2021-2022学年山西省晋中市介休市八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年山西省晋中市介休市八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 若，则下列不等式不一定成立的是

A.  B.  C.  D.

2. 在下列现象中，属于平移的是

A. 荡秋千 B. 月亮绕地球运动
C. 红旗的飘动 D. 黑板的左右移动

3. 不等式的解集在数轴上表示正确的是

A.  B.
C.  D.

4. 如图，在正方形网格中，绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心可能是

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

5. 不等式组的最大负整数解为

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，，，是线段的垂直平分线，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，方格纸中的经过变换，可以得到，则正确的变换方法是

A. 将向右平移格
B. 将向右平移格，再向下平移格
C. 将绕点按逆时针方向旋转后，再向下平移格
D. 将绕点按顺时针方向旋转后，再向下平移格

8. 如图，螳螂亦称刀螂，无脊椎动物，属肉食性昆虫．在螳螂的示意图中，，是等腰三角形，，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

9. 某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶个，市场上有型和型两种分类垃圾桶，型分类垃圾桶元个，型分类垃圾桶元个，总费用不超过元，则不同的购买方式有

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

10. 图是一个地铁站入口的双翼闸机．如图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为

A.  B.  C.   D.

二、填空题（本大题共5小题，共15分）

11. 如果关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，那么的值为______．
12. 小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线，另一把直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小明说：“射线就是的角平分线．”小明的做法，其理论依据是______．
    
     

13. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于的不等式的解集为______．
    
     

14. 某品牌服装的进价为元，出售时标价为元，为促销，商店决定降价销售，但是要保证利润不低，那么商店最多降价______元出售．
    
    
     

15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为______．
    
     

三、解答题（本大题共8小题，共75分）

16. 下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务．
    解：去分母，得，第一步；
    去括号，得，第二步；
    移项、合并同类项，得，第三步；
    两边都除以，得第四步；
    任务一：填空：
    以上运算步骤中，去分母的依据是______；
    第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
    任务二：请直接写出正确的计算结果；
    任务三：除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，解一元一次不等式时，还需要注意的事项给其他同学提一条建议．
17. 解下列不等式组，并在数轴上表示出不等式组的解集：
    ；
    ．
18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，坐标分别为，，．
    画出关于轴对称的；
    画出将绕原点顺时针旋转所得的；
    与成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标．

19. 足球和篮球都是对人体有益的运动，深受大家喜欢．为了进一步丰富校园活动，学校准备购买一批足球和篮球，已知购买个足球和个篮球的费用相同；购买个足球和个篮球共需元．
    求每个足球和篮球的价格各多少元？
    如果学校计划购买足球和篮球共个，总费用不超过元，那么最多能买多少个篮球？
20. 如图，在中，，是的一个外角．
    实践与操作：
    根据要求尺规作图，并在图中标明相应字母保留作图痕迹，不写作法．
    作的平分线；
    作线段的垂直平分线，与交于点，与边交于点，连接、
    若，，求的长．
21. 全球棉花看中国，中国棉花看新疆．新疆棉花品质优，产量大，甲、乙两个供货商提供的棉花品质一样，报价均为元吨，某纺织厂计划购进吨新疆棉花，两个供货商分别给出如下优惠方案：
    甲：一次性购进吨以上时，每吨的售价优惠；
    乙：一次性购进吨以上时，吨及吨以内的部分按报价付费，超过吨的部分，每吨的售价优惠不计其他费用；
    怎样购买更实惠？请你写出分析过程．
22. 已知和都是等腰三角形，且，，．
    初步感知如图，当点、分别落在边、上时，那么 ______填、或
    发现证明如图，将图中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：；
    深入研究如图，如果和都是等边三角形，且点、、在同一条直线上，则的度数为______；线段、之间的数量关系为______；
    拓展应用如图，如果和都是等腰直角三角形，，点、、在同一直线上，作，若，，求的长．

23. 如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为．
    根据以上信息，回答下面问题：
    求的长度；
    当为何值时，点在边的垂直平分线上？
    当点在边上运动时，是否存在的值，使为等腰三角形，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，
，，，
而不一定大于，例如，．
故选：．
利用不等式的基本性质判断即可．
此题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、荡秋千，属于旋转，故A不符合题意；
B、月亮绕地球运动，不属于平移，故B不符合题意；
C、红旗的飘动，不属于平移，故C不符合题意；
D、黑板的左右移动，属于平移，故D符合题意；
故选：．
根据平移的定义，逐一判断即可．
本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由，得
，
故选：．
根据不等式解集的表示方法，可得答案．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】

【解析】解：如图，

绕某点旋转一定的角度，得到，
连接、、，
作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，
三条线段的垂直平分线正好都过，
即旋转中心是．
故选：．
连接、、，作的垂直平分线，作的垂直平分线，作的垂直平分线，交点为旋转中心．
本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．
 

5.【答案】

【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
则不等式组最大负整数解为．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而确定出最大负整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：连接，
是线段的垂直平分线，
，
设，则，
，，
，
，
解得，
即，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质，可以得到，然后设，即可用的代数式表示出和，再根据勾股定理即可求得的长．
本题考查勾股定理、线段垂直平分线的性质，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：根据图形，绕着点顺时针方向旋转与形状相同，向下平移格就可以与重合，
如图：

故选：．
观察图形可知，先把绕着点顺时针方向旋转，然后再向下平移即可得到．
本题考查了几何变换的类型，旋转变换和平移变换只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，本题用到了旋转变换与平移变换，对识图能力要求比较高．
 

8.【答案】

【解析】解：延长，交于，
是等腰三角形，，
，
，
，
，
，
故选：．
延长，交于，根据等腰三角形的性质得出，根据平行线的性质得出，由三角形外角的性质即可求得的度数．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
设购买 型分类垃圾桶 个，则购买 型分类垃圾桶 个，根据总价 单价 数量，结合总费用不超过 元，即可得出关于 的一元一次不等式，解之即可得出 的取值范围，再结合 ， 均为非负整数，即可得出 的可能值，进而可得出购买方案的数量．
【解答】
解：设购买 型分类垃圾桶 个，则购买 型分类垃圾桶 个，
依题意，得： ，
解得： ．
， 均为非负整数，
可以为 ， ， ，
共有 种购买方案．
故选 B ．   

10.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．过 作 于 ，过 作 于 ，则可得 和 的长，依据端点 与 之间的距离为 ，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【解答】
解：如图所示，过 作 于 ，过 作 于 ，则
中， ，
同理可得， ，
又 点 与 之间的距离为 ，
通过闸机的物体的最大宽度为 ，
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：根据题意知，
，
则，
故答案为：．
根据不等式的解集及其在数轴上的表示得出关于的方程，解之可得答案．
本题主要考查解一元一次不等式及不等式解集在数轴上的表示，解题的关键是根据解集在数轴上的表示得出关于的方程．
 

12.【答案】在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上

【解析】解：如图所示：过两把直尺的交点作，，

两把完全相同的长方形直尺，
，
平分角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，
故答案为：在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上．
过两把直尺的交点作，，根据题意可得，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，可得平分．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
 

13.【答案】

【解析】解：把代入得，
解得，
则，
因为当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故答案为．
先利用解析式确定点坐标，然后结合函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

14.【答案】

【解析】解：设该商品降价元出售，
依题意得：，
解得：，
该商品最多降价元出售．
故答案为：．
设该商品降价元出售，利用利润售价进价，结合要保证利润不低，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：过作于，如图：

在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，
≌，
，
是等腰三角形，，
，
，
，
又，且，
，
故答案为：．
根据旋转的性质得到≌，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．
 

16.【答案】不等式性质  二  去括号第二项没变号

【解析】解：去分母的依据是不等式性质，
故答案为：不等式性质；
第二步去括号开始出错，原因时括号前是“”，去掉括号，括号内每项变号，但解答里第二项没变号，
故答案为：二；去括号第二项没变号；
解：去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
两边都除以，得；
解一元一次不等式时，还需要注意两边乘除一个负数，不等号方向改变答案不唯一．
去分母的依据是不等式性质；
根据解答可得答案；
解出不等式即可
根据解不等式的经验写一条注意事项即可．
本题考查一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤．
 

17.【答案】解：由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：

由，得：，
由，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

18.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作；
与成中心对称图形，对称中心的坐标为
 

【解析】利用利用轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可；
利用网格特点和旋转的性质画出、、，从而得到；
根据中心对称的定义进行判断．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了轴对称变换．
 

19.【答案】解：设每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元，
依题意得：，
解得：．
答：每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元．
设购买个篮球，则购买个足球，
依题意得：，
解得：．
答：最多能买个篮球．

【解析】设每个足球的价格是元，每个篮球的价格是元，根据“购买个足球和个篮球的费用相同；购买个足球和个篮球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买个篮球，则购买个足球，利用总价单价数量，结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】解：如图所示：即为所求；

如图所示：、，点即为所求；

，
，
平分，
，
，
是线段的垂直平分线，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．

【解析】直接利用角平分线的作法得出答案；
直接利用线段垂直平分线的作法得出答案；
结合全等三角形的判定与性质得出，进而利用勾股定理得出答案．
此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定与性质等知识，正确掌握基本作图方法是解题关键．
 

21.【答案】解：由题意可得，
从甲购买需要付费为：，
从乙购买需要付费为：，
当时，
解得，
即当时，在甲供货商购买更实惠；
当时，
解得，
即当时，在甲和乙供货商购买一样实惠；
当时，
解得，
即当时，在乙供货商购买更实惠；
答：当时，在甲供货商购买更实惠；当时，在甲和乙供货商购买一样实惠；当时，在乙供货商购买更实惠．

【解析】根据题意和题目中的数据，可以先写出甲和乙的付费情况，然后列出相应的不等式，即可解答本题．
本题考查一元一次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的方程和不等式．
 

22.【答案】   

【解析】解：，，
，
，
故答案为：；
证明：，
，即，
在和中，
，
≌，
；
解：为的等边三角形，
，
，
同可得：≌，
，，
，
故答案为：；；
解：，
，即，
在和中，
，
≌，
，
是等腰直角三角形，，
，
在中，，即，
解得：负值舍去．
结合图形解答即可；
证明≌，根据全等三角形的性质证明结论；
根据等边三角形的性质得到，进而得到，证明≌，根据全等三角形的性质解答即可；
证明≌，得到，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

23.【答案】解：，，
；

点在边的垂直平分线上，
，，
在中，，即
解得：；

存在值，使为等腰三角形．
当时，如答图所示，

则，
，
．
，
，
，
，
，
秒；
当时，如答图所示，
则，
秒；
当时，如答图所示，
过点作于点，
，
，
，
，
秒．
综上所述：当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．

【解析】由勾股定理即可求解；
点在边的垂直平分线上，则，，在中，由即可求解；
分、、利用等腰三角形的性质和面积公式即可求解．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到中垂线的性质、勾股定理的运用、三角形面积公式的运用等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．