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2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各代数式中，是二次根式的是( )
A. −5 B. 2 C. a D. 36
2. 下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5 B. 8− 2= 2
C. (−4)×(−9)= −4× −9=6 D. (−4)2=−4
3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则∠PNM度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
5. 下列命题中，是真命题的有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的平行四边形是正方形
④四角相等的四边形是矩形
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
6. 如图，菱形ABCD面积为24，对角线AC=8，DE⊥AB于点E，则DE=( )
A. 3
B. 4
C. 125
D. 245
7. 已知y=(2m−1)x m2−3是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为( )
A. y=−5x B. y=5x C. y=3x D. y=−3x
8. 正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是( )
A. 最高成绩是9.4环 B. 平均成绩是9环
C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.下列结论：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE=14S△ABC，其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 二次根式 x−2x−3中，字母x的取值范围是______ ．
12. 如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A=90°，AB=20米，BC=24米，CD=7米，AD=15米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金______ 元.
13. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为______．
14. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了10棵，每棵产量的平均数x−(单位：千克)及方差s2(单位：千克 2)如表所示：
甲
乙
丙
x−
45
45
42
s2
3.5
5.2
3.5
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是______ ．
15. 已知一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)，当−3≤x≤1时，函数值y的取值范围是−1≤y≤5，则k的值为______ ．
16. 如图，四边形ABCD为矩形，AB= 6，BC=2 2，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，始终保持∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： 8÷ 14+ 0.5−( 3+2)( 3−2).
18. (本小题6.0分)
2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲.“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x<80，B组：80≤x<85，C组：85≤x<90，D组：90≤x<95，E组：95≤2≤100，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题．
(1)本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ______ ，所抽取学生成绩的中位数落在______ 组；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
19. (本小题7.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
20. (本小题7.0分)
阅读下列材料，然后回答问题：
在学习勾股定理后，王老师布置了一道阅读思考题：
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
数学兴趣小组的同学展开了探究，通过画图发现当三角形三边长为6，8，9时，测量可知这是一个锐角三角形；当三角形三边长为6，8，11时，测量可知这是一个钝角三角形；
【大胆猜测】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，设c为最长边，当a2+b2c2时，△ABC是______ 三角形(按角分类)．
【小试牛刀】若三角形三边长为2，3，4，由上面的结论可知这是______ 三角形；若三角形三边长为5，8，8，由上面的结论可知这是______ 三角形．
【深入研究】当a=2，b=4时，最长边c满足4≤c<6，判断△ABC的形状并写出对应的c的取值范围．
21. (本小题7.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若∠B=30°，AE平分∠BAC，AD=2，求AB的长．
22. (本小题8.0分)
在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程，小峰对函数y=2x+1(x≤1)3(x>1)的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
(1)列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−5
−3
−1
1
a
b
…
a= ______ ；b= ______ ．
(2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有______ ．
①函数图象关于x轴对称；
②此函数无最小值；
③此函数有最大值，且最大值为3；
④当x<1时，y随x的增大而增大．
(3)若函数y=2x+1(x≤1)3(x>1)与直线y1=x+b的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出b的取值范围为______ ．
23. (本小题10.0分)
我市某地组织20辆汽车装运A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满，相关信息如表：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量(吨)
6
5
4
每吨脐橙获利(元)
1200
1600
1000
(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数关系式；
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于5辆，那么如何安排车辆可使销售获利(不算人工和损耗)最大？并求出最大利润的值；
(3)在(2)的背景下，由于市场因素，A种脐橙每吨的获利上涨了m元(m<1000)，经过计算发现销售最大利润达到了164200元，求m的值．
24. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
25. (本小题11.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2=kx交于P(2,1)，且PO=PA．
(1)求点A的坐标；
(2)求函数y1，y2的解析式；
(3)点D为直线y1=ax+b上一动点，其横坐标为t(t<2)，DF⊥x轴于点F，交y2=kx于点E，且DE=2EF，求点D的坐标；
(4)在(3)的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y=mx+n将四边形OBDE分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2.若12≤S1S2≤2，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、−5不是二次根式，故A不符合题意．
B、 2是二次根式，故B符合题意．
C、当a<0时， a不是二次根式，故C不符合题意．
D、36不是二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
二次根式的定义：一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：A、 3与 2不能合并，故A不符合题意；
B、 8− 2=2 2− 2= 2，故B符合题意；
C、 (−4)×(−9)= 4×9= 4× 9=6，故C不符合题意；
D、 (−4)2=4，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意知小正方形的边长是a−b，由勾股定理得：a2+b2=129，
∵(a−b)2=a2+b2−2ab=129−2×24=81，
∴a−b=9(a>b)，
∴小正方形的边长为9．
故选：A．
由勾股定理得：a2+b2=129，又(a−b)2=a2+b2−2ab=129−2×24=81，由此即可求出a−b=9(a>b)，因此小正方形的边长为a9．
本题考查勾股定理，完全平方公式，算术平方根，关键是掌握勾股定理，完全平方公式．
4.【答案】C
【解析】解：连接PM，
由题意得：PM2=12+32=10，
PN2=22+42=20，
NM2=12+32=10，
∴PM2+MN2=PN2，
∴△PMN是直角三角形，
∴∠PMN=90°，
∵PM=MN= 10，
∴∠MPN=∠MNP=45°，
故选：C．
连接PM，先根据勾股定理的逆定理证明△PMN是直角三角形，从而可得∠PMN=90°，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四角相等的四边形是矩形，正确．
故选：B．
直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，
∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD，AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×8⋅BD=24，
∴BD=6，
∴OB=3，
∴AB= OA2+OB2= 42+32=5，
又∵S菱形ABCD=AB⋅DE=24，
∴5DE=24，
解得：DE=245，
故选：D．
由菱形的性质得OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD，AC⊥BD，再由菱形的面积求出BD=6，进而由勾股定理求出AB=5，然后由菱形的面积等于底乘以高即可求解．
本题考查菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知m2−3=1且2m−1<0，
解得m=±2，且m<12，
∴m=−2．
∴y=−5x．
故选：A．
根据正比例函数的定义和性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如y=kx(k≠0)的函数叫正比例函数是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象和性质．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不符合题意；
平均成绩是110×(9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6)=9(环)，故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是110×[2×(9.4−9)2+(8.4−9)2+2×(9.2−9)2+(8.8−9)2+3×(9−9)2+(8.6−9)2]=0.096，故选项D符合题意．
故选：D．
根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
此题主要考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA=OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC，故④正确；
正确的结论由4个，
故选：A．
通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
11.【答案】x≥2且x≠3
【解析】解：∵二次根式 x−2x−3有意义，
∴x−2≥0x−3≠0，
解得x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
12.【答案】11700
【解析】解：连接BD，
∵∠A=90°、AB=20米，AD=15米，
∴BD= AD2+AB2= 152+202=25(米)，
∵BC=24米，CD=7米，
∴BC2+CD2=242+72=252=BD2，
∴△BDC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD+12BC⋅CD=12×20×15+12×24×7=150+84=234(平方米)，
则234×50=11700(元)，
即铺这块空地需要投入11700元．
故答案为：11700．
连接BD，先利用勾股定理求出BD的长，再用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，即可求出四边形ABCD的面积，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
13.【答案】x≤1
【解析】
【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．
将点P(m,3)代入y=x+2，求出点P的坐标，再结合函数图象可知x+2≤ax+c的解集．
【解答】
解：点P(m,3)代入y=x+2，
∴m=1，
∴P(1,3)，
结合图象可知：当x≤1时，直线y=x+2不在直线y=ax+c的上方，
∴x+2≤ax+c的解集为x≤1．
14.【答案】甲
【解析】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．熟知这些知识点是解题的关键．
15.【答案】±32
【解析】解：当k>0时，y随x增大而增大，当x=1时，y=5；当x=−3时，y=−1，
可得k+b=5 −3k+b=−1 ，
∴k=32，
当k<0时，y随x增大而减小，当x=1时，y=−1，当x=−3时，y=5，
可得k+b=−1 −3k+b=5 ，
∴k=−32，
即k=±32，
故答案为：±32．
当k>0时，y随x增大而增大，当x=1时，y=5.当x=−3时，y=−1，可得k+b=5 −3k+b=−1 ；
当k<0时，y随x增大而减小，当x=1时，y=−1，当x=−3时，y=5，可得k+b=−1 −3k+b=5 ，即可求得k值得出答案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，难度不大，属于基础题．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=2 2，
∴∠BAP+∠DAM=90°，
∵∠ADM=∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠AMD=90°，
∵AO=OD= 2，
∴OM=12AD= 2，
∴点M在以O为圆心， 2为半径的⊙O上，
∵OB= AB2+AO2=2 2，
∴BM≥OB−OM=2 2− 2= 2，
∴BM的最小值为 2．
故答案为： 2．
取AD的中点O，连接OB，OM，证明∠AMD=90°，推出OM=12AD=2 2，点M在以O为圆心， 2为半径的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得结论．
本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
17.【答案】解：原式=2 2÷12+ 22−(3−4)
=4 2+ 22+1
=9 22+1．
【解析】先化简各二次根式化，再利用平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】400 60 D
【解析】解：(1)本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%=400(名)，
∴B组的人数为：400×15%=60(名)，
∴m=60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B，C组的人数和为：20+96+60=176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
(2)E组的人数为：400−20−60−96−144=80(人)，
补全学生成绩频数分布直方图如下：
(3)3000×144+80400=1680(人)，
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人．
(1)由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，进而求得B组人数，根据中位数的定义，即可求解；
(2)求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
(3)由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可．
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，中位数的定义，补全频数分布直方图，根据统计图获取信息是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图，射线BD为所求；
(2)证明：∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC．
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
同理可证AB=AD，
∴AD=BC．
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)利用基本作图作∠ABF的平分线；
(2)利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB=∠BAC，则AB=BC，同理可证AB=AD，所以AD=BC，于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB=BC可判断四边形ABCD是菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知角的角平分线).也考查了菱形的性质．
20.【答案】钝角 锐角 钝角 锐角
【解析】解：【大胆猜测】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，设c为最长边，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；
当a2+b2>c2时，△ABC是锐角三角形；
当a2+b2
【小试牛刀】三边长分别为2，3，4，
当22+32= 132时，是直角三角形，斜边为 13，
而3< 13<4，
∴若三角形三边长为2，3，4，由上面的结论可知这是钝角三角形；
三角形三边长为5，8，8，当52+82= 892时，是直角三角形，斜边为 89，
而8< 89<9，
∴若三角形三边长为5，8，8，由上面的结论可知这是锐角三角形；
故答案为：钝角，锐角；
【深入研究】当a=2，b=4时，当最长边c= 22+42=2 5时，△ABC是直角三角形；
当最长边c满足4≤c<2 5时，△ABC是锐角三角形；
当最长边c满足2 5
【小试牛刀】利用勾股定理列式求出斜边的值，然后作出判断即可：
【深入研究】同(2)利用勾股定理列式求出斜边的值，分情况讨论即可得解．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//BC，
又∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=2，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=90°−∠B=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=30°，
∴AE=2EC=4，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC= AE2−EC2= 42−22=2 3，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=4 3，
即AB的长为4 3．
【解析】(1)证AD//BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得EC=AD=2，再由含30°角的直角三角形的性质得AE=2EC=4，进而由勾股定理得AC=2 3，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】3 3 ②③④ b<2
【解析】解：(1)当x=1时，y=2x+1=3，
∴a=3；
当x=2时，y=3，
∴b=3；
画出函数图象如图所示：
(2)由图象可知，①函数图象不关于x轴对称，故①错误；
②此函数无最小值，故②正确；
③此函数有最大值，且最大值为3，故③正确；
④当x<1时，y随x的增大而增大，故④正确；
故答案为：②③④．
(3)如图，
直线y1=x+b经过点(1,3)，则1+b=3，
∴b=2，
∴直线y1=x+b与函数y=2x+1(x≤1)3(x>1)始终有两个交点，
则b<2．
(1)分别把x=1，x=2代入函数解析式即可得到a，b的值，再利用描点法画图即可；
(2)结合函数图象可得答案；
(3)当直线y1=x+b经过点(1,3)时，b=2，结合函数图象可得答案．
本题考查利用一次函数研究方法研究新函数，利用图象法判断两个函数的交点情况等知识，熟练的利用图象是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为(20−x−y)，
则有：6x+5y+4(20−x−y)=100
整理得：y=−2x+20(1≤x≤9且为整数)；
(2)由(1)知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、−2x+20、x
由题意得：x≥5−2x+20≥5，
解得5≤x≤7.5，
因为x为整数，
所以x的值为5、6、7所以安排方案共有3种．
方案一：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车，
方案二：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车，
方案三：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；
W=6x×1200+5(−2x+20)×1600+4x×1000=−4800x+160000，
∵k=−4800<0
∴W的值随x的增大而减小，
要使利润W最大，则x=5，
W最大=−4800×5+160000=13600(元)，
答：当装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车时，获利最大，最大利润为13600元．
(3)由题意得：164200=5×6×(1200+m)+10×(−2x+20)×1600+4×5×1000，
解得m=940，
∴m的值为940．
【解析】(1)等量关系为：车辆数之和=20；
(2)关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥5；利润为：装运A种脐橙的车辆数×6×1200+装运B种脐橙的车辆数×5×1600+装运C种脐橙的车辆数×4×1000，然后按x的取值来判定．
(3)根据最大利润达到了164200元，列方程，然后按m的取值来判定．
本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵DE=2，
∴AE=AB=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠AEB=∠ABE=45°．
由对称性知∠BEM=45°，
∴∠AEM=90°．
(2)如图2，∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∵当N落在BC延长线上时，BN=BD=10，
∴CN=2．
由对称性得，∠ENC=∠BDC，
∴cos∠ENC=2EN=610，
得EN=103，
∴DE=EN=103．
∵BM=AB=CD，MN=AD=BC，
∴Rt△BMN≌Rt△DCB(HL)，
∴∠DBC=∠BNM，
∴MN//BD．
(3)如图3，当E在边AD上时，
∴∠BMC=90°，
∴MC= BC2−BM2=2 7．
∵BM=AB=CD，∠DEC=∠BCE，
∴△BCM≌△CED(AAS)，
∴DE=MC=2 7．
如图4，点E在边CD上时，
∵BM=6，BC=8，
∴MC=2 7，CN=8−2 7．
∵∠BMC=∠CNE=∠BCD=90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴BMCN=MCEN，
∴EN=MC⋅CNBM=8 7−143，
∴DE=EN=8 7−143．
综上所述，DE的长为2 7或8 7−143．
【解析】(1)由DE=2知，AE=AB=6，可知∠AEB=∠MEB=45°，从而得出答案；
(2)根据对称性得，∠ENC=∠BDC，则cos∠ENC=2EN=610，得EN=103，利用HL证明Rt△BMN≌Rt△DCB，得∠DBC=∠BNM，则MN//BD；
(3)当E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM≌△CED，得DE=MC，当点E在边CD上时，利用△BMC∽△CNE，则BMCN=MCEN，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，过点P作PQ⊥OA于Q，
∵PO=PA，PQ⊥OA，P(2,1)，
∴OQ=QA=2，
∴OA=4，
点A(4,0)．
(2)把P(2,1)代入y=kx中，
得2k=1，
解得k=12，
则y2=12x，
把A(4,0)，P(2,1)代入y=ax+b，
得4a+b=02a+b=1，
解得a=−12b=2，
∴y1=−12x+2．
(3)∵点D的横坐标为t，分别代入y1，y2中，
得y1=−12t+2，y2=12t，
∴D(t,−12t+2)，E(t,12t)，F(t,0)，
∵DE=2EF，
∴|−12t+2|=2|12t|，
当−12t+2=2×12t时，
解得t=43，
∴D(43,43)，
当−12t+2=2×(−12t)时，
解得t=−4，
∴D(−4,4)．
(4)由(3)可得：D(43,43)，F(43,0)，E(43,23)，
在y1=−12x+2中，令x=0，则y=2，
∴B(0,2)，
∵直线y=mx+n过点P(2,1)，
∴1=2m+n，即n=1−2m，
∴y=mx+1−2m，
如图，设直线y=mx+1−2m与y轴交于点Q，与直线DE交于点R，
令x=0，则y=1−2m，
∴Q(0,1−2m)，
令x=43，则y=−23m+1，
∴R(43,−23m+1)，
∴DR=43−(−23m+1)=23m+13，BQ=2−(1−2m)=1+2m，
∵过点P的直线y=mx+n将四边形OBDE分为两部分，且12≤S1S2≤2，
∴四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的13或23，
∵S四边形BDRQ=12×(DR+BQ)×xD=169m+89，S四边形OBDE=12×(23+2)×43=169，
∴169m+89=13×169或169m+89=23×169，
解得m=−16或m=16，
∴m的范围是−16≤m≤16．
【解析】(1)作PQ⊥OA于Q，利用等腰三角形的性质得到OQ=QA=2，即可求解；
(2)根据点的坐标，利用待定系数法求解即可；
(3)根据点D的横坐标，表示出D(t,−12t+2)，E(t,12t)，F(t,0)，再根据DE=2EF，列出绝对值方程解之即可：
(4)首先求出过点P的直线为y=mx+1−2m，设直线y=mx+1−2m与y轴交于点Q，与直线DE于点R，分别表示出点Q和点R的坐标，表示出DR，BQ，再根据已知得出四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的13或23，表示出四边形BDRQ的面积，列出方程再求解，结合图形即可得出m的范围．
本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，属于中考常考题型．
2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各代数式中，是二次根式的是( )
A. −5 B. 2 C. a D. 36
2. 下列计算正确的是( )
A. 3+ 2= 5 B. 8− 2= 2
C. (−4)×(−9)= −4× −9=6 D. (−4)2=−4
3. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab=24，大正方形的面积为129，则小正方形的边长为( )
A. 9 B. 10 C. 11 D. 12
4. 如图，每个小正方形的边长为1，点P、M、N是小正方形的顶点，则∠PNM度数是( )
A. 30°
B. 40°
C. 45°
D. 60°
5. 下列命题中，是真命题的有( )
①对角线互相平分的四边形是平行四边形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③四边相等的平行四边形是正方形
④四角相等的四边形是矩形
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
6. 如图，菱形ABCD面积为24，对角线AC=8，DE⊥AB于点E，则DE=( )
A. 3
B. 4
C. 125
D. 245
7. 已知y=(2m−1)x m2−3是正比例函数，且y随x的增大而减小，那么这个函数的解析式为( )
A. y=−5x B. y=5x C. y=3x D. y=−3x
8. 正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y=x+k的图象大致是( )
A. B.
C. D.
9. 某次射击比赛，甲队员的成绩如图，根据此统计图，下列结论中错误的是( )
A. 最高成绩是9.4环 B. 平均成绩是9环
C. 这组成绩的众数是9环 D. 这组成绩的方差是8.7
10. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC=60°，BC=2AB.下列结论：①AB⊥AC；②AD=4OE；③四边形AECF是菱形；④S△BOE=14S△ABC，其中正确结论的个数是( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 二次根式 x−2x−3中，字母x的取值范围是______ ．
12. 如图，某小区有一块四边形空地ABCD，为了美化小区环境，现计划在空地上铺上草坪，经测量∠A=90°，AB=20米，BC=24米，CD=7米，AD=15米，若铺一平方米草坪需要50元，铺这块空地需要投入资金______ 元.
13. 如图，直线y=x+2与直线y=ax+c相交于点P(m,3)，则关于x的不等式x+2≤ax+c的解集为______．
14. 今年某果园随机从甲、乙、丙三个品种的枇杷树中各选了10棵，每棵产量的平均数x−(单位：千克)及方差s2(单位：千克 2)如表所示：
甲
乙
丙
x−
45
45
42
s2
3.5
5.2
3.5
明年准备从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是______ ．
15. 已知一次函数y=kx+b(k是常数，k≠0)，当−3≤x≤1时，函数值y的取值范围是−1≤y≤5，则k的值为______ ．
16. 如图，四边形ABCD为矩形，AB= 6，BC=2 2，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，始终保持∠ADM=∠BAP，则BM的最小值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算： 8÷ 14+ 0.5−( 3+2)( 3−2).
18. (本小题6.0分)
2022年3月23日，“天宫课堂”第二课开讲.“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富在中国空间站为广大青少年又一次带来了精彩的太空科普课.为了激发学生的航天兴趣，某校举行了太空科普知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分为如下5组(满分100分)，A组：75≤x<80，B组：80≤x<85，C组：85≤x<90，D组：90≤x<95，E组：95≤2≤100，并绘制了如下不完整的统计图.请结合统计图，解答下列问题．
(1)本次调查一共随机抽取了______ 名学生的成绩，频数分布直方图中m= ______ ，所抽取学生成绩的中位数落在______ 组；
(2)补全学生成绩频数分布直方图；
(3)若成绩在90分及以上为优秀，学校共有3000名学生，估计该校成绩优秀的学生有多少人？
19. (本小题7.0分)
如图，AE//BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C．
(1)作∠ABF的平分线交AE于点D(尺规作图，保留痕迹，不写作法)；
(2)根据(1)中作图，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
20. (本小题7.0分)
阅读下列材料，然后回答问题：
在学习勾股定理后，王老师布置了一道阅读思考题：
在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，设c为最长边，当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；当a2+b2≠c2时，利用代数式a2+b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．
数学兴趣小组的同学展开了探究，通过画图发现当三角形三边长为6，8，9时，测量可知这是一个锐角三角形；当三角形三边长为6，8，11时，测量可知这是一个钝角三角形；
【大胆猜测】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，设c为最长边，当a2+b2
【小试牛刀】若三角形三边长为2，3，4，由上面的结论可知这是______ 三角形；若三角形三边长为5，8，8，由上面的结论可知这是______ 三角形．
【深入研究】当a=2，b=4时，最长边c满足4≤c<6，判断△ABC的形状并写出对应的c的取值范围．
21. (本小题7.0分)
如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠CAD=90°，点E在BC上，AE//DC．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若∠B=30°，AE平分∠BAC，AD=2，求AB的长．
22. (本小题8.0分)
在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程，小峰对函数y=2x+1(x≤1)3(x>1)的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答：
(1)列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象；
x
…
−3
−2
−1
0
1
2
…
y
…
−5
−3
−1
1
a
b
…
a= ______ ；b= ______ ．
(2)根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有______ ．
①函数图象关于x轴对称；
②此函数无最小值；
③此函数有最大值，且最大值为3；
④当x<1时，y随x的增大而增大．
(3)若函数y=2x+1(x≤1)3(x>1)与直线y1=x+b的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出b的取值范围为______ ．
23. (本小题10.0分)
我市某地组织20辆汽车装运A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售，按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满，相关信息如表：
脐橙品种
A
B
C
每辆汽车运载量(吨)
6
5
4
每吨脐橙获利(元)
1200
1600
1000
(1)设装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，求y与x的函数关系式；
(2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于5辆，那么如何安排车辆可使销售获利(不算人工和损耗)最大？并求出最大利润的值；
(3)在(2)的背景下，由于市场因素，A种脐橙每吨的获利上涨了m元(m<1000)，经过计算发现销售最大利润达到了164200元，求m的值．
24. (本小题10.0分)
如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连结MN．
(1)如图，当E在边AD上且DE=2时，求∠AEM的度数．
(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．
(3)当直线MN恰好经过点C时，求DE的长．
25. (本小题11.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=ax+b的图象与x轴，y轴交于A，B；与直线y2=kx交于P(2,1)，且PO=PA．
(1)求点A的坐标；
(2)求函数y1，y2的解析式；
(3)点D为直线y1=ax+b上一动点，其横坐标为t(t<2)，DF⊥x轴于点F，交y2=kx于点E，且DE=2EF，求点D的坐标；
(4)在(3)的条件下，如果点D在第一象限内，过点P的直线y=mx+n将四边形OBDE分为两部分，两部分的面积分别设为S1，S2.若12≤S1S2≤2，直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、−5不是二次根式，故A不符合题意．
B、 2是二次根式，故B符合题意．
C、当a<0时， a不是二次根式，故C不符合题意．
D、36不是二次根式，故D不符合题意．
故选：B．
二次根式的定义：一般地，我们把形如 a(a≥0)的式子叫做二次根式．
本题考查二次根式的定义，解题的关键是熟练运用二次根式的定义，本题属于基础题型．
2.【答案】B
【解析】解：A、 3与 2不能合并，故A不符合题意；
B、 8− 2=2 2− 2= 2，故B符合题意；
C、 (−4)×(−9)= 4×9= 4× 9=6，故C不符合题意；
D、 (−4)2=4，故D不符合题意；
故选：B．
根据二次根式的加法，减法，乘法法则，二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：由题意知小正方形的边长是a−b，由勾股定理得：a2+b2=129，
∵(a−b)2=a2+b2−2ab=129−2×24=81，
∴a−b=9(a>b)，
∴小正方形的边长为9．
故选：A．
由勾股定理得：a2+b2=129，又(a−b)2=a2+b2−2ab=129−2×24=81，由此即可求出a−b=9(a>b)，因此小正方形的边长为a9．
本题考查勾股定理，完全平方公式，算术平方根，关键是掌握勾股定理，完全平方公式．
4.【答案】C
【解析】解：连接PM，
由题意得：PM2=12+32=10，
PN2=22+42=20，
NM2=12+32=10，
∴PM2+MN2=PN2，
∴△PMN是直角三角形，
∴∠PMN=90°，
∵PM=MN= 10，
∴∠MPN=∠MNP=45°，
故选：C．
连接PM，先根据勾股定理的逆定理证明△PMN是直角三角形，从而可得∠PMN=90°，然后根据等腰直角三角形的性质即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确；
②对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题错误；
③四边相等的四边形是菱形，故原命题错误；
④四角相等的四边形是矩形，正确．
故选：B．
直接利用矩形、菱形、正方形的判定方法分别分析进而得出答案．
此题主要考查了命题与定理，正确把握特殊四边形的判定方法是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，
∴OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD，AC⊥BD，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×8⋅BD=24，
∴BD=6，
∴OB=3，
∴AB= OA2+OB2= 42+32=5，
又∵S菱形ABCD=AB⋅DE=24，
∴5DE=24，
解得：DE=245，
故选：D．
由菱形的性质得OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD，AC⊥BD，再由菱形的面积求出BD=6，进而由勾股定理求出AB=5，然后由菱形的面积等于底乘以高即可求解．
本题考查菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：由题意知m2−3=1且2m−1<0，
解得m=±2，且m<12，
∴m=−2．
∴y=−5x．
故选：A．
根据正比例函数的定义和性质列出关于m的不等式组，求出m的值即可．
本题考查的是正比例函数的定义和性质，熟记形如y=kx(k≠0)的函数叫正比例函数是关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，
∴k<0，
∵一次函数y=x+k的一次项系数大于0，常数项小于0，
∴一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限．
故选：A．
根据自正比例函数的性质得到k<0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y=x+k的图象经过第一、三、四象限．
本题考查了一次函数图象和性质．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知，最高成绩是9.4环，故选项A不符合题意；
平均成绩是110×(9.4×2+8.4+9.2×2+8.8+9×3+8.6)=9(环)，故选项B不合题意；
这组成绩的众数是9环，故选项C不合题意；
这组成绩的方差是110×[2×(9.4−9)2+(8.4−9)2+2×(9.2−9)2+(8.8−9)2+3×(9−9)2+(8.6−9)2]=0.096，故选项D符合题意．
故选：D．
根据题意分别求出这组数据的平均数、众数和方差即可判断．
此题主要考查了折线统计图，加权平均数，众数和方差，掌握平均数和方差的计算公式是解题关键．
10.【答案】A
【解析】解：∵点E为BC的中点，
∴BC=2BE=2CE，
又∵BC=2AB，
∴AB=BE，
∵∠ABC=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE=∠BEA=60°，
∴∠EAC=∠ECA=30°，
∴∠BAC=∠BAE+∠EAC=90°，
即AB⊥AC，故①正确；
在平行四边形ABCD中，AD//BC，AD=BC，AO=CO，
∴∠CAD=∠ACB，
在△AOF和△COE中，
∠OAF=∠OCEOA=OC∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA)，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵AB⊥AC，点E为BC的中点，
∴AE=CE，
∴平行四边形AECF是菱形，故③正确；
∴AC⊥EF，
在Rt△COE中，∠ACE=30°，
∴OE=12CE=14BC=14AD，故②正确；
在平行四边形ABCD中，OA=OC，
又∵点E为BC的中点，
∴S△BOE=12S△BOC=14S△ABC，故④正确；
正确的结论由4个，
故选：A．
通过判定△ABE为等边三角形求得∠BAE=60°，利用等腰三角形的性质求得∠EAC=30°，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含30°直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④．
本题考查平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，掌握菱形的判定是解题关键．
11.【答案】x≥2且x≠3
【解析】解：∵二次根式 x−2x−3有意义，
∴x−2≥0x−3≠0，
解得x≥2且x≠3．
故答案为：x≥2且x≠3．
先根据二次根式及分式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可．
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，根据题意列出关于x的不等式组是解答此题的关键．
12.【答案】11700
【解析】解：连接BD，
∵∠A=90°、AB=20米，AD=15米，
∴BD= AD2+AB2= 152+202=25(米)，
∵BC=24米，CD=7米，
∴BC2+CD2=242+72=252=BD2，
∴△BDC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB⋅AD+12BC⋅CD=12×20×15+12×24×7=150+84=234(平方米)，
则234×50=11700(元)，
即铺这块空地需要投入11700元．
故答案为：11700．
连接BD，先利用勾股定理求出BD的长，再用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，即可求出四边形ABCD的面积，再求出答案即可．
本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
13.【答案】x≤1
【解析】
【分析】
本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．
将点P(m,3)代入y=x+2，求出点P的坐标，再结合函数图象可知x+2≤ax+c的解集．
【解答】
解：点P(m,3)代入y=x+2，
∴m=1，
∴P(1,3)，
结合图象可知：当x≤1时，直线y=x+2不在直线y=ax+c的上方，
∴x+2≤ax+c的解集为x≤1．
14.【答案】甲
【解析】解：因为甲、乙的平均数比丙大，所以甲、乙的产量较高，
又甲的方差比乙小，所以甲的产量比较稳定，
即从这三个品种中选出一种产量既高又稳定的枇杷树进行种植，则应选的品种是甲；
故答案为：甲．
先比较平均数得到甲和乙产量较高，然后比较方差得到甲比较稳定．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了平均数．熟知这些知识点是解题的关键．
15.【答案】±32
【解析】解：当k>0时，y随x增大而增大，当x=1时，y=5；当x=−3时，y=−1，
可得k+b=5 −3k+b=−1 ，
∴k=32，
当k<0时，y随x增大而减小，当x=1时，y=−1，当x=−3时，y=5，
可得k+b=−1 −3k+b=5 ，
∴k=−32，
即k=±32，
故答案为：±32．
当k>0时，y随x增大而增大，当x=1时，y=5.当x=−3时，y=−1，可得k+b=5 −3k+b=−1 ；
当k<0时，y随x增大而减小，当x=1时，y=−1，当x=−3时，y=5，可得k+b=−1 −3k+b=5 ，即可求得k值得出答案．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征，难度不大，属于基础题．
16.【答案】 2
【解析】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，AD=BC=2 2，
∴∠BAP+∠DAM=90°，
∵∠ADM=∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM=90°，
∴∠AMD=90°，
∵AO=OD= 2，
∴OM=12AD= 2，
∴点M在以O为圆心， 2为半径的⊙O上，
∵OB= AB2+AO2=2 2，
∴BM≥OB−OM=2 2− 2= 2，
∴BM的最小值为 2．
故答案为： 2．
取AD的中点O，连接OB，OM，证明∠AMD=90°，推出OM=12AD=2 2，点M在以O为圆心， 2为半径的⊙O上，利用勾股定理求出OB，可得结论．
本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，应用直角三角形性质解决问题．
17.【答案】解：原式=2 2÷12+ 22−(3−4)
=4 2+ 22+1
=9 22+1．
【解析】先化简各二次根式化，再利用平方差公式计算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则、除法法则是解决问题的关键．
18.【答案】400 60 D
【解析】解：(1)本次调查一共随机抽取的学生总人数为：96÷24%=400(名)，
∴B组的人数为：400×15%=60(名)，
∴m=60，
∵所抽取学生成绩的中位数是第200个和第201个成绩的平均数，A，B，C组的人数和为：20+96+60=176，
∴所抽取学生成绩的中位数落在D组，
故答案为：400，60，D；
(2)E组的人数为：400−20−60−96−144=80(人)，
补全学生成绩频数分布直方图如下：
(3)3000×144+80400=1680(人)，
答：估计该校成绩优秀的学生有1680人．
(1)由C组的人数除以所占百分比得出本次调查一共随机抽取的学生成绩，进而求得B组人数，根据中位数的定义，即可求解；
(2)求出E组的人数，补全学生成绩频数分布直方图即可；
(3)由学校共有学生人数乘以成绩优秀的学生所占的比例即可．
本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，样本估计总体，中位数的定义，补全频数分布直方图，根据统计图获取信息是解题的关键．
19.【答案】(1)解：如图，射线BD为所求；
(2)证明：∵AE//BF，
∴∠DAC=∠ACB，
∵AC平分∠BAE，
∴∠DAC=∠BAC．
∴∠ACB=∠BAC，
∴AB=BC，
同理可证AB=AD，
∴AD=BC．
又∵AD//BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
【解析】(1)利用基本作图作∠ABF的平分线；
(2)利用角平分线和平行线的性质证明∠ACB=∠BAC，则AB=BC，同理可证AB=AD，所以AD=BC，于是可判断四边形ABCD是平行四边形，然后利用AB=BC可判断四边形ABCD是菱形．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作已知角的角平分线).也考查了菱形的性质．
20.【答案】钝角 锐角 钝角 锐角
【解析】解：【大胆猜测】在△ABC中，三边长分别为a，b，c，设c为最长边，
当a2+b2=c2时，△ABC是直角三角形；
当a2+b2>c2时，△ABC是锐角三角形；
当a2+b2
【小试牛刀】三边长分别为2，3，4，
当22+32= 132时，是直角三角形，斜边为 13，
而3< 13<4，
∴若三角形三边长为2，3，4，由上面的结论可知这是钝角三角形；
三角形三边长为5，8，8，当52+82= 892时，是直角三角形，斜边为 89，
而8< 89<9，
∴若三角形三边长为5，8，8，由上面的结论可知这是锐角三角形；
故答案为：钝角，锐角；
【深入研究】当a=2，b=4时，当最长边c= 22+42=2 5时，△ABC是直角三角形；
当最长边c满足4≤c<2 5时，△ABC是锐角三角形；
当最长边c满足2 5
【小试牛刀】利用勾股定理列式求出斜边的值，然后作出判断即可：
【深入研究】同(2)利用勾股定理列式求出斜边的值，分情况讨论即可得解．
本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，读懂题目信息，理解三角形为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形时的三条边的数量关系是解题的关键．
21.【答案】(1)证明：∵∠ACB=∠CAD=90°，
∴AD//BC，
又∵AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：由(1)可知，四边形AECD是平行四边形，
∴EC=AD=2，
∵∠B=30°，
∴∠BAC=90°−∠B=60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠EAC=12∠BAC=30°，
∴AE=2EC=4，
在Rt△AEC中，由勾股定理得：AC= AE2−EC2= 42−22=2 3，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=4 3，
即AB的长为4 3．
【解析】(1)证AD//BC，再由平行四边形的判定即可得出结论；
(2)由平行四边形的性质得EC=AD=2，再由含30°角的直角三角形的性质得AE=2EC=4，进而由勾股定理得AC=2 3，然后由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】3 3 ②③④ b<2
【解析】解：(1)当x=1时，y=2x+1=3，
∴a=3；
当x=2时，y=3，
∴b=3；
画出函数图象如图所示：
(2)由图象可知，①函数图象不关于x轴对称，故①错误；
②此函数无最小值，故②正确；
③此函数有最大值，且最大值为3，故③正确；
④当x<1时，y随x的增大而增大，故④正确；
故答案为：②③④．
(3)如图，
直线y1=x+b经过点(1,3)，则1+b=3，
∴b=2，
∴直线y1=x+b与函数y=2x+1(x≤1)3(x>1)始终有两个交点，
则b<2．
(1)分别把x=1，x=2代入函数解析式即可得到a，b的值，再利用描点法画图即可；
(2)结合函数图象可得答案；
(3)当直线y1=x+b经过点(1,3)时，b=2，结合函数图象可得答案．
本题考查利用一次函数研究方法研究新函数，利用图象法判断两个函数的交点情况等知识，熟练的利用图象是解题的关键．
23.【答案】解：(1)根据题意，装运A种脐橙的车辆数为x，装运B种脐橙的车辆数为y，那么装运C种脐橙的车辆数为(20−x−y)，
则有：6x+5y+4(20−x−y)=100
整理得：y=−2x+20(1≤x≤9且为整数)；
(2)由(1)知，装运A、B、C三种脐橙的车辆数分别为x、−2x+20、x
由题意得：x≥5−2x+20≥5，
解得5≤x≤7.5，
因为x为整数，
所以x的值为5、6、7所以安排方案共有3种．
方案一：装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车，
方案二：装运A种脐橙6车，B种脐橙8车，C种脐橙6车，
方案三：装运A种脐橙7车，B种脐橙6车，C种脐橙7车；
W=6x×1200+5(−2x+20)×1600+4x×1000=−4800x+160000，
∵k=−4800<0
∴W的值随x的增大而减小，
要使利润W最大，则x=5，
W最大=−4800×5+160000=13600(元)，
答：当装运A种脐橙5车，B种脐橙10车，C种脐橙5车时，获利最大，最大利润为13600元．
(3)由题意得：164200=5×6×(1200+m)+10×(−2x+20)×1600+4×5×1000，
解得m=940，
∴m的值为940．
【解析】(1)等量关系为：车辆数之和=20；
(2)关系式为：装运每种脐橙的车辆数≥5；利润为：装运A种脐橙的车辆数×6×1200+装运B种脐橙的车辆数×5×1600+装运C种脐橙的车辆数×4×1000，然后按x的取值来判定．
(3)根据最大利润达到了164200元，列方程，然后按m的取值来判定．
本题考查了一次函数的应用及不等式的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装在的几种方案是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)∵DE=2，
∴AE=AB=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴∠AEB=∠ABE=45°．
由对称性知∠BEM=45°，
∴∠AEM=90°．
(2)如图2，∵AB=6，AD=8，
∴BD=10，
∵当N落在BC延长线上时，BN=BD=10，
∴CN=2．
由对称性得，∠ENC=∠BDC，
∴cos∠ENC=2EN=610，
得EN=103，
∴DE=EN=103．
∵BM=AB=CD，MN=AD=BC，
∴Rt△BMN≌Rt△DCB(HL)，
∴∠DBC=∠BNM，
∴MN//BD．
(3)如图3，当E在边AD上时，
∴∠BMC=90°，
∴MC= BC2−BM2=2 7．
∵BM=AB=CD，∠DEC=∠BCE，
∴△BCM≌△CED(AAS)，
∴DE=MC=2 7．
如图4，点E在边CD上时，
∵BM=6，BC=8，
∴MC=2 7，CN=8−2 7．
∵∠BMC=∠CNE=∠BCD=90°，
∴△BMC∽△CNE，
∴BMCN=MCEN，
∴EN=MC⋅CNBM=8 7−143，
∴DE=EN=8 7−143．
综上所述，DE的长为2 7或8 7−143．
【解析】(1)由DE=2知，AE=AB=6，可知∠AEB=∠MEB=45°，从而得出答案；
(2)根据对称性得，∠ENC=∠BDC，则cos∠ENC=2EN=610，得EN=103，利用HL证明Rt△BMN≌Rt△DCB，得∠DBC=∠BNM，则MN//BD；
(3)当E在边AD上时，若直线MN过点C，利用AAS证明△BCM≌△CED，得DE=MC，当点E在边CD上时，利用△BMC∽△CNE，则BMCN=MCEN，从而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，根据题意画出图形，并运用分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)如图，过点P作PQ⊥OA于Q，
∵PO=PA，PQ⊥OA，P(2,1)，
∴OQ=QA=2，
∴OA=4，
点A(4,0)．
(2)把P(2,1)代入y=kx中，
得2k=1，
解得k=12，
则y2=12x，
把A(4,0)，P(2,1)代入y=ax+b，
得4a+b=02a+b=1，
解得a=−12b=2，
∴y1=−12x+2．
(3)∵点D的横坐标为t，分别代入y1，y2中，
得y1=−12t+2，y2=12t，
∴D(t,−12t+2)，E(t,12t)，F(t,0)，
∵DE=2EF，
∴|−12t+2|=2|12t|，
当−12t+2=2×12t时，
解得t=43，
∴D(43,43)，
当−12t+2=2×(−12t)时，
解得t=−4，
∴D(−4,4)．
(4)由(3)可得：D(43,43)，F(43,0)，E(43,23)，
在y1=−12x+2中，令x=0，则y=2，
∴B(0,2)，
∵直线y=mx+n过点P(2,1)，
∴1=2m+n，即n=1−2m，
∴y=mx+1−2m，
如图，设直线y=mx+1−2m与y轴交于点Q，与直线DE交于点R，
令x=0，则y=1−2m，
∴Q(0,1−2m)，
令x=43，则y=−23m+1，
∴R(43,−23m+1)，
∴DR=43−(−23m+1)=23m+13，BQ=2−(1−2m)=1+2m，
∵过点P的直线y=mx+n将四边形OBDE分为两部分，且12≤S1S2≤2，
∴四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的13或23，
∵S四边形BDRQ=12×(DR+BQ)×xD=169m+89，S四边形OBDE=12×(23+2)×43=169，
∴169m+89=13×169或169m+89=23×169，
解得m=−16或m=16，
∴m的范围是−16≤m≤16．
【解析】(1)作PQ⊥OA于Q，利用等腰三角形的性质得到OQ=QA=2，即可求解；
(2)根据点的坐标，利用待定系数法求解即可；
(3)根据点D的横坐标，表示出D(t,−12t+2)，E(t,12t)，F(t,0)，再根据DE=2EF，列出绝对值方程解之即可：
(4)首先求出过点P的直线为y=mx+1−2m，设直线y=mx+1−2m与y轴交于点Q，与直线DE于点R，分别表示出点Q和点R的坐标，表示出DR，BQ，再根据已知得出四边形BDRQ的面积为四边形OBDE的13或23，表示出四边形BDRQ的面积，列出方程再求解，结合图形即可得出m的范围．
本题考查一次函数综合题，考查了等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，与坐标轴的交点问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质，待定系数法求解析式，属于中考常考题型．
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