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四川省成都七中2015-2016学年高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）（解析版）
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这是一份四川省成都七中2015-2016学年高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）（解析版），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
2．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（ ）
A．7，9 B．5，11 C．7，11 D．5，9
3．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（ ）
A．直线必经过点
B．x增加一个单位时，y平均增加个单位
C．样本数据中x=0时，可能有
D．样本数据中x=0时，一定有
4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①；
②∠BAC=60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（ ）
A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25]
6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知：，求z=x2+y2最小值为（ ）
A．13 B． C．1 D．
9．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（ ）
A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1
10．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案直接写在题中横线上.
13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60，70）的学生有40人，则成绩在[70，90）的有 人．
14．已知线段PQ的端点Q的坐标是（4，3），端点P在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是 ．
15．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为 ．
16．若直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）在两坐标轴上截距相等，则a的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
提示：线性回归方程y=a+bx，．
18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小．
20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．设圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣3m﹣2）2=4m2，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C1上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C1关于l对称的圆C2的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．
22．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．
2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】计算题．
【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值： =46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．
【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．
2．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（ ）
A．7，9 B．5，11 C．7，11 D．5，9
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；转化思想；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的A的值，当S=6时满足条件S＞5，退出循环，观察即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
A=1，S=1
输出A的值为1，S=2，不满足条件S＞5，A=3
输出A的值为3，S=3，不满足条件S＞5，A=5
输出A的值为5，S=4，不满足条件S＞5，A=7
输出A的值为7，S=5，不满足条件S＞5，A=9
输出A的值为9，S=6，满足条件S＞5，退出循环，结束．
故第3次和最后一次输出的A的值是5，9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据S的值判断退出循环前输出的A的值是解题的关键，属于基础题．
3．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（ ）
A．直线必经过点
B．x增加一个单位时，y平均增加个单位
C．样本数据中x=0时，可能有
D．样本数据中x=0时，一定有
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】线性回归方程中，直线必过点，x增加一个单位时，y平均增加个单位，样本数据中x=0时，可能有，也可能有．
【解答】解：线性回归方程一定过点，故A正确；
线性回归方程中，
x增加一个单位时，y平均增加个单位，故B正确；
线性回归方程中，
样本数据中x=0时，可能有，也可能有，故C正确，D不正确．
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．
4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①；
②∠BAC=60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】棱锥的结构特征；向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】常规题型．
【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以∠BAC=60°；③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．
【解答】解：BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；
AB=AC=BC，②对；
DA=DB=DC，结合②，③对④错．
故选B．
【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．
5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（ ）
A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25]
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】三角函数的图像与性质；空间向量及应用．
【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围．
【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），
∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2
=9+4﹣12（cosacosb+sinasinb）
=13﹣12cos（a﹣b）；
∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1，
∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25，
∴||的取值范围是[1，5]．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是基础题目．
6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】计算题．
【分析】如图，过F点作CC1的垂线，过E点作DD1的垂线，垂足分别为N，M．由于平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．得出四边形EFGH是平行四边形，从而有FGEH，再结合△GFN≌△HEM，即可得出DH的长．
【解答】解：如图，过F点作CC1的垂线，过E点作DD1的垂线，垂足分别为N，M．
由于平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴FGEH，
又FNEM，
∴△GFN≌△HEM，
∴GN=HM，而GN=CG﹣CN=CG﹣BF=5﹣4=1，
∴HM=1，
∴DH=DM+HM=AE+HM=3+1=4．
故选C．
【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形全等等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
7．已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；分析法；直线与圆．
【分析】直接利用直线倾斜角的范围求得其正切值的范围得答案．
【解答】解：∵60°＜α≤135°，
∴tanα或tanα≤﹣1，
又α为直线l的倾斜角，
∴k∈（﹣∞，﹣1]∪（）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题．
8．已知：，求z=x2+y2最小值为（ ）
A．13 B． C．1 D．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，则Z表示可行域内得点到原点的距离的平方．
【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：
由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线2x+y﹣2=0的距离d=．
∴z=x2+y2最小值为（）2=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，根据z的几何意义寻找最小距离是关键．
9．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（ ）
A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题．
【分析】求出圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标，关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．
【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）
所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1
故选B
【点评】本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．
10．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，
故弦心距d==．
再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】圆的切线方程．
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2
两圆圆心距离：，说明两圆相交，
因而公切线只有两条．
故选B．
【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．
12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案直接写在题中横线上.
13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60，70）的学生有40人，则成绩在[70，90）的有 25 人．
【考点】频率分布直方图．
【专题】图表型．
【分析】先利用频率=纵坐标×组距求出成绩在[60，70）的频率；利用频率=求出参加竞赛的学生人数，再利用频率=纵坐标×组距求出成绩在[70，90）的频率，再乘以样本容量，求出成绩在[70，90）的人数．
【解答】解：∵成绩在[60，70）的频率为0.04×10=0.4
又∵成绩在[60，70）的学生有40人，
∴参加竞赛的学生人数为
∵成绩在[70，90）的频率为（0.015+0.01）×10=0.25
∴成绩在[70，90）的人数为0.25×100=25
故答案为25
【点评】解决频率分布直方图有关的问题，要注意图中的纵坐标为；在求频率时常用到的公式有频率=．
14．已知线段PQ的端点Q的坐标是（4，3），端点P在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是 （x﹣）2+（y﹣）2=1 ．
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M点坐标（x，y），P点坐标为（x0，y0），运用中点坐标公式和点满足圆的方程，由代入消元，化简整理即可得到所求轨迹方程．
【解答】解：设M点坐标（x，y），P点坐标为（x0，y0），
∵M为PQ中点，∴，即x0=2x﹣4，
，即y0=2y﹣3，
∵P在圆上，∴，
从而（2x﹣4+1）2+（2y﹣3）2=4，
则M点轨迹方程（2x﹣3）2+（2y﹣3）2=4，
即为．
故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=1．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用中点坐标公式，以及代入法求方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
15．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为 0或6 ．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】直线与圆．
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，
∵AC⊥BC，
∴圆心C到直线AB的距离d=，
即d==，
即|a﹣3|=3，
解得a=0或a=6，
故答案为：0或6．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．
16．若直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）在两坐标轴上截距相等，则a的值为 0或2 ．
【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据直线过原点时和直线不过原点，从而求出a的值即可．
【解答】解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，∴a=2；
当直线不过原点时，由截距相等且均不为0，即a+1=1，∴a=0．
综上可知，a=0或a=2，
故答案为：0或2．
【点评】本题考查了直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
提示：线性回归方程y=a+bx，．
【考点】线性回归方程．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计．
【分析】（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，利用配回归直线方程，对数据预处理，求出预处理后的回归直线方程，从而求出对应的回归直线方程；
（II）利用所求的回归直线方程，计算2012年的粮食需求量即可．
【解答】解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，
下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份﹣2006 ﹣4 ﹣2 0 2 4
需求量﹣257 ﹣21 ﹣11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得
=0， =3.2，
b===6.5，
a=﹣b=3.2；
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
﹣257=b（x﹣2006）+a=6.5（x﹣2006）+3.2，
即=6.5（x﹣2006）+260.2；①
（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6.5（2012﹣2006）+260.2=6.5×6+260.2=299.2（万吨）≈300（万吨）．
【点评】本题考查了求线性回归方程以及利用回归直线方程预测结果的应用问题，是基础题目．
18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．
【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3，
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42，
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．
由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．
用B配方生产的产品平均一件的利润为
×[4×（﹣2）+54×2+42×4]=2.68（元）．
【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．
19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小．
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；证明题；空间角．
【分析】根据题意，以BC为直径的球与线段PD有交点，因此设BC的中点为O（即球心），取AD的中点M，连接OM，作ME⊥PD于点E，连接OE．要使以BC为直径的球与PD有交点，只要OE≤OC即可，设OC=OB=R，算出ME=，从而得到OE2=9+≤R2，解此不等式得R≥2，所以AD的取值范围[4，+∞）．最后根据AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，结合二面角平面角的定义和题中数据，易得此时二面角E﹣BC﹣A正切值．
【解答】解：若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点．
设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，
∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵矩形ABCD中，O、M是对边中点的连线
∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD，
作ME⊥PD交PD于点E，连接OE，
则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，
又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，
∴要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可．
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=，
∴OE2=9+ME2=9+
令OE2≤R2，即9+≤R2，解之得R≥2；
∴AD=2R≥4，得AD的取值范围[4，+∞），
当且仅当AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，
此时作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，连接EK，
可得BC⊥平面EHK，∠EKH即为二面角E﹣BC﹣A的平面角
∵以BC为直径的球半径R==OE，∴ME==，
由此可得ED==3，所以EH===
∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK
∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH==
即二面角E﹣BC﹣A的平面角正切值为．
【点评】本题给出特殊四棱锥，探索空间两条直线相互垂直的问题，并求二面角的正切值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知识点，属于中档题．
20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【考点】恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．
（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．
（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．
【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（﹣，0），B（0，1+2k），
又﹣＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）
=（4k++4）≥（4+4）=4，
当且仅当4k=，即k=时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．
【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．
21．设圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣3m﹣2）2=4m2，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C1上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C1关于l对称的圆C2的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．
【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】综合题．
【分析】（1）把m=1代入圆的方程和直线l的方程，分别确定出解析式，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，发现d大于半径r，故直线与圆的位置关系是相离，则圆上的点到直线l距离的最小值为d﹣r，求出值即可；
（2）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；
（3）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线x﹣2y=0上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，综上，得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．
【解答】解：（1）∵m=1，∴圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣5）2=4，直线l的方程为x﹣y+3=0，
所以圆心（﹣2，5）到直线l距离为：，
所以圆C1上的点到直线l距离的最小值为；（4分）
（2）圆C1的圆心为C1（﹣2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b），
则解得：，
∴圆C2的方程为（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4m2；
（3）由消去m得a﹣2b=0，
即圆C2的圆心在定直线x﹣2y=0上．（9分）
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，
则，即（﹣4k﹣3）m2+2（2k﹣1）bm+b2=0，
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，
所以有：解之得：，
所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为：，
故所求圆的公切线为x=0或．（14分）
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（3）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．
22．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．
【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）作出BD在α内的射影，根据勾股定理求出D到平面α的距离，即可求出线面角的大小；
（2）使用表示出，即可证明与，共面；
（3）对（2）中的结论两边平方，得出MN的长度表达式，根据θ的范围求出MN的最大值．
【解答】解：（1）设D在α上的射影为H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面，
∴过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，∴DK=AH．
设DH=h，则（AC﹣h）2+AH2=CD2，①
∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，
∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2﹣h2）②
将②代入①，得：（24﹣h）2+72+（242﹣h2）=252，解得h=12，
于是，∴∠DBH=30°，即BD与α所成的是30°．
（2）解：∵，，
∴2==．
∴共面．
∴一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行．
（3）由（2）得=，
∴=++=++cos（）=288（1+sinθ）．
∴MN==12．（θ∈[0，））．
∴12≤MN＜24．
∴当MN大于或大于24米时一定够用．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，直线共面的判断，向量法在几何中的应用，属于中档题．
2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
2．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（ ）
A．7，9 B．5，11 C．7，11 D．5，9
3．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（ ）
A．直线必经过点
B．x增加一个单位时，y平均增加个单位
C．样本数据中x=0时，可能有
D．样本数据中x=0时，一定有
4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①；
②∠BAC=60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（ ）
A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25]
6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知：，求z=x2+y2最小值为（ ）
A．13 B． C．1 D．
9．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（ ）
A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1
10．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案直接写在题中横线上.
13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60，70）的学生有40人，则成绩在[70，90）的有 人．
14．已知线段PQ的端点Q的坐标是（4，3），端点P在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是 ．
15．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为 ．
16．若直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）在两坐标轴上截距相等，则a的值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
提示：线性回归方程y=a+bx，．
18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小．
20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
21．设圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣3m﹣2）2=4m2，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C1上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C1关于l对称的圆C2的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．
22．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．
2015-2016学年四川省成都七中高二（上）期末数学模拟试卷（理科）（一）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是 （ ）
A．46，45，56 B．46，45，53 C．47，45，56 D．45，47，53
【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】计算题．
【分析】直接利用茎叶图求出该样本的中位数、众数、极差，即可．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值： =46．
众数是45，极差为：68﹣12=56．
故选：A．
【点评】本题考查该样本的中位数、众数、极差，茎叶图的应用，考查计算能力．
2．执行如图的框图，第3次和最后一次输出的A的值是（ ）
A．7，9 B．5，11 C．7，11 D．5，9
【考点】程序框图．
【专题】计算题；图表型；转化思想；算法和程序框图．
【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环输出的A的值，当S=6时满足条件S＞5，退出循环，观察即可得解．
【解答】解：模拟执行程序框图，可得
A=1，S=1
输出A的值为1，S=2，不满足条件S＞5，A=3
输出A的值为3，S=3，不满足条件S＞5，A=5
输出A的值为5，S=4，不满足条件S＞5，A=7
输出A的值为7，S=5，不满足条件S＞5，A=9
输出A的值为9，S=6，满足条件S＞5，退出循环，结束．
故第3次和最后一次输出的A的值是5，9．
故选：D．
【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，根据S的值判断退出循环前输出的A的值是解题的关键，属于基础题．
3．对于线性回归方程，下列说法中不正确的是（ ）
A．直线必经过点
B．x增加一个单位时，y平均增加个单位
C．样本数据中x=0时，可能有
D．样本数据中x=0时，一定有
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】线性回归方程中，直线必过点，x增加一个单位时，y平均增加个单位，样本数据中x=0时，可能有，也可能有．
【解答】解：线性回归方程一定过点，故A正确；
线性回归方程中，
x增加一个单位时，y平均增加个单位，故B正确；
线性回归方程中，
样本数据中x=0时，可能有，也可能有，故C正确，D不正确．
故选D．
【点评】本题考查线性回归方程的应用，是基础题．解题时要认真审题，注意熟练掌握基本概念．
4．如图，以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：
①；
②∠BAC=60°；
③三棱锥D﹣ABC是正三棱锥；
④平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直．
其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【考点】棱锥的结构特征；向量的数量积判断向量的共线与垂直．
【专题】常规题型．
【分析】①由折叠的原理，可知BD⊥平面ADC，可推知BD⊥AC，数量积为零，②因为折叠后AB=AC=BC，三角形为等边三角形，所以∠BAC=60°；③又因为DA=DB=DC，根据正三棱锥的定义判断．④平面ADC和平面ABC不垂直．
【解答】解：BD⊥平面ADC，⇒BD⊥AC，①错；
AB=AC=BC，②对；
DA=DB=DC，结合②，③对④错．
故选B．
【点评】本题是一道折叠题，主要考查折叠前后线线，线面，面面关系的不变和改变，解题时要前后对应，仔细论证，属中档题．
5．若A、B两点的坐标分别是A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），则||的取值范围是（ ）
A．[0，5] B．[1，5] C．（1，5） D．[1，25]
【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．
【专题】三角函数的图像与性质；空间向量及应用．
【分析】根据两点间的距离公式，结合三角函数的恒等变换，求出||的取值范围．
【解答】解：∵A（3cosa，3sina，1），B（2cosb，2sinb，1），
∴=（3cosa﹣2cosb）2+（3sina﹣2sinb）2+（1﹣1）2
=9+4﹣12（cosacosb+sinasinb）
=13﹣12cos（a﹣b）；
∵﹣1≤cos（a﹣b）≤1，
∴1≤13﹣12cos（a﹣b）≤25，
∴||的取值范围是[1，5]．
故选：B．
【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换与应用问题，是基础题目．
6．平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．若AE=3，BF=4，CG=5，则DH等于（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【考点】棱柱的结构特征．
【专题】计算题．
【分析】如图，过F点作CC1的垂线，过E点作DD1的垂线，垂足分别为N，M．由于平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．得出四边形EFGH是平行四边形，从而有FGEH，再结合△GFN≌△HEM，即可得出DH的长．
【解答】解：如图，过F点作CC1的垂线，过E点作DD1的垂线，垂足分别为N，M．
由于平面α与正四棱柱的四条侧棱AA1、BB1、CC1、DD1分别交于E、F、G、H．
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴FGEH，
又FNEM，
∴△GFN≌△HEM，
∴GN=HM，而GN=CG﹣CN=CG﹣BF=5﹣4=1，
∴HM=1，
∴DH=DM+HM=AE+HM=3+1=4．
故选C．
【点评】本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形全等等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
7．已知直线l的倾斜角为α，且60°＜α≤135°，则直线l斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线的斜率．
【专题】计算题；转化思想；分析法；直线与圆．
【分析】直接利用直线倾斜角的范围求得其正切值的范围得答案．
【解答】解：∵60°＜α≤135°，
∴tanα或tanα≤﹣1，
又α为直线l的倾斜角，
∴k∈（﹣∞，﹣1]∪（）．
故选：C．
【点评】本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角和斜率的关系，是基础题．
8．已知：，求z=x2+y2最小值为（ ）
A．13 B． C．1 D．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．
【分析】作出可行域，则Z表示可行域内得点到原点的距离的平方．
【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图：
由图可知原点到可行域内点的最小距离为原点到直线2x+y﹣2=0的距离d=．
∴z=x2+y2最小值为（）2=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，根据z的几何意义寻找最小距离是关键．
9．已知圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（ ）
A．（x+2）2+（y﹣2）2=1 B．（x﹣2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y+2）2=1 D．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1
【考点】关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】计算题．
【分析】求出圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标，关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．
【解答】解：圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1的圆心坐标（﹣1，1），关于直线x﹣y﹣1=0对称的圆心坐标为（2，﹣2）
所求的圆C2的方程为：（x﹣2）2+（y+2）2=1
故选B
【点评】本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．
10．已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（ ）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】直线与圆．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出弦心距，再由条件根据弦长公式求得a的值．
【解答】解：圆x2+y2+2x﹣2y+a=0 即 （x+1）2+（y﹣1）2=2﹣a，
故弦心距d==．
再由弦长公式可得 2﹣a=2+4，∴a=﹣4，
故选：B．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
11．两个圆C1：x2+y2+2x+2y﹣2=0与C2：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的公切线有且仅有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【考点】圆的切线方程．
【分析】先求两圆的圆心和半径，判定两圆的位置关系，即可判定公切线的条数．
【解答】解：两圆的圆心分别是（﹣1，﹣1），（2，1），半径分别是2，2
两圆圆心距离：，说明两圆相交，
因而公切线只有两条．
故选B．
【点评】本题考查圆的切线方程，两圆的位置关系，是基础题．
12．已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A．2 B．6 C．4 D．2
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．
【分析】求出圆的标准方程可得圆心和半径，由直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），求得a的值，可得点A的坐标，再利用直线和圆相切的性质求得|AB|的值．
【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）2+（y﹣1）2 =4，
表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．
由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1），
故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）．
∵AC==2，CB=R=2，
∴切线的长|AB|===6．
故选：B．
【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案直接写在题中横线上.
13．在某次法律知识竞赛中，将来自不同学校的学生的成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．已知成绩在[60，70）的学生有40人，则成绩在[70，90）的有 25 人．
【考点】频率分布直方图．
【专题】图表型．
【分析】先利用频率=纵坐标×组距求出成绩在[60，70）的频率；利用频率=求出参加竞赛的学生人数，再利用频率=纵坐标×组距求出成绩在[70，90）的频率，再乘以样本容量，求出成绩在[70，90）的人数．
【解答】解：∵成绩在[60，70）的频率为0.04×10=0.4
又∵成绩在[60，70）的学生有40人，
∴参加竞赛的学生人数为
∵成绩在[70，90）的频率为（0.015+0.01）×10=0.25
∴成绩在[70，90）的人数为0.25×100=25
故答案为25
【点评】解决频率分布直方图有关的问题，要注意图中的纵坐标为；在求频率时常用到的公式有频率=．
14．已知线段PQ的端点Q的坐标是（4，3），端点P在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是 （x﹣）2+（y﹣）2=1 ．
【考点】轨迹方程．
【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设M点坐标（x，y），P点坐标为（x0，y0），运用中点坐标公式和点满足圆的方程，由代入消元，化简整理即可得到所求轨迹方程．
【解答】解：设M点坐标（x，y），P点坐标为（x0，y0），
∵M为PQ中点，∴，即x0=2x﹣4，
，即y0=2y﹣3，
∵P在圆上，∴，
从而（2x﹣4+1）2+（2y﹣3）2=4，
则M点轨迹方程（2x﹣3）2+（2y﹣3）2=4，
即为．
故答案为：（x﹣）2+（y﹣）2=1．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意运用中点坐标公式，以及代入法求方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
15．已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为 0或6 ．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】直线与圆．
【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，
∵AC⊥BC，
∴圆心C到直线AB的距离d=，
即d==，
即|a﹣3|=3，
解得a=0或a=6，
故答案为：0或6．
【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．
16．若直线l：（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）在两坐标轴上截距相等，则a的值为 0或2 ．
【考点】直线的截距式方程；直线的一般式方程．
【专题】方程思想；综合法；直线与圆．
【分析】根据直线过原点时和直线不过原点，从而求出a的值即可．
【解答】解：当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距均为0，∴a=2；
当直线不过原点时，由截距相等且均不为0，即a+1=1，∴a=0．
综上可知，a=0或a=2，
故答案为：0或2．
【点评】本题考查了直线方程问题，考查分类讨论思想，是一道基础题．
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17．某地最近十年粮食需求量逐年上升，如表是部分统计数据：
年份 2002 2004 2006 2008 2010
需求量（万吨） 236 246 257 276 286
（Ⅰ）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
提示：线性回归方程y=a+bx，．
【考点】线性回归方程．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计．
【分析】（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，利用配回归直线方程，对数据预处理，求出预处理后的回归直线方程，从而求出对应的回归直线方程；
（II）利用所求的回归直线方程，计算2012年的粮食需求量即可．
【解答】解：（I）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，
下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份﹣2006 ﹣4 ﹣2 0 2 4
需求量﹣257 ﹣21 ﹣11 0 19 29
对预处理后的数据，容易算得
=0， =3.2，
b===6.5，
a=﹣b=3.2；
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
﹣257=b（x﹣2006）+a=6.5（x﹣2006）+3.2，
即=6.5（x﹣2006）+260.2；①
（II）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6.5（2012﹣2006）+260.2=6.5×6+260.2=299.2（万吨）≈300（万吨）．
【点评】本题考查了求线性回归方程以及利用回归直线方程预测结果的应用问题，是基础题目．
18．某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 8 20 42 22 8
B配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数 4 12 42 32 10
（1）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；
（2）已知用B配方生产的一件产品的利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为y=
估计用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B配方生产的上述100件产品平均一件的利润．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】概率与统计．
【分析】（1）由试验结果先求出用A配方生产的产品中优质品的频率和用B配方生产的产品中优质品的频率，由此能分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率．
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．由此能求出用B配方生产的产品平均一件的利润．
【解答】解：（1）由试验结果知，用A配方生产的产品中优质品的频率为=0.3，
所以用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3．
由试验结果知，用B配方生产的产品中优质品的频率为=0.42，
所以用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42．
（2）由条件知，用B配方生产的一件产品的利润大于0，当且仅当其质量指标值t≥94．
由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96．
所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96．
用B配方生产的产品平均一件的利润为
×[4×（﹣2）+54×2+42×4]=2.68（元）．
【点评】本题考查产品的优质品率的求法，考查产品平均一件的利润的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频数分布表的合理运用．
19．如图，四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE，求线段AD的取值范围，并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时，二面角E﹣BC﹣A正切值的大小．
【考点】二面角的平面角及求法．
【专题】计算题；证明题；空间角．
【分析】根据题意，以BC为直径的球与线段PD有交点，因此设BC的中点为O（即球心），取AD的中点M，连接OM，作ME⊥PD于点E，连接OE．要使以BC为直径的球与PD有交点，只要OE≤OC即可，设OC=OB=R，算出ME=，从而得到OE2=9+≤R2，解此不等式得R≥2，所以AD的取值范围[4，+∞）．最后根据AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，结合二面角平面角的定义和题中数据，易得此时二面角E﹣BC﹣A正切值．
【解答】解：若以BC为直径的球面与线段PD有交点E，由于点E与BC确定的平面与球的截面是一个大圆，则必有BE⊥CE，因此问题转化为以BC为直径的球与线段PD有交点．
设BC的中点为O（即球心），再取AD的中点M，
∵AB⊥AD，AB⊥AP，AP∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，
∵矩形ABCD中，O、M是对边中点的连线
∴OM∥AB，可得OM⊥平面PAD，
作ME⊥PD交PD于点E，连接OE，
则OE⊥PD，所以OE即为点O到直线PD的距离，
又∵OD＞OC，OP＞OA＞OB，点P，D在球O外，
∴要使以BC为直径的球与线段PD有交点，只要使OE≤OC（设OC=OB=R）即可．
由于△DEM∽△DAP，可求得ME=，
∴OE2=9+ME2=9+
令OE2≤R2，即9+≤R2，解之得R≥2；
∴AD=2R≥4，得AD的取值范围[4，+∞），
当且仅当AD=4时，点E在线段PD上惟一存在，
此时作EH∥PA交AD于H，再作HK⊥BC于K，连接EK，
可得BC⊥平面EHK，∠EKH即为二面角E﹣BC﹣A的平面角
∵以BC为直径的球半径R==OE，∴ME==，
由此可得ED==3，所以EH===
∵PA⊥平面ABCD，EH∥PA，∴EH⊥平面ABCD，得EH⊥HK
∵Rt△EHK中，HK=AB=3，∴tan∠EKH==
即二面角E﹣BC﹣A的平面角正切值为．
【点评】本题给出特殊四棱锥，探索空间两条直线相互垂直的问题，并求二面角的正切值，着重考查了空间垂直位置关系的证明和二面角平面角的作法，以及求二面角大小等知识点，属于中档题．
20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）．
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；
（3）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
【考点】恒过定点的直线；基本不等式在最值问题中的应用．
【专题】计算题．
【分析】（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，直线l过定点（﹣2，1）．
（2）要使直线l不经过第四象限，则直线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围．
（3）先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值．
【解答】解：（1）直线l的方程可化为y=k（x+2）+1，
故无论k取何值，直线l总过定点（﹣2，1）．
（2）直线l的方程可化为y=kx+2k+1，则直线l在y轴上的截距为2k+1，
要使直线l不经过第四象限，则，
解得k的取值范围是k≥0．
（3）依题意，直线l在x轴上的截距为﹣，在y轴上的截距为1+2k，
∴A（﹣，0），B（0，1+2k），
又﹣＜0且1+2k＞0，
∴k＞0，故S=|OA||OB|=×（1+2k）
=（4k++4）≥（4+4）=4，
当且仅当4k=，即k=时，取等号，
故S的最小值为4，此时直线l的方程为x﹣2y+4=0．
【点评】本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用（注意检验等号成立的条件）．
21．设圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣3m﹣2）2=4m2，直线l的方程为y=x+m+2．
（1）若m=1，求圆C1上的点到直线l距离的最小值；
（2）求C1关于l对称的圆C2的方程；
（3）当m变化且m≠0时，求证：C2的圆心在一条定直线上，并求C2所表示的一系列圆的公切线方程．
【考点】直线与圆的位置关系；关于点、直线对称的圆的方程．
【专题】综合题．
【分析】（1）把m=1代入圆的方程和直线l的方程，分别确定出解析式，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，发现d大于半径r，故直线与圆的位置关系是相离，则圆上的点到直线l距离的最小值为d﹣r，求出值即可；
（2）由圆的方程找出圆心坐标，设出圆心关于直线l的对称点的坐标，由直线l的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为﹣1求出直线C1C2的斜率，由圆心及对称点的坐标表示出斜率，等于求出的斜率列出一个关系式，然后利用中点坐标公式，求出两圆心的中点坐标，代入直线l的方程，得到另一个关系式，两关系式联立即可用m表示出a与b，把表示出的a与b代入圆C2的方程即可；
（3）由表示出的a与b消去m，得到a与b的关系式，进而得到圆C2的圆心在定直线x﹣2y=0上；分公切线的斜率不存在和存在两种情况考虑，当公切线斜率不存在时，容易得到公切线方程为x=0；当公切线斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，根据点到直线的距离公式表示出圆心（a，b）到直线y=kx+b的距离d，当d等于圆的半径2|m|，化简后根据多项式为0时各项的系数为0，即可求出k与b的值，从而确定出C2所表示的一系列圆的公切线方程，综上，得到所有C2所表示的一系列圆的公切线方程．
【解答】解：（1）∵m=1，∴圆C1的方程为（x+2）2+（y﹣5）2=4，直线l的方程为x﹣y+3=0，
所以圆心（﹣2，5）到直线l距离为：，
所以圆C1上的点到直线l距离的最小值为；（4分）
（2）圆C1的圆心为C1（﹣2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b），
则解得：，
∴圆C2的方程为（x﹣2m）2+（y﹣m）2=4m2；
（3）由消去m得a﹣2b=0，
即圆C2的圆心在定直线x﹣2y=0上．（9分）
①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为x=0；
②当公切线的斜率存在时，设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，
则，即（﹣4k﹣3）m2+2（2k﹣1）bm+b2=0，
∵直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，
所以有：解之得：，
所以C2所表示的一系列圆的公切线方程为：，
故所求圆的公切线为x=0或．（14分）
【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，以及关于点与直线对称的圆的方程．此题的综合性比较强，要求学生审清题意，综合运用方程与函数的关系，掌握直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径，在作（3）时先用消去参数的方法求定直线的方程，然后采用分类讨论的数学思想分别求出C2所表示的一系列圆的公切线方程．
22．随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．如图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量与，共面，写出证明过程）；
（3）如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24，请替设计师打消另一个疑虑：即MN要准备多长不用视AB，CD长度而定，只与θ有关（θ为设计的BD与α所成的角），写出MN与θ的关系式，并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度．
【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）作出BD在α内的射影，根据勾股定理求出D到平面α的距离，即可求出线面角的大小；
（2）使用表示出，即可证明与，共面；
（3）对（2）中的结论两边平方，得出MN的长度表达式，根据θ的范围求出MN的最大值．
【解答】解：（1）设D在α上的射影为H，∵AC⊥α，DH⊥α，∴AC∥DH，∴AC，DH共面，
∴过D作DK⊥AC于K，则AHDK为矩形，∴DK=AH．
设DH=h，则（AC﹣h）2+AH2=CD2，①
∵BD⊥AB，AB⊥DH，∴BH⊥AB，
∴AH2=AB2+BH2=AB2+（BD2﹣h2）②
将②代入①，得：（24﹣h）2+72+（242﹣h2）=252，解得h=12，
于是，∴∠DBH=30°，即BD与α所成的是30°．
（2）解：∵，，
∴2==．
∴共面．
∴一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行．
（3）由（2）得=，
∴=++=++cos（）=288（1+sinθ）．
∴MN==12．（θ∈[0，））．
∴12≤MN＜24．
∴当MN大于或大于24米时一定够用．
【点评】本题考查了线面垂直的性质，直线共面的判断，向量法在几何中的应用，属于中档题．
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