2022-2023学年山西省晋中市八年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省晋中市八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山西省晋中市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 不等式x+1≥−1的解集为(    )
A. x≥2 B. x≥−2 C. x≤2 D. x≤−2
2. 剪纸(中阳剪纸)经中华人民共和国国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，今年我市某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 已知m A. m−1−2n C. 13m<13n D. am 4. 作线段AB的垂直平分线有多种方法，“善思小组”用两把相同的直尺按如图方式摆放，此时，零刻度线重合于点E，连接EA，EB，取AB的中点F，作直线EF，则EF就是线段AB的垂直平分线，“善思小组”这样做的依据是(    )


A. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C. 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合
D. 三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
5. 如图在▱ABCD中，∠ADC的平分线交BC于点E，BE=2，▱ABCD的周长是20，则CD的长度是(    )
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
6. 下列分式是最简分式的为(    )
A. 2m10mn B. m2−n2m+n C. m2+n2m+n D. 2aa2
7. 如图所示在三角尺Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，某同学将三角尺绕点A顺时针旋转得到Rt△AB′C′，使点C的对应点C′落在AB边上，连接BB′，则∠ABB′的度数为(    )
A. 60°
B. 70°
C. 75°
D. 55°
8. 数形结合是解决数学问题常用的思想方法.如图直线y=3x−2与直线y=kx+b(k≠0)相交于点A(1,1)，根据图象可知，关于x的不等式3x−2≥kx+b的解集是(    )
A. x≥1
B. x>1
C. x<1
D. x≤1
9. 如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱MN垂直于地面，点M是AB的中点，MN=0.55m，在玩游戏中，小朋友离地面的最大距离是(    )


A. 0.8m B. 0.9m C. 1.1m D. 1.2m
10. 如图，Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2 2，小林同学将△ABC沿射线BC的方向平移到Rt△A′B′C′的位置，BB′=2，则阴影部分的面积为(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 化简x−1x÷x2−1x2的结果是______ ．
12. 菠萝是夏季的一种时令水果，外披坚硬晶亮的“铠甲”，铠甲由多个六边形组成，体现无坚不摧的几何之美.如图，∠B=125°，则∠A+∠C+∠D+∠E+∠F= ______ ．

13. 如图，太原方特大摆锤OA的长度为14米，当大摆锤OA绕点O顺时针旋转60°，到OB时，点B到OA的距离是______ 米.

14. 每年3月12日是植树节，晋中某校组织学生植树，购买A，B两种树苗共200棵，已知A种树苗每棵18元，B种树苗每棵22元，购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额，至少应购买A种树苗______ 棵.
15. 如图，CD是△ABC的中线，E是CD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AF=2，则AC长为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
(1)分解因式：3a3−27a；
(2)解不等式组2(x−1) 17. (本小题5.0分)
在第五章的复习课上，王老师带领同学们对异分母分式加减和解分式方程进行了对比学习，请仔细阅读下面两位同学的解题过程并完成相应的任务：

任务一：①小亮同学第一步的运算是______ (从下列四个选项中选出正确的一项)；其依据是______ ；
A.通分B.约分C.去分母D.因式分解
②小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是______ ；
任务二：小茵的解题步骤不完整，请你补充缺少的步骤．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(x21+x−x)÷x2−1x2+2x+1，其中x=12．
19. (本小题6.0分)
“大风车吱呀吱哟哟地转，这里的风景呀真好看，天好看，地好看，还有一起快乐的小伙伴.…..”这首欢快的歌，把我们拉回到快乐的童年记忆中.如图小默同学在边长为1的小正方形组成的网格中，以△ABC为基本图形，利用图形的旋转变换绘制风车风轮的平面图形.请根据下列要求解答问题．
(1)△ABC绕点A逆时针旋转______ 度得到△AB1C1；
(2)在图中画出将△ABC绕点A顺时针旋转180°后得到的△AB2C2；
(3)完整的风车风轮平面图形的面积______ ．

20. (本小题6.0分)
引体向上是《国家体质健康标准》初中男生的必测项目，主要测试上肢肌肉力量的发展水平，是自身力量克服自身重力的悬垂力量练习.小明和小刚在单杠上练习引体向上，每次引体向上身体上升的高度为握拳时手臂的长度，小明握拳时手臂长度比小刚的长0.1米.已知小明和小刚练习引体向上时自身重力相同，完成1次引体向上所做的功分别是350焦和300焦，求小刚握拳时手臂的长度是多少米？(所做的功=重力×上升高度)

21. (本小题7.0分)
如图所示：在▱ABCD中，连接BD．
(1)作线段BD的垂直平分线交AD于点E，交BC于点F(尺规作图保留作图痕迹)；
(2)求证：四边形BEDF是菱形．

22. (本小题8.0分)
综合与探究：如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为(0,−1)(−3,−2)，将线段AB进行适当的平移得到线段CD，且点B的对应点C的坐标为(0,4)．
(1)直接写出点D的坐标______ ；
(2)求出平移的距离；
(3)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使以点O，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在直接写出点E的坐标；若不存在请说明理由．

23. (本小题9.0分)
综合与实践：问题情境：数学课上，老师带领同学们“玩转直角三角形”的探究活动，老师将全等的两张直角三角形纸片Rt△ABC，Rt△FDE按如图1所示在同一平面内摆放，点A与点F重合，点C与点E重合，已知：Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ACB=∠FED=90°，∠BAC=∠DFE=30°，BC=DE=2．
初步探究：(1)“勤思小组”进行了如下操作：Rt△ABC保持不动，将Rt△FDE绕点A顺时针方向旋转，如图2所示，旋转角度为α(0°<α<180°)，直线DE与直线BC交于点G，在旋转过程中，发现始终有△ABE≌△ADC，请你帮他们写出证明过程；
深入探究：(2)“敏学小组”在“勤思小组”的操作方式下继续探究，提出问题：
①如图2，若连接AG，CE，请判断线段AG与CE的关系，并说明理由；
②如图3，当旋转角度α=60°时，Rt△DEF的边DF与AB边重合，则△BCE的面积为______ ．

答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：x+1≥−1，
移项，得：x≥−1−1，
合并同类项，得：x≥−2，
故选：B．
根据解一元一次不等式的方法可以解答本题．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．

2.【答案】C 
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】D 
【解析】解：∵m ∴m−1 ∵m ∴−2m>−2n，故B一定成立，不符合题意；
∵m ∴13m<13n，故C一定成立，不符合题意；
∵m ∴当a>0时，am 故选：D．
根据不等式的性质逐项判断即可．
本题考查不等式的性质，解题的关键是掌握在不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号方向改变．

4.【答案】A 
【解析】解：善思小组”这样做的依据是线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，
故选：A．
根据线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．

5.【答案】A 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD，CD=AB，AD//BC，
∴∠ADE=∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE=∠CDE，
∴∠CDE=∠DEC，
∴EC=CD，
∵BE=2，
∴BC−CD=2，
∵▱ABCD的周长是20，
∴BC+CD=12×20=10，
∴CD=4．
故选：A．
由四边形ABCD是平行四边形，可得BC=AD，CD=AB，AD//BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠DEC，又由DE平分∠ADC，可得∠CDE=∠DEC，根据等角对等边，可得EC=CD，根据平行四边形的周长公式即可得到结论．
此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．解决本题的关键是注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形．

6.【答案】C 
【解析】解：A．2m10mn=15n，故A不合题意；
B.m2+n2m+n=(m+n)(m−n)m+n=m−n.故B不合题意；
C.m2+n2m+n不能化简，故C符合题意；
D.2aa2=2a，故D不合题意；
故选：C．
对各个选项一一进行判断即可．
本题考查分式的化简及最简分式的定义，掌握化简法则是解题关键．

7.【答案】C 
【解析】解：由旋转得：∠BAC=∠B′AC′=30°，AB=AB′，
∴∠ABB′=∠AB′B=12(180°−∠B′AC)=75°，
故选：C．
根据旋转的性质可得：∠BAC=∠B′AC′=30°，AB=AB′，然后利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：∵直线y=3x−2与直线y=kx+b(k≠0)相交于点A(1,1)，
根据图象可知关于x的不等式3x−2≥kx+b的解集是x≥1，
故选：A．
根据图象即可确定不等式的解集．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．

9.【答案】C 
【解析】解：过点B作BH⊥AB′于H，
∵MN⊥AB′，M是AB的中点，
∴MN是△ABH的中位线，
∴BH=2MN=1.1(m)，
此时点A在地面上，小朋友离地面的距离最大，最大值为1.1m，
故选：C．
过点B作BH⊥AB′于H，根据三角形中位线定理解答即可．
本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2 2，
∴BC= AB2+AC2=4，∠B=∠ACB=45°，
∵BB′=2，
∴B′C=2，
∵Rt△ABC沿BC的方向平移得到Rt△A′B′C′的位置，
∴A′B′//AB，
∴∠B′DC=∠A=90°，∠DB′C=∠B=45°=∠DCB′，
∴DB′=DC，
在Rt△DB′C中，DB′2+DC2=2DC2=B′C2=22，
∴DB′=DC= 2，
∴S阴影部分=S△B′DC=12× 2× 2=1．
故选：A．
根据勾股定理求出BC，进而求出B′C，根据平移的性质证得△DB′C为等腰直角三角形，进而求出DB′，DC，根据三角形的面积公式即可求解．
本题考查了平移的性质，勾股定理，熟练掌握平移的性质和勾股定理，并证得△DB′C为等腰直角三角形是解决问题的关键．

11.【答案】xx+1 
【解析】解：x−1x÷x2−1x2
=x−1x⋅x2(x−1)(x+1)
=xx+1．
故答案为：xx+1．
把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的乘除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

12.【答案】595° 
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=(6−2)×180°=720°，而∠B=125°，
∴∠A+∠C+∠D+∠E+∠F=720°−125°=595°，
故答案为：595°．
根据多边形的内角和的计算方法求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，进而求出∠A+∠C+∠D+∠E+∠F即可．
本题考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和的计算公式是正确解答的关键．

13.【答案】7 3 
【解析】解：过点B作BC⊥OA，垂足为C，

∴∠BCO=90°，
由旋转得：OB=OA=14米，∠AOB=60°，
∴∠OBC=90°−∠BOA=30°，
∴OC=12OA=7(米)，BC= 3OC=7 3(米)，
∴点B到OA的距离是7 3米，
故答案为：7 3．
过点B作BC⊥OA，垂足为C，根据垂直定义可得∠BCO=90°，再根据旋转的性质可得：OB=OA=14米，∠AOB=60°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠OBC=30°，最后在Rt△OBC中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了旋转的性质，点到直线的距离，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

14.【答案】110 
【解析】解：设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗(200−x)棵，
根据题意得：18x≥22(200−x)，
解得：x≥110，
∴x的最小值为110，
即至少应购买A种树苗110棵．
故答案为：110．
设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗(200−x)棵，利用总价=单价×数量，结合购买A种树苗的金额不少于购买B种树苗的金额，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．

15.【答案】3 
【解析】解：取BF的中点H，连接DH，
∵BD=DA，BH=HF，
∴DH是△ABF的中位线，
∴DH=12AF=1，DH//AF，
∴∠EDH=∠ECF，
在△DEH和△CEF中，
∠EDH=∠ECFDE=CE∠DEH=∠CEF，
∴△DEH≌△CEF(ASA)，
∴CF=DH=1，
∴AC=AF+CF=3，
故答案为：3．
取BF的中点H，连接DH，根据三角形中位线定理得到DH=12AF=1，DH//AF，证明△DEH≌△CEF，根据全等三角形的性质求出CF，进而求出AC．
本题考查的是三角形中位线定理、三角形全等的判定和性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．

16.【答案】解：(1)3a3−27a=3a(a2−9)=3a(a+3)(a−3)；
(2)解第一个不等式得：x<3，
解第二个不等式得：x≤43，
把不等式的解集表示在数轴上为：

所以不等式组的解集为：x≤43． 
【解析】(1)先提公因式，再利用平方差分解；
(1)先解每一个不等式，再根据数轴求公共部分．
本题考查了因式分解和不等式组的解，掌握因式分解的方法及不等式组的解法是解题的关键．

17.【答案】A  分式的基本性质  等式的基本性质 
【解析】解：任务一：①小亮同学第一步的运算是通分；其依据是分式的基本性质；
②小茵同学第一步的运算是去分母，其依据是等式的基本性质；
故答案为：①A；分式的基本性质；
②等式的基本性质；
任务二：小茵的解题步骤不完整，补充缺少的步骤如下：
检验：当x=−6时，x(x−3)≠0，
∴x=−6是原方程的根．
任务一：①根据异分母分式加减法法则进行计算，即可解答；
②按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答；
任务二：根据解分式方程必须要检验，进行计算即可解答．
本题考查了解分式方程，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．

18.【答案】解：(x21+x−x)÷x2−1x2+2x+1
=x2−x−x21+x⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−x1+x⋅(x+1)2(x+1)(x−1)
=−xx−1，
当x=12时，原式=−1212−1=−12−12=1， 
【解析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把x的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】90  20 
【解析】解：(1)△ABC绕点A逆时针旋转90度得到△AB1C1；
故答案为：90；
(2)如图所示，△AB2C2即为所求；
(3)完整的风车风轮平面图形的面积=4×12×2×5=20．
故答案为：20．
(1)根据旋转的性质结合图形即可得到结论；
(2)根据旋转的性质作出图形即可；
(3)根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了利用旋转设计图案，旋转的性质，三角形的面积的计算，正确地作出图形是解题的关键．

20.【答案】解：设小刚握拳时手臂的长度是x米，则小明握拳时手臂的长度是(x+0.1)米，
根据题意得：350x+0.1=300x，
解得：x=0.6，
经检验，x=0.6是所列方程的解，且符合题意．
答：小刚握拳时手臂的长度是0.6米． 
【解析】设小刚握拳时手臂的长度是x米，则小明握拳时手臂的长度是(x+0.1)米，利用重力=所做的功÷上升高度，结合小明和小刚练习引体向上时自身重力相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

21.【答案】(1)解：如图，EF为所作；

(2)证明：∵EF垂直平分BD，
∴EF⊥BD，OB=OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC//AD，
∴∠FBO=∠EDO，
在△BOF和△DOE中，
∠FBO=∠EDOOB=OD∠BOF=∠DOE，
∴△BOF≌△DOE(ASA)，
∴OF=OE，
∴BD与EF互相垂直平分，
∴四边形BEDF为菱形． 
【解析】(1)利用基本作图作BD的垂直平分线即可；
(2)先利用线段垂直平分线的性质得到EF⊥BD，OB=OD，再利用平行四边形的性质和平行线的性质得到∠FBO=∠EDO，则可证明△BOF≌△DOE，所以OF=OE，则BD与EF互相垂直平分，从而可判断四边形BEDF为菱形．
本题考查了作图−复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质和平行四边形的判定与性质．

22.【答案】(3,5) 
【解析】解：(1)∵点B(−3,−2)，点C的坐标为(0,4)，
∴把点B向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度得到点C，
∵将线段AB进行适当的平移得到线段CD，点A的坐标为(0,−1)，
∴D(3,5)；
故答案为：(3,5)；
(2)平移的距离= (−3−0)2+(−2−4)2=3 5；
(3)①当OC=DE=4，OC//DE时，四边形OCED是平行四边形，
∴E(3,9)；
②当CD//OE，CE//OD时，四边形CEODD是平行四边形，
∴E(−3,−1)；
③当CD//OE，OC//DE时，四边形OCDE是平行四边形，
∴E(3,1)，
综上所述，存在一点E(3,9)或(−3,−1)或(3,1)，使以点O，C，D，E为顶点的四边形是平行四边形．
(1)由点B(−3,−2)，点C的坐标为(0,4)得到平移的规律，于是得到结论；
(2)根据两点间的距离公式即可得到结论；
(3)根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论．
本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，点的坐标，两点间的距离公式，平行四边形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．

23.【答案】 3 
【解析】(1)证明：由题意可知，Rt△ABC≌Rt△FDE，
∴AB=AD(FD)，AC=AE(FE)，∠BAC=∠DFE，
∴∠BAC−∠CAE=DFE−∠CAE，即∠BAE=∠DAC，
在△ABE和△ADC中，
AB=AD∠BAE=∠DACAE=AC，
∴△ABE≌△ADC(SAS)；
(2)解：①AG垂直平分CE，理由如下：
如图，连接连接AG，CE，

由(1)知，AC=AE，∠ACB=∠AED=90°，
在Rt△AEG和Rt△ACG中，
AE=ACAG=AG，
∴Rt△AEG≌Rt△ACG(HL)，
∴EG=CG，
∴点G在线段CE的垂直平分线上，
∵AE=AC，
∴点A在线段CE的垂直平分线上，
∴AG垂直平分CE；
②如图，过点E作EH⊥CB的延长线于点H，

∵∠ACB=∠FED=90°，∠BAC=∠DFE=30°，
∴∠ABC=∠ABE=60°，
∴∠EBH=180°−∠ABC−∠ABE=180°−60°−60°=60°，
∴∠BEH=90°−∠EBH=90°−60°=30°，
在Rt△EBH中，BH=12DE=12×2=1，EH= 3BH= 3，
∴S△BCE=12BC⋅EH=12×2× 3= 3．
故答案为： 3．
(1)由题意易得AB=AD(FD)，AC=AE(FE)，∠BAC=∠DFE，由同角加等角相等可得∠BAE=∠DAC，于是即可通过SAS证明△ABE≌△ADC；
(2)①易通过HL证明Rt△AEG≌Rt△ACG，得到EG=CG，由EG=CG，AE=AC可得结论AG垂直平分CE；
②过点E作EH⊥CB的延长线于点H，易得∠ABC=∠ABE=60°，利用平角的定义可求出∠EBH=60°，由三角形内角和定理求得∠BEH=30°，利用含30度角的直角三角形性质求出EH= 3，最后根据三角形面积公式计算即可求解．
本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形性质、三角形的面积，熟练掌握判定三角形全等的方法，熟知含30度角的直角三角形性质是解题关键．