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2024版高考数学一轮总复习第9章统计与统计案例第2节用样本估计总体课件
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这是一份2024版高考数学一轮总复习第9章统计与统计案例第2节用样本估计总体课件，共56页。
考试要求：结合实例，能够利用样本估计总体的集中趋势以及离散程度，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．频率分布直方图(1)频率分布表的画法．第一步：求_____，极差＝最大值－最小值；第二步：决定组数和组距，组距＝______；第三步：将数据_____，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第四步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)．
横轴表示样本数据，纵轴表示______，每个小长方形的面积表示样本落在该组内的_____．
1．频率分布直方图可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律．
2．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高的小长方形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
3．百分位数(1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据___________这个值，且至少有_____________的数据大于或等于这个值．(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按_________排列原始数据．第2步，计算i＝_____．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第_________项数据的平均数．
二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．( )(3)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．( )
3．某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为11，标准差为0.85；丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78.由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为( )A．无法判断B．甲车床C．乙车床D．丙车床D 解析：因为1.1＜1.4＜11，0.78＜0.85＜1.08，所以可以判断生产性能最好且较稳定的为丙车床．
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是( )
A．20B．40 C．64D．80
D 解析：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86)内的影视作品的频率为(86－82)×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86)内的影视作品数量是400×0.2＝80.
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 统计图表及其应用——综合性
考点2 频率分布直方图——应用性
考点3 总体集中趋势的估计——综合性
考点4 总体离散程度的估计——基础性
例1 习近平总书记强调：“一个忘记来路的民族必定是没有出路的民族，一个忘记初心的政党必定是没有未来的政党．”某学校利用学习强国APP安排教职工(共120人)在线学习党史知识．其教职工年龄情况和每周在线学习时长达3小时的情况分别如图(1)和图(2)所示，则下列说法正确的是( )
A．该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时的人数最多B．该学校青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数最多C．该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时和青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数之和与中年教职工在线学习党史时长达3小时的人数相等D．该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的80%
D 解析：由图可知，该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是120×30%×90%＝32.4，中年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是120×(1－30%－30%)×80%＝38.4，青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是120×30%×70%＝25.2.该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的比例为30%×90%＋40%×80%＋30%×70%＝80%，故选项A、B、C错误，选项D正确．
例2 电力工业是一个国家的经济命脉，它在国民经济和人民生活中占有极其重要的地位．目前开发的电力主要是火电、水电、风电、核电、太阳能发电，其中，水电、风电、太阳能发电属于可再生能源发电．如图所示的是2022年各电力行业发电量及增幅的统计图，则下列说法错误的是( )
统计图表问题的解决方法(1)首先要准确地识图，即要明确统计图表中纵轴、横轴及折线、区域等所表示的意义，尤其注意数字变化的趋势等．(2)其次要准确地用图，会根据统计图表中的数字计算样本的数字特征，会用统计图表估计总体．
1．(2022·靖远模拟)如图是我国2011－2020年载货汽车产量及增长趋势统计图．针对这10年的数据，下列说法错误的是( )
A．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆
2．(多选题)在疫情期间某企业对本企业1 644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示．下列结论成立的是( )
A．x＝0.384B．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C．不到80名职工倾向于继续申请休假D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
BD 解析：由图表知x%＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x＝34.8，故A错误．由图表知在家办公的人员占17.8%，故B正确．由1 644×5.1%＝83.844＞80，所以超过80名职工倾向于继续申请休假，故C错误．又1 644×(17.8%＋42.3%)＝988.044＞986，所以超过986名职工倾向于在家办公或在公司办公，D正确．综上可知，正确的结论为BD．
例3 一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．该保险公司随机抽取50名保险推销员，统计了其2022年的月均推销额(单位：万元)，将数据按照[12，14)，[14，16)，…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16)组比[12，14)组的频数多4.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)为调动推销员的积极性，公司设计了两种奖励方案．方案一：奖励月均推销额进入前60%的员工；方案二：奖励月均推销额达到或超过平均数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)的员工．你认为哪种方案更好？
解：方案一，奖励月均推销额进入前60%的员工，因为样本量为50，所以能获得奖励员工人数为50×60%＝30.
1．某校高三年级共有600名学生选修地理，某次考试地理成绩均在60～90分之间，分数统计后绘成频率分布直方图，如图所示，则成绩在[70，85)分的学生人数为( )
A．380 B．420 C．450 D．480C 解析：成绩在[70，85)分的学生人数为600×5×(0.04＋0.06＋0.05)＝450.故选C．
2．从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示，由此可估计该小区居民户月用电量的平均值大约为________度．
186 解析：设用电量在200到250度之间的频率为a，则有50×(0.002 4＋0.003 6＋0.006＋a＋0.002 4＋0.001 2)＝1，解得a＝0.004 4.由频率分布直方图可知，该小区居民户月用电的平均值为：50×(75×0.002 4＋125×0.003 6＋175×0.00 6＋225×0.004 4＋275×0.002 4＋325×0.001 2)＝186(度)．
1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．4．计算一组n个数据的第p百分位数的方法是：先按从小到大排列原始数据，再计算i＝n×p%.若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
考向2 与频率分布直方图有关的数字特征的计算例6 (多选题)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是( )
A．频率分布直方图中第三组的频数为10人B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
ABC 解析：分数在[60，70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组[60，70)的频数为100×0.10＝10(人)，故A正确．因为众数的估计值是频率分布直方图中最高小长方形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确．因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.03)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70，80)，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75，故C正确．样本平均数的估计值为45×10×0.005＋55×10×0.020＋65×10×0.010＋75×10×0.03＋85×10×0.025＋95×10×0.01＝73(分)，故D错误．
用样本估计总体是统计的基本方法：(1)最高的小长方形的中点横坐标即为众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．某市进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是( )
A．得分在[40，60)之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．a＝0.005
考向1 方差与标准差的计算例7 (2022·溧阳期末)已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，那么数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x10＋1的平均数和方差分别为( )A．2，3B．5，6 C．5，12D．4，12C 解析：因为数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，所以数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x10＋1的平均数为2×2＋1＝5，方差为22×3＝12.
例8 一组数据由10个数组成，将其中一个数由6改为3，另一个数由2改为5，其余数不变，得到新的10个数，则新数据的方差相比原数据的方差的减小值为( )A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
考向2 分层随机抽样的方差例9 为了解学生的课外阅读情况，某校采用按样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间(单位：小时)的调查，所得样本数据如下：
考试要求：结合实例，能够利用样本估计总体的集中趋势以及离散程度，掌握分层随机抽样的样本均值和样本方差．
必备知识·回顾教材重“四基”
一、教材概念·结论·性质重现1．频率分布直方图(1)频率分布表的画法．第一步：求_____，极差＝最大值－最小值；第二步：决定组数和组距，组距＝______；第三步：将数据_____，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第四步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)．
横轴表示样本数据，纵轴表示______，每个小长方形的面积表示样本落在该组内的_____．
1．频率分布直方图可以利用频率分布直方图估计总体的取值规律．
2．频率分布直方图中的常见结论(1)众数的估计值为最高的小长方形的中点对应的横坐标．(2)平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和．(3)中位数的估计值的左边和右边的小长方形的面积和是相等的．
3．百分位数(1)第p百分位数的定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据___________这个值，且至少有_____________的数据大于或等于这个值．(2)计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：第1步，按_________排列原始数据．第2步，计算i＝_____．第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第__项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第_________项数据的平均数．
二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中．( )(3)在频率分布直方图中，小长方形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大．( )
3．某工厂技术人员对三台智能机床的生产数据进行统计，发现甲车床每天生产次品数的平均数为1.4，标准差为1.08；乙车床每天生产次品数的平均数为11，标准差为0.85；丙车床每天生产次品数的平均数为1.1，标准差为0.78.由以上数据可以判断生产性能最好且较稳定的为( )A．无法判断B．甲车床C．乙车床D．丙车床D 解析：因为1.1＜1.4＜11，0.78＜0.85＜1.08，所以可以判断生产性能最好且较稳定的为丙车床．
4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70)，[70，74)，…，[94，98]，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是( )
A．20B．40 C．64D．80
D 解析：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86)内的影视作品的频率为(86－82)×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86)内的影视作品数量是400×0.2＝80.
关键能力·研析考点强“四翼”
考点1 统计图表及其应用——综合性
考点2 频率分布直方图——应用性
考点3 总体集中趋势的估计——综合性
考点4 总体离散程度的估计——基础性
例1 习近平总书记强调：“一个忘记来路的民族必定是没有出路的民族，一个忘记初心的政党必定是没有未来的政党．”某学校利用学习强国APP安排教职工(共120人)在线学习党史知识．其教职工年龄情况和每周在线学习时长达3小时的情况分别如图(1)和图(2)所示，则下列说法正确的是( )
A．该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时的人数最多B．该学校青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数最多C．该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时和青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数之和与中年教职工在线学习党史时长达3小时的人数相等D．该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的80%
D 解析：由图可知，该学校老年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是120×30%×90%＝32.4，中年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是120×(1－30%－30%)×80%＝38.4，青年教职工在线学习党史时长达3小时的人数是120×30%×70%＝25.2.该学校在线学习党史时长达3小时的人数占总人数的比例为30%×90%＋40%×80%＋30%×70%＝80%，故选项A、B、C错误，选项D正确．
例2 电力工业是一个国家的经济命脉，它在国民经济和人民生活中占有极其重要的地位．目前开发的电力主要是火电、水电、风电、核电、太阳能发电，其中，水电、风电、太阳能发电属于可再生能源发电．如图所示的是2022年各电力行业发电量及增幅的统计图，则下列说法错误的是( )
统计图表问题的解决方法(1)首先要准确地识图，即要明确统计图表中纵轴、横轴及折线、区域等所表示的意义，尤其注意数字变化的趋势等．(2)其次要准确地用图，会根据统计图表中的数字计算样本的数字特征，会用统计图表估计总体．
1．(2022·靖远模拟)如图是我国2011－2020年载货汽车产量及增长趋势统计图．针对这10年的数据，下列说法错误的是( )
A．与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B．这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C．这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D．这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆
2．(多选题)在疫情期间某企业对本企业1 644名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示．下列结论成立的是( )
A．x＝0.384B．从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C．不到80名职工倾向于继续申请休假D．倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986名
BD 解析：由图表知x%＝1－5.1%－17.8%－42.3%，得x＝34.8，故A错误．由图表知在家办公的人员占17.8%，故B正确．由1 644×5.1%＝83.844＞80，所以超过80名职工倾向于继续申请休假，故C错误．又1 644×(17.8%＋42.3%)＝988.044＞986，所以超过986名职工倾向于在家办公或在公司办公，D正确．综上可知，正确的结论为BD．
例3 一家保险公司决定对推销员实行目标管理，即给推销员确定一个具体的销售目标．确定的销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益．如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．该保险公司随机抽取50名保险推销员，统计了其2022年的月均推销额(单位：万元)，将数据按照[12，14)，[14，16)，…，[22，24]分成6组，制成频率分布直方图如下，其中[14，16)组比[12，14)组的频数多4.
(1)求频率分布直方图中a和b的值；
(2)为调动推销员的积极性，公司设计了两种奖励方案．方案一：奖励月均推销额进入前60%的员工；方案二：奖励月均推销额达到或超过平均数(同一组中的数据用该组区间中点值为代表)的员工．你认为哪种方案更好？
解：方案一，奖励月均推销额进入前60%的员工，因为样本量为50，所以能获得奖励员工人数为50×60%＝30.
1．某校高三年级共有600名学生选修地理，某次考试地理成绩均在60～90分之间，分数统计后绘成频率分布直方图，如图所示，则成绩在[70，85)分的学生人数为( )
A．380 B．420 C．450 D．480C 解析：成绩在[70，85)分的学生人数为600×5×(0.04＋0.06＋0.05)＝450.故选C．
2．从某小区随机抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50到350度之间，频率分布直方图如图所示，由此可估计该小区居民户月用电量的平均值大约为________度．
186 解析：设用电量在200到250度之间的频率为a，则有50×(0.002 4＋0.003 6＋0.006＋a＋0.002 4＋0.001 2)＝1，解得a＝0.004 4.由频率分布直方图可知，该小区居民户月用电的平均值为：50×(75×0.002 4＋125×0.003 6＋175×0.00 6＋225×0.004 4＋275×0.002 4＋325×0.001 2)＝186(度)．
1．求平均数时要注意数据的个数，不要重计或漏计．2．求中位数时一定要先对数据按大小排序，若最中间有两个数据，则中位数是这两个数据的平均数．3．若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样，则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样多，则没有众数．4．计算一组n个数据的第p百分位数的方法是：先按从小到大排列原始数据，再计算i＝n×p%.若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
考向2 与频率分布直方图有关的数字特征的计算例6 (多选题)某城市在创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城市”的满意程度，组织居民给活动打分(分数为整数，满分100分)，从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在[40，100]内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形，则下列说法正确的是( )
A．频率分布直方图中第三组的频数为10人B．根据频率分布直方图估计样本的众数为75分C．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分D．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
ABC 解析：分数在[60，70)内的频率为1－10×(0.005＋0.020＋0.030＋0.025＋0.010)＝0.10，所以第三组[60，70)的频数为100×0.10＝10(人)，故A正确．因为众数的估计值是频率分布直方图中最高小长方形的中点，从图中可看出众数的估计值为75分，故B正确．因为(0.005＋0.020＋0.010)×10＝0.35<0.5，(0.005＋0.020＋0.010＋0.03)×10＝0.65>0.5，所以中位数位于[70，80)，设中位数为x，则0.35＋0.03(x－70)＝0.5，解得x＝75，所以中位数的估计值为75，故C正确．样本平均数的估计值为45×10×0.005＋55×10×0.020＋65×10×0.010＋75×10×0.03＋85×10×0.025＋95×10×0.01＝73(分)，故D错误．
用样本估计总体是统计的基本方法：(1)最高的小长方形的中点横坐标即为众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．
2．某市进行了一次校际数学竞赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在[40，90]之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是( )
A．得分在[40，60)之间的共有40人B．从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在[60，80)的概率为0.5C．这100名参赛者得分的中位数为65D．a＝0.005
考向1 方差与标准差的计算例7 (2022·溧阳期末)已知数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，那么数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x10＋1的平均数和方差分别为( )A．2，3B．5，6 C．5，12D．4，12C 解析：因为数据x1，x2，…，x10的平均数为2，方差为3，所以数据2x1＋1，2x2＋1，…，2x10＋1的平均数为2×2＋1＝5，方差为22×3＝12.
例8 一组数据由10个数组成，将其中一个数由6改为3，另一个数由2改为5，其余数不变，得到新的10个数，则新数据的方差相比原数据的方差的减小值为( )A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7
考向2 分层随机抽样的方差例9 为了解学生的课外阅读情况，某校采用按样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间(单位：小时)的调查，所得样本数据如下：
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