专题07 错位排列-2024年新高考数学题型全归纳之排列组合

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专题07 错位排列
【方法技巧与总结】
错位排列公式
【典型例题】
例1．（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相间，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从大到小排列的，则不同的填法种数为（    ）

A．72 B．108 C．144 D．196
【答案】C
【解析】按题意5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．因此填法总数为．
故选：C.
例2．（2023·全国·高三专题练习）编号为1、2、3、4、5的5个人分别去坐编号为1、2、3、4、5的五个座位，其中有且只有两个人的编号与座位号一致的坐法有（    ）
A．10种 B．20种 C．30种 D．60种
【答案】B
【解析】先选择两个编号与座位号一致的人，方法数有，
另外三个人编号与座位号不一致，方法数有，
所以不同的坐法有种.
故选：B
例3．（2023·全国·高三专题练习）将编号为、、、、、的小球放入编号为、、、、、的六个盒子中，每盒放一球，若有且只有两个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意，分以下两步进行：
（1）在个小球中任选个放入相同编号的盒子里，有种选法，假设选出的个小球的编号为、；
（2）剩下的个小球要放入与其编号不一致的盒子里，
对于编号为的小球，有个盒子可以放入，假设放入的是号盒子.
则对于编号为的小球，有个盒子可以放入，
对于编号为、的小球，只有种放法.
综上所述，由分步乘法计数原理可知，不同的放法种数为种.
故选：B.
例4．（2023春·广东广州·高二广州奥林匹克中学校考阶段练习）将编号为1､2､3､4､5､6的六个小球放入编号为1､2､3､4､5､6的六个盒子里，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的方法总数是（    ）
A．20 B．40 C．120 D．240
【答案】B
【解析】第一步，先选取3个盒子，放入编号相同的3个球，方法数为，第二步剩下的3个盒子放入编号不同的小球，有2种方法，所以总方法数为．
故选：B．
例5．（2023春·吉林延边·高二校考期中）同室4人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则4张贺卡不同分配方式有
A．8种 B．9种 C．10种 D．12种
【答案】B
【解析】方法一： 设四人分别为a，b，c，d，写的卡片分别为A，B，C，D， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a有三种分配， 不妨设a拿了B，则b可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c和d只能有一种分配， 所以共有3×3×1×1=9种分配方式;
方法二： 根据题意，列举出所有的结果:
1、甲乙互换，丙丁互换；
2、甲丙互换，乙丁互换；
3、甲丁互换，乙丙互换；
4、甲要乙的 乙要丙的 丙要丁的 丁要甲的；
5、甲要乙的 乙要丁的 丙要甲的 丁要丙的；
6、甲要丙的 丙要乙的 乙要丁的 丁要甲的；
7、甲要丙的 丙要丁的 乙要丁的 丁要甲的；
8、甲要丁的 丁要乙的 乙要丙的 丙要甲的；
9、甲要丁的 丁要丙的 乙要甲的 丙要乙的．
通过列举可以得到共有9种结果．
故选：B．
例6．（2023·全国·高三专题练习）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（    ）
A．6种 B．9种 C．11种 D．23种
【答案】B
【解析】解法1：设四人A、B、C、D写的贺卡分别是a、b、c、d，
当A拿贺卡b，则B可拿a、c、d中的任何一张，即B拿a，C拿d，D拿c，或B拿c，D拿a，C拿d，或B拿d，C拿a，D拿c，
所以A拿b时有三种不同的分配方式；
同理，A拿c，d时也各有三种不同的分配方式，
由分类加法计数原理，四张贺卡共有（种）分配方式；
解法2：让四人A、B、C、D依次拿一张别人送出的贺卡，
如果A先拿，有3种，此时被A拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，
接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，
由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有（种）．
故选：B.
例7．（2023·全国·高三专题练习）若5个人各写一张卡片（每张卡片的形状、大小均相同），现将这5张卡片放入一个不透明的箱子里，并搅拌均匀，再让这5人在箱子里各摸一张，恰有1人摸到自己写的卡片的方法数有（    ）
A．20 B．90 C．15 D．45
【答案】D
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从5个人里选1人，恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
②对于剩余的4人，因为每个人都不能拿自己写的卡片，因此第一个人有3种拿法，被拿了自己卡片的那个人也有3种拿法，剩下的2人拿法唯一，
所以不同的拿卡片的方法有种.
故选：.
例8．（2023春·辽宁鞍山·高二统考期中）5个人站成一列，重新站队时各人都不站在原来的位置上，共有种不同的站法（   ）
A．42 B．44 C．46 D．48
【答案】B
【解析】由题意，设五人分别为，重新站队时，可从开始，其中有种不同的选择，
比如占据了的位置，可再由选取位置，可分为两类，
1类：占据了的位置，则后面的重站，共有种站法；
2类：没有占据的位置，则有种站法，后面的重站，共有种站法，
所以共有种不同的站法.
故选：B.
例9．（2023春·河北沧州·高二泊头市第一中学校考开学考试）若5个人按原来站的位置重新站成一排，恰有1个人站在自己原来的位置，则不同的站法共有（    ）
A．45种 B．40种 C．55种 D．60种
【答案】A
【解析】先从5个人中选出站在自己原来的位置的有种选法
设剩下的4个人为.则他们都不站自己原来的位置，分下列几步完成:
(1)假设先安排，则有种选法.
(2)当站好后，站的位置原来站的是谁，接下来就安排这个人来选位置，有种选法.
(3)接下来，剩下的两个人和两个位置中,至少有1人，他原来站的位置留下来了，都不站原来的位置，则只有1种站法.
所以共有种选法.
故选：A
例10．（2023秋·福建三明·高三三明一中校考阶段练习）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（  ）种不同的站法.
A．4 B．8 C．12 D．24
【答案】B
【解析】根据题意，分2步分析：
①先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有种选法；
②对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．
故不同的调换方法有，
故选：B．
例11．（2023春·江西宜春·高二江西省铜鼓中学校考阶段练习）编号为1，2，3，4，5的五个人，分别坐在编号为1，2，3，4，5的座位上，则恰有两个人的编号与其座位号分别相同的坐法种数为__________．（用数字作答）
【答案】20
【解析】由题意知本题是一个排列、组合及简单计数问题，
恰有两个人的编号与座位号一致，则首先从5个号码中，选出两个号码，有C52＝10种结果，
其余的三个座位与人的编号不同，则第一个人有两种选择，另外两个人的位置确定，共有2种结果，
根据分步计数原理得到共有10×2＝20种结果，
故答案为20
例12．（2023秋·天津静海·高二静海一中校考期末）将编号为，，，，，，的小球放入编号为，，，，，，的七个盒子中，每盒放一球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球的编号相同，则不同的放法种数为______________.
【答案】
【解析】按两步进行计算：
1、选出盒子的编号与小球编号相同的3个编号，共有种选法；
2、对余下的4个编号的球，将它们放置到不同盒子中，且盒子的编号与球的编号不同，有种方法，
故不同的放法种数为，
故答案为：
例13．（2023春·重庆南岸·高二重庆市广益中学校校考阶段练习）个同学玩“真心话”游戏，回答抽到的问题.若个人将各自的问题写在一张卡片上（每张卡片的形状､大小均相同），并将这张卡片放入一个不透明的箱子里，搅拌均匀，再让这人在箱子里各摸一张，恰有人需回答自己问题的种数为___________.
【答案】
【解析】根据题意，分步：
第一步，先从个人里选1人恰好摸到自己写的卡片，有种选法，
第二步，对于剩余的人，因为每个人都不能选自己写的卡片，所以第一个人有种选法，卡片被选走的那个人也有种选法，剩下的人选法唯一，
所以不同的选法有种.
故答案为：45
例14．（2023·高二课时练习）将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有____________（用数字作答）．
【答案】9
【解析】先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，
第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；
第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法.
故答案为：9
例15．（2023·高二单元测试）数独是源自18世纪瑞土的一种数学游戏.如图是数独的一个简化版，由3行3列9个单元格构成，玩该游戏时，需要将数字1，2，3(各3个)全部填入单元格，每个单元格填个数字，要求每一行，每一列均有1，2，3这三个数字，则不同的填法有________种(用数字作答).

【答案】
【解析】根据题意，可分3步进行分析：
①将三个数字填入第一行，有种情况；
②第二行第一列的数字与第一行第一列的数字不同，有2种情况，第二列，第三列只有1种情况，则第二行只有2种情况；
③由于前两行的数字确定，第三行只有1种情况，
由分步计数原理，共有种不同的填法.
故答案为：.
例16．（2023·全国·高二专题练习）位顾客将各自的帽子随意放在衣帽架上，然后，每人随意取走一顶帽子，则人拿的都不是自己的帽子方案总数为____________.（用数字作答）
【答案】
【解析】记位顾客分别为甲、乙、丙、丁.
假设甲拿了乙的帽子，则乙拿了甲的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了丙的帽子；或乙拿丙的帽子，丙拿了丁的帽子，丁拿了甲的帽子；或乙拿了丁的帽子，丙拿了甲的帽子，丁拿了丙的帽子.
若甲拿了丙或丁的帽子，同理可知，符合条件的方案数均为种.
综上所述，人拿的都不是自己的帽子方案总数为.
故答案为：.
例17．（2023·高一课时练习）一辆小客车上有5个座位,其座位号为1,2,3,4,5.乘客,,,,的座位号分别为1,2,3.4,5,他们按照座位号从小到大的顺序先后上车乘客户,因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座,就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位.
乘客





座位号
3
2
1
4
5
3
2
4
5
1










（1）若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法.下表给出了其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处)；
（2）若乘客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,求乘客坐到5号座位的概率.
【解析】（1）余下两种坐法如下表所示：
乘客





座位号
3
2
4
1
5
3
2
5
4
1
(2)若成客坐到了2号座位,其他乘客按规则就座,则所有可能的坐法可用下表表示为：
乘客





座位号
2
1
3
4
5
2
3
1
4
5
2
3
4
1
5
2
3
4
5
1
2
3
5
4
1
2
4
3
1
5
2
4
3
5
1
2
5
3
4
1
于是,所有可能的坐法共8种.设“乘客坐到5号座位”为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4.所以.即乘客坐到5号座位的概率是.
例18．（2023春·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期中）将个编号为、、、的不同小球全部放入个编号为、、、的个不同盒子中.求：
（1）每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？
（2）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？
（3）每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？
（4）把已知中个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？
【解析】（1）根据题意知，每个盒子里有且只有一个小球，所求放法种数为（种）；
（2）先将个小球分为组，各组的球数分别为、、，然后分配给个盒子中的个盒子，由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）；
（3）考查编号为的盒子中放入编号为的小球，则其它个球均未放入相应编号的盒子，那么编号为、、的盒子中放入的小球编号可以依次为、、或、、，
因此，所求放法种数为（种）；
（4）按两步进行，空盒编号有种情况，
然后将个完全相同的小球放入其它个盒子，没有空盒，
则只需在个完全相同的小球所形成的个空（不包括两端）中插入块板，
由分步乘法计数原理可知，所求的放法种数为（种）.
例19．（2023·全国·高三专题练习）名教师从星期一至星期六值日，若甲教师不排星期一，乙教师不排星期二，丙教师不排星期三，则不同的值日排法有多少种？
【解析】甲排在星期一，乙排在星期二，丙排在星期三的可能的排法的集合依次用表示，则不符合题意的排法共有种，
，
符合题意的排法共有种.
例20．（2023·全国·高三专题练习）n个学生参加一次聚会，每人带一张贺卡和一件礼物，会后每个人任取一张贺卡和一件礼物.问：发生下列情况时，有多少种可能？
(1)没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品；
(2)有人取回了他原来的物品；
(3)恰好只有一人取回他原来的物品.
【解析】(1)（1）设没有任何一位学生取回他原来自己的一件物品，可以先取贺卡，n个同学均没有取回他原来的贺卡（即n个元素排列有n个动点）有种.同理，再去取礼物，也有种，
由错排公式，共有 种.
(2)（2）n个同学每人取回一张贺卡、一件礼物，共有种,
故有人取回他原来物品的取法有种.
(3)（3）根据表示n个元素有k个组合不动点的排列个数，那么用表示n个人中有一个人取回他原来的物品的可能数，
因此恰好只有一人取回他原来的物品，有三种可能，即取对贺卡、而拿错礼物；取错贺卡而拿对礼物；还有就是贺卡、礼物全取对了.
前二种情况各有种，后一种情况有种，
取法总数为:


.
例21．（2023·全国·高三专题练习）将用1～6编号的六张卡片，插入用1～6编号的六个盒子里，每只盒子插一张，求：
(1)使每一卡片的号码与所在盒子号码都不同的插法总数；
(2)恰好有3张卡片号码与所在盒子号码相同的插法总数.
【解析】(1)全部无限制排列有种.
如果有5个或6个卡片号码和盒子的号码对应相同，只有1种；
如果有4个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪4个号码相同，有种，剩下的两个号码只有一种插法，所以共有种；
如果有3个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪3个号码相同，有种，剩下的三个号码有2种插法，所以共有种；
如果有2个卡片号码和盒子的号码对应相同，首先，确定哪2个号码相同，有种，剩下的4个号码有9种插法，所以共有种；
如果有1个卡片号码和盒子的号码相同，首先，确定哪1个号码相同，有种，剩下的5个号码，先选1个号码放在最前面，有4种插法，剩下的4个号码有11种插法，所以共有种.
所以共有种.
(2)先选择3张卡片号码与所在盒子号码相同，有种方法；再把剩下的3张卡片放在剩下的盒子里，要保证号码不同，只有2种方法，所以共有种方法.
例22．（2023·全国·高三专题练习）有编号为1，2，3，…，n的n个学生，入坐编号为1，2，3，…，n的n个座位，每个学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为，已知当时，共有6种坐法．的值为________；________．
【答案】     4    
【解析】因为当时，有种坐法，
所以，即，解得或（舍去），，
则，
故答案为：，.