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2022-2023学年湖南省益阳市赫山区七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖南省益阳市赫山区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省益阳市赫山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. 3x−y=52y−z=6 B. x+3=1y=x2 C. 5x+2y=1xy=−1 D. x+y=2y−2x=4
2. 下列计算正确的是( )
A. a⋅a2=a2 B. (a2)3=a5 C. a+a2=a3 D. (ab2)2=a2b4
3. 若x2+2ax+16是完全平方式，则a的值是( )
A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8
4. 计算(−513)2023×(−235)2023的结果是( )
A. 2023 B. 0 C. −1 D. 1
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x+1=x(x+2)+1 B. a(x−y)=ax−ay
C. a2−b2=(a+b)(a−b) D. (x+1)(x+3)=x2+4x+3
6. 如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF(点E在线段BC上)，如果BC=8cm，EC=5cm，那么平移距离为( )
A. 3cm
B. 5cm
C. 8cm
D. 13cm
7. 已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=70°，则∠β的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
8. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是( )
A. 等边三角形 B. 圆 C. 长方形 D. 正方形
9. 数据−3，−2，2，3.6，x，5的中位数是2，那么这组数据的众数是( )
A. 1 B. 2 C. −3 D. −2
10. 观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1；
……
根据上述规律计算：2+22+23+⋯+264+265=( )
A. 266+1 B. 266+2 C. 266−1 D. 266−2
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 已知2x−3y=4，用含x的代数式表示y为：y= ______ ．
12. 若(mx+8)(2−3x)展开后不含x的一次项，则m= ______ ．
13. 如图，要从村庄P修一条连接公路l的最短的小道，应选择沿线段PC修建，理由是______ ．
14. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
15. 已知2a=3，2b=4，求22a+b的值______ ．
16. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是4元，3元，2元，1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______ ．
17. 我们所学的多项式因式分解的方法主要有：
①提公因式法；
②平方差公式法；
③完全平方公式法．
现将多项式(x−y)3+4(y−x)进行因式分解，使用的方法有______ .(填写所有正确的序号)
18. 如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5；
⑤∠D=∠5．
则一定能判定AB//CD的条件有______ (填写所有正确的序号)．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠COB、∠BOF的度数．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
解下列方程组
3x−y=83x−5y=−20．
21. (本小题8.0分)
先化简，再求值：a(a−2b)+(a+b)2−(a+b)(a−b)，其中a=1,b=−12．
22. (本小题10.0分)
“方程”是现实生活中十分重要的数学模型．请结合你的生活实际编写一道二元一次方程组的应用题，并使所列出的二元一次方程组为x=2yx+y=60，并写出求解过程．
23. (本小题10.0分)
利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的△ABC(顶点都在格点上)．
(1)先作出该三角形关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)再作将△A′B′C′绕点B′逆时针方向旋转90°后的△A″B′C″；
(3)求△A″B′C″的面积．
24. (本小题10.0分)
省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了七次测试，测试成绩如表(单位：环)：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
10
8
9
8
10
9
9
乙
10
7
10
10
9
8
9
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______ 环，乙的平均成绩是______ 环；
(2)分别计算甲，乙七次测试成绩的方差；
(3)根据(1)，(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.(计算方差的公式：s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2])
25. (本小题12.0分)
下面是某同学对多项式(a2−2a−1)(a2−2a+3)+4进行因式分解的过程．
解：设a2−2a=b，
原式=(b−1)(b+3)+4(第一步)
=b2+2b+1(第二步)
=(b+1)2(第三步)
=(a2−2a+1)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ ．
A.提取公因式
B.两数和乘以两数差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______ (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ ．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(a2−6a−1)(a2−6a+19)+100进行因式分解．
26. (本小题12.0分)
【问题情景】(1)如图1，AB//CD，∠PAB=135°，∠PCD=115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】(2)如图2，已知∠MON，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】(3)在(2)的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动(点P与点A，B，O三点不重合)”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、不是二元一次方程组，故此选项错误；
B、不是二元一次方程组，故此选项错误；
C、不是二元一次方程组，故此选项错误；
D、是二元一次方程组，故此选项正确，
故选：D．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的概念，关键是掌握二元一次方程组满足的三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．
2.【答案】D
【解析】解：A、a⋅a2=a3，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B不符合题意；
C、a与a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、(ab2)2=a2b4，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2+2ax+16是完全平方式，
∴2ax=±2⋅4x．
∴2ax=±8x．
∴a=±4．
故选：C．
根据完全平方式的结构特征解决此题．
本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：(−513)2023×(−235)2023
=[−513×(−135)]2023
=12023
=1，
故选：D．
利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
5.【答案】C
【解析】解：A、x2+2x+1=x(x+2)+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、a(x−y)=ax−ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2−b2=(a+b)(a−b)，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、(x+1)(x+3)=x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意平移的距离为BE=BC−EC=8−5=3(cm)，
故选：A．
观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离为BE，BE=8−5=3，进而可得答案．
本题考查平移的性质，本题关键是要找到平移的对应点．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=70°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=70°．
故选：C．
根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为70°．
本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．
8.【答案】B
【解析】解：A.等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
B.圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
C.长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
D.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：B．
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的定义及对称轴的描述．
9.【答案】B
【解析】解：∵数据−3，−2，2，3.6，x，5的中位数是2，
∴x=2，
∴这组数据的众数是2．
故选：B．
先根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义即可求解．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握众数与中位数的意义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：有上述规律可知：(x66−1)÷(x−1)
=x65+x64+…+x2+x+1
当x=2时，
即(266−1)÷(2−1)
=1+2+22+…+264+265
∴2+22+23+…+264+265=266−2．
故选：D．
先由规律，得到(x66−1)÷(x−1)的结果，令x=2得结论．
本题考查了平方差公式，数字的变化规律类题目，根据给出的式子特点，找到规律是解决本题的关键．
11.【答案】2x−43
【解析】解：2x−3y=4，
解得：y=2x−43．
故答案为：2x−43
将x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12.【答案】12
【解析】解：由题意得，乘积含x的一次项包括两部分，①mx×2，②8×(−3x)，
又∵(mx+8)(2−3x)展开后不含x的一次项，
∴2m−24=0，
解得：m=12．
故答案为12．
乘积含x的一次项包括两部分，①mx×2，②8×(−3x)，再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．
此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果不含一次项，难度一般．
13.【答案】垂线段最短
【解析】解：从直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，所以应选择沿PC修建．
故答案为：垂线段最短．
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段最短解答即可．
本题考查了垂线段最短，解题的关键是理解垂线段的定义．
14.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)
【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1)，
故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．
根据图1、图2的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
15.【答案】36
【解析】解：当2a=3，2b=4时，
22a+b
=22a×2b
=(2a)2×2b
=32×4
=9×4
=36．
故答案为：36．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】2.15元
【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是4×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.15(元)，
故答案为：2.15元．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
17.【答案】①②
【解析】解：原式=(x−y)3−4(x−y)
=(x−y)[(x−y)2−4]
=(x−y)(x−y+2)(x−y−2)．
故答案为：①②．
原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】①③④
【解析】解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD//CB；
③∵∠3=∠4，
∴AB//CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB//CD，
故答案为：①③④．
根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB//CD；
根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB//CD；
根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB//CD．
此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
19.【答案】解：∵OE⊥CD于点O，∠1=50°，
∴∠AOD=90°−∠1=40°，
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=40°．
∵OD平分∠AOF，
∴∠DOF=∠AOD=40°，
∴∠BOF=180°−∠BOC−∠DOF
=180°−40°−40°=100°．
【解析】此题利用余角和对顶角的性质，即可求出∠COB的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出∠BOF的度数．
此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义．
20.【答案】解：3x−y=8⋯①3x−5y=−20⋯②，
①−②得4y=28，
解得y=7，
把y=7代入①得：3x−7=8，
解得：x=5，
则方程组的解是x=5y=7．
【解析】①−②即可消去x求得y的值，然后把y的值代入方程①即可求得x的值，进而得到方程组的解．
本题考查的是二元一次方程的解法．解方程组的基本思想是消元，消元的方法有代入消元法和加减消元法两种．
21.【答案】解：原式=(a2−2ab)+(a2+2ab+b2)−(a2−b2)
=a2−2ab+a2+2ab+b2−a2+b2
=a2+2b2，
当a=1，b=−12时，
原式=1+2×(−12)2
=1+12
=32．
【解析】原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
22.【答案】解：应用题：我家里有60棵树，其中杨树是柳树的2倍，求杨树和柳树各有多少棵？
解答过程：设杨树x棵，柳树y．
棵依题意：x+y=60 ①x=2y ②
解得：x=40y=20
答：我家有杨树40棵，柳树20棵．
【解析】根据题意可知，有该应用题要求的是两个量，且两个未知量的关系式，一个未知量是另一个的2倍，两个未知量的总和是60.以这两个等量关系，编写二元一次方程组的应用题．
要注意未知量之间的关系，根据关系编写应用题．
23.【答案】(1)解：如图所示，△A′B′C′即为所求，
(2)如图所示，△A″B′C″即为所求；
(3)△A″B′C″的面积=12×3×2=3．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A′，C′的对应点A″，C″即可；
(3)利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查利用旋转设计图案，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
24.【答案】9 9
【解析】解：(1)甲：(10+8+9+8+10+9+9)÷7=9(环)，
乙：(10+7+10+10+9+8+9)÷7=9(环)；
故答案为：9，9；
(2)s甲2=17×[(10−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(9−9)2]=47；
s乙2=17×[(10−9)2+(7−9)2+(10−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(9−9)2]=87；
(3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的七次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
(1)根据图表得出甲、乙每次数据得出数据综合，再求出平均数即可；
(2)根据平均数，以及方差公式求出甲乙的方差即可；
(3)根据实际从稳定性分析得出即可．
此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
25.【答案】C 不彻底 (a−1)4
【解析】解：(1)由题意，根据两数和的完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：C．
(2)不彻底．理由如下：(a2−2a+1)2=(a−1)4．
故答案为：不彻底；(a−1)4．
(3)由题意，设b=a2−6a，
原式=(b−1)(b+19)+100
=b2+18b+81
=(b+9)2
=(a2−6a+9)2
=(a−3)4．
(1)依据题意，由两数和的完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2，进而判断可以得解；
(2)依据题意，由两数差的完全平方公式a2−2ab+b2=(a−b)2，从而可以进行判断得解；
(3)依据题意，设a2−6a=b，进而可以进行变形可以得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
26.【答案】解：(1)过点P作PE//AB，
∴∠APE=180°−∠A=45°，
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠CPE=180°−∠C=65°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=45°+65°=110°，
∴∠APC的度数为110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，
理由：过P作PE//AD交CD于E，
∴∠ADP=∠DPE=∠α，
∵AD//BC，
∴PE//BC，
∴∠BCP=∠CPE=∠β，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
(3)分两种情况：
当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α，
理由：如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∴∠ADP=∠DPE=∠α，
∵AD//BC，
∴PE//BC，
∴∠BCP=∠CPE=∠β，
∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α−∠β，
理由：如图4，过P作PE//AD交OD于E，
∴∠ADP=∠DPE=∠α，
∵AD//BC，
∴PE//BC，
∴∠BCP=∠CPE=∠β，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β，
综上所述，∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β．
【解析】(1)过点P作PE//AB，利用铅笔模型进行计算，即可解答；
(2)过P作PE//AD交CD于E，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
(3)分两种情况：当P在BA延长线时；当P在AB延长线时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
2022-2023学年湖南省益阳市赫山区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A. 3x−y=52y−z=6 B. x+3=1y=x2 C. 5x+2y=1xy=−1 D. x+y=2y−2x=4
2. 下列计算正确的是( )
A. a⋅a2=a2 B. (a2)3=a5 C. a+a2=a3 D. (ab2)2=a2b4
3. 若x2+2ax+16是完全平方式，则a的值是( )
A. 4 B. 8 C. ±4 D. ±8
4. 计算(−513)2023×(−235)2023的结果是( )
A. 2023 B. 0 C. −1 D. 1
5. 下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A. x2+2x+1=x(x+2)+1 B. a(x−y)=ax−ay
C. a2−b2=(a+b)(a−b) D. (x+1)(x+3)=x2+4x+3
6. 如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF(点E在线段BC上)，如果BC=8cm，EC=5cm，那么平移距离为( )
A. 3cm
B. 5cm
C. 8cm
D. 13cm
7. 已知∠α和∠β是对顶角，若∠α=70°，则∠β的度数为( )
A. 20° B. 30° C. 70° D. 110°
8. 下列四种图形中，对称轴条数最多的是( )
A. 等边三角形 B. 圆 C. 长方形 D. 正方形
9. 数据−3，−2，2，3.6，x，5的中位数是2，那么这组数据的众数是( )
A. 1 B. 2 C. −3 D. −2
10. 观察下列各式：
(x−1)(x+1)=x2−1；
(x−1)(x2+x+1)=x3−1；
(x−1)(x3+x2+x+1)=x4−1；
(x−1)(x4+x3+x2+x+1)=x5−1；
……
根据上述规律计算：2+22+23+⋯+264+265=( )
A. 266+1 B. 266+2 C. 266−1 D. 266−2
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 已知2x−3y=4，用含x的代数式表示y为：y= ______ ．
12. 若(mx+8)(2−3x)展开后不含x的一次项，则m= ______ ．
13. 如图，要从村庄P修一条连接公路l的最短的小道，应选择沿线段PC修建，理由是______ ．
14. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是 ．
15. 已知2a=3，2b=4，求22a+b的值______ ．
16. 某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是4元，3元，2元，1元，某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是______ ．
17. 我们所学的多项式因式分解的方法主要有：
①提公因式法；
②平方差公式法；
③完全平方公式法．
现将多项式(x−y)3+4(y−x)进行因式分解，使用的方法有______ .(填写所有正确的序号)
18. 如图，下列条件中：
①∠B+∠BCD=180°；
②∠1=∠2；
③∠3=∠4；
④∠B=∠5；
⑤∠D=∠5．
则一定能判定AB//CD的条件有______ (填写所有正确的序号)．
三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
19. 如图，直线AB、CD相交于O，OD平分∠AOF，OE⊥CD于点O，∠1=50°，求∠COB、∠BOF的度数．
四、解答题（本大题共7小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题8.0分)
解下列方程组
3x−y=83x−5y=−20．
21. (本小题8.0分)
先化简，再求值：a(a−2b)+(a+b)2−(a+b)(a−b)，其中a=1,b=−12．
22. (本小题10.0分)
“方程”是现实生活中十分重要的数学模型．请结合你的生活实际编写一道二元一次方程组的应用题，并使所列出的二元一次方程组为x=2yx+y=60，并写出求解过程．
23. (本小题10.0分)
利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的△ABC(顶点都在格点上)．
(1)先作出该三角形关于直线l成轴对称的△A′B′C′；
(2)再作将△A′B′C′绕点B′逆时针方向旋转90°后的△A″B′C″；
(3)求△A″B′C″的面积．
24. (本小题10.0分)
省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了七次测试，测试成绩如表(单位：环)：
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
甲
10
8
9
8
10
9
9
乙
10
7
10
10
9
8
9
(1)根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是______ 环，乙的平均成绩是______ 环；
(2)分别计算甲，乙七次测试成绩的方差；
(3)根据(1)，(2)计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由.(计算方差的公式：s2=1n[(x1−x−)2+(x2−x−)2+…+(xn−x−)2])
25. (本小题12.0分)
下面是某同学对多项式(a2−2a−1)(a2−2a+3)+4进行因式分解的过程．
解：设a2−2a=b，
原式=(b−1)(b+3)+4(第一步)
=b2+2b+1(第二步)
=(b+1)2(第三步)
=(a2−2a+1)2(第四步)
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______ ．
A.提取公因式
B.两数和乘以两数差公式
C.两数和的完全平方公式
D.两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底？______ (填“彻底”或“不彻底”).若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果______ ．
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式(a2−6a−1)(a2−6a+19)+100进行因式分解．
26. (本小题12.0分)
【问题情景】(1)如图1，AB//CD，∠PAB=135°，∠PCD=115°，求∠APC的度数；
【问题迁移】(2)如图2，已知∠MON，AD//BC，点P在射线OM上运动，当点P在A，B两点之间运动时，连接PD，PC，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，求∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系，并说明理由；
【知识拓展】(3)在(2)的条件下，若将“点P在A，B两点之间运动”改为“点P在A，B两点外侧运动(点P与点A，B，O三点不重合)”其他条件不变，请直接写出∠CPD与∠α，∠β之间的数量关系．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】
解：A、不是二元一次方程组，故此选项错误；
B、不是二元一次方程组，故此选项错误；
C、不是二元一次方程组，故此选项错误；
D、是二元一次方程组，故此选项正确，
故选：D．
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的概念，关键是掌握二元一次方程组满足的三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．
根据二元一次方程组的定义逐项判断即可．
2.【答案】D
【解析】解：A、a⋅a2=a3，故A不符合题意；
B、(a2)3=a6，故B不符合题意；
C、a与a2不属于同类项，不能合并，故C不符合题意；
D、(ab2)2=a2b4，故D符合题意；
故选：D．
利用同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，合并同类项的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
3.【答案】C
【解析】解：∵x2+2ax+16是完全平方式，
∴2ax=±2⋅4x．
∴2ax=±8x．
∴a=±4．
故选：C．
根据完全平方式的结构特征解决此题．
本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式的结构特征是解决本题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：(−513)2023×(−235)2023
=[−513×(−135)]2023
=12023
=1，
故选：D．
利用积的乘方的法则对式子进行运算即可．
本题主要考查积的乘方，解答的关键是熟记积的乘方的法则并灵活运用．
5.【答案】C
【解析】解：A、x2+2x+1=x(x+2)+1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、a(x−y)=ax−ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、a2−b2=(a+b)(a−b)，把一个多项式化为几个整式的积的形式，故此选项符合题意；
D、(x+1)(x+3)=x2+4x+3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案．
本题考查了因式分解的意义．掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式是解题关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意平移的距离为BE=BC−EC=8−5=3(cm)，
故选：A．
观察图象，发现平移前后，B、E对应，C、F对应，根据平移的性质，易得平移的距离为BE，BE=8−5=3，进而可得答案．
本题考查平移的性质，本题关键是要找到平移的对应点．
7.【答案】C
【解析】解：∵∠α和∠β是对顶角，∠α=70°，
∴根据对顶角相等可得∠β=∠α=70°．
故选：C．
根据对顶角相等可得∠β与∠α的度数相等为70°．
本题主要考查了对顶角相等的性质，比较简单．
8.【答案】B
【解析】解：A.等边三角形是轴对称图形，它有3条对称轴；
B.圆是轴对称图形，有无数条对称轴；
C.长方形是轴对称图形，有2条对称轴；
D.正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
故对称轴条数最多的图形是圆．
故选：B．
根据轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此分析各图形的对称轴条数即可求解．
此题考查轴对称图形的知识，关键是掌握轴对称图形的定义及对称轴的描述．
9.【答案】B
【解析】解：∵数据−3，−2，2，3.6，x，5的中位数是2，
∴x=2，
∴这组数据的众数是2．
故选：B．
先根据中位数的定义求出x的值，再根据众数的定义即可求解．
本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握众数与中位数的意义是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：有上述规律可知：(x66−1)÷(x−1)
=x65+x64+…+x2+x+1
当x=2时，
即(266−1)÷(2−1)
=1+2+22+…+264+265
∴2+22+23+…+264+265=266−2．
故选：D．
先由规律，得到(x66−1)÷(x−1)的结果，令x=2得结论．
本题考查了平方差公式，数字的变化规律类题目，根据给出的式子特点，找到规律是解决本题的关键．
11.【答案】2x−43
【解析】解：2x−3y=4，
解得：y=2x−43．
故答案为：2x−43
将x看做已知数求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看做已知数求出y．
12.【答案】12
【解析】解：由题意得，乘积含x的一次项包括两部分，①mx×2，②8×(−3x)，
又∵(mx+8)(2−3x)展开后不含x的一次项，
∴2m−24=0，
解得：m=12．
故答案为12．
乘积含x的一次项包括两部分，①mx×2，②8×(−3x)，再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．
此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果不含一次项，难度一般．
13.【答案】垂线段最短
【解析】解：从直线外一点与直线上的点的所有连线中，垂线段最短，所以应选择沿PC修建．
故答案为：垂线段最短．
从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．根据垂线段最短解答即可．
本题考查了垂线段最短，解题的关键是理解垂线段的定义．
14.【答案】x2−1=(x+1)(x−1)
【解析】解：图1的面积为：x2−1，拼成的图2的面积为：(x+1)(x−1)，
所以x2−1=(x+1)(x−1)，
故答案为：x2−1=(x+1)(x−1)．
根据图1、图2的面积相等可得答案．
本题考查平方差公式的几何背景，用代数式分别表示图1、图2的面积是正确解答的关键．
15.【答案】36
【解析】解：当2a=3，2b=4时，
22a+b
=22a×2b
=(2a)2×2b
=32×4
=9×4
=36．
故答案为：36．
利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
16.【答案】2.15元
【解析】解：这天销售的矿泉水的平均单价是4×10%+3×15%+2×55%+1×20%=2.15(元)，
故答案为：2.15元．
根据加权平均数的定义列式计算可得．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
17.【答案】①②
【解析】解：原式=(x−y)3−4(x−y)
=(x−y)[(x−y)2−4]
=(x−y)(x−y+2)(x−y−2)．
故答案为：①②．
原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，提公因式法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18.【答案】①③④
【解析】解：①∵∠B+∠BCD=180°，
∴AB//CD；
②∵∠1=∠2，
∴AD//CB；
③∵∠3=∠4，
∴AB//CD；
④∵∠B=∠5，
∴AB//CD，
故答案为：①③④．
根据平行线的判定方法：同旁内角互补，两直线平行可得①能判定AB//CD；
根据内错角相等，两直线平行可得③能判定AB//CD；
根据同位角相等，两直线平行可得④能判定AB//CD．
此题主要考查了平行线的判定，关键是熟练掌握平行线的判定定理．
19.【答案】解：∵OE⊥CD于点O，∠1=50°，
∴∠AOD=90°−∠1=40°，
∵∠BOC与∠AOD是对顶角，
∴∠BOC=∠AOD=40°．
∵OD平分∠AOF，
∴∠DOF=∠AOD=40°，
∴∠BOF=180°−∠BOC−∠DOF
=180°−40°−40°=100°．
【解析】此题利用余角和对顶角的性质，即可求出∠COB的度数，利用角平分线及补角的性质又可求出∠BOF的度数．
此题主要考查了余角，补角及角平分线的定义．
20.【答案】解：3x−y=8⋯①3x−5y=−20⋯②，
①−②得4y=28，
解得y=7，
把y=7代入①得：3x−7=8，
解得：x=5，
则方程组的解是x=5y=7．
【解析】①−②即可消去x求得y的值，然后把y的值代入方程①即可求得x的值，进而得到方程组的解．
本题考查的是二元一次方程的解法．解方程组的基本思想是消元，消元的方法有代入消元法和加减消元法两种．
21.【答案】解：原式=(a2−2ab)+(a2+2ab+b2)−(a2−b2)
=a2−2ab+a2+2ab+b2−a2+b2
=a2+2b2，
当a=1，b=−12时，
原式=1+2×(−12)2
=1+12
=32．
【解析】原式利用单项式乘多项式法则，完全平方公式，以及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
22.【答案】解：应用题：我家里有60棵树，其中杨树是柳树的2倍，求杨树和柳树各有多少棵？
解答过程：设杨树x棵，柳树y．
棵依题意：x+y=60 ①x=2y ②
解得：x=40y=20
答：我家有杨树40棵，柳树20棵．
【解析】根据题意可知，有该应用题要求的是两个量，且两个未知量的关系式，一个未知量是另一个的2倍，两个未知量的总和是60.以这两个等量关系，编写二元一次方程组的应用题．
要注意未知量之间的关系，根据关系编写应用题．
23.【答案】(1)解：如图所示，△A′B′C′即为所求，
(2)如图所示，△A″B′C″即为所求；
(3)△A″B′C″的面积=12×3×2=3．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
(2)利用旋转变换的性质分别作出A′，C′的对应点A″，C″即可；
(3)利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查利用旋转设计图案，轴对称变换等知识，解题的关键是掌握轴对称变换，旋转变换的性质，属于中考常考题型．
24.【答案】9 9
【解析】解：(1)甲：(10+8+9+8+10+9+9)÷7=9(环)，
乙：(10+7+10+10+9+8+9)÷7=9(环)；
故答案为：9，9；
(2)s甲2=17×[(10−9)2+(8−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(9−9)2]=47；
s乙2=17×[(10−9)2+(7−9)2+(10−9)2+(10−9)2+(9−9)2+(8−9)2+(9−9)2]=87；
(3)推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的七次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．
(1)根据图表得出甲、乙每次数据得出数据综合，再求出平均数即可；
(2)根据平均数，以及方差公式求出甲乙的方差即可；
(3)根据实际从稳定性分析得出即可．
此题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．
25.【答案】C 不彻底 (a−1)4
【解析】解：(1)由题意，根据两数和的完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2，
∴该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式．
故选：C．
(2)不彻底．理由如下：(a2−2a+1)2=(a−1)4．
故答案为：不彻底；(a−1)4．
(3)由题意，设b=a2−6a，
原式=(b−1)(b+19)+100
=b2+18b+81
=(b+9)2
=(a2−6a+9)2
=(a−3)4．
(1)依据题意，由两数和的完全平方公式a2+2ab+b2=(a+b)2，进而判断可以得解；
(2)依据题意，由两数差的完全平方公式a2−2ab+b2=(a−b)2，从而可以进行判断得解；
(3)依据题意，设a2−6a=b，进而可以进行变形可以得解．
本题主要考查了因式分解的应用，解题时要熟练掌握并准确计算是关键．
26.【答案】解：(1)过点P作PE//AB，
∴∠APE=180°−∠A=45°，
∵AB//CD，
∴PE//CD，
∴∠CPE=180°−∠C=65°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=45°+65°=110°，
∴∠APC的度数为110°；
(2)∠CPD=∠α+∠β，
理由：过P作PE//AD交CD于E，
∴∠ADP=∠DPE=∠α，
∵AD//BC，
∴PE//BC，
∴∠BCP=∠CPE=∠β，
∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；
(3)分两种情况：
当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α，
理由：如图3，过P作PE//AD交CD于E，
∴∠ADP=∠DPE=∠α，
∵AD//BC，
∴PE//BC，
∴∠BCP=∠CPE=∠β，
∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；
当P在AB延长线时，∠CPD=∠α−∠β，
理由：如图4，过P作PE//AD交OD于E，
∴∠ADP=∠DPE=∠α，
∵AD//BC，
∴PE//BC，
∴∠BCP=∠CPE=∠β，
∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β，
综上所述，∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠α−∠β．
【解析】(1)过点P作PE//AB，利用铅笔模型进行计算，即可解答；
(2)过P作PE//AD交CD于E，利用猪脚模型进行计算，即可解答；
(3)分两种情况：当P在BA延长线时；当P在AB延长线时，然后分别进行计算即可解答．
本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
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