣12.5%﹣12.5%﹣6.25%＝18.75%，m＝18.75，D选项错误，合题意；
故选：D．
【点评】本题考查扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二.填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7．4的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根的定义进行计算即可．
解：4的算术平方根是＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查算术平方根，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．关于x的不等式（m+2）x＞m+2的解集为x＞1，那么m的取值范围是 m＞﹣2 ．
【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
解：∵（m+2）x＞m+2的解集为x＞1，
∴m+2＞0，
解得：m＞﹣2，
故答案为：m＞﹣2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
9．将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到点Q，且点Q在x轴上，那么点Q的坐标是 （5，0） ．
【分析】先根据向上平移横坐标不变，纵坐标相加得出Q的坐标，再根据x轴上的点纵坐标为0求出m的值，进而得到点Q的坐标．
解：∵将点P（2m+3，m﹣2）向上平移1个单位得到Q，
∴Q的坐标为（2m+3，m﹣1），
∵Q在x轴上，
∴m﹣1＝0，解得m＝1，
∴点Q的坐标是（5，0）．
故答案为：（5，0）．
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减的规律．同时考查了x轴上的点的坐标特征．
10．如图，AB∥CD，AB⊥AE，∠CAE＝35°，则∠ACD的度数为 125° ．
【分析】由AB∥CD，得∠BAC+∠ACD＝180°．欲求∠ACD，需求∠BAC．由AB⊥AE，得∠BAE＝90°，进而可求得∠BAC．
解：∵AB⊥AE，
∴∠BAE＝90°．
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝90°﹣35°＝55°．
又∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD＝180°．
∴∠ACD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣55°＝125°．
故答案为：125°．
【点评】本题主要考查垂线的定义以及平行线的性质，熟练掌握垂线的定义以及平行线的性质是解决本题的关键．
11．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是．类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为 ．
【分析】由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．
解：第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x的系数为4，y的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程组为，
故答案为．
【点评】考查列二元一次方程组；关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果．
12．长方形ABCD的边AB＝1，BC＝2，若将该长方形放在平面直角坐标系中，使点A的坐标为（1，1），且AB∥x轴，则点C的坐标为 （0，3）或（0，﹣1）或（2，3）或（2，﹣1） ．
【分析】根据AB＝1，AB∥x轴，可得点B的坐标，再根据长方形ABCD可得点C的坐标．
解：∵A的坐标为（1，1），且AB∥x轴，
∴B的坐标为（0，1）或（2，1），
如图所示：
∵四边形ABCD是长方形，BC＝2，
∴点C的坐标为（0，3）或（0，﹣1）或（2，3）或（2，﹣1）．
故答案为：（0，3）或（0，﹣1）或（2，3）或（2，﹣1）．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行于坐标轴的性质，掌握平行于x轴直线上的点的纵坐标相等，平行于y轴直线上的点的横坐标相等是解本题的关键．
三.（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（1）计算：；
（2）已知：如图，AB∥CD，AC和BD相交于点O，E是CD上一点，F是OD上一点，且∠1＝∠A．求证：FE∥OC．
【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案；
（2）直接利用平行线的与性质得出结合已知得出∠1＝∠C，再利用平行线的判定方法得出答案．
【解答】（1）解：；
＝2+2﹣9
＝﹣5；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠C，
∵∠1＝∠A，
∴∠1＝∠C，
∴FE∥OC．
【点评】此题主要考查了实数的运算以及平行线的判定与性质，正确掌握相关性质与判定是解题关键．
14．解不等式组并将它的解集在数轴上表示出来．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
解：由不等式①得：x≥﹣1，
由不等式②得：x＜3，
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15．已知点P（2a﹣3，a+1），请分别根据下列条件，求出点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P的纵坐标比横坐标大2．
【分析】（1）根据x轴上点的纵坐标为0即可解答；
（2）根据纵坐标比横坐标大2列出方程即可解答．
解：（1）∵点P（2a﹣3，a+l）在x轴上，
∴a+1＝0，解得a＝﹣1，
∴2a﹣3＝2×（﹣1）﹣3＝﹣5
∴点P的坐标为（﹣5，0）；
（2）∵点P（2a﹣3，a+1）的纵坐标比横坐标大2，
∴a+1﹣（2a﹣3）＝2，
解得：a＝2，
∴2a﹣3＝2×2﹣3＝1，a+1＝2+1＝3，
∴点P的坐标为（1，3）．
【点评】本题考查点的坐标特征，解题关键是熟练掌握以上知识点，属于简单题．
16．已知a﹣1的立方根是﹣1，b是25的算术平方根．
（1）求a+b的值．
（2）求的平方根．
【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后代入a+b中计算即可；
（2）将a，b的值代入a+b中计算，然后利用平方根定义即可求得答案．
解：（1）∵a﹣1的立方根是﹣1，b是25的算术平方根，
∴a﹣1＝﹣1，b＝5，
∴a＝0，
∴a+b＝0+5＝5；
（2）当a＝0，b＝5时，
a+b＝×0+×5＝1；
∵（﹣1）2＝1，12＝1，
∴a+b的平方根为±1．
【点评】本题考查立方根，平方根，算术平方根，它们均为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
17．如图是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中过点C作一条线段，使点C到AB所在直线的距离最短；
（2）在图2中过点C作一条直线l，使点A，B到直线l的距离相等．
【分析】（1）根据垂线段最短即可画出图形；
（2）过AB的中点或画AB的平行线即可．
解：（1）如图1，线段CD即为所求；
（2）如图2，直线l1和l2即为所求；
【点评】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，垂线段最短等知识，熟练掌握各知识是解题的关键．
四.（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18．2023年3月初，某校七年级体育组教师，为了了解七年级全体同学“一分钟跳绳”成绩情况，并为学期末学考过程性评价测试设置合理的训练计划，对全校750名七年级学生进行了“一分钟跳绳”测试，成绩经整理后得到下表和频数分布直方图（如图）：
成绩x/个
60≤x＜80
80≤x＜100
100≤x＜120
120≤x＜140
140≤x＜160
160≤x＜180
180≤x＜200
200≤x＜220
频数
50
80
a
b
180
70
40
10
请你根据图表信息完成下列问题：
（1）a＝ 120 ，b＝ 200 ；
（2）补全频数分布直方图；
（3）若该校的成绩与全市基本持平，请估计全市30000名七年级学生中“一分钟跳绳”成绩达到140个的学生人数；
（4）若过程性评价标准规定，“一分钟跳绳”成绩达到180个才能获得满分，请以同学们目前的成绩提出你的训练建议．
【分析】（1）由题意可得b的值，根据各分组人数之和等于总人数得出a的值；
（2）根据a的值即可补全频数分布直方图；
（3）利用样本估计即可；
（3）答案不唯一，合理均可．
解：（1）由图可得，b＝200，
∴a＝750﹣50﹣80﹣200﹣180﹣70﹣40﹣10＝120．
故答案为：120；200；
（2）根据a＝120，b＝200，
补全频数分布直方图如下：
（3）×30000＝12000（人），
所以估计全市30000名七年级学生中“一分钟跳绳”成绩达到140个的学生人数有12000人；
（4）建议一：同学们要经常参加体育锻炼，尤其是周末在家的时候，多参加一些户外活动；
建议二：课间时间，同学们可以进行跳绳锻炼，既可以锻炼身体，也可以提高课堂上的学习效率．（答案不唯一，合理即可）
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19．（1）【感知】如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连结AE、CE，试说明∠AEC＝∠A+∠DCE．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．
证明：如图2，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（辅助线作法），
∴EF∥CD，（ 平行于同一直线的两条直线平行 ）
∴∠2＝∠DCE，（ 两直线平行，内错角相等 ）
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE；（ 等量代换 ）
（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明∠A+∠AEC+∠C＝360°；
（3）【应用】如图，延长线段AE交直线CD于点M，已知∠A＝130°，∠DCE＝120°，求∠MEC的度数（请直接写出答案）．
【分析】（1）过点E作EF∥AB，由平行线的性质得出∠A＝∠1，证出CD∥EF，由平行线的性质得出∠2＝∠DCE，即可得出结论；
（2）过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由平行线的性质得出∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，即可得出结论；
（3）同（2）得∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，得出∠AEC＝110°，即可得出答案．
【解答】（1）证明：如图1，过点E作EF∥AB，
∴∠A＝∠1（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），
∵EF∥AB（辅助线作法），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两条直线平行），
∴∠2＝∠DCE（两直线平行，内错角相等），
∵∠AEC＝∠1+∠2，
∴∠AEC＝∠A+∠DCE（等量代换），
故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；
（2）证明：过点E作EF∥AB，如图2所示：
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠A+∠AEF＝180°，∠C+∠CEF＝180°，
∴∠A+∠AEC+∠C＝∠A+∠AEF+∠C+∠CEF＝180°+180°＝360°；
（3）解：同（2）得：∠A+∠AEC+∠DCE＝360°，
∴∠AEC＝360°﹣∠A﹣∠DCE＝360°﹣130°﹣120°＝110°，
∴∠MEC＝180°﹣∠AEC＝180°﹣110°＝70°．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质；正确作出辅助线是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，对于与原点不重合的两个点P（a，b）和Q（c，d），关于x，y的方程ax﹣by＝1称为点P的“映射方程”．若是方程ax﹣by＝1的解，则称点P“映射”了点Q，也可以说点Q被点P“映射”．例如，点P（5，7）的“映射方程”是5x﹣7y＝1，且是该方程的解，则点P（5，7）“映射”了点Q（3，2），也可以说点Q（3，2）被点P（5，7）“映射”．
（1）请写出点A（1，﹣2）的“映射方程”： x+2y＝1 ；
（2）若点C（m，n）同时被点D（2，﹣3）和点E（﹣2，4）“映射”，请求出m，n．
【分析】（1）根据“映射方程”概念可得答案；
（2）根据“映射方程”概念得出方程组，解方程组即可得答案．
解：（1）根据“映射方程”概念可知点A（1，﹣2）的“映射方程”：x+2y＝1；
故答案为：x+2y＝1；
（2）根据“映射方程”概念可列方程组：，
∴．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组，掌握新概念是解题关键．
五.（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21．如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上．
（1）将△ABC经平移后得到△A′B′C′，点A的对应点是点A′．画出平移后所得的△A′B′C′；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为 AA′∥CC′ ，线段AA′、CC′的数量关系为 AA′＝CC′ ；
（3）四边形AA′C′C的面积为 6 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）利用平移变换的性质判断即可；
（3）把四边形的面积看成两个三角形的面积和即可．
解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）连接AA′、CC′，则线段AA′、CC′的位置关系为：AA′∥CC′，线段AA′、CC′的数量关系为：AA′＝CC′．
故答案为：AA′∥CC′，AA′＝CC′；
（3）四边形AA′C′C的面积为：2××6×1＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
22．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足3x﹣y①，2x+3y②，求x﹣4y和7x+5y的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组则x﹣y＝ ﹣1 ，x+y＝ 5 ；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买6支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需42元，买11支铅笔、7块橡皮、5本日记本共需60元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3*5＝30，4*7＝44，那么1*1＝ 2 ．
【分析】（1）将两方程相加可求x+y的值，将两方程相减可求x﹣y的值；
（2）设每只铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记z元，由题意列出方程组，即可求解；
（3）由题意列出方程组，即可求解．
【解答】（1）
由①﹣②得x﹣y＝﹣1，
由①+②得3x+3y＝15，
∴x+y＝5，
故答案为：﹣1，5；
（2）设购买每支铅笔需x元，每块橡皮需y元，每本日记本共需z元，根据题意得，
由①×2﹣②得x+y+z＝10，
则5x+5y+5z＝50．
答：买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需50元；
（3）根据题意得
由①×3﹣②×2得：9a+15b+3c﹣（8a+14b+2c）＝90﹣88，
a+b+c＝2，
∵3*5＝30，4*7＝44，
∴1*1＝a+b+c＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体思想解决问题是解题的关键．
六.（本大题共12分）
23．如图1，若一束光线照射到平面镜上反射出时，始终有∠1＝∠2．如图2，MN，EF是两面互相平行的镜面，一束光线AB照射到镜面MN上，反射光线为BC，则∠1＝∠2．
（1）【旧知新意】
若光线BC经镜面EF反射后的反射光线为CD，试判断AB与CD的位置关系，并说明理由；
（2）【尝试探究】
如图3，有两块互相垂直的平面镜MN，EF，有一束光线射在镜面MN上，经镜面EF反射，两束光线会平行吗？若平行，请说明理由；
（3）【拓展提升】
如图4，两面镜子的夹角为α（0＜a＜90°）时，进入光线与离开光线的夹角为β（0＜β＜90°），直接写出α与β之间的数量关系．
【分析】（1）根据题意可得∠ABC＝180°﹣2∠2，再由光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，可得∠BCD＝180°﹣2∠BCE，根据MN∥EF，可得∠2＝∠BCE，即可求解；
（2）过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，根据题意可得∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，可得NG∥OF，从而得到∠2＝∠OEN，继而得到∠ANE+∠BEN＝180°，即可求解；
（3）根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，可得∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠α，再由∠β＝180°﹣（∠5+∠6），即可求解．
解：（1）AB∥CD，理由如下：如图2，
∵∠1＝∠2，
∴∠ABC＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣2∠2，
∵光线BC经镜面EF反射后的反射光线CD，
∴∠3＝∠4，
∴∠BCE＝∠DCF，
∴∠BCD＝180°﹣2∠BCE，
∵MN∥EF，
∴∠2＝∠BCE，
∴∠ABC＝∠BCD，
∴AB∥CD；
（2）两束光线会平行，理由如下：
如图3，过点E作EH⊥OF，过点N作NG⊥OM，
根据题意得：∠1＝∠2，∠，3＝∠4，OM⊥OF，∠OEN＝∠BEF，
∴NG∥OF，
∴∠2＝∠OEN，
∵∠OEN+∠3+∠4+∠BEF＝180°，即2（∠3+∠OEN）＝180°，
∴2（∠3+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
即∠ANE+∠BEN＝180°，
∴AN∥BE，即两束光线会平行；
（3）α与β的数量关系为2α+β＝180°，理由如下：如图4，
根据题意得：∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠5＝180°﹣2∠2，∠6＝180°﹣2∠3，∠2+∠3＝180°﹣∠α，
∴∠β＝180°﹣（∠5+∠6）
＝180°﹣（180°﹣2∠2+180°﹣2∠3）
＝2（∠2+∠3）﹣180°
＝2（180°﹣∠α）﹣180°
＝180°﹣2∠α，
∴α与β的数量关系为2α+β＝180°．
【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定和性质，三角形的内角和定理是解题的关键．
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