2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）入学数学试卷

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）入学数学试卷，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）入学数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（1﹣x）}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，2） D．（﹣∞，2）
2．（5分）复数的值为（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
3．（5分）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（　　）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
4．（5分）函数y＝x2+ln|x|的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．（5分）已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①②③④，
其中的正确命题序是（　　）
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③④
6．（5分）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（　　）

A． B． C． D．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，sinA+2sinBcosC＝0，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
8．（5分）已知函数，（a＞0），若f（x）是偶函数且满足函数y＝f（x）﹣g（x）有一个零点，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜1 B．0＜a≤1 C．a＞1 D．a≥1
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．若ab＞b2，则a＞b
B．已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则ab≤4
C．已知a＞0，b＞0，若ab＝4，则
D．命题“∀a≥b，都有成立”的否定是“∃a＜b，使成立”
（多选）10．（5分）已知向量（2，1），（﹣3，1），则（　　）
A．
B．与向量共线的单位向量是（，）
C．
D．向量在向量上的投影向量是
（多选）11．（5分）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（　　）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA＞cosB恒成立
C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
（多选）12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
13．（5分）不等式33﹣x＞9x的解集是 　 　．
14．（5分）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若m，则实数m＝　 　．

15．（5分）从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b．则logab∈（0，1）的概率为 　 　．
16．（5分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且．设E、F、G分别是棱AB、BC、C1D1的中点，过E、F、G的平面与AA1交于点H，则值为 　 　；若四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为 　 　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）已知向量，函数．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）设，若，求f（α）的值．
18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，E为B1D1的中点，AC∩BD＝O．
（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；
（2）求证：DE∥平面ACB1；
（3）求三棱锥E﹣ACB1的体积．

19．（12分）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响，已知每题甲、乙两人同时答对的概率为、恰有一人答对的概率为．
（1）求p和q的值；
（2）求甲、乙两人共答3对道题的概率．
20．（12分）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝2km，BC＝4km，且△ACD为正三角形．
（1）若∠BAC，求△ABD面积；
（2）设∠ABC＝α，试用α表示△ABD的面积，并求最大值．

21．（12分）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC＝∠BAD，SA＝AB＝BCAD＝1．
（1）求钝二面角C−SD−E的余弦值；
（2）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．

22．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足对任意的x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）＝f（），且当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）若f（）＝﹣1，f（x）≤t2﹣2at﹣1对任意x∈[，]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

2022-2023学年湖南省长沙市天心区明德中学高二（上）入学数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）已知集合A＝{x|y＝lg（1﹣x）}，B＝{x|x2﹣2x＜0}，则A∪B＝（　　）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，1） C．（0，2） D．（﹣∞，2）
【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x＜1}，
又B＝{x|x2﹣2x＜0}，则B＝{x|0＜x＜2}，
则A∪B＝{x|x＜2}，
故选：D．
2．（5分）复数的值为（　　）
A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i
【解答】解：．
故选：B．
3．（5分）从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（　　）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，
对于A，“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故A错误；
对于B，恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．
故选：D．
4．（5分）函数y＝x2+ln|x|的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵f（﹣x）＝x2+ln|x|＝f（x），
∴y＝f（x）为偶函数，
∴y＝f（x）的图象关于y轴对称，故排除B，C，
当x→0时，y→﹣∞，故排除D，
或者根据，当x＞0时，y＝x2+lnx为增函数，故排除D，
故选：A．
5．（5分）已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，给出下列命题：
①②③④，
其中的正确命题序是（　　）
A．②③ B．③④ C．①② D．①②③④
【解答】解：由m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，知：
对于①可得到n∥α或n⊂α，故①错误；
对于②可得到n∥m，由直线与平面垂直的性质定理得②正确；
对于③可得到β∥α，由面面平行的判定定理得③正确；
对于④m∥n或m，n异面，故④错误．，
故选：B．
6．（5分）一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：开关C断开的概率为，开关D断开的概率为，开关A、B至少一个断开的概率为1，
开关E、F至少一个断开的概率为1，
故灯不亮的概率为 ，
故灯亮的概率为1，
故选：B．
7．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，sinA+2sinBcosC＝0，则△ABC面积的最大值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：∵sinA+2sinBcosC＝0，
∴，化简得2a2+b2﹣c2＝0，即a2，
由余弦定理知，，
∴，
∴，
∴△ABC的面积．
故选：B．
8．（5分）已知函数，（a＞0），若f（x）是偶函数且满足函数y＝f（x）﹣g（x）有一个零点，则a的取值范围是（　　）
A．0＜a＜1 B．0＜a≤1 C．a＞1 D．a≥1
【解答】解：因为f（x）是偶函数，所以f（﹣1）＝f（1），
即log2（4﹣1+1）﹣k＝log2（4+1）+k，
解得：k＝﹣1，
∵函数y＝f（x）﹣g（x）有一个零点，
∴方程log2（4x+1）﹣x＝log2（a×2x）只有一解，
即：方程a•2x，只有一解，
令t＝2x，因而等价于h（t）＝（a﹣1）t2at﹣1，在（，+∞）上只有一解，
①当a＝1时，解得t∉（，+∞），不合题意；
②当0＜a＜1时，h（t）＝（a﹣1）t2at﹣1，其图象的对称轴t0，
∴函数h（t）在（0，+∞）上递减，而h（）0，
∴h（x）＝0，在（，+∞）上恒小于0，即h（t）＝0在（，+∞）上无解；
③当a＞1时，记h（t）＝（a﹣1）t2at﹣1，其图象的对称轴t0，
所以，只需h（）＜0，即（a﹣1）a﹣1＜0恒成立，
此时a的范围为a＞1，
综上所述，a的取值范围为a＞1．
故选：C．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）下列命题中正确的是（　　）
A．若ab＞b2，则a＞b
B．已知a＞0，b＞0，若a+b＝4，则ab≤4
C．已知a＞0，b＞0，若ab＝4，则
D．命题“∀a≥b，都有成立”的否定是“∃a＜b，使成立”
【解答】解：对于A，当ab＞b2时，若b＜0，则a＜b，所以A错误；
对于B，a＞0，b＞0时，若a+b＝4，则ab4，当且仅当a＝b时“＝”成立，选项B正确；
对于C，a＞0，b＞0时，若ab＝4，则（）•（2）（2+2）＝1，当且仅当a＝b时“＝”成立，选项C正确；
对于D，命题“∀a≥b，都有成立”的否定是“∃a≥b，使成立”，所以选项D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知向量（2，1），（﹣3，1），则（　　）
A．
B．与向量共线的单位向量是（，）
C．
D．向量在向量上的投影向量是
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，（﹣1，2），则有（）•2+2＝0，故（）⊥，A正确；
对于B，向量（2，1），||，则与向量共线的单位向量是（，）或（，），B错误；
对于C，2（﹣4，3），则|2|5，C正确；
对于D，向量在向量上的投影向量||cosθ•，D错误；
故选：AC．
（多选）11．（5分）对于△ABC，有如下命题，其中正确的有（　　）
A．若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形
B．若△ABC是锐角三角形，则不等式sinA＞cosB恒成立
C．若sin2A+sin2B+cos2C＜1，则△ABC为钝角三角形
D．若AB，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积为或
【解答】解：对于△ABC．
A．∵sin2A＝sin2B，∴2A＝2B，或2A+2B＝π，解得：A＝B，或A+B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此不正确；
B．∵△ABC是锐角三角形，∴AB＞0，∴sinA＞sin（B），化为sinA＞cosB恒成立，因此正确；
C．∵sin2A+sin2B+cos2C＜1，∴sin2A+sin2B＜1﹣cos2C＝sin2C，由正弦定理可得：a2+b2＜c2，∴cosC0，∴C为钝角，则△ABC为钝角三角形，因此正确；
D．∵AB，AC＝1，B＝30°，设BC＝a，由余弦定理可得：12＝x22xcos30°，化为：x2﹣3x+2＝0，解得x＝1或2．则△ABC的面积1×sin30°，或△ABC的面积2×sin30°，因此正确．
综上可得：只有BCD正确．
故选：BCD．
（多选）12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（　　）

A．直线D1D与直线AF垂直
B．直线A1G与平面AEF平行
C．平面AEF截正方体所得的截面面积为
D．点A1和点D到平面AEF的距离相等
【解答】解：假设D1D⊥AF，
∵D1D⊥AE，且AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF，
∴D1D⊥AEF，
∴DD1⊥EF，
∴CC1⊥EF，显然不成立，故A错误，
取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，如图所示：

由已知条件可得，GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，
∴平面A1GQ∥平面AEF，
∵A1G⊂平面A1GQ，
∴A1G∥平面AEF，
连接D1F，D1A，如图所示：

∵E，F分别为BC，C1C的中点，
∴EF∥AD1，EF，
∴A，E，F，D1四点共面，
∴截面即为梯形AEFD1，延长DC，D1F，AE交于点S，
易知D1S＝AS，AD1，
∴，
∴，故C正确，
建立如图所示的空间直角坐标系，

可求得平面AEF的法向量为，
∴点A1到平面AEF的距离为，点D到平面AEF的距离为，
∴点A1和点D到平面AEF的距离相等，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．）
13．（5分）不等式33﹣x＞9x的解集是 　（﹣∞，1）　．
【解答】解：不等式33﹣x＞9x⇔33﹣x＞32x，
∴3﹣x＞2x，解得x∈（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
14．（5分）如图，在△ABC中，，P是线段BN上的一点，若m，则实数m＝　　．

【解答】解：因为，则，
所以mm，
因为点B，P，N三点共线，所以m，则m，
故答案为：．
15．（5分）从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b．则logab∈（0，1）的概率为 　　．
【解答】解：从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数a，另一个作为对数的真数b，
基本事件（a，b）有：
（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），
（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共16个，
其中满足logab∈（0，1）的基本事件（a，b）有：
（3，2），（4，2），（4，3），（5，2），（5，3），（5，4），共6个，
则logab∈（0，1）的概率为P．
故答案为：．
16．（5分）如图，四棱台ABCD﹣A1B1C1D1上下底面都为正方形且侧棱长都相等，且．设E、F、G分别是棱AB、BC、C1D1的中点，过E、F、G的平面与AA1交于点H，则值为 　　；若四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高2，体积为14，则该四棱台外接球的表面积为 　　．

【解答】解：如图连接FE，并延长交DA延长线于M，设A1D1的中点为P，连接GP，AC，
则PG∥A1C1，而由题意可知A1C1∥AC，又EF∥AC，故PG∥EF，
故P∈平面EFG，而M∈平面EFG，故连接PM，交AA1于H，
H点即为过E、F、G的平面与AA1的交点，
设Q为AD中点，连接FQ，则FQ∥AB，FQ＝AB，因为E为AB中点，
故AEABFQ，故AM＝AQAD，
因为A1P∥AD，∴A1P∥AM，则，所以；
设四棱台上底面棱长为a，则下底面棱长为2a，
由四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的高2，体积为14，可得（a2+4a2）×2＝14，
解得a，
对于四棱台，A1C1，AC＝2，所以CC1，
则AC1，故得AC12+CC12﹣AC224＜0，
即∠AC1C＞90°，由棱台的性质可知外接球球心位于对角面AA1C1C所在平面上，
故由此可知外接球球心在棱台的外部，即底面ABCD的外部，
设球心到面ABCD的距离为h1，则到面A1B1C1D1的距离为h1+2，是外接球半径为R，
则R2＝6+h12，R2＝（）2+（h1+2）2，解得R2，
故外接球的表面积为4πR2，
故答案为：；．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）
17．（10分）已知向量，函数．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）设，若，求f（α）的值．
【解答】解：（1）由题意可知：，
故得到：．
再令．
得到，
所以单调增区间为．
（2）由第一问可知：．
则．
又由于，
故．
得到，
得到，
故，
解得，
所以得到：．
18．（12分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，E为B1D1的中点，AC∩BD＝O．
（1）求证：AC⊥平面B1BDD1；
（2）求证：DE∥平面ACB1；
（3）求三棱锥E﹣ACB1的体积．

【解答】（1）证明：∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，
又AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC，
∵AC⊥BD，BD∩BB1＝B，BD，BB1⊂平面B1BDD1，
∴AC⊥平面B1BDD1；
（2）证明：连接OB1，
∵在正方体中，BB1∥DD1且BB1＝DD1，
∴四边形BB1D1D是平行四边形，
∴BD∥B1D1且BD＝B1D1，
∵O，E分别为BD，B1D1中点，
∴DO＝EB1，
∴四边形DEB1O是平行四边形，
∴DE∥OB1，
∵DE⊄平面ACB1，OB1⊂平面ACB1，
∴DE∥平面ACB1；
（3）由（2）得DE∥平面ACB1，
∴E点到平面ACB1的距离即为D点到平面ACB1的距离，
∴由等体积法可得，．

19．（12分）为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为q（p＞q），且在考试中每人各题答题结果互不影响，已知每题甲、乙两人同时答对的概率为、恰有一人答对的概率为．
（1）求p和q的值；
（2）求甲、乙两人共答3对道题的概率．
【解答】解：（1）设A＝“甲同学答对第一题”，B＝“乙同学答对第一题”，P（A）＝p，P（B）＝q．
设C＝“A∩B”，．
因为甲乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，
所以A与B相互独立，与互斥，
所以，，
即，解得：．
（2）设Ai＝“甲同学答对了i道题”，Bi＝“乙同学答对了i道题”，i＝0，1，2.，，，，
设E＝“甲、乙两大共答对3道题”，E＝A1B2∪A2B1，
所以．
20．（12分）如图，为了检测某工业园区的空气质量，在点A处设立一个空气监测中心（大小忽略不计），在点B处安装一套监测设备．为了使监测数据更加准确，在点C和点D处，再分别安装一套监测设备，且满足AB＝2km，BC＝4km，且△ACD为正三角形．
（1）若∠BAC，求△ABD面积；
（2）设∠ABC＝α，试用α表示△ABD的面积，并求最大值．

【解答】解：（1）由余弦定理得cos∠BAC∴AC2﹣2AC﹣12＝0，
解得AC＝1或AC＝1（舍去），
因为正△ACD，所以AD＝1，∴S△ABD•AB•AD•sin120°2×（1）；
（2）设正△ACD的边长为x，∠BAC＝β，
在△ABC中由正弦定理有，∴x，
2sin（α+β）＝sinβ，∴2sinαcosβ+2cosαsinβ＝sinβ，∴2sinαcosβ＝sinβ（1﹣2cosα），
S△ABDAB•AD•sin（60°+β）＝xsin（60°+β）•sin（60°+β）•（cosβsinβ）
2sinα（1﹣2cosα）+2sinα4sin（α），
∵α（0，π），故当α时，面积最大，最大面积为S＝4．
21．（12分）如图，已知SA垂直于梯形ABCD所在的平面，矩形SADE的对角线交于点F，G为SB的中点，∠ABC＝∠BAD，SA＝AB＝BCAD＝1．
（1）求钝二面角C−SD−E的余弦值；
（2）在线段EG上是否存在一点H，使得BH与平面SCD所成角的大小为？若存在，求出GH的长；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）因为SA⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，
所以SA⊥AB，SA⊥AD，又∠BAD，所以AB⊥AD，
以{，，}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，0，1），E（0，2，1），G（，0，），
（﹣1，1，0），（1，1，﹣1），
设平面SCD的法向量为（x，y，z），
则，令x＝1，得y＝1，z＝2，
所以平面SCD的一个法向量为（1，1，2），
又平面ESD的一个法向量为（1，0，0），
所以cos，，
由图形可知，钝二面角C﹣SD﹣E的余弦值为．
（2）假设存在点H，设λ（，2λ，），
则λ（，2λ，）．
由（2）知，平面SCD的一个法向量为（1，1，2），
则sin|cos，|，
即（λ﹣1）2＝0，所以λ＝1，
故存在满足题意的点H，此时GH＝||．
22．（12分）定义在（﹣1，1）上的函数f（x）满足对任意的x，y∈（﹣1，1），都有f（x）+f（y）＝f（），且当x∈（0，1）时，f（x）＜0．
（1）求证：函数f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在（﹣1，1）上是减函数；
（3）若f（）＝﹣1，f（x）≤t2﹣2at﹣1对任意x∈[，]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
【解答】证明：（1）令x＝0，y＝0，得f（0）+f（0）＝f（0），所以f（0）＝0．令y＝﹣x，得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，即f（x）＝﹣f（﹣x），所以函数f（x）是奇函数．
证明：（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则﹣x1∈（﹣1，1），所以．
因为x2﹣x1＞0，|x1|＜1，|x2|＜1，所以|x1x2|＜1，即﹣1＜x1x2＜1，所以．
又，所以，所以，
所以f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x1）＞f（x2）．所以f（x）在（﹣1，1）上是减函数．
解：（3）由（2）知函数f（x）在（﹣1，1）上是减函数，
所以当时，函数f（x）的最大值为，
所以f（x）≤t2﹣2at﹣1对任意恒成立等价于1≤t2﹣2at﹣1对任意a∈[﹣1，1]恒成立，即t2﹣2at﹣2≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立．
设g（a）＝t2﹣2at﹣2＝﹣2ta+t2﹣2，是关于a的一次函数，a∈[﹣1，1]，
要使g（a）＝﹣2ta+t2﹣2≥0对任意a∈[﹣1，1]恒成立，
所以，即，解得或，
所以实数的取值范围是．
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